常用基本初等函数求导公式积分公式.doc
微积分 中常见的基本公式
设 u = u(x)，v = v(x) 为可导函数，则
(1)
(u
±
v)′
=
u′
±
v′； (2)
(uv)′
=
u′v
+
uv′；(3)
u v
′
=
u′v − uv′ v2
(v
≠
0).
(4) 若 uk = uk (x) (k = 1，2，L，n) 均为可导函数，则
(u1u2 Lun )′ = u1′u2 Lun + u1u2′Lun + L + u1u2 x2 + x4 + o(x4)； 2! 4!
(4) tan x = x + x3 + 2 x5 + o(x5)； 3 15
(5) arcsin x = x + x3 + 3 x5 + o(x5)； (6)arctan x = x − x3 + x5 + o(x5)
6 40
1 n
n
单调递增.
六、 微积分中值定理
1、罗尔 (Rolle) 定理： 假设 f (x) 在 [a，b] 上满足
(1) f (x) 在 [a，b] 上连续；(2) f (x) 在 (a，b)内可导；(3) f (a) = f (b).
则：∃ξ ∈ (a，b) 使得 f ′(ξ ) = 0.
2、拉格朗日(Lagrange) 中值定理：假设 f (x) 在 [a，b] 上满足
(6)
(loga
x)′
=
1 x ln a
(a > 0且 a ≠ 1)；
(8) (cos x)′ = −sin x；
(9) (tan x)′ = sec2 x；
求导公式知识点归纳总结
求导公式知识点归纳总结一、基本导数公式1. 基本导数：函数y = k，y' = 0 (常数函数导数为0)函数y = x^n，y' = nx^(n-1) (幂函数的导数是指数减1乘以原指数)函数y = sinx，y' = cosx (正弦函数的导数是余弦函数)函数y = cosx，y' = -sinx (余弦函数的导数是负的正弦函数)函数y = e^x，y' = e^x (指数函数自身的导数是自身)2. 基本导数的性质：（1）常数法则：若f(x) = k，f'(x) = 0（2）幂法则：若f(x) = x^n，f'(x) = nx^(n-1)（3）和差法则：若f(x) = g(x) ± h(x)，f'(x) = g'(x) ± h'(x)（4）积法则：若f(x) = g(x) * h(x)，f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)（5）商法则：若f(x) = g(x) / h(x)，f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2 （6）复合函数法则：若f(x) = g(h(x))，f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)3. 根据基本导数公式，我们可以求出一些特殊函数的导数，比如：（1）常数函数 f(x) = c，导数为 f'(x) = 0（2）幂函数 f(x) = x^n，导数为 f'(x) = nx^(n-1)（3）指数函数 f(x) = e^x，导数为 f'(x) = e^x（4）对数函数 f(x) = ln(x)，导数为 f'(x) = 1/x（5）三角函数 f(x) = sinx，导数为 f'(x) = cosx（6）反三角函数 f(x) = arcsinx，导数为f'(x) = 1 / √(1 - x^2)二、常见函数的导数1. 常见初等函数的导数：（1）幂函数：y = x^n，y' = nx^(n-1)（2）指数函数：y = a^x (a > 0, a ≠ 1)，y' = a^x * ln(a)（3）对数函数：y = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)，y' = 1 / (x * ln(a))（4）三角函数：y = sinx，y' = cosx（5）双曲函数：y = sinhx，y' = coshx（6）反三角函数：y = arcsinx，y' = 1 / √(1 - x^2)2. 常用初等函数的导数：（1）常数函数 f(x) = c，导数为 f'(x) = 0（2）幂函数 f(x) = x^n，导数为 f'(x) = nx^(n-1)（3）指数函数f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)，导数为 f'(x) = a^x * ln(a)（4）对数函数f(x) = loga(x) (a > 0, a ≠ 1)，导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))（5）三角函数 f(x) = sinx，导数为 f'(x) = cosx（6）双曲函数 f(x) = sinhx，导数为 f'(x) = coshx（7）反三角函数 f(x) = arcsinx，导数为f'(x) = 1 / √(1 - x^2)3. 常见非初等函数的导数：（1）绝对值函数 f(x) = |x|，导数为 f'(x) = x / |x|（2）分段函数f(x) = {x^2, x > 0; 2x, x ≤ 0}，导数为f'(x) = {2x, x > 0; 2, x ≤ 0}三、高阶导数1. 高阶导数的定义：高阶导数是指一个函数的导数再次求导后所得到的导数。
基本初等函数公式总结
基本初等函数
1常数函数：；
；2幂函数：；
；
；
；
3指数函数：；4对数函数：；
；
；
5三角函数：
；
三角函数是有界函数，奇函数；
偶函数6奇函数：
图形关于坐标原点对称；偶函数：
图形关于
轴对称；
含有
因子的是偶函数；含有因子的是奇函数，
两个重要极限
无穷小量×有界量＝无穷小量
当
时，
是无穷小量
极限运算法则：
；
微分公式
导数公式
复合函数求导基本方法
不定积分公式
不定积分运算法则：
加减法，数乘
分部积分法计算法则
运算公式：对幂指三
、
两两组合，位置排在前面的选
，排列在后面的选
凑微分公式
原函数
与被积函数
之间的关系
定积分公式
（为常数）逆矩阵求法
用初等行变换求逆矩阵的方法：
齐次方程
有非零解和零解条件
当
时齐次方程
只有零解。
当
时齐次方程
有非零解。
结论：齐次方程一定有零解。
非齐次方程
有解（唯一解、无穷多解）、无解的条件当
时非齐次方程
有唯一解。
当
时非齐次方程
有无穷多解。
当
时非齐次方程有无解。
积分与求导公式大全
