-基本初等函数的导数公式及四则运算
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常见函数的导数及四则运算
高二理科一二班卢
二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数.
y 解 :y f( x ) C , y f( x x ) f( x ) CC , 0 , x y f ( x ) C l i m 0 . x 0 x
例 1 求 f ( x ) x 2 x s i n x 在 x 0 时 的 导 数 .
3 2
例2
设 y = xlnx ， 求 y .
例3
解
设 y
x 1 , 求 y . 2 x 1
根据除法公式，有
2 2 x 1 ( x 1 )( x 1 ) ( x 1 ) ( x 1 ) y 2 2 2 x 1 ( x 1 )
f( x )' f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x ) ) （3） ( 2 g ( x ) g( x )
特殊地 （c为常数） ( c f(x ) ) c f (x )
' '
'
'
g x 1 ' ( ) 2 g(x) g (x)
'
注意：1、前提条件导数存在； ２、和差导数可推广到任意有限个； ３、商的导数右侧分子中间“－”， 先 子导再母导。
Leabharlann Baidu
公式1: C = 0 (C为常数)
2)y f (x) x, y'1 3 ) y f ( x ) x , y ' 2x 1 1 4 ) y f (x) , y' 2 x x
2
公式2:
.) ( x) nx( n Q
n n 1
公式3:
(sin x ) cos x
1 ( 2 ) 已知 y 2,求 f ( 3 ). x
3
1 2 f ( 3 ) 2 ( 3 ) 2 27 27
例3.求下列函数的导数
( 1 )y sin( x ) 2 ( 3 )y cos( 2 x )
( 2 )y sin 3
例4.求下列函数的导数
公式4:
(cos x ) sin x
公式5:对数函数的导数
1 ( 1 )( l o g x ) ( a 0 , a 1 ) . a x l n a 1 (2) (ln x) . x
公式6:指数函数的导数
x x
( 1 )() a a l n a ( a 0 , a 1 ) .
e . ( 2 ) ( e)
x x
a 是两个不同 注意:关于ax和 x
的函数,例如:
(1 )( 3 ) 3 ln a
x
x
(2)(x ) 3 x
3
2
总结：我们今后可以直接使用的基本初等函数 的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0; 公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ; 公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ; 公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ; 公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 ); 公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ; 1 公 式 7 .若 f ( x ) lo g a x , 则 f '( x ) ( a 0 , 且 a 1); x ln a 1 公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) ; x
( 1 ) y 4
x
( 2 ) y x l o g
3
(三)函数的和、差、积、商的求导法则 设f(x)、g(x)是可导的
f ( x ) g ( x )]' f ' ( x ) g ' ( x ); （1） [
' ' '
（2） ( f ( x ) g ( x )) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
例1：求下列函数的导数
( 1 )yx
5
( 2 )y x x x
例2: ( 1 ) 已知 y x , 求 f ( 2 ).
3
3 3 1 2 解： y ( x ) 3 x 3 x
2 f( 2 ) 3 ( 2 ) 12
2 2 1 3 解： y ( x ) 2 x 2 x
(1 ) y x 2 x 3 1 2 (2 ) y 2 ; x x x (3 ) y ; 2 1 x ( 4 ) y ta n x ;
3 2
例4:求下列函数的导数:
2 3 答案: ( 1 )y x 2 ;
1 4 3; 2 x x 1 x2 (3) y ; 2 2 (1 x ) (2) y
2 2 ( x 1 )[( x ) ( 1 ) ] [( x ) ( 1 ) ]( x 1 ) 2 2 ( x 1 )
2 2 ( x 1 ) 2 x ( x 1 ) 2 x x 1 2 2. 2 2 ( x 1 ) ( x 1 )
(5 ) y (2 x 3 ) 1 x ; 1 (6 ) y 4 ; x (7 ) y x x ;
2
1 (4) y ; 2 cos x 6 x3 x (5) y ; 2 1 x
(6) y
(7) y
4 ; 5 x
3 x; 2
练习： 求下列函数的导数： 5 3 2 2 (1)y＝x －3x －5x ＋6； (2)y＝(2x ＋3)(3x－2)； x－ 1 (3)y＝ ； (4)y＝x· tan x. x＋ 1
高二理科一二班卢
二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数.
y 解 :y f( x ) C , y f( x x ) f( x ) CC , 0 , x y f ( x ) C l i m 0 . x 0 x
例 1 求 f ( x ) x 2 x s i n x 在 x 0 时 的 导 数 .
