幂零矩阵性质及应用

幂零矩阵性质及应用
性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。

证明：⇒
A 为幂零矩阵 k Z +∴∃∈ .0k s t
A =
令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα∃≠= 由引理7知，0k λ为k
A 的特征值 00
.k k s t A ββλβ∴∃≠= 从而有0k λ=0即有00λ=
又有0k
A =，知00k
k
A A A ==⇒=
0*(1)(1)00k k E A A A ∴-=-=-=-⋅= 00λ∴=为A 的特征值。

由0λ的任意性知，A 的特征值为0。

⇐
A 的特征值全为0
A ∴的特征多项式为()n f E A λλλ=-=
由引理2知，()0n f A A == 所以A 为幂零矩阵。

得证 性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +∀∈=。

证明：⇒
A 为幂零矩阵，由性质1，知：
A 的特征值全为0 即120n λλλ==
==
由引理7，知 k
A 的特征值为120k k k n λλλ==
==
从而有 120k k k k n trA λλλ=++
+=
⇐由已知，120
k k k k n k Z trA λλλ+
∀∈=++
+=(1.1)
令12,,
,t λλλ为A 的不为0的特征值
且i λ互不相同重数为(1,2,
,)i
n i t =
由（1.1）式及引理7，得方程组
1122222
1122333
112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪
⎪+++=⎩
(1.2)
由于方程组（1.2）的系数行列式为
12222121212
121212
11
11
()
t t t t
t
t
t
t
t
t
t t t i j j i t
B λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤=
==∏-
又(1,2,)i
i t λ=互不相同且不为0，0B ∴≠
从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,
,)i n i t ==
即A 没有非零的特征值
A ∴的特征值全为0， 由性质1，得 A 为幂零矩阵 得证
性质3：若A 为幂零矩阵
则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵， 由性质1，知 A
的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得
12
1
s J J T AT J -⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
其中11
i i i J λλ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
阶数为(1,2,
,)i
n i s =
由引理4，知(1,2,
,)i i s λ=为J 和特征值
又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值 所以0(1,2,
,)i i s λ== 即J 的主对角线上的元素全为0
由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i n
n
i i J E J i s -===
12,,
,s J J J 为幂零矩阵 得证
性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A 为幂零矩阵，k Z +∴∃∈ .0k s t
A =
00k
k A A A ∴==⇒= A 一定不可逆
由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====
由引理7，得
,A E E A +-的特征值分别为
1212011,101n n λλλλλλ'''''''''==
==+=====-=
且有1211n n A E λλλ''
'+=== 1211n n E A λλλ''''
''-===
即1,1A E E A +=-= 得证
性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化 证明：令12,,
,n λλλ为A 的特征值
若A 退化，则有 0A = 由引理7，得 12
0n A λλλ==
∴至少存在0
i λ=0为A 的特征值
又由引理7，得
110i λ+=≠为A E +的一特征值
这与A E +为幂零矩阵矛盾 得证A 为非退化
性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，
则AB 也为幂零矩阵。