一、导数的四则运算法则之巴公井开创作二、基本导数公式⑴()0c '=⑵1x x μμμ-=⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=-⑸()2tan sec x x '=⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxe e '=⑽()ln xxa a a '=⑾()1ln x x '=⑿()1log ln x a x a '=⒀()arcsin x '=⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦（2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a u ax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c ux v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn =（2）()()n ax bn ax bea e++=⋅ (3)()()ln n xx n aa a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7)()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c =⑵()1d x x dx μμμ-=⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =-⑸()2tan sec d x xdx =⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()x x d e e dx =⑽()ln x x d a a adx =⑾()1ln d x dx x= ⑿()1logln x a d dx x a =⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+⒃()21arc cot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=±⑵()d cu cdu =⑶()d uv vdu udv =+⑷2u vdu udvd v v-⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰⑵11x x dx c μμμ+=++⎰⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰⑸x x e dx e c =+⎰⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰⑻221sec tan cos dx xdx x c x==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin dx x c =+八、下列经常使用凑微分公式九、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，ax dv e dx = 形如sin n x xdx ⎰令n u x =，sin dv xdx = 形如cos n x xdx ⎰令n u x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，n dv x dx = 形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，n dv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos ax u e x x =均可。
常用的求导和定积分公式.doc
一．基本初等函数求导公式(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12) ，(13) (14)(15) (16)函数的和、差、积、商的求导法则设，都可导，则（ 1）（ 2）（是常数）（ 3）（ 4）反函数求导法则若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且或复合函数求导法则设，而且及都可导，则复合函数的导数为或二、基本积分表（ 1） kdx kx C （ k 是常数）（ 2）x dx x 1C , (u1)1（ 3）1dx ln | x | C xdx（ 4）arl tan x C21 x（ 5）dxarcsin x C 1 x2（ 6）cos xdx sin x C （ 7） sin xdx cos x C（ 8）1dx tan x C 2cos x（ 9）12 dx cot x Csin x（10） secx tan xdx secx C（ 11）cscx cot xdx cscx C（ 12）e x dx e x C（ 13）a x dx a x C ， (a 0, 且 a 1)ln a（ 14）shxdx chx C（ 15）chxdx shx C （16）（17）（18）（19）（20）a 21 2 dx1arc tanxCx a ax2 1 2 dx1ln |x a| Ca 2a x a1 dx arc sinxCa2 x2 a1 dx ln( x a2 x2 ) C a2 x2dxa2ln | x x2 a2 | C x2（ 21）tan xdx ln | cosx | C（ 22）cot xdx ln | sin x | C（ 23）secxdx ln | secx tan x | C（ 24）cscxdx ln | cscx cot x | C注： 1、从导数基本公式可得前 15 个积分公式， (16)-(24)式后几节证。
积分与求导公式大全
一、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭二、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxe e '= ⑽()ln xxa a a '= ⑾()1ln x x '=⑿()1log ln xax a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nx n = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xa d dx x a =⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =+。
基本积分公式范文
基本积分公式范文1.基本初等函数的积分公式：(1)常数函数的积分：∫k dx = kx + C其中k是常数，C是常数项。
