专题二 基本初等函数、导数及其应用
高考数学复习第二章基本初等函数导数及其应用第9课时函数与方程文市赛课公开课一等奖省优质课获奖PP
答案：2
27/50
2．(2016·长春一模)函数f(x)＝
1 2
x－sin
x在区间[0,2π]上的零
点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：在同一坐标系内作出函数y＝
1 2
x及y＝sin
x在[0,2π]上
的图像，发现它们有两个交点，即函数f(x)在[0,2π]上有两个零
42/50
据特殊值等作函数g(x)＝|xcos(πx)|的示意图，可以发现有6个 交点．
答案 B
43/50
阅卷点评
解答本题利用了转化与化归、数形结合的思
想，所谓转化与化归思想方法，就是在研究与解决有关数学问题
时采用某种手段将问题通过变换使之转化进而得到解决的一种方
法，一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解
的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变
5/50
3．二分法 (1)每次取区间的 中点 ，将区间一分为二，再经比较，按需 要留下其中一个小区间 的方法称为二分法． (2)将a＋2 b称为区间[a，b]的中点．
6/50
[基础自测]
1．(教材改编题)函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在
一个零点，则a的取值范围是( )
A．－1<a<15
x2，f(x)＝x.
答案：D
10/50
4．函数f(x)＝x－4x的零点个数为________． 解析：法一：由x－4x＝0(x≠0)，得x2－4＝0，∴x＝±2.
∴f(x)＝x－4x有两个零点．
法二：在同一直角坐标系中画出y＝x与y＝
高考数学复习第2章基本初等函数导数及其应用第6讲指数与指数函数理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖P
若将本例(2)变为函数 y＝|3x－1|在(－∞，k] 上单调递减，则 k 的取值范围如何？ 解：由本例(2)作出的函数 y＝|3x－1|的图像知，其在(－∞， 0]上是减少的，所以 k∈(－∞，0]．
24/41
指数函数的图象及应用 (1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函 数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象． (2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指 数型函数图象数形结合求解.
12/41
4 ． (·高 考 江 苏 卷 ) 不 等 式 2x2 － x<4 解 集 为 {_x_|_－__1_<_x_<_2_}_(或__(_－__1_，__2_)_)__．
解析：因为
<4，所以
<22，
所以 x2－x<2，即 x2－x－2<0，所以－1<x<2.
13/41
5．若指数函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实 数a取值范围是_______(_－___2_，__－__1_)_∪__(1_，____2_) __． 解析：由题意知 0<a2－1<1，即 1<a2<2， 得－ 2<a<－1 或 1<a< 2.
A．y＝－1x
B． y＝ x2＋ 2
C． y＝ x3－ 3
D． y＝ log1|x|
e
(义3)域(2和01值5·高域考都山是东[－卷1，)已0知]，函则数af＋(xb)＝＝－a_x_32＋__b_(_a_＞_.0，a≠1)的定
30/41
[解析] (1)把 b 化简为 b＝1243，而函数 y＝12x在 R 上为减 函数，43>23>13，所以1243<1223<1213，即 b<a<c.
2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
表 示 成 x 的 函 数 , 那 么 称 这 个 函 数 为 函 数 y ＝ f(u) 和 u ＝ g(x) 的 __复__合__函__数___,记作y＝f(g(x)).
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u), u＝g(x)的导数间的
关 系 为 yx′ ＝ yu′·ux′, 即 y 对 x 的 导 数 等 于 __y_对__u_的__导__数__ 与 _u_对__x_的__导__数__的乘积.
(2)y′＝sin2x＋π3 ′＝cos2x＋π3 ·2x＋π3 ′
＝2cos2x＋π3 .
栏目
导引
第一章 导数及其应用
【点评】利用复合函数求导法则求复合函数的导数的步骤: (1)分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量; (2)求每一层基本初等函数的导数; (3)每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.
栏目 导引
第一章 导数及其应用
【名师点评】 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤:
(2)求曲线的切线方程时,一定要注意已知点是否为切点.若切点
没有给出,一般是先把切点设出来,然后根据其他条件列方程,求
出切点,再求切线方程.
(2)y′＝(cosx·lnx)′
＝ex·sinxsi－n2exx·cosx
＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′ ＝－sinx·lnx＋coxsx.
＝ex（sinБайду номын сангаасxin－2xcosx）.
栏目 导引
第一章 导数及其应用
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数:
(1)y＝ln(3x＋1);
∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6), 即 y＝13x－32.
(2)设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x20＋1, ∴直线 l 的方程为 y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16,
数学(文)一轮复习：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第讲对数与对数函数
第6讲对数与对数函数,)1．对数概念如果a x＝N(a〉0,a≠1），那么数x叫做以a 为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a（M·N)＝log a M＋log a N a>0，且a≠1, log a错误!＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M（n∈R)M >0,N〉0 2.对数函数的图象与性质a〉10<a<1图象性质定义域：（0，＋∞）值域:R过定点（1，0）当x〉1时，y〉0当0〈x〈1时,y<0当x〉1时，y〈0当0<x<1时，y〉在（0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．1．辨明三个易误点（1）在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1。
（2)对公式要熟记，防止混用．（3）对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0〈a 〈1和a〉1分类讨论，否则易出错．2．对数函数图象的两个基本点（1）当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a〈1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点(a，1），错误!，函数图象只在第一、四象限．3．换底公式及其推论(1）log a b＝错误!(a，c均大于0且不等于1，b〉0）；(2）log a b·log b a＝1，即log a b＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；（3)log am b n＝错误!log a b（a〉0且a≠1，b>0，m≠0,n∈R）；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d（a，b，c均大于0且不等于1,d>0）．1．函数y＝错误!ln(1－x）的定义域为（)A．(0，1) B．D．B 因为y＝错误!ln(1－x）,所以错误!解得0≤x〈1.2.错误!(log29）·（log34)＝（)A．错误!B．错误!C．2 D．4D原式＝错误!·错误!＝4。
选修2-2——基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．问题导航(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？ (2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？ 2．例题导读通过P 15例2学会利用导数的运算法则及导数公式求函数的导数，P 15例3为导数的实际应用问题，P 17例4为复合函数的求导问题，注意复合函数的求导法则．1．导数的四则运算法则(1)条件：f (x )，g (x )是可导的． (2)结论：①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． ②[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)． 2．复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义：①一般形式是y ＝f (g (x ))．②可分解为y ＝f (u )与u ＝g (x )，其中u 称为中间变量．(2)求导法则：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为：y ′x＝y ′u ·u ′x ．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)√ (2)×2．函数y ＝x ln x 的导数为( ) A ．y ′＝ln x ＋1 B ．y ′＝ln x －1 C ．y ′＝ln x D ．y ′＝1 解析：选A.y ′＝x ′ln x ＋x (ln x )′＝ln x ＋1. 3．y ＝sin 2x 的导数是( ) A ．y ′＝2sin x B ．y ′＝2cos x C ．y ′＝sin 2x D ．y ′＝cos 2x解析：选C.y ′＝(sin 2x )′ ＝2sin x cos x ＝sin 2x . 4．求下列函数的导数：(1)若f (x )＝2x ＋3，则f ′(x )＝________；(2)函数f (x )＝2sin x －cos x ，则f ′(x )＝________；(3)函数f (x )＝－2x ＋1，则f ′(x )＝________．答案：(1)2 (2)2cos x ＋sin x (3)2（x ＋1）21．应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算． (2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． (3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数求导的一般方法(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量． (3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．(4)复合函数求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．应用导数的运算法则求导求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.[解] (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5(x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝（x sin x ）′cos x －x sin x （cos x ）′cos 2x＝（sin x ＋x cos x ）cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x.(3)法一：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)·(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)·(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2 ＝3x 2＋12x ＋11；法二：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.(4)法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝（x －1）′（x ＋1）－（x －1）（x ＋1）′（x ＋1）2＝x ＋1－（x －1）（x ＋1）2＝2（x ＋1）2. 法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′（x ＋1）－2（x ＋1）′（x ＋1）2＝2（x ＋1）2.求函数的导数的策略：(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．1．(1)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，512π，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]解析：选D.∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，512π，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈⎣⎡⎦⎤22，1， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈[2，2]，故选D.(2)已知f (x )＝e xx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：∵f ′(x )＝（e x ）′x －e x ·x ′x 2＝e x （x －1）x 2(x ≠0)．