广东省汕头市潮阳棉城中学高二数学文下学期期末试题含解析

广东省汕头市潮阳棉城中学高二数学文下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
D
【考点】极差、方差与标准差．
【专题】计算题．
【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．
【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，
因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，
设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；
∴|x﹣y|=2|t|=4，
故选D．
【点评】本题是一个平均数和方差的综合题，根据所给的平均数和方差，代入方差的公式进行整理，本题是一个基础题，可以作为选择和填空出现．
2. 设点为双曲线C：的左、右焦点，P为C为一点，若△的面积为6，则的值是( )
A． B．3 C． D．9
参考答案：
D
3. 下面使用类比推理正确的是（） A．“若a·3=b·3，则a=b”类推出“若a·0=b·0，则a=b”
B．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a·b）c=ac·bc”
C．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“”
D．“”类推出“”
参考答案：
C
4. 某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的的值是（）
A．
B．
C．
D．
参考答案：
A
5. 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）
A 1800
B 3600
C 4320
D 5040
参考答案：
B
略
6. 设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最大值是（）
A．11 B．12 C．13
D．14
参考答案：
A
7. 不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集为M，如果M?[1，4]，求实数a的取值范围是（）
A．（﹣1，] B．（﹣1，2] C．[2，3）D．（﹣，]
参考答案：
A
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】该题实质上是二次函数的区间根问题，已知M?[1，4]，首先分类讨论①M=?，得出△＜0，解出a的范围；②M≠?，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围，然后综合①②的情况求出实数a的取值范围．
【解答】解：设f（x）=x2﹣2ax+a+2，有△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=4（a2﹣a﹣2），
∵M?[1，4]有两种情况：
①M=?，此时△＜0；
当△＜0时，﹣1＜a＜2，M=??[1，4]；
②其二是M≠?，此时△=0或△＞0，分三种情况计算a的取值范围
当△=0时，a=﹣1或2；
当a=﹣1时M={﹣1}?[1，4]；
当a=2时，m={2}?[1，4]．当△＞0时，a＜﹣1或a＞2．
设方程f（x）=0的两根x1，x2，且x1＜x2，
那么M=[x1，x2]，M?[1，4]
∴1≤x1＜x2≤4，
∴f（1）≥0且f（4）≥0，1≤a≤4，且△＞0，
即，解得2＜a≤，
综上讨论知，当M?[1，4]时，a的取值范围是（﹣1，]，
故选：A．
8. 已知sinx+cosx=（0≤x＜π），则tanx的值等于（）
A．﹣B．﹣C．D．
参考答案：
B
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】先根据sinx+cosx的值和二者的平方关系联立求得cosx的值，进而根据同角三角函数的基本关系求得sinx的值，最后利用商数关系求得tanx的值．
【解答】解：由sinx+cosx=，得sinx=﹣cosx，代入sin2x+cos2x=1，
得：（5cosx﹣4）（5cosx+3）=0，
∴cosx=或cosx=﹣，当cosx=时，得sinx=﹣，
又∵0≤x＜π，
∴sinx≥0，故这组解舍去；
∴当cosx=﹣时，sinx=，tanx=﹣．
故选：B．
9. 已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O 为原点，则直
线OM的斜率为()．
A. B．－/3 C．2D．－2参考答案：
C
略
10. 若函数，在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）
A. （1，4）
B. （2，4）
C. [3，4）
D. （2，3]
参考答案：
C
【分析】
根据条件函数在R上单调递增，从而在[1,+∞）上单调递增，根据对数函数的单调性有，根据一次函数的单调性有．根据增函数的定义可得求交集即可得出实数a的取值范围．
【详解】在[1,+∞）上单调递增，故；
在上单调递增，故，得；
且由增函数的定义可得，故，
综上实数的取值范围是[3，4）
故选：C
【点睛】本题考查一次函数的单调性，对数函数的单调性，以及增函数的定义，分段函数单调性的特点，是易错题
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知关于的不等式在R上恒成立，则实数的取值范围
是
参考答案：
12. 已知M (1， 0)、N (－1， 0)，直线2x+y=b与线段MN相交，则b的取值范围是．参考答案：
.[-2,2]
13. 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线
所成的角的大小是。