(2)幂函数的积分：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C其中n不等于-1(3)正弦函数的积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C(4)余弦函数的积分：∫cos(x) dx = sin(x) + C(5)指数函数的积分：∫e^x dx = e^x + C(6)自然对数函数的积分：∫1/x dx = ln，x， + C(7)反正切函数的积分：∫1/(1 + x^2) dx = arctan(x) + C(8)反双曲正弦函数的积分：∫1/√(x^2 + 1) dx = arsinh(x) + C2.基本三角函数的积分公式：(1)正弦函数的平方的积分：∫sin^2(x) dx = (1/2) * (x - sin(x) * cos(x)) + C(2)余弦函数的平方的积分：∫cos^2(x) dx = (1/2) * (x + sin(x) * cos(x)) + C(3)正弦函数与余弦函数的积分：∫si n(x) * cos(x) dx = -(1/2) * cos^2(x) + C(4)正切函数的积分：∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C3.基本换元积分公式：(1)一阶换元法：∫f(u) du = ∫f(g(x)) * g'(x) dx(2)二阶换元法：∫f(u, v) dx = ∫f(g(x, y), h(x, y)) * ，J(g,h)(x, y)， dydx 其中J(g,h)(x,y)是雅可比行列式。
这些是一些基本的积分公式，它们是求解不定积分的基本方法。
在实际应用中，可以通过这些公式进行积分计算，然后再根据具体问题进行适当的变换和运算。
掌握这些公式可以极大地简化积分计算的过程，提高计算的效率。
同时，还可以通过这些公式深入理解积分的性质和应用。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则一、导数公式1.基本导数公式：(1) 常数函数的导数为0，即d/dx(c) = 0，其中c为常数。
(2) 幂函数的导数为其指数与常数的乘积，即d/dx(x^n) = n*x^(n-1)，其中n为实数。
(3) 自然对数函数的导数为1/x，即d/dx(ln(x)) = 1/x。
(4) 正弦函数的导数为余弦函数，即d/dx(sin(x)) = cos(x)。
(5) 余弦函数的导数为负的正弦函数，即d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
2.基本初等函数的导数公式：(1) 常数乘以函数的导数等于函数的导数乘以这个常数，即d/dx(c*f(x)) = c*f'(x)，其中f(x)为可导函数，c为常数。
(2) 函数相加（减）的导数等于函数导数的相加（减），即d/dx(f(x)±g(x)) = f'(x)±g'(x)，其中f(x)和g(x)为可导函数。
(3) 乘积法则：两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即d/dx(f(x)*g(x)) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
(4) 商法则：函数的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)*g(x) -f(x)*g'(x))/[g(x)]^23.复合函数的导数：(1) 基本链式法则：若y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，则y=f(g(x))也是可导函数，且它的导数等于f'(u)*g'(x)，即dy/dx = dy/du *du/dx = f'(u) * g'(x)。
1.反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上具有连续的导数f'(x)，且在区间I上f'(x)≠0，则它的反函数x=g(y)在对应的区间J上也有连续的导数，且g'(y)=1/f'(x)。
常用求导与定积分公式
一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(−='μμμx x(3)x x cos )(sin ='(4)x x sin )(cos −='(5) x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot −=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8)x x x cot csc )(csc −='(9)a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x −='(14)211)(arccos x x −−='(15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=−+函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2）u C Cu '=')(（C 是常数）（3）v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '−'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠− （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =−+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=−+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =−+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a−=+−+⎰ （18）sin xarc C a =+（19）ln(x C =++（20）ln ||x C =+（21）tan ln |cos |xdx x C =−+⎰（22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =−+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
3.3导数的基本公式与运算法则
dy 1 sin( e x ) x = ⋅ ( − sin v ) ⋅ e x = − ⋅ e = − e x tan(e x ). dx u cos(e x )
例13
解
y=e
sin
sin
1 x
1 x
, 求 y′.
sin 1 x
1 y′ = (e )′ = e (sin )′ x 1 1 sin sin 1 1 1 1 x x = e ⋅ cos ⋅ ( )′ = − 2 e cos . x x x x
= f ′( u) g′( x ).