∴由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得 e x 0（x 0－1）x 20＋e x 0x 0＝0.解得x 0＝12.答案：12复合函数的导数运算(1)若函数f (x )＝1（1－3x ）4的导数为f ′(x )，则f ′(1)＝________．[解析] 设y ＝u －4，u ＝1－3x ，∴f ′(x )＝y ′u ·u ′x ＝(－4)(1－3x )－5(1－3x )′＝12（1－3x ）5， ∴f ′(1)＝－38.[答案] －38(2)求下列函数的导数：①y ＝1－2x cos x ；②y ＝3log 2(x 2－2x ＋3)．[解] ①由于y ＝1－2x cos x 是两个函数y ＝1－2x 与y ＝cos x 的乘积， y ′＝(1－2x )′cos x －1－2x sin x ＝（－2）21－2x cos x －1－2x sin x ＝－cos x 1－2x－1－2x sin x .②令y ＝3u ，u ＝log 2v ，v ＝x 2－2x ＋3，则y ′u ＝3u ln 3，u ′v ＝1v ln 2，v ′x ＝2x －2，所以y ′x ＝（2x －2）·3log 2（x 2－2x ＋3）·ln 3（x 2－2x ＋3）ln 2＝2log 23·（x －1）3log 2（x 2－2x ＋3）x 2－2x ＋3.(1)求复合函数的导数的步骤：分层—选择中间变量，写出构成它的内、外层函数 ↓分别求导—分别求各层函数对相应变量的导数 ↓相乘—把上述求导的结果相乘 ↓变量回代—把中间变量回代(2)求复合函数的导数的注意点：①内、外层函数通常为基本初等函数．②求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．2．函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( )A ．－2sin 2x ＋cos x2xB ．2sin 2x ＋cos x2xC ．－2sin 2x ＋sin x2xD ．2sin 2x －cos x2x解析：选A.y ′＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′＝－2sin 2x ＋12·1x cos x＝－2sin 2x ＋cos x2x .导数运算的综合应用求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. [解] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由f (0)＝3，得d ＝3，由f ′(0)＝0，得c ＝0， 由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝－3，12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3， ∴f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 把f (x )、f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使方程对任意x 都成立，则需a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1. 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.利用导数的运算法则及复合函数的求导法则求得函数的导数，再结合导数的几何意义、三角函数、不等式等知识点综合考查求函数的解析式，参数的取值范围，不等式的求解与证明等是考查导数运算应用的常规考法，同时也体现了导数的优越性．3．已知两边取对数可以使“积”的形式化为“和”的形式，函数f (x )＝ln y 就变成了复合函数，它是由f ＝ln u 和u ＝y 复合而成的．根据上面的信息，求y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －10)(x >10)的导数．解：两边同时取自然对数，得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －10)． 两边对x 求导，得 1y ·y ′＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －10. ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －10·(x －1)·(x －2)·…·(x －10)．已知抛物线y ＝ax ＋bx －5在点(2，1)处的切线为y ＝－3x ＋7，求b 的值． [解] ∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝－3. 又点(2，1)在曲线上，∴4a ＋2b －5＝1，联立组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b －5＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9. [错因与防范](1)在求解切线问题时，注意切点既在曲线上，又在切线上，因容易找不全条件导致求解困难．(2)已知曲线上某点的切线，有两层意思：一是在该点的导数值等于切线的斜率；二是该点的坐标满足已知曲线的方程．4．若f (x )＝x ＋ln(x －5)，g (x )＝ln(x －1)，解不等式f ′(x )>g ′(x )．解：f ′(x )＝1＋1x －5，g ′(x )＝1x －1.由f ′(x )>g ′(x )，得1＋1x －5>1x －1，即（x －3）2（x －5）（x －1）>0， ∴x >5或x <1.又两函数定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧x －5>0，x －1>0，∴x >5.∴不等式f ′(x )>g ′(x )的解集为(5，＋∞)．1．f (x )＝ln xx的导数是( )A ．f ′(x )＝1＋ln x x 2B ．f ′(x )＝1＋ln xx C ．f ′(x )＝1－ln x x 2D ．f ′(x )＝1＋ln xx 2解析：选C.f ′(x )＝（ln x ）′x －（ln x ）x ′x 2＝1－ln xx 2.2．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：33．函数y ＝sin n x cos nx 的导数为________． 解析：y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x (sin x )′cos nx ＋sin n x (－sin nx )·(nx )′＝n sin n －1x cos x ·cos nx －sin nx sin nx ·n＝n sin n －1x (cos x cos nx －sin x sin nx )＝n sin n －1x cos[(n ＋1)x ]．答案：n sin n －1x cos[(n ＋1)x ][A.基础达标]1．已知f (x )＝x －5＋3sin x ，则f ′(x )等于( )A ．－5x －6－3cos xB ．x －6＋3cos xC ．－5x －6＋3cos xD ．x －6－3cos x解析：选C.利用求导公式和求导法则求解．f ′(x )＝－5x －6＋3cos x ．故选C. 2．函数y ＝x 3cos x 的导数是( ) A ．3x 2cos x ＋x 3sin x B ．3x 2cos x －x 3sin x C ．3x 2cos x D ．－x 3sin x解析：选B.y ′＝(x 3cos x )′＝3x 2cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3sin x .3．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋x B ．－11＋xC.1（1＋x ）2 D ．－1（1＋x ）2解析：选D.令1x ＝t ，则f (t )＝1t1＋1t＝11＋t，∴f (x )＝11＋x ，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫11＋x ′＝－1（1＋x ）2.4．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( )A.12(e x －e －x )B.12(e x ＋e －x ) C ．e x－e －x D ．e x ＋e －x解析：选A.y ′＝⎣⎡⎦⎤12（e x ＋e －x ）′＝12(e x －e －x )． 5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解析：选B.设切点为P (x 0，y 0)， 则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )，又∵切线的斜率为1，∴1x 0＋a＝1，∴x 0＋a ＝1，∴y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2，故选B. 6．f (x )＝ln(x 2＋1)的导数是________．解析：f ′(x )＝1x 2＋1·2x 2x 2＋1＝xx 2＋1. 答案：xx 2＋17．f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________． 解析：∵f ′(x )＝8x ＋4a ， f ′(2)＝20，即16＋4a ＝20. ∴a ＝1. 答案：18．函数y ＝x －cos xx ＋sin x在x ＝2处的导数是________．解析：∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －cos x x ＋sin x ′＝（1＋sin x ）（x ＋sin x ）－（1＋cos x ）（x －cos x ）（x ＋sin x ）2＝（x ＋1）sin x ＋（1－x ）cos x ＋1（x ＋sin x ）2，∴y ′|x ＝2＝3sin 2－cos 2＋1（2＋sin 2）2.答案：3sin 2－cos 2＋1（2＋sin 2）29．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，∴4a ＋b ＝1.②又∵曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9. 10．求下列函数的导数．(1)y ＝a ax cos(ax )＋b bx sin(bx )； (2)y ＝log a (log a x )．解：(1)y ′＝(a ax )′cos(ax )＋a ax [cos(ax )]′＋(b bx )′·sin(bx )＋b bx [sin(bx )]′＝a ax ln a ·(ax )′cos(ax )＋a ax [－sin(ax )](ax )′＋b bx ln b ·(bx )′·sin(bx )＋b bx cos(bx )(bx )′＝a ax ＋1[cos(ax )ln a －sin(ax )]＋b bx ＋1[sin(bx )ln b ＋cos(bx )]．(2)y ′＝1log a x log a e ·(log a x )′＝log a e log a x ·1x ·log a e ＝log 2a e x log a x. [B.能力提升]1．已知A ，B ，C 是直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →＝[f (x )＋2f ′(1)]OB →－ln(x ＋1)OC →，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．ln 2 C.12D ．2 解析：选C.由于A ，B ，C 三点共线，于是有f (x )＋2f ′(1)－ln(x ＋1)＝1，即f (x )＝ln(x ＋1)－2f ′(1)＋1，则f ′(x )＝1x ＋1，于是f ′(1)＝12.2.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过原点，它的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则( )A ．－b2a >0，4ac －b 24a>0B ．－b2a <0，4ac －b 24a>0C ．－b2a >0，4ac －b 24a<0D ．－b2a <0，4ac －b 24a<0解析：选A.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过原点，则c ＝0，于是f (x )＝ax 2＋bx ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，结合f ′(x )的图象可知，a <0，b >0.所以－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a>0，故选A.3．(2015·高考陕西卷)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)4．若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知该函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ＋1x，∵存在垂直于y 轴的切线，∴此时斜率为0，问题转化为x >0范围内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点．法一：(图象法)再将之转化为g (x )＝－2ax 与h (x )＝1x存在交点．当a ＝0时不符合题意；当a >0时，如图①所示，数形结合可得显然没有交点；当a <0时，如图②所示，此时正好有一个交点，故有a <0，应填(－∞，0)．图① 图②法二：(分离变量法)上述也可等价于方程2ax ＋1x ＝0在(0，＋∞)内有解，显然可得a ＝－12x 2∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)5．(2015·郑州高二检测)已知函数f (x )＝axx 2＋b，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象相切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)对函数f (x )求导，得f ′(x )＝a （x 2＋b ）－ax （2x ）（x 2＋b ）2＝ab －ax 2（x 2＋b ）2.因为f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f （1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ab －a ＝0，1＋b ≠0，a1＋b＝2，所以a ＝4，b ＝1，所以f (x )＝4xx 2＋1.(2)因为f ′(x )＝4－4x 2（x 2＋1）2，所以直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4－4x 20（x 20＋1）2＝4⎣⎡⎦⎤2（x 20＋1）2－1x 20＋1，令t ＝1x 20＋1，t ∈(0，1]，则k ＝4(2t 2－t )＝8⎝⎛⎭⎫t －142－12，所以k ∈⎣⎡⎦⎤－12，4. 6．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝4，若函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a n )．求f ′(0)． 解：f ′(x )＝x ′[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]′ ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]′∴f ′(0)＝(－a 1)(－a 2)·…·(－a n )＝(－1)na 1a 2·…·a n 由题意知a 1＝2，a 2＝4，∴a n ＝2n .∴f ′(0)＝(－1)n ·21＋2＋3＋…＋n＝(－1)n·2n （1＋n ）2.。