即与幂零矩阵可交换的矩阵也是幂零矩阵 证明：
A 为幂零矩阵 .0k k Z s t
A +
∴∃∈=
又AB BA = ()00k k k k
AB A B B ==⋅=
AB ∴也为幂零矩阵 得证 性质7：若A 为幂零矩阵且0k
A =， 则（1）1
21()
k E A E A A A ---=++++
（2）1
21
1
23111
1()
(1)(0)k k k
mE A E A A A m m m m
m ---+=
-+++-≠
证明：
0k A = k k k E E A E A ∴=-=-
21()()k E A E A A A -=-++++
即121()k E A E A A A ---=++++
任意0m ≠，有
[(
)]k k k k k
A mE mE A mE A m E m
∴=+=+=+ 21
112111
1
()((1))k k k A m E E A A A m m m
m
---=+
-+++-
2
1
1
121
111()((1))k k k mE A E A A A m m
m
---=+-
+++- 即有21
1121
111
1
()((1))k k k mE A E A A A E m m m
m
---+⋅
-+++-=
1211121211
231111()((1))111(1)k k k k k k mE A E A A A m m m m
E A A A m m m m
------∴+=
-+++-=-+++-
性质8：若A 为幂零矩阵且A 0≠，则A 不可对角化
但对任意的n 阶方阵B ，存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化 证明：
A 为幂零矩阵 .0k k Z s t
A +
∴∃∈=且A 的特征值全为零
()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n f A A ==
令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ 从而有0
0()(1)k A m k n λλ
=≤≤
由于0A 0,k 1≠∴>，又此时 0
0()2k A m k λλ=≥
即A 的最小多项式有重根，由引理5，知 A 不可对角化 B 为n 阶方阵 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得
12
1s J J T BT J -⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
其中1
1
i i i J λλ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
阶数为(1,2,,)i n i s =
令 i i
i i D λλλ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
阶数为(1,2,
,)i
n i s =
则有01
1
0i i i J J D ⎛⎫ ⎪
⎪'=-= ⎪ ⎪⎝
⎭
阶数为(1,2,
,)i
n i s =
由引理8，知(0)()0i i i n
n
i n i J E J ''-⋅== 即i J '为幂零矩阵(1,2,
,)i s =
现令1
2s J J J J ⎛⎫' ⎪
⎪'
'= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝
⎭
1
2
s D D D D ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
1112
1
22
s s s J D J J J D T BT J D J J D -⎛
⎫'+⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪
'+
⎪'===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭'+⎝
⎭
即1
11
()(1)B T J D T TJ T TDT ---''=+=+
又D 为对角阵，由（1）式知 1
1B TJ T TDT --'-=可对角化 令N =1
TJ T
-'- 且取 12max(,,
,)s k n n n = 则有
120k
k
k k s J J J J ⎛⎫' ⎪ ⎪''==
⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝
⎭
111
1
1
2()()()()()00k
k
k k k k k k k s J J N TJ T T J T
T T T T J ----⎛⎫' ⎪
⎪'''=-=-=-=-=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝
⎭
即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵 得证
性质9：n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n 且幂零指数等于其若当形矩阵中阶数最高的若
当块的阶数
证明；令A 为n 阶幂零矩阵 由性质3知， 存在可逆矩阵T 使得
12
1
s J J T AT J -⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
其中01
1
0i J ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
阶数为(1,2,
,)i
n i s =
且()0i n
i J = 1(1,2,,)i n n i s ≤≤=
取12max(,,
,)s k n n n =，则k n ≤ 且有
1
121112()00(1.5)
k k
k k k s s J J J J A T T T T T T J J ---⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪===⋅⋅= ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
即0k
A =
若令0k 为A 的幂零指数，则0k k n ≤≤ 00k
A = 若0k k <，则000.i i s t n k ∃> 且000k i J ≠
由（1.5）式，得
00
0001
12112()0k k k k k s s J J J J A T T T T J J --⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪==≠ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
这与00k
A =矛盾。