例9
解
dy y = e ,求 . dx
x3
y = e 可看作 y = e u , u = x 3复合而成，因此 复合而成，
x3
dy dy du u 2 2 x3 = ⋅ = e ⋅ 3x = 3x e . dx du dx 2x dy , . 例10 y = sin 2 求 dx 1+ x
( uvw )′ = [( uv )w ]′= ( uv )′ w + ( uv )w′ = ( u′v + uv′ )w + uvw′ = u′vw + uv′w + uvw′
特别 ( Cu )′ = C u ′ , 其中 C 是常数 .
y = 2 x 3 − 5 x 2 + 3 x − 7 , 求 y′ . 例1
所以 在 I x = (−1,1)内有 −
1 1 1 1 = (arcsin x)′ = = = . 2 2 (sin y)′ cos y 1−sin y 1− x
1 (arccos x)′ = − . 2 1− x
例7 求函数 y = arctan x的导数 .
几个常用函数导数基本初等函数导数公式及导
几个常用函数导数基本初等函数导数公式及导函数的导数是微分学中的一个重要概念，描述了函数在每一点上的变化率。
掌握基本初等函数的导数公式及导数求解方法，对于理解数学和物理等学科中的问题解决具有重要意义。
下面我将详细介绍几个常用函数的导数公式及导数求解方法。
1.常数函数：常数函数的导数恒为零，即对于常数C，其导数为0：f(x)=C，f'(x)=0。
2.幂函数：幂函数指的是形如f(x)=x^n的函数，其中n是实数。
幂函数的导数公式为：f'(x) = nx^(n-1)。
例如，对于函数f(x)=x^3，它的导数为f'(x)=3x^2、这个公式也被称为幂函数的指数法则。
3.指数函数：指数函数指的是形如f(x)=a^x的函数，其中a为正实数且不等于1指数函数的导数公式为：f'(x) = a^x * ln(a)。
例如，对于函数f(x) = 2^x，它的导数为f'(x) = 2^x * ln(2)。
其中ln(a) 是以e为底的对数函数。
4.对数函数：对数函数指的是形如f(x) = logₐ(x)的函数，其中a为正实数且不等于1对数函数的导数公式为：f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
例如，对于函数f(x) = log₂(x)，它的导数为f'(x) = 1 / (x *ln(2))。
5.三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的导数公式为：f'(x) = cos(x)。
余弦函数的导数公式为：f'(x) = -sin(x)。
正切函数的导数公式为：f'(x) = sec^2(x) = 1 / cos^2(x)。
这些公式可以通过三角函数的定义及导数的定义进行求解。
6.反三角函数：反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
反正弦函数的导数公式为：f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
基本初等函数的导数公式及四则运算
导数是函数曲线在该点上的切线的斜率。
常见导函数的公式及图像
一次数
导数为常数，图像为直线。
二次函数
导数为一次函数，图像为抛物线。
正切函数
导数为幂函数，图像具有周期性。
指数函数
导数为自身，图像为逐渐增长的曲线。
对数函数的导数
对数函数的导数公式是1/x，其中x是对数函数的底数。对数函数的图像是单调 递增的。
反三角函数的导数
反三角函数的导数与对应的三角函数有关。例如，arcsin(x)的导数是1/√(1-x^2)，arccos(x)的导数是-1/√(1-x^2)。
初等函数导数的性质
初等函数的导数具有一些规律和性质，包括链式法则、求导法则和反函数求导法则。
四则运算简单例题及求导步骤
通过一些例题和求导步骤，了解如何对简单的四则运算进行求导。
函数复合法则及求导步骤
函数复合法则是求导一个函数由多个函数复合而成时使用的方法。通过一些 例题，了解如何使用函数复合法则求导。
反函数求导法则及求导步骤
反函数求导法则是求导一个函数的反函数时使用的方法。通过一些例题，了 解如何使用反函数求导法则求导。
基本初等函数的导数公式 及四则运算
了解基本初等函数的导数公式和四则运算是学习微积分的重要基础。本演示 将逐步介绍每个函数的导数公式，以及它们的几何和物理意义。
什么是导数及其定义
导数描述了函数在某一点上的变化率。简单来说，它是函数曲线的切线的斜率。定义为函数的极 限。
1 数学定义
导数是函数f(x)在某个点x处的极限lim(x→0)(f(x+h)-f(x))/h。
常用的求导和定积分公式(完美版)
一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a x x ln )(='(10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x -=' (14)211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x=++⎰ （5）arcsin x C =+⎰（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a-=+-+⎰（18）sinxarc C a=+⎰（19）ln(x C =+（20）ln |x C =+⎰（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰（24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
