北师大版本数学初中八年级下册的6.2平行四边形的判定学习知识讲解及例题演练

（平行四边形的判断定理
【学习目标】
1.平行四边形的四个判断定理及应用，会应用判断定理判断一个四边形能否是平行四边形．
2.会综合应用平行四边形的性质定理和判断定理解决简单的几何问题．
【重点梳理】
重点一、平行四边形的判断1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线相互均分的四边形是平行四边形.
重点解说：
1）这些判断方法是学习本章的基础，一定坚固掌握，当几种方法都能判断同一个行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判断方法既可作为判断平行四边形的依照，也可作为“画平行四边形”的依照.
【典型例题】
种类一、平行四边形的判断
1、如图，点 A、B、C在正方形网格的格点上（小正方形的边长为单位 1）．（1）在图中确立格点D，
并画出以 A、B、C、D为极
点的平行四边形．
（2）若以C为原点，BC
所在直线为x轴，成立直
角坐标系，则你确立的点D 的坐标是
________________.
【思路点拨】（1）分为三种状况：以AC为对角线时、以AB为对角线时、以BC为对
角线时，画出图形，依据A、B、C的坐标求出即可；
2）在（1）的基础上，把y
轴向左平移了一个单位，依
据平移性质求出即可．【答
案与分析】
1）解：从图中可知A（-3，2），B（-4，0）C（-1，0），以AB为对角线时，得出平行四边形ACBD1，D1的
坐标是（-6，2），
以AC为对角线时，得出平行四边形ABCD2，D2的
坐标是（0，2），
以BC为对角线时，得出平行四边形ABD3C，D3的
坐标是（-2，-2），
2）解：以C为原点，BC所
在直线为x轴，成立直角坐
标系，D的坐标是（-1，2），（1，2），（-5，2），故答案为：（-1，2）或（1，2）或（-5，2）．
【总结升华】此题考察了平
行四边形的性质和坐标与图
形性质的应用，主要考察学生可否运
用平行四边形的性质进行计算，注意：必定要进行分类
议论．
贯通融会
【变式】（2019?呼伦贝尔）
如图，分别以Rt△ABC的直
角边AC及斜边AB向外作等
边△ACD及等边△ABE，已知：
∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足
为F，连结DF．
1）试说明AC=EF；
2）求证：四边形ADFE是平
行四边形．【答案】
第1页
证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
AB=2AF
AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
2、类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右
平移1个单位．用实数加法表示为3+（-2）=1．
若坐标平面上的点作以下平移：沿x轴方向平移的数目为a（向右为正，向左为负，平移|a|
个单位），沿y轴方向平移的数目为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法例为{a，
b}+{c，d}={a+c，b+d}．
解决问题：
1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}；
2）①动点P从坐标原点O出发，先依照“平移量”{3，1}平移到A，再依照“平移量”
{1，2}平移到B；若先把动点P依照“平移量”{1，2}平移到C，再依照“平移量”
{3，1}平移，最后的地点还是点B吗？在图1中画出四边形OABC．
②证明四边形OABC是平行四边形．
（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码
头Q（5，5），最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
【思路点拨】（1）此题主假如类比学习，因此重点是由给出的例题中找出解题规律，即前项
加前项，后项加后项．
（2）依据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，按序连结即可．
（3）依据题中的文字表达列出式子，依据（1）中的规律计算即可．
【答案与分析】
第2页
解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}；
{1，2}+{3，1}={4，3}．
（2）①绘图
最后的地点还是B．
②证明：由①知，A（3，1），B（4，3），C（1，2）
∴OC=AB=12225，
OA=BC=321210，
∴四边形OABC是平行四边形．
（3）从O出发，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可知平移量为{2，3}，
同理获得P到Q的平移量为{3，2}，从Q到O的平移量为{-5，-5}，故有
{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0，0}．
【总结升华】此题考察了几何变换中的平移变换，解答此题重点是认
真审题，理解题目给出的信息，关于此类题目同学们不可以自制凭幻
想象着解答，必定要依照题目给出的思路求解，
战胜思想定势．
贯通融会：
【变式】一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2
个单位，相当于向右平移3个单
位．用实数加法表示为5+（-2）=3．
若平面直角坐标系xOy中的点作以下平移：沿x轴方向平移的
数目为a（向右为正，向左为
负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数目为b（向上为正，向下
为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移
量”．规定“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法例为
{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．
1）计算：{3，1}+{1，2}；
2）若一动点从点A（1，1）出发，先依照“平移量”{2，1}平移到点
B，再依照“平移量”
{-1，2}平移到点C；最后依照“平移量”{-2，-1}平移到点D，
在图中画出四边形ABCD，并
直接写出点D的坐标；
（3）将（2）中的四边形ABCD以点A为中心，顺时针旋转
90°，点B旋转到点 E，连结
AE、BE若动点P从点A出发，沿△AEB的三边AE、EB、BA平移
一周．请用“平移量”加法算式表示动点P的平移过程．
【答案】
解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}；
2）B点坐标为：（1+2，1+1）=（3，2）；C点坐标为：（3-1，
