沈阳市第一二0中学2021-2022学年高二上学期期初质量监测数学试卷
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A.30米B.60米C.90米D.103米
7.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业 重要成果，系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．系统中一颗地球静止轨道卫星的轨道位于地球赤道所在的平面内，轨道是以地球球心O为圆心的圆，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作一个球，球半径 ＝6400km，地球上点A的纬度是OA与地球赤道所在平面所成角的度数．在地球表面上能直接观测到这颗地球静止轨道卫星的点的纬度最大值记为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S．若 （单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为
则 ，
所以 平面QNR，
所以正四面体的体积为 ，
如图所示 ，在正八面体中，连接AC交平面EFBH于点O，则 平
面EFBH，
所以 ，
所以正八面体 体积为 ，
因为新多面体体积为原正四面体体积 与正八面体体积 之和，
角 的平面角．
易得 ， ，
四、解答题：本题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图，在空间四边形 中， ，点 为 的中点，设 ， ， .
（1）试用向量 ， ， 表示向量 ；
（2）若 ， ， ，求 的值.
18.如图. 四棱锥P-ABCD中， 平面ABCD，且 ， .
（1）求异面直线PC与AD所成角的余弦；
③
解由①②③构成的方程组可得 ，即点 的坐标
进而
设平面 的一个法向量为 ，可得
所以 ，令 ，解得 ，即 ，
易知，平面 的一个法向量 ，
，
由图可知，二面角 的大小为锐角，
二面角 的余弦值为 .
D.三棱锥 体积 定值.
12.当 时，函数 与 的图象恰有三个交点 ，且 是直角三角形，则（）
A. 的面积 B.
C.两函数的图象必在 处有交点D.
第二部分非选择题（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上.
13.已知 ， 为锐角， ， ．则 的值为__________．
【答案】D
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ABC
【12题答案】
【答案】BD
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】①. ②.
【17题答案】
【答案】（1） （2）
A. B. C. D.
6.鹳雀楼是我国著名古迹，位于今山西省永济市，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．更有唐朝诗人王之涣在作品《登鹳雀楼》中写下千古名句“欲穷千里目，更上一层楼”．如图是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼的项点C的仰角为 ，沿直线前进51.9米到达E点，此时看点A的仰角为 ，若点B，E，D在一条直线上， ，则楼高 约为（ ）（）
（2）求点A到平面PCD的距离.
20.已知 的内角 所对的边分别是 在以下三个条件中任先一个：① ；② ；③ ；
并解答以下问题：
（1）若选___________ 填序号 ，求 的值；
（2）在（1）的条件下，若 ，当 有且只有一解时，求实数 的范围及 面积S的最大值.
21.已知函数 ，其中常数 .
（1） 在 上单调递增，求 的取值范围；
10.已知 ，且 ．下列说法正确的是（）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. D.
11.一副三角板由一块有一个内角为 的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥 ，取 中点 与 中点 ，则下列判断中正确的是（）
A直线 面
B. 与面 所成的角为定值
C.设面 面 ，则有 ∥
（）
A.26%B.34%C.42%D.50%
8.a，b为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 的直角边 所在直线与a，b都垂直，斜边 以 为旋转轴选择，有下列结论：
①当直线 与a成60°角时， 与b成30°角；
②当直线 与a成60°角时， 与b成60°角；
③直线 与a所成角的最小值为45°；
④直线 与a所成角的最大值为60°；
（2）若 ，将函数 图像向左平移 个单位，得到函数 的图像，且过 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
22.正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体 和一个正八面体 的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．
沈阳市第120中学2021—2022学年度高二上学期
期初质量监测数学
满分：150分，时间：120分钟.
第一部分选择题（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 ，则下列向量中与 平行的是（）
A. B. C. D.
2.已知复数 ，则 （）
即 ，∵ 的图像过 ，∴ ，
得： ，即： ， ，∴ ， ，∵ ，∴ ，
得 ， ， ， ，
令 ，参变分离得 在 恒成立，令 ，
则函数 在 上递增，当 时， . .
