基本函数求导公式
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在给定点处的变化率。
在微积分中有许多基本的初等函数，它们都有对应的导数公式和导数的运算法则。
下面，我将介绍一些常见的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
1.常数函数导数公式：如果f(x)=C，其中C为常数，则其导数为f'(x)=0。
2.幂函数导数公式：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
例如：f(x)=x^3，则f'(x)=3x^23.指数函数导数公式：如果f(x)=e^x，则其导数为f'(x)=e^x。
例如：f(x)=e^2，则f'(x)=e^24.对数函数导数公式：如果f(x) = ln(x)，则其导数为f'(x) = 1/x。
例如：f(x) = ln(2)，则f'(x) = 1/25.三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = sin(x)，则其导数为f'(x) = cos(x)。
(2) 如果f(x) = cos(x)，则其导数为f'(x) = -sin(x)。
(3) 如果f(x) = tan(x)，则其导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数导数公式：(1) 如果f(x) = arcsin(x)，则其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 如果f(x) = arccos(x)，则其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(3) 如果f(x) = arctan(x)，则其导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数的运算法则：1.常数乘法法则：设c为常数，f(x)为可导函数，则(cf(x))' = c*f'(x)。
例如：如果f(x)=2x，则f'(x)=2*1=22.求和差法则：设f(x)，g(x)为可导函数，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
基本初等函数的求导公式
基本初等函数的求导公式
基本初等函数的求导公式包括：常数函数的导数为零，指数函数的导数为零，对数函数的导数为零，三角函数的导数如下：
- 正弦函数的导数是余弦函数，即 $(sinx)" = cosx$
- 余弦函数的导数是正弦函数，即 $(cosx)" = -sinx$
- 正切函数的导数是余切函数，即 $(tanx)" = -cscx$
- 余切函数的导数是正切函数，即 $(cotx)" = cscx$
- 自然对数的导数是自然对数，即 $(lnx)" = 1/x$
- 换底公式的导数是换底公式，即 $(ex)" = e^x$
此外，还有一些其他的基本初等函数的求导公式，例如反三角函数、双曲函数等。
这些函数的导数可以通过基本的求导法则推导出来。
基本函数的求导公式
基本函数的求导公式在微积分的学习中，求导是一个重要的概念。
求导可以理解为求函数的变化率，或者说是函数在某一点的斜率。
基本函数是指一些常见的函数，它们的求导公式是我们学习微积分时必须掌握的基础知识。
一、常数函数的求导常数函数是指函数的值恒定不变，不随自变量的改变而改变。
常数函数的求导很简单，因为它的变化率为零。
所以，对于常数函数f(x) = c，其中c是一个常数，其导函数为f'(x) = 0。
二、幂函数的求导幂函数是指形如f(x) = x^n的函数，其中n是一个实数。
幂函数的导函数可以通过幂函数的指数减1，并乘以幂函数的系数得到，即f'(x) = n * x^(n-1)。
例如，对于f(x) = x^3，其导函数为f'(x) = 3 * x^2。
三、指数函数的求导指数函数是指以底数大于0且不等于1的常数为底的函数，形如f(x) = a^x，其中a是一个正常数。
指数函数的导函数可以通过指数函数的底数乘以指数函数的自变量的自然对数得到，即f'(x) = a^x * ln(a)。
例如，对于f(x) = 2^x，其导函数为f'(x) = 2^x *ln(2)。
四、对数函数的求导对数函数是指以某个正实数为底的对数函数，形如f(x) = log_a(x)，其中a是一个正实数且不等于1。
对数函数的导函数可以通过自变量的倒数乘以对数函数的底数的自然对数得到，即f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
例如，对于f(x) = log_2(x)，其导函数为f'(x) = 1 / (x * ln(2))。
五、三角函数的求导三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数等函数。
不同的三角函数有不同的求导公式，这里我们以正弦函数和余弦函数为例进行说明。
正弦函数的导函数是余弦函数，即f'(x) = cos(x)。
例如，对于f(x) = sin(x)，其导函数为f'(x) = cos(x)。
常用的基本求导公式
常用的基本求导公式在微积分中，求导是一种求函数导数的运算，它是微积分的基础知识。
常用的基本求导公式是指在求导时所要运用的一些基本规则和公式。
下面是一些常用的基本求导公式：1.常数规则：如果f(x)=c，其中c是一个常数，那么f'(x)=0。
2. 幂规则：如果f(x) = x^n，其中n是实数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
这条规则表示，对于任意整数n，常数倍的幂函数都是自己的导数。
3.指数规则：如果f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x。
这条规则表示，自然指数函数的导数等于自身。
4. 对数规则：如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。
这条规则表示，自然对数函数的导数是其自变量的倒数。
5.三角函数的导数规则：(a) 如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。
这条规则表示，正弦函数的导数是余弦函数。
(b) 如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。
这条规则表示，余弦函数的导数是负的正弦函数。