基本初等函数导数公式
基本初等函数导数公式导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在每个点的斜率或变化率。
对于基本初等函数，由于它们是常见的函数形式，我们可以通过一些基本的导数公式来求解它们的导数。
在本文中，我们将介绍常见的基本初等函数以及它们的导数公式。
1.常数函数：对于常数函数f(x)=c，其中c是一个常数，它的导数为f'(x)=0。
2. 幂函数：幂函数f(x) = x^n，其中n是一个实数，它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
这意味着幂函数的导数是其幂次减1再乘以幂次系数。
3. 指数函数：指数函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a ≠ 1，它的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
这意味着指数函数的导数是指数函数自身乘以底数的自然对数。
4. 对数函数：对数函数f(x) = log_a(x)，其中a是一个正实数且a ≠ 1，它的导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
这意味着对数函数的导数是常数1除以自变量x与底数的自然对数的乘积。
5.三角函数：常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的导数分别为：正弦函数：f(x) = sin(x)，f'(x) = cos(x)。
余弦函数：f(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)。
正切函数：f(x) = tan(x)，f'(x) = sec^2(x)。
其中，sec(x)表示x的余割，即1/cos(x)。
6.反三角函数：常见的反三角函数有反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
它们的导数分别为：反正弦函数：f(x) = arcsin(x)，f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
反余弦函数：f(x) = arccos(x)，f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
反正切函数：f(x) = arctan(x)，f'(x) = 1 / (1 + x^2)。
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(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12) ，(13) (14)(15) (16)函数的和、差、积、商的求导法则设，都可导，则（ 1）（ 2）（是常数）（ 3）（ 4）反函数求导法则若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且或复合函数求导法则设，而且及都可导，则复合函数的导数为或２. 双曲函数与反双曲函数的导数.双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：常用积分公式表·例题和点评⑴kdx kx c ( k 为常数)⑵x dx( 1) 1 x 1 c1特别， 1 dx 1 c , x d x 2 x23 c , 1 dx 2 x c x 2 x 3 x⑶1dx ln | x | c x⑷ a x d x a x c , 特别，e x d x e x cln a⑸ sin x dx cos x c⑹ cos x d x sin x c⑺1 d x csc2 x dxcot x csin 2x⑻1 d x sec2 x dxtan x ccos 2 x⑼1dx xc ( a 0) , 特别，a 2 x 2 arcsina⑽1dx1 x c (a 0) , 特别，a 2 x 2 arctanaa⑾11 a xa2x 2d x2a lna x c ( a 0)或11 x ax2a 2dx2alnx ac ( a 0)⑿ tan x dxln cos x c⒀ cot x dxln sin xc1 arcsin xc1d x x 211x 2dxarctan x c1ln csc x cot x c⒁ csc x d xxdxln tan csin x21ln sec x tan x c⒂ secx d xxdxccos xln tan 42 1( a 0)x 2a 2 ⒃a 2 dxln xcx 2⒄a 2x 2dx( a 0)a2x xa 2x 2carcsin22a⒅x 22(a 0)xx2 a 2a 2 ln xx 2 a 2ca d x22e ax sin bx d x a sin bxbcosbx e ax c⒆a 2b 2b sin bx acosbxaxcosbx dx axce 22ea b⒇1dxnx2n3 n 1 c （递推公式）2 x 2 ) n 1)a 2 ( a 2x 2 ) n 1 2(n 1)a 2 (a2( n跟我做练习( 一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式 )例 24 含根式ax 2 bx c 的积分⑴x 2 4x 5 dx(x 2)21d( x 2) [ 套用公式⒅]x 2( x 2)211ln ( x 2)(x 2)2122⑵ x x 24x 5 dx 1(2 x4) 4 x 2 4x 5 dx21 x2 4 x 5 d( x 2 4x 5) 2x 24x 5 dx2( 请你写出答案 )⑶x 2 1 dx1 d( x 2) ln ( x 2) ( x 2)214x 5( x 2) 21[ 套用公式⒃]⑷x dx1 (2 x 4) 4 1 d( x 24x 5)1x 22x 2dx2x 22x 2 dx4x 54x 5 4x 54x 5( 请你写出答案 )⑸5 4 x x 2dx32( x 2)2d( x 2) 32 arcsinx 2x 2 32 ( x 2) 22 32[ 套用公式⒄]⑹x 5 4x x 2 dx1 (4 2x) 4 5 4 x x2 dx2 1 5 4x x 2 d(54x x 2 ) 25 4 x x 2 dx2( 请你写出答案 )⑺dx d( x 2) [ 套用公式⑼] arcsinx2 5 4 x x 2 32 ( x 2) 23⑻x dx 1 (4 2x) 4 dx 1d(5 4 x x 2 )dx 4 x x 225 4x x 22x 225 5 4x 5 4x x 2( 请你写出答案 )例 25 求原函数1 dx .1 x4解 因为1 x 4 (12 x 2x 4 ) 2x 2 (1 x 2 ) 2 ( 2x) 2 (12xx 2 )(1 2x x 2) 所以令1Ax BCx D( A, B,C, D 为待定常数）1 x4x22 x 1 x 22x 1( Ax B)(x 22x 1) (Cx D )(x 22x 1)x 22x 1 x 22 x 1从恒等式 ( Ax B)( x22x 1) (C xD )( x 22 x 1) 1 ( 两端分子相等 ) ，可得方程组B D 1 (常数项 )A 2BC 2D 0 （一次项系数） 2 A B2C D 0 （二次项系数）A C 0 （三次项系数）解这个方程组 ( 在草纸上做 ) ，得 A1 , B 1, C 1 2 , D 1 . 因此，2 2 2 2 2 1 1 x 11 x 12 2 22 2 21x 4dxx 22x 1 d x x 22x 1 d x右端的第一个积分为1 x1 1 (2 x 2) 2 1 (2x2)d x 1 12 2 2 dx dxdx x2 2x 1 4 2 x 22x 1 4 2 x22x 1 4 x22x 11 d( x 22 x 1)11dx ( 套用积分公式 )2424 2 x2x 12 1 2x221 ln( x2 2x 1) 1 arctan( 2x 1)4 22 2类似地，右端的第二个积分为2 1 x 1 112 2 dx 22x 1)arctan( 2 x 1)x 22x 1 4 ln( x222所以1 x 4dx1x 22 x 1 1114 2 ln x 22 x 1 2 2 a rctan( 2x 1)2 2 arctan( 2x 1)1 lnx 22x 11 arctan 2x （见下注）4 2 x 22x 1 2 21 x 2【注】 根据 tan(tan tan ), 则1 tantantan arctan( 2 x 1) arctan( 2 x1)( 2x 1) ( 2x 1) 2 2 x2 x1 (2 x 1)( 2 x1) 2(1 x 2)1 x 2因此 ,arctan( 2x 1) arctan( 2x 1) arctan2x1 x 2例 26 求dx(01) . [关于dx(01) ，见例 17]11cos xcos x解 令 t tan x( 半角替换 ) ，则2t 2cos x2x sin 2 x 2cos 2 x 121211cos2 2 21 t 22x1 2xsec 2tan 2dx d(2arctan t )1 2 dtt 2于是，dx12 dt 2dt2dt1cos x1 1 t2 1 t 2 (1) (1)t 211t 21 t 212arctan1 t c2arctan 1 tan xc1 2 11 21 2 2【点评】 求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律， 但不像求它们的微分或导数那样规范化 . 这是因为从根本上说，函数y y( x) 的导数或微分可以用一个“构造性”的公式y ( x) limy( xh)y( x)或dy y ( x)dxh 0h确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法. 积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类. 譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数( 这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样 ). 有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如e x 2dx,1dx,exdx,sin x dx 等ln xx x都不能表示成初等函数. 因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多 . 我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分. 尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数. 因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了 .。