0k k n =≤ 得证
性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零，且幂零指数相同并相似于严格上三角形 证明：令A 为幂零矩阵，则A 的特征值全为0
若B 与A 相似 由引理6，得 A 与B 有相同的特征值 B ∴的特征值也全为0，由性质1，知 B 也为幂零矩阵 A 为幂零矩阵由性质3知， 存在可逆矩阵T 使得
12
1
s J J T AT J J -⎛⎫
⎪
⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
其中01
10i J ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
阶数为(1,2,
,)i
n i s =
且()0i n
i J = 1(1,2,,)i n n i s ≤≤=
由性质9，知 12max(,,
,)A s k n n n =为A 的幂零指数
又A 与B 相似，A 与J 相似 从而有B 也与J 相似
∴∃可逆矩阵P 使得12
1s J J P BP J J -⎛⎫
⎪
⎪== ⎪ ⎪⎝
⎭
又由性质9，知 12max(,,,)B s k n n n =为B 的幂零指数
从而有 A B k k =
又01
10i J ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
(1,2,,)i s =为严格上三角
12
s J J J J ⎛⎫ ⎪
⎪∴= ⎪ ⎪⎝
⎭
也为严格上三角形
即A ，B 都相似于严格上三角形J 得证
性质11：若A 为幂零矩阵，则,,,()A A A mA m Z *+'
-∈都为幂零矩阵，特别有
2()0A *=
证明：
A 为幂零矩阵 .0k k Z s t
A +
∴∃∈=
由引理1，知 ()()00k k
A A '''===
()()00k k A A ***===
()(1)(1)00k k k k A A -=-=-⋅=
,,A A A *'∴-都为幂零矩阵 ()()()00k k k k mA m A m ==⋅= ()mA m Z +∴∈也为幂零矩阵
又
A 为幂零矩阵 0A = 即()1r A n ≤-
若()1r A n <-，则有A 的所有1n -阶代数余子式都为0 则有 0A *
= 从而有2()0A A **== 若()1r A n =-，则由性质3知， 存在可逆矩阵T ，使得
12
1
s J J T AT J J -⎛⎫
⎪
⎪== ⎪ ⎪⎝
⎭
其中011
0i J ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
阶数为(1,2,
,)i
n i s = 且()1i i r J n =-
又显然A 与J ，所以有
1
1
1
()()()(1)1s
s
s
i i i i i i r A r J r J n n s n s n ======-=-=-=-∑∑∑
1s ∴= 即有1
011
0T AT J B -⎛⎫ ⎪
⎪=== ⎪ ⎪⎝
⎭
(1.3)
又10(1)0n B +*
⎛⎫
- ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
2()0B *∴= 由（1.3）式及引理1，知 11()()A TBT T B T
*
-*
-*
*
*
==
21212()[()]()()0
A T
B T T B T *-***-***=== 得证
1、A 为实对称矩阵且2
0A =，则有0A =
证明：令n n ij a A ⨯=)(，则由A 实对称 A A ='∴ 且011
22
==
'=∑∑==n i n
j ij
a
A A A
又ij a 为实数 n j i a ij ,,2,1,0
==∴ 即0=A
2、所有n 阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都是相似 证明：令A 为n 阶n 次幂零矩阵 即)(00n k A A k n <≠=
A ∴的最小多项式 n A m λλ=)( 又A 幂零矩阵 A ∴的特征值全为0 A ∴的特征多项式为 )()(λλλλn n D A E f ==-=
由引理9，知 n A n m d λλλ==)()( 又1)()
()
()(11=∴==
--λλλλλn n
n n n D D D d
从而有 1)()()(121====-λλλd d d n
所以所有的n 阶n 次幂零矩阵的不变因子都是 n
λ,1,,1,1 所以所有n 阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都相似 3、所有n 阶1-n 次幂零矩阵相似（1-n 为幂零指数） 证明：令A 为n 阶1-n 次幂零矩阵， 则)1(001
-<≠=-n k A A k n
A ∴的最小多项式 1
)(-=n A m λ
λ
又A 幂零矩阵 A ∴的特征值全为0 A ∴的特征多项式为 )()(λλλλn n D A E f ==-=
又λλλλλλ=∴==--)()
()
()(11n n
n n n D D D d
又)()()()(21λλλλλλn n d d d A E f ⋅⋅==-=
从而有 1)()()()(1221=====--λλλλ
λd d d d n n
所以所有n 阶1-n 次幂零矩阵具有相同不变因子 1,,1,,1,1-n λλ
所以所有n 阶1-n 次幂零矩阵都相似
1、设n 阶方阵，求证：（1）存在+∈Z k ，使得 ====++)()()(1s k k k A r A r A r （2）存在+∈Z k ，而且 n k ≤≤1， ==+)()(1k k A r A r 证明：（1）、由引理3，知 在复数域上，∃可逆矩阵T 使得
1
11
t
t s J J T AT J J J -+⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪==
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
(1.4)
其中⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=i i
i J λλ11
阶数为s i n i
,,2,1 =
令t 21J ,,J ,J 为0=i λ的若当块 t i ,,2,1 =
s 2t 1t J ,,J ,J ++ 为0≠i λ的若当块 s t t i ,,2,1 ++=
由于⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=0110
i J 由引理8，得 0)
(=i
n i J 且1()0i n i J -≠ t i ,,2,1 =
0)(=∴r
i J ),,,max(21t n n n k r =≥ t i ,,2,1 = 0≠=
i
n
i i J λ 即i J 可逆 s t t i ,,2,1 ++=
()0r i r Z J +
∴∀∈≠有i i r i n J r J r ==)()( s t t i ,,2,1 ++=
由（1.4）式，知A 与J 相似，且
+
+---∈∀⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛==Z p T J J J J T
T A T AT T p s p
t p
t p p p 1
1111)(
从而，得p A 与p
J 相似，
综上可得，∑∑∑+=++===
=
=
=s
t i p k i
s
t i k i
s
i k i
k
k J
r J
r J
r J r A r 1
1
1
)()()()()(
且),,,max(21t n n n k = +∈∀Z p
即得证 ====++)()()(1s k k k A r A r A r （2）、由（1）知，),,,max(21t n n n k =∃
使得 ====++)()()(1s k k k A r A r A r 又已知 n n i ≤≤1 t i ,,2,1 =
n k ≤≤∴1得证
特别当)()(2A r A r =时，可得 )()()()(4321A r A r A r A r === 2、A ，B 为n 阶方阵，B 为幂零矩阵且BA AB =，则有A B A =+ 证明：由引理10，在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得
1
2
1
n T AT λλλ-⎛⎫
⎪*
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭ 12
1n T BT μμμ-⎛⎫
⎪*
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
又B 为幂零矩阵 所以B 的特征值全为0，即
1000T BT -⎛⎫
⎪*
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
12
1111
()B n T A B T T AT T T T T λλλ----⎛⎫
⎪*
⎪+=+= ⎪ ⎪⎝
⎭
1
2
1
1
1
()B n
T A B T T
A T T T λλλ---*
+=+=
又T 可逆 0≠T 1
2
12n n
A B λλλλλλ*
+=
=⋅⋅
由12
1
n T AT λλλ-⎛⎫
⎪
*
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
知n
λλλ,,,21 为A 的特征值
由引理7，得 n A λλλ⋅⋅= 21 从而得证 n A B A λλλ⋅⋅==+ 21
3、A 为n 阶方阵，求证C B A +=，B 可对角化，C 为幂零矩阵且CB BC = 证明：由性质3，知
存在幂零矩阵N ，使得N A +可对角化
即存在可逆T ，使得 12
1
()n T A N T D λλλ-⎛⎫
⎪
⎪+=== ⎪ ⎪⎝
⎭
即有)(1N TDT A -+=-
由性质11，知 N 幂零矩阵则N -也幂零矩阵 又1
-TDT
与D 相似，1
-∴TDT
可对角化
令1
-=TDT B N C -=，则有C B A +=
1
-=TDT
B 可对角化 N
C -=为幂零矩阵
又D 为对角阵
CB CTDT CDTT CD DC DC TT C TDT BC =======----11
1
1
得证
4、A ，B ，C 为n 阶方阵，且BA AB C CB BC CA
AC -===，
证明：存在自然数0.,=≤k C t s n k
证明：由于BA AB C CB BC CA
AC -===，
+
∈∀∴Z m A
B C
B C
A A
BC B C A BA C AB C BA AB C C m m m m m m m m )()()()()(1
1
11111--------=-=-=-=
由引理11，得 ))(())((11A BC tr B C A tr m m --=
0))(())(()))()(()(1111=-=-=----A BC tr B C A tr A BC B C A tr C tr m m m m m
由性质2，得 C 为幂零矩阵 由性质9，知 0.,
=≤∃k C t s n k 得证
5、在复数域上，n 阶方阵A 相似于对角阵等价于
对于A 的任一特征值λ，有A E λ- 与2()A E λ-的秩相同。