(c) 如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) = sec^2(x)。
这条规则表示，正切函数的导数是它的平方的倒数。
6.反函数的求导规则：如果y=f(x)是可逆的，并且f'(x)≠0，那么f^(-1)'(y)=1/f'(x)。
这条规则表示，如果f(x)的导数不为零，那么其反函数的导数等于原函数导数的倒数。
7.和、差、积的求导规则：(a)f(x)+g(x)的导数等于f'(x)+g'(x)。
(b)f(x)-g(x)的导数等于f'(x)-g'(x)。
(c)f(x)g(x)的导数等于f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
8.商的求导规则：如果f(x)=g(x)/h(x)，那么f'(x)=(g'(x)h(x)-g(x)h'(x))/[h(x)]^2、这条规则表示，一个函数的商的导数等于分子导数与分母的导数之差除以分母的平方。
求导公式大全24个
求导公式大全24个以下是求导公式的一个较为完整的列表，总共有24个：1. 常数函数的导数：$f(x) = C \Rightarrow f'(x) = 0$，其中$C$是常数。
2. 幂函数的导数：$f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = nx^{n-1}$，其中$n$是实数。
3. 指数函数的导数：$f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x$。
4. 对数函数的导数：$f(x) = \ln(x) \Rightarrow f'(x) =\frac{1}{x}$，其中$x>0$。
5. 三角函数的导数：$f(x) = \sin(x) \Rightarrow f'(x) =\cos(x)$。
6. 三角函数的导数：$f(x) = \cos(x) \Rightarrow f'(x) = -\sin(x)$。
7. 三角函数的导数：$f(x) = \tan(x) \Rightarrow f'(x) =\sec^2(x)$。
8. 反三角函数的导数：$f(x) = \arcsin(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，其中$-1 \leq x \leq 1$。
9. 反三角函数的导数：$f(x) = \arccos(x) \Rightarrow f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，其中$-1 \leq x \leq 1$。
10. 反三角函数的导数：$f(x) = \arctan(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$。
11. 反三角函数的导数：$f(x) = \arccsc(x) \Rightarrow f'(x) = -\frac{1}{，x，\sqrt{x^2-1}}$，其中$，x，>1$。
基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式导数是数学中的一个重要概念，表示函数在特定点上的变化率。
在微积分中，我们常常需要求出各种函数的导数，以便解决实际问题和进行更深入的研究。
在这篇文章中，我们将介绍一些基本初等函数的导数公式。
1.常数函数的导数：如果f(x)=C（C为常数），则f'(x)=0。
因为对于常数函数来说，它在任何点上的变化率都为零，所以导数为零。
2.幂函数的导数：a. 若f(x) = x^n（n为正整数），则f'(x) = nx^(n-1)。
这是最常见和最基本的导数公式之一b. 若f(x) = a^x（a>0, a≠1），则f'(x) = ln(a) * a^x。
这个公式可以通过对等式两边取对数得到。
3.指数函数的导数：若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
指数函数的导数恒等于自身，这是指数函数的一个重要性质。
4.对数函数的导数：a. 若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
这是自然对数函数的导数公式。
b. 若f(x) = log_a(x)，则f'(x) = 1/(x * ln(a))。
这是以a为底的对数函数的导数公式，可以通过换底公式和链式法则推导得到。
5.三角函数的导数：a. 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
正弦函数的导数是余弦函数。
b. 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
余弦函数的导数是负的正弦函数。
c. 若f(x) = tan(x) = sin(x)/cos(x)，则f'(x) = sec^2(x) =1/cos^2(x)。
正切函数的导数可以通过商法则和基本三角函数的导数公式推导得到。
6.反三角函数的导数：a. 若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/sqrt(1-x^2)。
反正弦函数的导数可以通过隐式求导和三角函数的导数公式得到。
基本函数的求导公式
基本函数的求导公式及其应用1. 导数的定义在微积分中，导数是一种描述函数变化率的重要工具。
导数可以用极限的形式来定义，如下：f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h这个定义表示，当自变量x的增量h趋于零时，函数f(x)的增量与h的比值趋于一个常数，这个常数就是f(x)在x处的导数，记作f′(x)。
也可以用另一种等价的形式来定义导数：f′(x)=limx1→x f(x1)−f(x) x1−x这个定义表示，当自变量x1趋于x时，函数f(x)的平均变化率趋于一个常数，这个常数就是f(x)在x处的导数，记作f′(x)。
导数的几何意义是函数曲线在某一点处的切线的斜率。
如下图所示，函数f(x)在点(x,f(x))处的切线的斜率就是f′(x)。
2. 常见函数的求导公式根据导数的定义，我们可以求出一些常见函数在任意点处的导数。
下面列出了一些基本函数的求导公式：常数函数：f(x)=C，则f′(x)=0幂函数：f(x)=x n，则f′(x)=nx n−1指数函数：f(x)=a x，则f′(x)=a x ln a对数函数：f(x)=log a x，则f′(x)=1x ln a三角函数：f(x)=sin x，则f′(x)=cos x三角函数：f(x)=cos x，则f′(x)=−sin x三角函数：f(x)=tan x，则f′(x)=sec2x反三角函数：f(x)=arcsin x，则f′(x)=1√1−x2反三角函数：f(x)=arccos x，则f′(x)=−1√1−x2反三角函数：f(x)=arctan x，则f′(x)=11+x23. 求导法则除了直接根据定义求导外，我们还可以利用一些求导法则来简化求导过程。