高考数学(文)一轮复习文档：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第11讲导数与函数的单调性 Word版含答案
第11讲导数与函数的单调性,)函数的单调性在(a，b)内函数f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．辨明导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0(或<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件．注意：由函数f(x)在区间内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少．1.教材习题改编函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：①f′(x)>0时，－1<x<2；②f′(x)<0时，x<－1或x>2；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.则函数f(x)的大致图象是( )C 根据信息知，函数f(x)在(－1，2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选C.2.教材习题改编函数f(x)＝x3－3x＋1的单调增区间是( )A．(－1，1) B．(－∞，1)C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)D f′(x)＝3x2－3.由f′(x)>0得，x<－1或x>1.故单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故选D.3.教材习题改编函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( )A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数D 因为f ′(x )＝－sin x －1<0. 所以f (x )在(0，π)上是减函数，故选D.4.教材习题改编函数f (x )＝sin x ＋kx 在(0，π)上是增函数，则实数k 的取值范围为________．因为f ′(x )＝cos x ＋k ≥0， 所以k ≥－cos x ，x ∈(0，π)恒成立． 当x ∈(0，π)时，－1<－cos x <1， 所以k ≥1.k ≥15.教材习题改编函数f (x )＝x 2－ax －3在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．f ′(x )＝2x －a ，因为f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以2x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立． 即a ≤2x ，所以a ≤2.a ≤2利用导数判断或证明函数的单调性已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x .讨论f (x )的单调性． 【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x－2ax ＋(2－a )＝－（2x ＋1）（ax －1）x.①若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝1a，且当x ∈(0，1a)时，f ′(x )>0，当x >1a时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0，1a )上单调递增，在(1a，＋∞)上单调递减．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：(a ＋a 2－82，＋∞)上单调递增．求函数的单调区间求函数f (x )＝ln x －12x 2＋x －12的单调区间．【解】 因为f (x )＝ln x －12x 2＋x －12，且定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x －x ＋1＝－（x －1－52）（x －1＋52）x.令f ′(x )＝0，所以x 1＝1＋52，x 2＝1－52(舍去)．当x ∈(0，1＋52)时，f ′(x )>0；当x ∈(1＋52，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1＋52)，单调递减区间为(1＋52，＋∞)．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，讨论g (x )的单调区间． (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x. 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数； 当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )的单调递减区间为(－∞，－4)，(－1，0)，单调递增区间为(－4，－1)，(0，＋∞)．函数单调性的应用(高频考点)利用导数根据函数的单调性(区间)求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考向，常以解答题的形式出现．高考对函数单调性的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知函数单调性求参数的取值范围； (2)比较大小或解不等式．(1)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ． 因为函数f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x，函数在区间(1，＋∞)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k －1x≤0在区间(1，＋∞)上恒成立，故k ≤1x在区间(1，＋∞)上恒成立，因为在区间(1，＋∞)上0＜1x＜1，故k ≤0.(1)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间上单调递增(减)可知f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间上恒成立列出不等式．②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题．③对等号单独检验，检验参数的取值能否使f ′(x )在整个区间恒等于0，若f ′(x )恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f ′(x )＝0，则参数可取这个值．(2)利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．(1)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(2)注意函数的单调区间与函数在某区间上具有单调性是不同的．角度一 已知函数单调性求参数的取值范围1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x －1，x ≤1log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2，3]． (2，3]角度二 比较大小或解不等式2．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8，9]C ．D ．(0，8)B 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f ≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x （x －8）≤9，解得8＜x ≤9., )——分类讨论思想研究函数的单调性已知函数f (x )＝(ax 2－x ＋a )e x，试讨论函数f (x )的单调性． 【解】 f ′(x )＝(x ＋1)(ax ＋a －1)e x.当a ＝0时，f ′(x )在(－∞，－1)上时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，－1)上单调递增；f ′(x )在(－1，＋∞)上时，f ′(x )<0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当a >0时，因为－1＋1a >－1，所以f (x )在(－∞，－1)和(－1＋1a，＋∞)上单调递增，在(－1，－1＋1a)上单调递减；当a <0时，因为－1＋1a <－1，所以f (x )在(－∞，－1＋1a)和(－1，＋∞)上单调递减，在(－1＋1a，－1)上单调递增．(1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．(2)本题求解中分a >0，a ＝0，a <0三种情况讨论．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2－(1＋a )x .求函数f (x )的单调区间．f ′(x )＝a x ＋x －(1＋a )＝x 2－（1＋a ）x ＋a x ＝（x －1）（x －a ）x.当a ≤0时，若0<x <1，则f ′(x )<0，若x >1，则f ′(x )>0，故此时函数f (x )的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)；当0<a <1时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当a ＝1时，f ′(x )＝（x －1）2x≥0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)；当a >1时，同0<a <1时的解法，可得函数f (x )的单调递增区间是(0，1)，(a ，＋∞)，单调递减区间是(1，a )．, )1．函数f (x )＝e x－e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)D 由题意知，f ′(x )＝e x－e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D.2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．3．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，518]B ．(－∞，3]C ．[518，＋∞)D ． f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间上单调递减，则有f ′(x )≤0在上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在上恒成立，则t ≥32(x ＋1x )在上恒成立，因为y ＝32(x ＋1x )在上单调递增，所以t ≥32(4＋14)＝518，故选C.4．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的大小关系为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1) A 因为f (x )＝x ·sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )．所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以此时函数是增函数．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，故选A. 5．(2017·郑州第一次质量预测) 已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜1的解集是( )A ．(－3，0)B ．(－3，5)C ．(0，5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)B 依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3，5)．6．已知f (x )＝ax 3，g (x )＝9x 2＋3x －1，当x ∈时，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围为( )A ．a ≥11B ．a ≤11C ．a ≥418D ．a ≤418A f (x )≥g (x )恒成立，即ax 3≥9x 2＋3x －1.因为x ∈，所以a ≥9x ＋3x 2－1x 3.令1x＝t ，则当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，a ≥9t ＋3t 2－t 3.