证明：⇒因为A 对角化，则存在可逆矩阵T ，使得
12
1
n T AT λλλ-⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
从而有
121212
1222()()()
()()n n T A E T T A E T λλλλ
λλλλλλλλλλ---⎛⎫
⎪-
⎪-= ⎪ ⎪-⎝
⎭
⎛⎫-
⎪-
⎪-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭
所以1()T A E T λ--与12()T A E T λ--相同
即A E λ- 与2
()A E λ-的秩相同
⇐由于在复数域上，存在可逆矩阵T 使得
1
2
1
s J J T AT J -⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
其中11
i i i J λλ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
阶数为(1,2,,)i n i
s =
若(1,2,
,)i J i s =不全为对角阵，则不妨令1J 不可对角化，且有1i n >，有
1112101
1
00
()1
10
0n n J E J E ⎛⎫ ⎪
⎪-= ⎪ ⎪⎝
⎭
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
从而知11n J E -的秩大于1
21()n J E -的秩，即有1
()T A E T λ--的秩大于
12()T A E T λ--的秩
也即A E λ- 的秩大于2()A E λ-的秩，这与已知矛盾 所以所有(1,2,
,)i J i s =为对角阵，从而得证A 相似于对角阵
例
n
n x y x y x y x A ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0
00
000000000
求1
-A
解
n
yJ xE y x x y x y x y x A +=⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛+
⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000100000010000010100000100000010000010
00
000000000
其中⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=00000
1000000100
00010
n J 且有0=n
n J
11
222
1
21
11231(1)10(1)()(1)
001
00
n n n n n n n
n n
n
n n n
y y x x x y J J J E A xE yJ x x x x x x x --------⎛⎫-- ⎪
⎪ ⎪- ⎪
=+=-++
+-= ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
例
n
n n n a a a a a a A ⨯-⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=100
100101
12
求1
-A 特别的a 也是1解：1
2212100010010
1--++++=⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=n n n n n n n J a J a aJ E a a a a a a A
其中n
n n J ⨯⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=00000
1000000100
00010
n
n E ⨯⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=10000010000001000001
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-100
0010
000010000
1000001000000100
000101
a a a a E aJ E A n
性质1：当k=2即复数域C 上的n 阶2-幂零矩阵A 的Jordan 标准型为1J Jm ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
，其中01
1
0i i
i
k k
J ⨯⎡⎤⎢
⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦（0,1,2;1,2i k i m ==）
，1
m
i i k n ==∑，且至少存在一个j ，使2j k =即至少存在一个0010j k J ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
性质2：设C 是复数域，而A 是C 上2-幂零矩阵，设A 的秩为r ，则2
n r ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦
，而A 的Jordan
标准型为0
0100010
0⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
，其中对角线上有r 个0010⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦。

