2018版高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量的数乘学案 苏教版必修4

2.2.3 向量的数乘
学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．
知识点一 向量数乘的定义
思考1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？
思考2 向量3a ，－3a 与a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？
梳理 向量的数乘
实数λ与向量a 的积是一个______，记作________，它的长度与方向规定如下： (1)|λa |＝________；
(2)λa (a ≠0)的方向⎩
⎪⎨
⎪⎧
当 时，与a 方向相同，
当 时，与a 方向相反；
当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.
实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘． 知识点二 向量数乘的运算律
思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？
梳理 向量数乘的运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三 向量共线定理
思考 若b 与非零向量a 共线，是否存在λ满足b ＝λa ？若b 与向量a 共线呢？
梳理 (1)向量共线定理
如果有一个实数λ，使b ＝________(a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝________. (2)向量的线性运算
向量的________、________、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝________________.
类型一 向量数乘的基本运算
例1 (1)化简：1
4[2(2a ＋4b )－4(5a －2b )]．
(2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .
反思与感悟 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．
跟踪训练1 (1)计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a .
(2)若2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －1
3
(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝______.
类型二 向量共线的判定及应用 命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．
(1)若a ＝12e 1－1
3e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线．
(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →
＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线．
反思与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．
(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．
跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →
＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________． 命题角度2 利用向量共线求参数值
例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值．
反思与感悟 利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．
跟踪训练3 已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →
，则x ＋y ＝________.
类型三 用已知向量表示其他向量
例4 在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
＝_____.(用a ，b 表示) 反思与感悟 用已知向量表示未知向量的求解思路：
(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中．
(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量． (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
跟踪训练4 如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.
1．已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c ＝________. 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →
＝________.
3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝________.
4．若2(y －13a )－1
2
(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则向量y ＝________.(用
a ，
b ，
c 表示)
5．如图所示，已知AP →＝43
AB →，用OA →，OB →表示OP →
.
1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量
a
|a |表示与向量a 同向的单位向量．
3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题． 4．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →
(m ，n ∈R )，A ，P ，B 三点共线⇔m ＋n ＝1.
答案精析
问题导学 知识点一 思考1 向量．
思考2 3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相同． －3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相反． 梳理 向量 λa (1)|λ||a | (2)λ>0 λ<0 知识点二
思考 结合律，分配律． 知识点三
思考 若b 与非零向量a 共线，存在λ满足b ＝λa ；若b 与向量a 共线，当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa .
梳理 (1)λa λa (2)加法 减法 数乘 λμ1a ±λμ2b 题型探究
例1 解 14[2(2a ＋4b )－4(5a －2b )]＝1
4(4a ＋8b －20a ＋8b )
＝1
4
(－16a ＋16b )＝－4a ＋4b . (2)解 ⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x －2y ＝a ， ①
－4x ＋3y ＝b ， ②
由①×3＋②×2，得x ＝3a ＋2b ， 代入①得3×(3a ＋2b )－2y ＝a ， 所以x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .
跟踪训练1 解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b . (2)29a －29b ＋1
9
c 解析 因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －1
3
(c ＋b －3y )＋b ＝0，
3y －23a ＋23b －1
3c ＝0，
所以y ＝29a －29b ＋19
c .
例2 解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线． (2)证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →
＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →
. ∴AB →，BD →
共线，且有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． 跟踪训练2 A ，B ，D
例3 解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，
由于e 1与e 2不共线，只能有⎩
⎪⎨
⎪⎧
k －λ＝0，
λk －1＝0，
∴k ＝±1. 跟踪训练3 1 例4 13a ＋2
3
b
跟踪训练4 解 ∵CA →＝3a ，CB →
＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →
＝2b －3a ，
又∵D ，E 为边AB 的两个三等分点， ∴AD →＝13AB →＝2
3
b －a ，
∴CD →＝CA →＋AD →
＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23
b ，
CE →＝CA →＋AE →
＝3a ＋23AB →＝3a ＋23(2b －3a )＝a ＋43b .
当堂训练
1.23e
2.2AM →
3.12
4.421a －17b ＋17c
5.－13OA →＋43
OB →。