令h (t )＝9t ＋3t 2－t 3，h ′(t )＝9＋6t －3t 2＝－3(t －1)2＋12.所以h ′(t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是增函数．所以h ′(t )min ＝h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－34＋12＞0. 所以h (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是增函数．所以a ≥h (1)＝11，故选A.7．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．对于函数y ＝12x 2－ln x ，易得其定义域为{x |x >0}，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ，令x 2－1x<0，又x >0，所以x 2－1<0，解得0<x <1，即函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0，1)．(0，1)8．若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在上单调递减，则实数a 的值为________．因为f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，所以f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在上单调递减， 所以－1，4是f ′(x )＝0的两根， 所以a ＝(－1)×4＝－4. －49．(2017·石家庄二中开学考试)已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________．由题可得函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2xln 2，所以在定义域内f ′(x )>0，函数单调递增，所以由f (x 2＋2)<f (3x )得x 2＋2<3x ，所以1<x <2.(1，2)10．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．(－3，0)∪(0，＋∞)11．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0. (2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )．①当a ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0恒成立，即函数f (x )在(－∞，＋∞)内为单调增函数． ②当a >0时，由f ′(x )>0得，x >a 或x <0；由f ′(x )<0得0<x <a .即函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． ③当a <0时，由f ′(x )>0得，x >0或x <a ；由f ′(x )<0得，a <x <0.即函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，(0，＋∞)，单调递减区间为(a ，0)．12．(2017·河北省衡水中学模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x e x，a ∈R . (1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ＝－1时，求证：f (x )在(0，＋∞)上为增函数．函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝x 3＋x 2＋ax －a x 2e x . (1)当a ＝0时，f (x )＝x ·e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x，所以f (1)＝e ，f ′(1)＝2e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －e ＝2e(x －1)，即2e x －y －e ＝0. (2)证明：当a ＝－1时，f ′(x )＝x 3＋x 2－x ＋1x 2e x (x >0)． 设g (x )＝x 3＋x 2－x ＋1，则g ′(x )＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)．令g ′(x )＝(3x －1)(x ＋1)>0，得x >13. 令g ′(x )＝(3x －1)(x ＋1)<0，得0<x <13. 所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞上是增函数， 所以函数g (x )在x ＝13处取得最小值， 且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2227>0. 所以g (x )在(0，＋∞)上恒大于零．于是，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝x 3＋x 2－x ＋1x 2e x >0恒成立．所以当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数．13．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由． (1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)>0，即(－x2＋2)e x>0，因为e x>0，所以－x2＋2>0，解得－2<x<2，所以函数f(x)的单调递增区间是(－2，2)．(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对任意x∈R都成立．即e x≤0对任意x∈R都成立．因为e x>0，所以x2－(a－2)x－a≥0对任意x∈R都成立．所以Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故函数f(x)不可能在R上单调递减．若函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0对任意x∈R都成立，即e x≥0对任意x∈R都成立．因为e x>0，所以x2－(a－2)x－a≤0对任意x∈R都成立．而Δ＝(a－2)2＋4a＝a2＋4>0，故函数f(x)不可能在R上单调递增．综上可知函数f(x)不是R上的单调函数．。
数学(理)一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 第讲 函数的图象
第7讲函数的图象1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换（2)对称变换①y＝f（x)错误!y＝－f(x)；关于y轴对称y＝f(－x）；②y＝f（x）――→③y＝f（x)错误!y＝－f（－x)；④y＝a x(a＞0且a≠1）错误!y＝log a x（x＞0）．（3）翻折变换①y＝f(x)错误!y＝｜f(x)｜．②y＝f(x）错误!y＝f（｜x｜）．（4)伸缩变换①y＝f（x）错误!→y＝f（ax)．②y＝f(x）错误!→y＝af（x）．1．辨明三个易误点(1)图象左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身,利用“左加右减"进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．(2）图象上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y 本身,利用“上加下减”进行操作．但平时我们是对y＝f（x）中的f （x）进行操作，满足“上加下减”．(3)要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别．2．会用两种数学思想(1)数形结合思想借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质;利用函数的图象，还可以判断方程f（x）＝g(x)的解的个数、求不等式的解集等．(2）分类讨论思想画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论,分别画出其图象．1．函数y＝｜x－1|，则图象关于________对称( )A．（1，0）B．（－1，0）C．直线x＝1 D．直线x＝－1C y＝|x－1｜＝错误!其图象如图所示．故选C。
2．已知函数f(x)＝错误!则f(x)的图象为( ）A 由题意知函数f(x)在R上是增函数,当x＝1时，f（x)＝1，当x＝0时,f（x）＝0，故选A。
高考总复习二轮数学精品课件 专题1 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数的应用
3.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与
函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③
数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
对点练2
9 0.1
(1)(2023·广东湛江一模)已知 a=(11) ,b=log910,c=lg
A.b>c>a
B.c>b>a
C.b>a>c
D.c>a>b
11,则( A )
解析 根据指数函数和对数函数的性质,
可得
9 0.1
9 0
a=(11) < 11 =1,b=log910>log99=1,c=lg
1 1
B. - 2 , 2
1
C. 0, 2
1
1
D. - 2 ,0 ∪ 0, 2
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).
(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,
logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.
1
温馨提示对数的倒数法则:logab= log
(a,b>0,且a,b≠1).
11>lg 10=1,
又由 2=lg 100>lg 99=lg 9+lg 11>2 lg9 × lg11,所以 1>lg
高考数学复习第二章基本初等函数导数及其应用第5课时指数与指数函数理市赛课公开课一等奖省优质课获奖
39/41
◆一个关系 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以 相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
40/41
◆两个防范 (1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像和性质与a的取值有关， 要特别注意区分a>1与0<a<1来研究． (2)对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指数方 程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范 围．
为偶数时，n an＝|a|＝ －a a<0 .⑤负数没有偶次方根．
5/41
2．有理数指数幂
6/41
(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s (a>0，r、s∈Q)；②(ar)s＝ars (a>0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
7/41
3．指数函数的图像与性质
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式
1 a
x＋
1 b
x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实
数m的取值范围．
解析：(1)因为f(x)的图像过A(1,6)，B(3,24)，则
b·a＝6， b·a3＝24.
所
以a2＝4，又a>0，所以a＝2，则b＝3.所以f(x)＝3·2x.
33/41
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则x∈(－∞，1]时，
主干回顾 夯基固源 考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
1/41
第 5 课时 指数与指数函数
2/41
1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂 的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数 函数图像通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
高考数学一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 第2讲 函数的定义域与值域课件 文
须mΔ>＝0，（4m）2－4×m×3<0，
12/13/2021
第三十三页，共四十一页。
或mΔ<＝0，（4m）2－4×m×3<0，
即m>0，
12/13/2021
第三十一页，共四十一页。
已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数 值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的 值或取值范围．
12/13/2021
第三十二页，共四十一页。
若函数 y＝mx2m＋x4－m1x＋3的定义域为 R，则
实数 m 的取值范围是___0_，__34__．
【解析】 (1)要使函数 y＝ 3－2x－x2有意义， 则 3－2x－x2≥0， 解得－3≤x≤1， 则函数 y＝ 3－2x－x2的定义域是[－3，1]． (2)要使函数 g(x)＝（f（x－2x1））0有意义，则必须有1x≤－21x≠≤02，，
所以12≤x<1，故函数 g(x)的定义域为12，1.
0≤x＋12≤2， 0≤x－12≤2，
解得12≤x≤32，
所以函数 g(x)的定义域是12，32.
12/13/2021
第二十二页，共四十一页。
求函数的值域(高频考点) 求下列函数的值域． (1)y＝x2＋2x(x∈[0，3])； (2)y＝11－＋xx22； (3)y＝x＋4x(x<0)； (4)f(x)＝x－ 1－2x.
或m<0，
解得
m（4m－3）<0 m（4m－3）<0.
所以 1≤f(x)≤10.
