基本函数求导公式

基本初等函数求导公式

(1) 0)(='C (2) 1

)(-='μμμx x

(3) x x cos )(sin ='

(4) x x sin )(cos -='

(5)

x x 2

sec )(tan =' (6)

x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='

(8) x x x cot csc )(csc -='

(9)

a a a x

x ln )(=' (10) (e )e x

x '=

(11)

a x x a ln 1

)(log =

'

(12)

x x 1)(ln =

'，

(13)

211)(arcsin x x -=

' (14)

211)(arccos x x --

=' (15)

21(arctan )1x x '=

+

(16)

21(arccot )1x x '=-

+

函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则

（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）

（3） v u v u uv '+'=')(

（4） 2v v u v u v u '-'='

⎪⎭⎫ ⎝⎛

反函数求导法则

若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应

区间

x

I 内也可导，且

)(1)(y x f ϕ'=

' 或 dy dx dx dy 1=

复合函数求导法则

设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为

dy dy du dx du dx =

或()()y f u x ϕ'''=

２. 双曲函数与反双曲函数的导数.

双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．

可以推出下表列出的公式：

在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程

),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.

隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点

),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，,

),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯

一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有

y x F F dx dy

-= (2)

公式（2）就是隐函数的求导公式

这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式

0))(,(≡x f x F ,

其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得

,0=∂∂+∂∂dx dy y F x F

由于

y

F 连续，且

),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内

≠y F ，于

是得

.y x F F dx dy

-=

如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再

一次求导，即得

dx

dy F F y F F x dx y d y x y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-

∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=22

.23

2222y

x yy y x xy y xx y x y

x yy y xy y x

yz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-----=

例1 验证方程012

2

=-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。

解 设

=),(y x F 122-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此由定理1可知，方程012

2=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。

下面求这函数的一阶和二阶导数

y x F F dx dy -==y x -， 0

==x dx dy ;

22dx y d =

,1)

(332222y y x y y y x

x y y y x y -=+-=---='--

1

22-==x dx y

d 。

隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程

F (z y x ,,)=0 (3)

就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1一样，我们同样可以由三元函数F (z y x ,,)的性质来断定由方程F (z y x ,,)=0所确定的二元函数z =),(y x 的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。

隐函数存在定理 2 设函数F (z y x ,,)在点),,(000z y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),,(000=z y x F ，0),,(000≠z y x F z ，则方程F (z y x ,,)=0在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件

),(000y x f z =，并有

x z ∂∂=z x F F -,y z ∂∂=z y

F F -. (4)

这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导. 由于 F (y x ,, f ),(y x )≡0, 将上式两端分别对x 和y 求导，应用复合函数求导法则得

x F +z F x z

∂∂=0, y F

+z F y z ∂∂=0。

因为z F 连续，且0),,(000≠z y x F z ,所以存在点),,(000z y x 的一个邻域，在这个邻域内z F ≠0，于是得

x z ∂∂=z x F F -,y z ∂∂=z y

F F -。

例2 设04222=-++z z y x ，求.22x z

∂∂

解 设F (z y x ,,) =

z z y x 42

22-++，则x F =2x , z F =42-z .应用公式(4)，得 x z

∂∂=z x -2。

再一次x 对求偏导数，得

2

2x z ∂∂2

)2()2(z x

z x z -∂∂+-=