下面介绍几种常用的求导法则：四则运算法则：如果f(x)和g(x)都可导，则(f+g)′(x)=f′(x)+g′(x)(f−g)′(x)=f′(x)−g′(x)(fg)′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)(f g)′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)链式法则：如果f(u)和u=g(x)都可导，则(f∘g)′(x)=f′(g(x))g′(x)反函数法则：如果f(x)是可导的单调函数，且f′(x)≠0，则(f−1)′(x)=1f′(f−1(x))4. 求导实例下面给出一些利用求导公式和法则求导的实例：求f(x)=x2+2x−3的导数解：根据幂函数和四则运算法则，有f′(x)=(x2)′+(2x)′−(3)′=2x+2−0=2x+2求f(x)=e x sin x的导数解：根据指数函数、三角函数和乘积法则，有f′(x)=(e x)′sin x+e x(sin x)′=e x sin x+e x cos x=e x(sin x+cos x)求f(x)=ln(1+x2)的导数解：根据对数函数、幂函数和链式法则，有f′(x)=11+x2(1+x2)′=11+x2(0+2x)=2x1+x2求f(x)=√x的导数解：根据反函数法则，我们可以先求出f(x)的反函数为g(x)=x2，然后求出g′(x)=2x，再代入反函数法则得到f′(x)=1g′(f(x))=12√x5. 总结本文介绍了基本函数的求导公式，包括导数的定义、常见函数的求导公式、求导法则和求导实例。
常用基本求导公式
常用基本求导公式求导是微积分中的重要概念之一，对于学习微积分的同学们来说，熟悉并掌握常用的基本求导公式是非常必要的。
下面是对常用的基本求导公式进行总结：一、常数的导数：若c是常数，则有 d(c)/dx = 0二、幂函数的导数：若f(x) = x^n，其中n是常数，则有 d(f(x))/dx = nx^(n-1)三、指数函数的导数：若f(x) = a^x，其中a>0且a≠1，则有 d(f(x))/dx = ln(a) * a^x四、对数函数的导数：(1) 若f(x) = ln(x)，则有 d(f(x))/dx = 1/x(2) 若f(x) = log_a(x)，其中a>0且a≠1，则有 d(f(x))/dx = 1/(x ln(a))五、三角函数的导数：(1) 若f(x) = sin(x)，则有 d(f(x))/dx = cos(x)(2) 若f(x) = cos(x)，则有 d(f(x))/dx = -sin(x)(3) 若f(x) = tan(x)，则有 d(f(x))/dx = sec^2(x)(4) 若f(x) = cot(x)，则有 d(f(x))/dx = -csc^2(x)六、反三角函数的导数：(1) 若f(x) = arcsin(x)，则有d(f(x))/dx = 1/√(1-x^2)(2) 若f(x) = arccos(x)，则有 d(f(x))/dx = -1/√(1-x^2)(3) 若f(x) = arctan(x)，则有 d(f(x))/dx = 1/(1+x^2)(4) 若f(x) = arccot(x)，则有 d(f(x))/dx = -1/(1+x^2)七、复合函数的导数：若y = f(g(x))，其中y是复合函数，f和g是可导函数，则有dy/dx = d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)八、和、差、积、商的导数：(1)和差的导数：若f(x)和g(x)都是可导函数，则有d(f(x) ± g(x))/dx = f'(x) ± g'(x)(2)积的导数：若f(x)和g(x)都是可导函数，则有d(f(x) * g(x))/dx = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)(3)商的导数：若f(x)和g(x)都是可导函数，并且g(x)≠0，则有d(f(x) / g(x))/dx = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2九、链式法则：若y = f(u)和u = g(x)都是可导函数，则有 dy/dx =d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)十、反函数的导数：若y = f(x)是可导函数，则有 dx/dy = 1 / (dy/dx)这些是微积分中常用的基本求导公式，熟练掌握它们能够帮助我们快速计算函数的导数，进而应用于解决实际问题。
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基本初等函数求导公式(1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a xx ln )(=' (10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x -=' (14)211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=２. 双曲函数与反双曲函数的导数.双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，,),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有y x F F dx dy-= (2)公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。
现仅就公式(2)作如下推导。