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则及应用
基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则及应用1.常见基本初等函数的导数公式和导数的四则运算'0C =（C 为常数）；1()',*;n n x nx n Q -=∈ (sin )'cos ;x x = (cos )'sin ;x x =- ()';x x e e = ()'ln (0,1);x x a a a a a =>≠ 1(ln )';x x= 1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠. 法则1：[()()]''()'();u x v x u x v x ±=±法则2：[()()]'()()()'();u x v x u x v x u x v x =+法则3：2()'()()()'()'(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦. 2.导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 ))(()(00/0x x x f x f y -=-.3.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导.4.可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.单调性及其应用1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求f '（x ）（2）确定f '（x ）在（a ，b ）内符号.（3）若f '（x ）>0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是增函数； 若f '（x ）<0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是减函数.2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.（1）求f '（x ）.（2）f '（x ）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f '（x ）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.函数的极值、最值及应用3.极大值与极小值统称为极值（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4.判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值5.求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )(2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.。
高考数学一轮复习 第2章 基本初等函数、导数及其应用 第6讲 指数与指数函数知能训练轻松闯关 理 北师大版
第6讲 指数与指数函数1．(2016·哈尔滨模拟)函数f (x )＝e 2x＋1ex 的图像( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选D.f (x )＝e 2x＋1e x ＝e x ＋1e x ，因为f (－x )＝e －x ＋1e －x ＝e x＋1ex ＝f (x )，所以f (x )是偶函数，所以函数f (x )的图像关于y 轴对称．2．(2015·高考山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．b <c <a解析：选C.因为指数函数y ＝0.6x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.60.6>0.61.5，即a >b ，又0<0.60.6<1，1.50.6>1，所以a <c ，故选C.3．化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2b D.1a解析：选D.原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.4．(2016·北京丰台区一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图像如图所示，那么g (x )＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12－xB ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x解析：选D.由题图知f (1)＝12，所以a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x.5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B.由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.6．(2016·丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2，1) B ．(－4，3) C ．(－1，2) D ．(－3，4)解析：选C.原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在 (－∞，－1]上是减函数， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x恒成立， 等价于m 2－m <2， 解得－1<m <2.7．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________．解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2. 答案：28．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x，若实数m 、n 满足f (m )＞f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析：因为a 2－2a －3＝0， 所以a ＝3或a ＝－1(舍去)．故函数f (x )＝a x在R 上递增，由f (m )＞f (n )，得m ＞n . 答案：m ＞n9．(2016·太原质检)已知函数f (x )＝x －1x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若存在x 1∈[1，3]，对任意的x 2∈[－1，1]，都有f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析：对于f (x )＝x －1x 2＝1x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2，x ∈[1，3]，令1x ＝t ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1.G (t )＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，故G (t )有最大值14，即f (x )max ＝14.而g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m 在[－1，1]上递减，所以g (x )max ＝g (－1)＝2－m .题目中“存在x 1∈[1，3]，对于任意的x 2∈[－1，1]都有f (x 1)≥g (x 2)”等价于f (x )max ≥g (x )max ，即14≥2－m ，故m ≥74.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 10．(2016·济宁月考)已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x 递减，所以f (x )递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x递增，所以f (x )递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x递增，所以f (x )递增．又由题意知f (x )递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)． 答案：(0，1)∪(2，＋∞)11．求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2；(2)y ＝ 32x －1－19.解：(1)显然定义域为R .因为2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数． 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12. 故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，因为y ＝3x为增函数，所以2x －1≥－2，即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， 由上可知32x －1－19≥0，所以y ≥0.即函数的值域为[0，＋∞)．12．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )． (1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件． 解：(1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |， 解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 所以－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2.1．(2015·高考山东卷)若函数f (x )＝2x＋12x －a是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)解析：选C.因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a.化简可得a ＝1，则2x ＋12x －1＞3，即2x ＋12x －1－3＞0，即2x ＋1－3（2x －1）2x －1＞0，故不等式可化为2x－22x－1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C.2．(2016·北京朝阳区一模)记x 2－x 1为区间[x 1，x 2]的长度．已知函数y ＝2|x |，x ∈[－2，a ](a ≥0)，其值域为[m ，n ]，则区间[m ，n ]的长度的最小值是________． 解析：由题可知，函数y ＝2|x |，x ∈[－2，a ](a ≥0)，由图像可知，m ＝1，当0≤a ≤2时，函数的最大值为f (－2)＝f (2)＝4，函数的值域为[1，4]．当a >2时，函数的值域为[1，f (a )]．因为f (a )>f (2)＝4，所以区间[m ，n ]的长度的最小值为4－1＝3. 答案：33．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上递增，在(－2，＋∞)上递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上递减， 所以f (x )在(－∞，－2)上递减，在(－2，＋∞)上递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 4．设f (x )＝－2x＋a2x ＋1＋b(a >0，b >0)．(1)当a ＝b ＝1时，证明：f (x )不是奇函数； (2)设f (x )是奇函数，求a 与b 的值； (3)求(2)中函数f (x )的值域．解：(1)证明：当a ＝b ＝1时，f (x )＝－2x＋12x ＋1＋1，f (1)＝－2＋122＋1＝－15，f (－1)＝－12＋11＋1＝14，所以f (－1)≠－f (1)，故f (x )不是奇函数． (2)当f (x )是奇函数时，有f (－x )＝－f (x )，即－2－x ＋a 2－x ＋1＋b ＝－－2x ＋a 2x ＋1＋b对任意实数x 成立．化简整理得(2a －b )·22x ＋(2ab －4)·2x＋(2a －b )＝0， 这是关于x 的恒等式，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2ab －4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(3)由(2)得f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.因为2x >0，所以2x＋1>1，0<12x ＋1<1，从而－12<f (x )<12，所以函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12.。
【课堂新坐标】2015届高考数学(文、理)新一轮专题复习：专题二 基本初等函数、导数及其应用