参考答案：
略
14. 各边长为1的正四面体，内切球表面积为，外接球体积为．
参考答案：
【考点】球的体积和表面积．
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．
【分析】画出图形，确定两个球的关系，通过正四面体的体积，求出两个球的半径的比值，即可求棱长为1的正四面体的外接球体积、内切球的表面积．
【解答】解：设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O．
设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高．
设正四面体PABC底面面积为S．
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，
可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．
每个正三棱锥体积V1=?S?r 而正四面体PABC体积V2=?S?（R+r）
根据前面的分析，4?V1=V2，
所以，4??S?r=?S?（R+r），
所以，R=3r，
因为棱长为1，所以AD=，
所以PD=，
所以R=，r=
所以棱长为1的正四面体的外接球体积为π?（）2=、内切球的表面积为4π?（）
2=，
故答案为：，
【点评】本题是中档题，考查正四面体的内切球与外接球的表面积，找出两个球的球心重合，半径的关系是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．
15. 若函数在处取得极小值，则a的取值范围是______．
参考答案：
由题意，得，若时，令，得，令，得，即函数
在处取得极大值（舍）；当时，恒成立，即函数不存在极值；若时，令，得，令，得，即若函数在处取得极小值，此时.
点睛：本题考查利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的极值时，要注意可导函数在时存在极值，则，且两侧的导函数异号，若时，，时，，则在时取得极小值，往往忽视验证两侧的导函数是否异号.
16. 已知角的终边经过点P(-3,4)，则________.
参考答案：
【分析】
根据三角函数的定义可得到相应的三角函数值.
【详解】已知角的终边经过点P(-3,4),根据三角函数定义得到
故得到结果为：
故答案为：.
【点睛】这个题目考查了三角函数的定义，三角函数的定义将角的终边上的点的坐标和角的三角函数
值联系到一起，.知道终边上的点的坐标即可求出角的三角函数值，反之也能求点的坐标.
17. 若不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则
a+b= ．参考答案：
﹣10
考点：一元二次不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由题意和三个二次的关系可得，解方程组可得．
解答：解：∵不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，
∴a＜0且，解得，
∴a+b=﹣12+2=﹣10
故答案为：﹣10
点评：本题考查一元二次不等式的解集，涉及韦达定理，属基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=，向量=（﹣1，1），=（cosBcosC，sinBsinC﹣），且⊥．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）当sinB+cos（﹣C）取得最大值时，求角B的大小．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；函数思想；向量法；三角函数的求值．
【分析】（Ⅰ）利用已知向量的坐标结合⊥列式，再结合三角形内角和定理求得A的大小；（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的A值，把sinB+cos（﹣C）化为仅含有B的三角函数式，可得当
sinB+cos（﹣C）取得最大值时角B的大小．
【解答】解：（Ⅰ）∵⊥，∴，
即，
∵A+B+C=π，∴cos（B+C）=﹣cosA，
∴cosA=，A=；
（Ⅱ）由，
故
=．
由，
故取最大值时，．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，是基础的计算题．19. 已知为椭圆,的左右焦点，是坐标原点，过作垂直于轴的直线交椭圆于，设 .
（1）证明：成等比数列；
(2)若的坐标为，求椭圆的方程；
（3）在(2)的椭圆中，过的直线与椭圆交于、两点，若，求直线的方程．参考答案：
(1)证明：由条件知M点的坐标为，其中，
，
，即成等比数列．
(2)由条件知，
椭圆方程为
所以 +科+网]
由得
略
20. 有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三个点处，且AB=AC=13千米，BC＝10千米。

今计划合建一个中心医院。

为同时方便三个城镇，需要将医院建在BC的垂直平分线上的点P处。

若希望点P到三个城镇距离的平方和最小，点P应该位于何处？
参考答案：
解析：以BC中点为原点，BC所在直线为x轴，建立坐标系，则B(-5,0),C(5,0)，A(012)，设
P(0,y)∴PA2+PB2+PC2＝2（25＋y2）+(12-y)2=3(y-4)2+146∴y＝4时取最小值146，此时P的坐标为（0，4）。

21. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点且不垂直于轴直线与椭圆相交于
两个不同点。

（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围；
（3）若B点在于轴的对称点是E，证明：直线与轴相交于定点。

参考答案：
22. 已知数列满足：,.
（1）求证：是等差数列，并求出；
（2）证明：.
参考答案：
（1）由
，
所以，数列是以为首项，2为公差的等差数列。

……………………4分
……………………………………………………………………6分
（2）
………………………………8分
=
=
…………………………………………………………10分……………………………………………………………………12分。