2+2）=（2，4）；D点坐标为：（2-2，4-1）=（0，3）；
①以下图：
②D（0，3）．
（3）点A至点E，向右平移1个单位，向下平移2
个单位；
点E至点B，向右平移1个单位，向上平移3个单
位；
点B至点A，向左平移2个单位，向下平移1个单
位；
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故动点P的平移过程可表示为：{1，-2}+{1，3}+{-2，-1}．
3、如图，平行四边形A BCD的对角线订交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，
CD的延伸线交于点E，F．求证：四边形AECF是平行四边形．
【思路点拨】平行四边形的判断方法有多种，选择哪一种解答应先剖析题目中给的哪一方面
的条件多些，此题所给的条件为四边形ABCD是平行四边形，可证OF=OE，OA=OC，根据条件在图形中的地点，可选择利用“对角线相互均分的四边形为平行四边形”来解决．
【答案与分析】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
OD=OB，OA=OC，∵AB∥CD，
∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，
∴在△FDO和△EBO中，
DFO＝BEO
FDO＝EBO,
OD＝OB
∵∴△FDO≌△E
BO（AAS），
OF=OE，
∴四边形AECF
是平行四边形．
【总结升华】平行
四边形的判断方法
共有五种，应用时
要认真领悟它们之
间的联系与差别，
同时要依据条件合
理、灵巧地选择方
法．
种类二、平行四边
形的性质定理与判
断定理的综合运用
4、如图，△ABC
中AB=AC，点D
从点B出发沿射
线BA挪动，同时，
点E从点C出发
沿线段AC的延伸
线挪动，已点知D、
E挪动的速度同样，
DE与直线BC订
交于点F．（1）
如图1，当点D在
线段AB上时，过
点D作AC的平行
线交BC于点G，
连结CD、
GE，判断四边形
CDGE的形状，
并证明你的结论；
（2）过点D作直
线BC的垂线垂足
为M，当点D、E
在挪动的过程中，
线段BM、MF、
CF
有何数目关系？请
直接写出你的结论．
【思路点拨】（1）
由题意得出
BD=CE，由平
行线的性质得出∠
DGB=∠ACB，
由等腰三角
形的性质得出∠
B=∠ACB，得
出∠B=∠DGB，
证出BD=GD=CE，
即可得出结论；
（2）由（1）得：
BD=GD=CE，由
等腰三角形的三线
合一性质得出
BM=GM，由平
行线得
出GF=CF，即可
得出结论．【答案
与分析】
解：（1）四边形
CDGE是平行
四边．原因以下：
如图1所示：
D、E挪动的速度
同样，∴BD=CE，
DG∥AE，
∴∠DGB=∠ACB，
AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠DGB，
第4页
BD=GD=CE，
又∵DG∥CE，
∴四边形CDGE是平行四边形；
（2）BM+CF=MF；原因以下：如图2所示：
由（1）得：BD=GD=CE，
DM⊥BC，
BM=GM，∵DG∥AE，
GF=CF，
BM+CF=GM+GF=MF．
【总结升华】此题考察了等腰三角形的判断与性质、平行四边形的判断与性质；娴熟掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的重点．贯通融会
【变式】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
1）求证：BE=DF；
2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不用说明原因）．
【答案】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；
2）四边形MENF是平行四边形．证明：由（1）可知：BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠MDB=∠NBD，
DM=BN，
∴△DMF≌△BNE，
NE=MF，∠MFD=∠NEB，
∴∠MFE=∠NEF，
MF∥NE，
∴四边形MENF是平行四边形．
5、如图，已知在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延伸线上，且AG=CH，连结GE、EH、HF、FG．
1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其他条件不变，则（1）中的结论能否成立？（不
用说明原因）
【思路点拨】（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD，AB∥CD，依据两直线平行内错角
第5页
相等得∠GBE=∠HDF．再由SAS可证△GBE≌△HDF，利用全等的性质，证明
GEF=∠HFE，进而得GE∥HF，又GE=HF，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证．
2）仍成立．可模仿（1）的证明方法进行证明．【答案与分析】
1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．又∵AG=CH，∴BG=DH．
又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．
GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，
GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．
2）解：仍成立．（证法同上）
【总结升华】此题考察的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
贯通融会
【变式】如图，ABCD中，对角线AC，BD订交于O点，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，BG⊥AG于G，DH⊥AC于H．求证：四边形GEHF是平行四边形．
【答案】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
BO=DO，AO=CO，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中,
AB＝CD
ABE＝CDF,
AEB＝CFD
∴△ABE≌△CDF（AAS），
BE=DF，
BO-BE=DO-DF，即：EO=FO，
同理：△ABG≌△CDH，
AG=CH，
AO-AG=CO-CH，即：GO=OH，
∴四边形GEHF是平行四边形．
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