专题二 基本初等函数、导数及其应用1. 某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )A ．5B ．7C ．9D ．112.已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a3.函数y ＝cos 6x2x －2－x的图象大致为( )4.已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)＞0；②f (0)f (1)＜0；③f (0)f (3)＞0；④f (0)f (3)＜0.其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④5.设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π] 时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π) 且x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．86.如右图，|OA |＝2(单位：m)，|OB |＝1(单位：m)，OA 与OB 的夹角为π6，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧与线段OA 延长线交于点C .甲、乙两质点同时从点O 出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB 行至点B ，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧行至点C 后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA 行至点A 后停止．设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S (t )(S (0)＝0)，则函数y ＝S (t )的图像大致是( )7.已知定义在区间[0，2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )8.设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．9.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．10.已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0，0)、B ⎝⎛⎭⎫12，1、C (1，0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为__________．11.设0＜a ＜1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B . (1)求集合D (用区间表示)；(2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点．12.设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a ＞0)．(Ⅰ)求f (x )的最小值；(Ⅱ)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．13.设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：(Ⅰ)当x >1时，f (x )<32(x －1)；(Ⅱ)当1<x <3时，f (x )<9（x －1）x ＋5.14.已知f (x )＝lg(x ＋1)．(1)若0<f (1－2x )－f (x )<1，求x 的取值范围； (2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1，2])的反函数．专题二 基本初等函数、导数及其应用1.C 前m 年的年平均产量最高，而Sm m最大，由图可知，前9年(含第9年)直线递增，当m ＞9(m ∈N ＋)时，总产量S n 递增放慢，故m ＝9.2.A ∵b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，且b >1， 又c ＝2log 52＝log 54<1， ∴c <b <a .3.D y ＝cos6x 2x －2－x 为奇函数，排除A 项．y ＝cos6x 有无穷多个零点，排除C 项．当x →0＋时，2x－2－x ＞0，cos6x →1，∴y ＞0，故选D.4.C ∵f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，∴f (x )在(－∞，1)，(3＋∞)上单调递增， f (x ) 在(1，3)上单调递减． 又f (a )＝f (b )＝f (c )＝0， ∴f (x )的草图如下．由图象可知f (1)>0，f (3)<0且a <1<b <3<c ， 即⎩⎪⎨⎪⎧4－abc >0abc >0， 故0<abc <4. ∴a >0.即0<a <1<b <3<c . ∴f (0)·f (1)<0，f (0)·f (3)>0. 故选C.5.B 由已知可得f (x )的图象(如图)， 由图可得零点个数为4.6.A 当0<t <1时，S (t )＝12×t ×2t ×sin π6＝12t 2；当t ≥1时，S (t )＝S △OAB ＋S 扇形 ＝12×1×2×12＋12·3(t －1)·AB ＝12－3·AB 2＋32AB ·t . 而AB 2＝1＋4－2×2×cos π6＝5－2 3.∴32AB >1，即直线的倾斜角大于45°.∴选A.7.B 由f (x )――→关于y 轴对称f (－x )――→右移2个单位f [－(x －2)]――→沿x 轴翻折－f (2－x )． 8.2 f (x )＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (x )为奇函数，对于一个奇函数，其最大值与最小值之和为0，即g (x )max ＋g (x )min ＝0，而f (x )max ＝1＋g (x )max ，f (x )min ＝1＋g (x )min ，∴f (x )max ＋f (x )min ＝M ＋m ＝2.9.－10 ∵f (32)＝f (－12)，∴f (12)＝f (－12)，∴12b ＋232＝－12a ＋1，易求得3a ＋2b ＝－2， 又f (1)＝f (－1)，∴－a ＋1＝b ＋22，即2a ＋b ＝0， ∴a ＝2，b ＝－4， ∴a ＋3b ＝－10. 10.14由题意易得 f (x )＝⎩⎨⎧2x （0≤x ≤12）－2x ＋2（12<x ≤1），∴y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧2x 2（0≤x ≤12）－2x 2＋2x （12<x ≤1），∴所围成的图形的面积为S ＝∫1202x 2d x ＋∫112(－2x 2＋2x ) d x＝23x 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋（－23x 3＋x 2）112＝23×(12)3＋(－23)×1＋1＋23×(12)3－(12)2 ＝112－23＋1＋112－14 ＝14. 11.解：令g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ， Δ＝9(1＋a )2－48a ＝9a 2－30a ＋9 ＝3(3a －1)(a －3)．(1)①当0＜a ≤13时，Δ≥0.方程g (x )＝0的两个根分别为x 1＝3a ＋3－9a 2－30a ＋94，x 2＝3a ＋3＋9a 2－30a ＋94.所以g (x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞.因为x 1，x 2＞0，所以D ＝A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞.②当13＜a ＜1时，Δ＜0，则g (x )＞0恒成立，所以D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)．综上所述，当0＜a ≤13时，D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；当13＜a ＜1时，D ＝(0，＋∞)． (2)f ′(x )＝6x 2－6(1＋a )x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝1.①当0＜a ≤13时，由(1)知D ＝(0，x 1)∪ (x 2，＋∞)．因为g (a )＝2a 2－3(1＋a )a ＋6a ＝a (3－a )＞0， g (1)＝2－3(1＋a )＋6a ＝3a －1≤0， 所以0＜a ＜x 1＜1≤x 2，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x (0，a ) a (a ，x 1) (x 2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － ＋f (x ) ↗ 极大值 ↘ ↗所以f (x )的极大值点为x ＝a ，没有极小值点．②当13＜a ＜1时，由(1)知D ＝(0，＋∞)，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x (0，a ) a (a ，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f (x )的极大值点为x ＝a ，极小值点为x ＝1.综上所述，当0＜a ≤13时，f (x )有一个极大值点x ＝a ，没有极小值点；当13＜a ＜1时，f (x )有一个极大值点x ＝a ，一个极小值点x ＝1. 12.解：(Ⅰ)法一：由题设和均值不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中等号成立当且仅当ax ＝1，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .法二：f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a 时，f ′(x )＞0，f (x )在(1a ，＋∞)上递增；当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，1a )上递减．所以当x ＝1a 时，f (x )取最小值为2＋b .(Ⅱ)f ′(x )＝a －1ax2，由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)，将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.13.证明：(Ⅰ)法一：记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0.又g (1)＝0，有g (x )<0，即f (x )<32(x －1)．法二：由均值不等式，当x >1时，2x <x ＋1，故x <x 2＋12.① 令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1x－1<0，故k (x )<0， 即ln x <x －1.②由①②得，当x >1时，f (x )<32(x －1)．(Ⅱ)法一：记h (x )＝f (x )－9（x －1）x ＋5，由(Ⅰ)得h ′(x )＝1x ＋12x －54（x ＋5）2＝2＋x 2x －54（x ＋5）2<x ＋54x －54（x ＋5）2＝（x ＋5）3－216x 4x （x ＋5）2.令g (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1<x <3时， g ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0.因此g (x )在(1，3)内是递减函数．又由g (1)＝0，得g (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(1，3)内是递减函数， 又h (1)＝0，得h (x )<0.于是当1<x <3时，f (x )<9（x －1）x ＋5.法二：记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)， 则当1<x <3时，由(Ⅰ)得 h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9<32(x －1)＋(x ＋5)⎝⎛⎭⎫1x ＋12x －9 ＝12x [3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ] <12x ⎣⎡⎦⎤3x （x －1）＋（x ＋5）⎝⎛⎭⎫2＋x 2＋12－18x ＝14x(7x 2－32x ＋25)<0. 因此h (x )在(1，3)内单调递减， 又h (1)＝0，所以h (x )<0，即f (x )<9（x －1）x ＋5.14.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0x ＋1>0，得－1<x <1.由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2xx ＋1<1得1<2－2x x ＋1<10.因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10， －23<x <13. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1－23<x <13，得－23<x <13. (2)当x ∈[1，2]时，2－x ∈[0，1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )． 由单调性可得y ∈[0，lg 2]．因为x ＝3－10y ，所以所求反函数是y ＝3－10x ，x ∈[0，lg 2]．。
[高二数学]数学选修2-2-导数及其应用
![[高二数学]数学选修2-2-导数及其应用](https://img.taocdn.com/s3/m/1897ed932e3f5727a4e96284.png)
三、函数的单调性与导数 1.导数与函数单调性 函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导，如果f′(x)＞0，则 y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，则y=f(x)在 这个区间内单调递减.
2.讨论函数单调性应注意的问题 (1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的 定义域，解决问题的过程只能在定义域内通过讨论导数的符号 来判断函数的单调区间. (2)一般利用使导数等于零的点来分函数的单调区间. (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么 这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“，”或“和” 字隔开.
二、导数的计算
1.基本初等函数的导数公式
(1)(c)′=0，(c为常数).
(2)(xα)′=αxα-1(α∈Q*).
(3)(sinx)′=cosx.
(4)(cosx)′=-sinx.
(5)(ax)′=axlna(a>0且a≠1).
(6)(ex)′=ex.
(7)(logax)′=
1 x ln a
(a>0且a≠1).
(4)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在 该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件 (例如，f(x)=x3). (5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为常数函数. (6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义 在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思 想. (7)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有 f′(x)＞0，则f(x)在该区间上仍为增函数.
七、微积分基本定理
定理内容
符号表示
作用
如果f(x)是区间［a,b］上 的连续函数，并且 F′(x)=f(x)，那么
数学(理)一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 第讲 二次函数与幂函数