3 2
例2
设 y = xlnx ， 求 y .
例3
解
设 y
x 1 , 求 y . 2 x 1
根据除法公式，有
2 2 x 1 ( x 1 )( x 1 ) ( x 1 ) ( x 1 ) y 2 2 2 x 1 ( x 1 )
f( x )' f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x ) ) （3） ( 2 g ( x ) g( x )
特殊地 （c为常数） ( c f(x ) ) c f (x )
' '
'
'
g x 1 ' ( ) 2 g(x) g (x)
'
注意：1、前提条件导数存在； ２、和差导数可推广到任意有限个； ３、商的导数右侧分子中间“－”， 先 子导再母导。
Leabharlann Baidu
公式1: C = 0 (C为常数)
2)y f (x) x, y'1 3 ) y f ( x ) x , y ' 2x 1 1 4 ) y f (x) , y' 2 x x
2
公式2:
.) ( x) nx( n Q
n n 1
公式3:
(sin x ) cos x
1 ( 2 ) 已知 y 2,求 f ( 3 ). x
3
1 2 f ( 3 ) 2 ( 3 ) 2 27 27
例3.求下列函数的导数
( 1 )y sin( x ) 2 ( 3 )y cos( 2 x )
( 2 )y sin 3
例4.求下列函数的导数
公式4:
(cos x ) sin x
公式5:对数函数的导数
1 ( 1 )( l o g x ) ( a 0 , a 1 ) . a x l n a 1 (2) (ln x) . x
公式6:指数函数的导数
x x
( 1 )() a a l n a ( a 0 , a 1 ) .
e . ( 2 ) ( e)
x x
a 是两个不同 注意:关于ax和 x
的函数,例如:
(1 )( 3 ) 3 ln a
x
x
(2)(x ) 3 x
3
2
总结：我们今后可以直接使用的基本初等函数 的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0; 公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ; 公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ; 公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ; 公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 ); 公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ; 1 公 式 7 .若 f ( x ) lo g a x , 则 f '( x ) ( a 0 , 且 a 1); x ln a 1 公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) ; x
( 1 ) y 4
x
( 2 ) y x l o g
3
(三)函数的和、差、积、商的求导法则 设f(x)、g(x)是可导的
f ( x ) g ( x )]' f ' ( x ) g ' ( x ); （1） [
' ' '
（2） ( f ( x ) g ( x )) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
例1：求下列函数的导数
( 1 )yx
5
( 2 )y x x x
例2: ( 1 ) 已知 y x , 求 f ( 2 ).
3
3 3 1 2 解： y ( x ) 3 x 3 x
2 f( 2 ) 3 ( 2 ) 12
2 2 1 3 解： y ( x ) 2 x 2 x
(1 ) y x 2 x 3 1 2 (2 ) y 2 ; x x x (3 ) y ; 2 1 x ( 4 ) y ta n x ;
3 2
例4:求下列函数的导数:
2 3 答案: ( 1 )y x 2 ;
1 4 3; 2 x x 1 x2 (3) y ; 2 2 (1 x ) (2) y
2 2 ( x 1 )[( x ) ( 1 ) ] [( x ) ( 1 ) ]( x 1 ) 2 2 ( x 1 )
2 2 ( x 1 ) 2 x ( x 1 ) 2 x x 1 2 2. 2 2 ( x 1 ) ( x 1 )
(5 ) y (2 x 3 ) 1 x ; 1 (6 ) y 4 ; x (7 ) y x x ;
2
1 (4) y ; 2 cos x 6 x3 x (5) y ; 2 1 x
(6) y
(7) y
4 ; 5 x
3 x; 2
练习： 求下列函数的导数： 5 3 2 2 (1)y＝x －3x －5x ＋6； (2)y＝(2x ＋3)(3x－2)； x－ 1 (3)y＝ ； (4)y＝x· tan x. x＋ 1