将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式0))(,(≡x f x F ,其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得,0=∂∂+∂∂dx dy y F x F由于yF 连续，且),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内≠y F ，于是得.y x F F dx dy-=如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得dxdy F F y F F x dx y d y x y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=22.232222yx yy y x xy y xx y x yx yy y xy y xyz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=例1 验证方程0122=-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。
解 设=),(y x F 122-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此由定理1可知，方程0122=-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。
下面求这函数的一阶和二阶导数y x F F dx dy -==y x -， 0==x dx dy ;22dx y d =,1)(332222y y x y y y xx y y y x y -=+-=---='--122-==x dx yd 。
隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程F (z y x ,,)=0 (3)就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1一样，我们同样可以由三元函数F (z y x ,,)的性质来断定由方程F (z y x ,,)=0所确定的二元函数z =),(y x 的存在，以及这个函数的性质。
这就是下面的定理。
隐函数存在定理 2 设函数F (z y x ,,)在点),,(000z y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),,(000=z y x F ，0),,(000≠z y x F z ，则方程F (z y x ,,)=0在点),,(000z y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有x z ∂∂=z x F F -,y z ∂∂=z yF F -. (4)这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导. 由于 F (y x ,, f ),(y x )≡0, 将上式两端分别对x 和y 求导，应用复合函数求导法则得x F +z F x z∂∂=0, y F+z F y z ∂∂=0。
因为z F 连续，且0),,(000≠z y x F z ,所以存在点),,(000z y x 的一个邻域，在这个邻域内z F ≠0，于是得x z ∂∂=z x F F -,y z ∂∂=z yF F -。
例2 设04222=-++z z y x ，求.22x z∂∂解 设F (z y x ,,) =z z y x 4222-++，则x F =2x , z F =42-z .应用公式(4)，得 x z∂∂=z x -2。
再一次x 对求偏导数，得22x z ∂∂2)2()2(z xz x z -∂∂+-=.)2()2()2(2)2(3222z x z z z x x z -+-=-⎪⎭⎫⎝⎛-+-=二、方程组的情形下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。
我们不仅增加方程中变量的个数。
而且增加方程的个数，例如，考虑方程组⎩⎨⎧==.0),,,(,0),,,(z u y x G v u y x F (5)这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。
在这种情形下，我们可以由函数F 、G 的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。
我们有下面的定理。
隐函数存在定理3 设函数),,,(v u y x F 、),,,(v u y x G 在点),,,(00000v u y x P 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又0),,,(0000=v u y x F ，0),,,(0000=v u y x G ,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):=J ),(),(v u G F ∂∂=v G u Gv F uF∂∂∂∂∂∂∂∂在点),,,(00000v u y x P 不等于零，则方程组0),,,(=v u y x F ，0),,,(=v u y x G 在点),,,(0000v u y x 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数),(),,(y x v v y x u u ==，它满足条件),(),,(000000u x v v y x u u ==，并有x u∂∂-=),(),(1v x G F J ∂∂-=,v u v u v xv x G G F F G G F Fx v∂∂-=),(),(1x u G F J ∂∂-=,vuv u x ux u G G F F G G F F (6)y u ∂∂-=),(),(1v y G F J ∂∂-=,v vvu v yvy G G F F G G F Fy v ∂∂-=J 1),(),(y u G F ∂∂-=.u y uyu v uv F F G G F F G G这个定理我们不证.例3 设1,0=+=-xv yu yv xu ，求x u ∂∂,y u ∂∂,x v ∂∂和y v∂∂.解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。
下面我们利用后一种方法来做。
将所给方程的两边对x 求导并移项，得⎪⎩⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂.,v x v x x u y u x v y x ux在22≠+=-=y x xyy x J 的条件下，.,2222y x xv yu xy y x v y ux x v y x yv xu xy y x x v yu x u +-=---=∂∂++-=----=∂∂将所给方程的两边对y 求导，用同样方法在022≠+=y x J 的条件下可得 ,22y x yu xv y u +-=∂∂ .22y x yvxu y v ++-=∂∂。