第4讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R）的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2,y＝x3,y＝x错误!，y＝x－1.（2)性质①幂函数在（0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点（1，1）和(0，0),且在(0,＋∞）上单调递增；③当α〈0时，幂函数的图象都过点(1，1），且在（0，＋∞）上单调递减．2．二次函数(1）二次函数解析式的三种形式①一般式:f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）．②顶点式:f（x）＝a(x－m）2＋n（a≠0)．③零点式:f（x)＝a（x－x1）(x－x2）（a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f（x）＝ax2＋bx＋c(a〉f（x)＝ax2＋bx＋0)c(a<0）图象定义域(－∞，＋∞）（－∞，＋∞）值域错误!错误!单调性在错误!上单调递减；在错误!上单调递增在错误!上单调递增；在错误!上单调递减对称性函数的图象关于x＝－错误!对称1．辨明两个易误点（1）对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数,就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．(2）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．会用两种数学思想（1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,讨论二次方程根的大小等．1.错误!幂函数y＝f(x）经过点(2，错误!），则f(9）为( )A．81 B．错误!C。
错误!D．3D 设f（x）＝xα，由题意得错误!＝2α，所以α＝错误!。
基本初等函数的导数和求导法则的应用
一、导数一般地，如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导。
此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)。
于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数，记作f′(x)，即f′(x)=y′=y′x=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx导函数通常简称为导数。
除了特别声明指的是求某一点的导数之外，“求导数”均指的是“求导函数”。
二、常用函数的导数公式表(x是变量)1.常数函数：C′=0，C为常数;2.幂函数：(xα)′=αxα−1;3.指数函数：(a x)′=a x ln a，特别地，(e x)′=e x;4.对数函数：(log a x)′=1x ln a ，特别地，(ln x)′=1x;5.三角函数：(sin x)′=cos x，(cos x)′=−sin x.三、求导法则及其应用1.函数和与差的求导法则一般地，如果f(x),g(x)都可导，则[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)即两个函数之和的导数，等于这两个函数的导数之和。
一般地，如果f(x),g(x)都可导，则[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)即两个函数之差的导数，等于这两个函数的导数之差。
2.函数积的求导法则一般地，如果f(x),g(x)都可导，则[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)即两个函数之积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第二个函数乘以第一个函数的导数。
特别地，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数。
3.函数商的求导法则一般地，如果f(x),g(x)都可导，且g(x)≠0，g′(x)≠0，则[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)特别地，当f(x)=1时，因为1′=0，所以[1g(x)]′=−g′(x)g2(x)4.简单复合函数的求导法则复合函数：一般地，已知函数y=f(u),u=g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值，如果此时还能确定y的值，则y可以看成是x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y=ℎ(x)=f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题二 基本初等函数、导数及其应用1.(2012·高考课标全国卷)已知函数f (x )＝1ln （x ＋1）－x，则y ＝f (x )的图像大致为2.(2012·高考北京卷)某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为A ．5B ．7C ．9D ．11 3.(2012·高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x ＜3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2012)＝A ．335B ．338C ．1678D ．20124.(2012·高考山东卷)函数y ＝cos6x2x －2－x 的图象大致为5.(2012·高考福建卷)设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是A ．D (x )的值域为{0，1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数6.(2012·高考福建卷)函数f (x )在[a ，b ]上有定义，若对任意x 1，x 2∈[a ，b ]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )在[a ，b ]上具有性质P .设f (x )在[1，3]上具有性质P ，现给出如下命题： ①f (x )在[1，3]上的图像是连续不断的； ②f (x 2)在[1，3]上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈[1，3]； ④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1，3]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋ f (x 3)＋f (x 4)]．其中真命题的序号是 A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 7.(2012·高考安徽卷)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是 A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x8.(2012·高考湖南卷)已知两条直线l 1 ：y ＝m 和l 2 : y ＝82m ＋1(m ＞0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2 与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，ba的最小值为A ．16 2B ．8 2C ．834D ．434 9.(2012·高考辽宁卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点个数为A ．5B ．6C ．7D ．810.(2012·高考大纲全国卷)已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12-，则A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x 11.(2012·高考重庆卷)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 12.(2012·高考江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝ f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．13.(2012·高考湖南卷)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．(1)若φ＝π6，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，332，则ω＝__________；(2)若在曲线段与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为__________．14.(2012·高考上海卷)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝__________．15.(2012·高考课标全国卷)已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2.(Ⅰ) 求f (x )的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若f (x )≥12x 2＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值．16.(2012·高考广东卷)设a ＜1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B .(1)求集合D (用区间表示)；(2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点．17.(2012·高考浙江卷)已知a >0，b ∈R ，函数f (x )＝4ax 3－2bx －a ＋b . (Ⅰ)证明：当0≤x ≤1时，(ⅰ)函数f (x )的最大值为|2a －b |＋a ； (ⅱ)f (x )＋|2a －b |＋a ≥0；(Ⅱ)若－1≤f (x )≤1对x ∈[0，1]恒成立，求a ＋b 的取值范围．18.(2012·高考陕西卷)设函数f n (x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈N ＋，b ，c ∈R )．(Ⅰ)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：f n (x )在区间(12，1)内存在唯一零点；(Ⅱ)设n ＝2，若对任意x 1，x 2∈[－1，1]，有|f 2(x 1)－f 2(x 2)|≤4，求b 的取值范围；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，设x n 是f n (x )在(121)内的零点，判断数列x 2，x 3，…，x n ，…的增减性．19.(2012·高考四川卷)已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线y ＝－x 2＋a n 2与x 轴正半轴相交于点A .设f (n )为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距．(Ⅰ)用a 和n 表示f (n )；(Ⅱ)求对所有n 都有f （n ）－1f （n ）＋1≥n 3n 3＋1成立的a 的最小值；(Ⅲ)当0<a <1时，比较∑nk ＝1 1f （k ）－f （2k ）与274·f （1）－f （n ）f （0）－f （1）的大小，并说明理由．专题二 基本初等函数、导数及其应用1.B 当x →0时f (x )→－∞，故选B.2.C 前m 年的年平均产量最高，即Sm m最大，由图可知，前9年(含第9年)直线递增，当m ＞9(m ∈N ＋)时，总产量S n 递增放慢，故m ＝9.3.B 如图，函数f (x )在一个周期T 内，f (x )＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2012)＝335×1＋1＋2＝338.4.D y ＝cos6x 2x －2－x 为奇函数，排除A 项．y ＝cos6x 有无穷多个零点，排除C 项．当x >0且趋向于0时，2x －2－x ＞0，cos6x →1，∴y ＞0，故选D.5.C 对于D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x 为有理数0 x 为无理数，其值域显然为{0，1}；对于B ：若x 为有理数，则－x 为有理数，∴D (x )＝D (－x )＝1； 同理，当x 为无理数时，－x 也是无理数，D (x )＝D (－x )＝0； 综上，D (x )＝D (－x )，即D (x )为偶函数； 对于D ：显然不是单调函数．故选C ：任意的非零有理数均是D (x )的周期． 6.D 由题易知函数应为下凸函数(如图)∴f (x )单调递减，对于C ：∵f (x )≤f (2)＝1，∴f (x )＝1恒成立． 对于D ：f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＋x 3＋x 422≤12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛x 1＋x 22＋f ⎝⎛⎭⎫x 3＋x 42≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋ f (x 3)＋f (x 4)]．7.C 代入验证A ．f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )，正确．B ．f (2x )＝2x －|2x |＝2x －2|x |. 2f (x )＝2(x －|x |)＝2x －2|x |， 则f (2x )＝2f (x )．C ．若f (x )＝x ＋1时，f (2x )＝2x ＋1，2f (x )＝2(x ＋1)＝2x ＋2，不满足．D ．f (2x )＝－2x ＝2f (x )．8.B 由－log 2x ＝m 解得A ⎝⎛⎭⎫12m ，m ，由log 2x ＝m 解得B ()2m，m ，由－log 2x ＝82m ＋1解得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1282m ＋1，82m ＋1， 由log 2x ＝82m ＋1解得D ⎝⎛⎭⎫822m ＋1，82m ＋1， ∴a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12m －1282m ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪282m ＋1－2m 2m ·282m ＋1， b ＝||2m －282m ＋1，∴b a ＝2m ·282m ＋1＝2m ＋82m ＋1＝2⎝⎛⎭⎫m ＋12＋4m ＋12－12≥22×2－12＝272＝82， 当且仅当m ＋12＝4m ＋12m ＝32时取“＝”号，故选B.9.B 画出f (x )，g (x )在[－12，32]上图象，观察知图象有6个交点．