性质3：两个2-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相同。

引理1.2：设01
(0,)1
0k k
J k ⨯⎡⎤⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦，则(0,)0,k J k =，而(0,)0,(1)l J k l k ≠≤<。

定理1：复数域C 上的k-幂零矩阵A 的标准型具有形式1
m J J ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
， 其中
011
0i i
i k k
J ⨯⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦（0,1;1,2
i k k i m ==）
，且至少存在一个若当块，使j k k =。

证明：因为A 为幂零矩阵，故A 的特征值全为0，于是A 的特征多项式为n
λ。

设幂零矩阵的A 的初等因子为1,
2
1
(m
k k k m k k λ
λ
λ可能相同，
且1
m
i i k n ==∑），每一个初等因子i k
λ对应一个J 块（0i k k ≤≤），这些J 块构成一个若当形矩阵1
J Jm ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
因为A 为k-幂零矩阵，所以J 中存在01
1
0j
k k k
J ⨯⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦即至少存在一个j ，使
j k k =
推论2：秩不大于3的两个3-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相等。

定理 可逆矩阵A 的逆矩阵与伴随矩阵都可以表示为A 的多项式 证明：设A 特征多项式()111n n n n f
a a a λλλλ--=++
++
利用hamilaon-cayley 定理
则有()1110n n n n f A A a A a A a E --=++
++=
而A 可逆，得()10n
n a A =-≠ 从而()11
211n
1a n n n A A a A a E ----=-
+++
以及()
()n
*
1
1
2111n n n A A A
A
a A a E ----==-++
+
一 、定理: 若A 是幂零矩阵，则A 不可逆.
性质 幂零矩阵的转置矩阵、数乘矩阵、K 次幂、伴随矩阵都是幂零矩阵 性质 幂零矩阵的特征值为零，特征值为零矩阵为幂零矩阵。

性质 幂零矩阵的相似矩阵是幂零矩阵。

《幂零矩阵的性质》 性质 同阶可交换的矩阵的幂零矩阵的乘积是幂零矩阵。

性质 设A 为菲零的幂零矩阵，且r 是A 的幂零矩阵，则E 、A 、…A k 线性无关. 性质 相似于对角矩阵的幂零矩阵是零矩阵。

性质 若A 2=0且 A T =A,则A=0
二、 性质 幂零矩阵与一个与之可交换的矩阵的乘积仍为幂零矩阵。

性质 与幂零矩阵可交换的矩阵仍为幂零矩阵。

《幂零矩阵的性质及其应用》
性质 菲零的幂零矩阵A 不能对角化，对任意的矩阵B ，存在幂零矩阵M 使得可以B+M
对角化
性质 任意的n 节下三角矩阵都相似与一个上三角矩阵。

《幂零矩阵和幂零线性变换》 三、、 性质 m 阶幂零矩阵A 的最小多项式为m
λ 性质
σ是n 维线性空间的幂零线性变换，m 为σ的指数，则对任意的非零向量α，向量
组m-1
σασα、、线性无关 《幂零矩的标准型》。