10.D ∵x ＝ln π＞lne ＝1，y ＝log 52＜12，z ＝e 12-＝1e，∴12<e 12-<1，∴y ＜z ＜x ，故选D.11.D 由题图可知，当x ∈(－∞，－2]时，(1－x )f ′(x )≥0，从而f ′(x )≥0，f (x )是增函数， 当x ∈[－2，1]时，(1－x )f ′(x )≤0， 从而f ′(x )≤0，f (x )是减函数， 当x ∈[1，2]时，(1－x )f ′(x )≥0， 从而f ′(x )≤0，f (x )是减函数，当x ∈[2，＋∞)时，(1－x )f ′(x )≤0， 从而f ′(x )≥0，f (x )是增函数，故f (x )的极大值为f (－2)，极小值为f (2)，故选D.12.－10 ∵f (32)＝f (－12，∴f (12)＝f (－12)，∴12b ＋232＝－12a ＋1，解得2b ＋3a ＋2＝0，又f (－1)＝f (1)，∴－a ＋1＝b ＋22，得b ＝－2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋3a ＋2＝0，b ＝－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＋3b ＝2－12＝－10.13.(1)3 (2)π4 (1)f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)，∵φ＝π6，P ⎝⎛⎭⎫0，332，∴332＝ωcos π6⇒ω＝3.(2)令ω＝3，φ＝π6，由3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0可求得A 点横坐标为π9，由π9＋π3(半个周期)＝4π9.故曲线段ABC 与x 轴所围成的区域面积为S ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪∫4π9π93cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6d x ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π64π9π9＝⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫43π＋π6－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝2. 又S △ABC ＝12×3×π3＝π2∴所求概率P ＝π22＝π4.14.－1 F (x )＝f (x )＋x 2为奇函数， F (1)＝f (1)＋1＝2，F (－1)＝f (－1)＋1＝－2， ∴f (－1)＝－3，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.15.解：(Ⅰ)f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2⇒f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x ， 令x ＝1得f (0)＝1，令x ＝0，则f (0)＝f ′(1)e －1＝1，得f ′(1)＝e故f (x )＝e x －x ＋12x 2.设g (x )＝f ′(x )＝e x －1＋x ，g ′(x )＝e x＋1>0⇒y ＝g (x )在x ∈R 上单调递增， f ′(x )>0＝f ′(0)⇔x >0，f ′(x )<0＝f ′(0)⇔x <0，即f (x )的解析式为f (x )＝e x －x ＋12x 2，且单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．(Ⅱ)f (x )≥12x 2＋ax ＋b ⇔h (x )＝e x －(a ＋1)x －b ≥0得h ′(x )＝e x－(a ＋1)，①当a ＋1≤0时，h ′(x )>0⇒y ＝h (x )在x ∈R 上单调递增， x →－∞时，h (x )→－∞与h (x )≥0矛盾；②当a ＋1>0时，h ′(x )>0⇔x >ln(a ＋1)，h ′(x )<0⇔x <ln(a ＋1)， 得当x ＝ln(a ＋1)时，h (x )min ＝(a ＋1)－(a ＋2)ln(a ＋1)－b ≥0，(a ＋1)b ≤(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)(a ＋1>0)． 令F (x )＝x 2－x 2ln x (x >0)， 则F ′(x )＝x (1－2ln x )F ′(x )>0⇔0<x <e ，F ′(x )<0⇔x >e ，当x ＝e 时，F (x )max ＝e2；故a ＝e －1，b ＝e 时，(a ＋1)b 的最大值为e2.16.解：(1)设g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ，其对称轴方程为x ＝34(1＋a )．当a ≤－1时，x ＝34(1＋a )≤0，g (0)＝6a >0，Δ＝9(1＋a )2－48＝9a 2－30a ＋9＝3(3a －1)(a－3)≥0，方程g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＝0，有解为x 1＝3（1＋a ）－9a 2－30a ＋94<0<x 2＝3（1＋a ）＋9a 2－30a ＋94.∴D ＝(x 2，＋∞)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3（1＋a ）＋9a 2－30a ＋94，＋∞. 当－1<a ≤0时，x ＝34(1＋a )>0，g (0)＝6a <0，方程g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＝0，有解为x 1＝3（1＋a ）－9a 2－30a ＋94<0<x 2＝3（1＋a ）＋9a 2－30a ＋94，∴D ＝(x 2，＋∞)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3（1＋a ）＋9a 2－30a ＋94，＋∞. 当0<a ≤13时，x ＝34(1＋a )>0，g (0)＝6a >0，Δ＝9(1＋a )2－48＝9a 2－30a ＋9＝3(3a －1)(a－3)≥0，方程g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＝0，有解为0<x 1＝3（1＋a ）－9a 2－30a ＋94<x 2＝3（1＋a ）＋9a 2－30a ＋94，∴D ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)＝(0，3（1＋a ）－9a 2－30a ＋94)∪(3（1＋a ）＋9a 2－30a ＋94，＋∞)．当13<a <1时，方程g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＝0的判别式Δ＝9a 2－30a ＋9<0， ∴D ＝(0，＋∞)．综上所述：当a ≤0时，D ＝(3（1＋a ）＋9a 2－30a ＋94，＋∞)．当0<a ≤13时，D ＝(0，3（1＋a ）－9a 2－30a ＋94)∪(3（1＋a ）＋9a 2－30a ＋94，＋∞)．当13<a <1时，D ＝(0，＋∞)． (2)∵f ′(x )＝6[x 2－(1＋a )x ＋a ]＝6(x －a )(x －1)，又a <1， ∴f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 的极值点为a ，1.当a ≤0时，只须考虑3（1＋a ）＋9a 2－30a ＋94<1，解得a >13矛盾．当0<a ≤13时，∵3（1＋a ）－9a 2－30a ＋94<1显然成立，3（1＋a ）＋9a 2－30a ＋94<1不成立．若a <3（1＋a ）－9a 2－30a ＋94成立，则3－a >9a 2－30a ＋9，解得a (a －3)<0⇒a ∈(0，13]，∴f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内有一个极值点a . 当13<a <1时，∴D ＝(0，＋∞)， ∴f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内有两个极值点a 和1. 17.(Ⅰ)证明：(ⅰ)f ′(x )＝12ax 2－2b .当b ≤0时，f ′(x )＝12ax 2－2b ＞0在0≤x ≤1上恒成立，此时f (x )的最大值为：f (1)＝4a －2b －a ＋b ＝3a －b ＝|2a －b |＋a ；当b ＞0时，f ′(x )＝12ax 2－2b 在0≤x ≤1上的正负性不能判断， 此时f (x )的最大值为：f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{(b －a )，(3a －b )}＝⎩⎪⎨⎪⎧b －a ，b ≥2a 3a －b ，b ＜2a ＝|2a －b |＋a ；综上所述：函数f (x )在0≤x ≤1上的最大值为|2a －b |＋a ； (ⅱ)要证f (x )＋|2a －b |＋a ≥0， 即证g (x )＝－f (x )≤|2a －b |＋a .亦即证g (x )在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a －b |＋a ，∵g (x )＝－4ax 3＋2bx ＋a －b ， ∴g ′(x )＝－12ax 2＋2b .当b ≤0时，g ′(x )＝－12ax 2＋2b ＜0在0≤x ≤1上恒成立， 此时g (x )的最大值为：g (0)＝a －b ＜3a －b ＝|2a －b |＋a ；当b >0时，g ′(x )＝－12ax 2＋2b 在0≤x ≤1上的正负性不能判断，令g ′(x )＝0，得x ＝b6a.g (x )max ＝max{g (b6a)，g (1)}＝max{43b b6a ＋a －b ，b －2a }＝⎩⎪⎨⎪⎧43b b 6a ＋a －b ，b ≤6ab －2a ，b ＞6a≤|2a －b |＋a ；综上所述：函数g (x )在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a －b |＋a . 即f (x )＋|2a －b |＋a ≥0在0≤x ≤1上恒成立．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：函数f (x )在0≤x ≤1上的最大值为|2a －b |＋a ， 且函数f (x )在0≤x ≤1上的最小值比－(|2a －b |＋a )要大． ∵－1≤f (x )≤1对x ∈[0，1]恒成立， ∴|2a －b |＋a ≤1.取b 为纵轴，a 为横轴．则可行域为：⎩⎪⎨⎪⎧b ≥2a b －a ≤1和⎩⎪⎨⎪⎧b ＜2a3a －b ≤1，目标函数为z ＝a ＋b .作图如下：由图易得：当目标函数为z ＝a ＋b 过P (1，2)时，有z max ＝3. ∴所求a ＋b 的取值范围为：(－∞，3]．18.解：(Ⅰ)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n ＋x －1.∵f (12)f (1)＝(12n －12)×1＜0，∴f (x )在(12，1)内存在零点．又当x ∈(12，1)时，f ′(x )＝nx n －1＋1＞0，∴f (x )在(12，1)上是单调递增的，∴f (x )在(12，1)内存在唯一零点．(Ⅱ)当n ＝2时， f 2(x )＝x 2＋bx ＋c ，对任意x 1，x 2∈[－1，1]有|f 2(x 1)－f 2(x 2)|≤4等价于f 2(x )在[－1，1]上的最大值与最小值之差M ≤4，据此分类讨论如下：①当⎪⎪⎪⎪b 2>1，即|b |>2时， M ＝|f 2(1)－f 2(－1)|＝2|b |>4， 与题设矛盾．②当－1≤－b2<0，即0<b ≤2时，M ＝f 2(1)－f 2⎝⎛⎭⎫－b 2＝⎝⎛⎭⎫b 2＋12≤4恒成立． ③当0≤－b2≤1，即－2≤b ≤0时，M ＝f 2(－1)－f 2⎝⎛⎭⎫－b 2＝⎝⎛⎭⎫b 2－12≤4恒成立． 综上所述，b 的取值范围为－2≤b ≤2.(Ⅲ)法一：设x n 是f n (x )在(12，1)内的唯一零点(n ≥2)，f n (x n )＝x n n ＋x n －1＝0，f n ＋1(x n ＋1)＝x n ＋1n ＋1＋x n ＋1－1＝0，x n ＋1∈(12，1)，于是有f n (x n )＝0＝f n ＋1(x n ＋1)＝x n ＋1n ＋1＋x n ＋1－1<x nn ＋1＋x n ＋1－1＝f n (x n ＋1)，又由(Ⅰ)知f n (x )在(12，1)上是递增的，故x n <x n ＋1(n ≥2)，所以，数列x 2，x 3，…，x n ，…是递增数列．法二：设x n 是f n (x )在(12，1)内的唯一零点，f n ＋1(x n )f n ＋1(1)＝(x n ＋1n ＋x n －1)(1n ＋1＋1－1) ＝x n ＋1n ＋x n －1<x nn ＋x n －1＝0，则f n ＋1(x )的零点x n ＋1在(x n ，1)内，故x n <x n ＋1(n ≥2)， 所以，数列x 2，x 3，…，x n ，…是递增数列．19.解：(Ⅰ)由已知得，交点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫a n 2，0.对y ＝－x 2＋12a n 求导得y ′＝－2x ，则抛物线在点A 处的切线方程为y ＝－2a n⎝⎛⎭⎫x －a n2，即y ＝－2a n x ＋a n .则f (n )＝a n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知f (n )＝a n，则f （n ）－1f （n ）＋1≥n 3n 3＋1成立的充要条件是a n ≥2n 3＋1.即知，a n ≥2n 3＋1对所有n 成立．特别地，取n ＝2得到a ≥17. 当a ＝17，n ≥3时， a n >4n ＝(1＋3)n ＝1＋C 1n ·3＋C 2n ·32＋C 3n ·33＋…≥1＋C 1n ·3＋C 2n ·32＋C 3n ·33＝1＋2n 3＋12n [5(n －2)2＋(2n －5)]>2n 3＋1.当n ＝0，1，2时，显然(17)n ≥2n 3＋1.故a ＝17时，f （n ）－1f （n ）＋1≥n 3n 3＋1对所有自然数n 都成立．所以满足条件的a 的最小值为17.(Ⅲ)由(Ⅰ)知f (k )＝a k，则∑k ＝1n1f （k ）－f （2k ）＝∑k ＝1n 1a k －a2k ，f （1）－f （n ）f （0）－f （1）＝a －a n 1－a ， 下面证明：∑k ＝1n1f （k ）－f （2k ）>274·f （1）－f （n ）f （0）－f （1）.首先证明：当0<x <1时，1x －x 2≥274x . 设函数g (x )＝274x (x 2－x )＋1，0<x <1.则g ′(x )＝814x (x －23)．当0<x <23时，g ′(x )<0；当23<x <1时，g ′(x )>0.故g (x )在区间(0，1)上的最小值g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫23＝0.所以，当0<x <1时，g (x )≥0，即得1x －x 2≥274x . 由0<a <1知0<a k <1(k ∈N *)，因此1a k －a 2k ≥274a k， 从而∑k ＝1n1f （k ）－f （2k ）＝∑k ＝1n 1a k －a2k ≥274∑k ＝1n a k＝274·a －a n ＋11－a >274·a －an1－a ＝274·f （1）－f （n ）f （0）－f （1）.。