【22题答案】
【答案】（1） ；（2） ；（3）新多面体是七面体；证明见解析．
【详解】（1）如图所示： ，在正四面体中，分别取PT，QR的中点，连接QN，RN，NG，
（1）求新多面体的体积；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）求新多面体为几面体？并证明．
23.已知矩形 ， 为 中点，将 至 折起，连结 .
（1）当 时，求证： ；
（2）当 时，求二面角 的余弦值.
参考答案
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
线PC与AD所成角的余弦值为 .
【小问2详解】
， ，设平面PCD的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，解得： ， ，故 ，设点A到平面
PCD的距离为 ，则
【20题答案】
【答案】（1）条件选择见解析； ；（2） ， .
【详解】解：（1）若选①，由已知化简得 ，
由正弦定理得 ，
由余弦定理得 .
因为 ，所以 ；
【详解】（1） ，
故
∵点E为AD的中点，
故
（2）由题意得
故
故
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
因为 平面ABCD， 平面ABCD
所以， ， ，因为 ，故以A为坐标原点， 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为 过点C作CE⊥AD于点E，则CE=AB=2，AE=BC=1，因为 ，所以DE=CE=2，故 ， ， ， ， ， ，设异面直线PC与AD所成角为 ，所以 ，异面直
若选②，由二倍角公式 ，故 ，
因为 ，所以 ；
若选③，由题设及正弦定理得 .
因为 ， 所以
由 可得 故 ，
因为 ， 故 ，因此 ；
（2）由已知 ，当 有且只有一解时， 或 ，
即 或 ，故 或 ， ，
①当 时， 为直角三角形，B为直角， ，故 ，所以 ；
②当 时 ，
由余弦定理可得
当且仅当 时等号成立，
三角形面积为 ，即 面积的最大值 .
综上， 面积的最大值 .
【21题答案】
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1）由题意得 ，又 ，得 的最小正周期为 ，
由正弦函数的性质，当 ，函数取得最小值， 函数取得最大值，
∴ 是函数 的一个单调递增区间，
又因为函数 ( )在 上单调递增，则 ，解得 .
（2）由（1）得 ，将函数 图像向左平移 个单位，得到函数 的图像，
由余弦定理得 .
（3）新多面体是七面体，证明如下：
由（2）可知，正八面体任何相邻面构成的二面角余弦值均为 ，设此角为 ．
在正四面体中，易得 为二面角 的平面角．
由余弦定理得 ，
即正四面体相邻面所构成的二面角 的余弦值为 ，
所以 ，因此新多面体是七面体．
【23题答案】
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【详解】（1）证明：由题意可知，
， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 .所以 .
（2）过点 作直线 平面 ，以点 为原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，设点 的坐标为 ，则 的坐标为 ，
①
又 ②，
其中正确的是_______.（填写所以正确结论的编号）.
A.①③B.①④C.②③D.②④
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9.已知向量 ，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. 向量 在向量 方向上的投影的数量是 D. 与向量 方向相同的单位向量是
14.在空间直角坐标系 中，设点 是点 关于坐标平面 的对称点，点 关于 轴对称点 ，则线段 的长度等于__________．
15.点 为边长为 的正四面体 底面 内一点，且直线 与底面 所成角的正切值为 ，则动点 所在曲线长度为___________．
16.在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝1，现将△ABC沿对角线AC翻折，得到四面体DABC，则该四面体外接球的体积为________；设二面角D－AC－B的平面角为θ，当θ在 内变化时，BD的取值范围为________．
A B. C. D.
3.已如向量 ， ，且 与 互相垂直，则 （）．
A. B. C. D.
4.设m，n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列说法正确的是（）
A.若 ， ， ，则
B.若 ， ， ，则
C.若 ， ， ，则
D.若 ， ， ，则
5.正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）
7.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业 重要成果，系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．系统中一颗地球静止轨道卫星的轨道位于地球赤道所在的平面内，轨道是以地球球心O为圆心的圆，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作一个球，球半径 ＝6400km，地球上点A的纬度是OA与地球赤道所在平面所成角的度数．在地球表面上能直接观测到这颗地球静止轨道卫星的点的纬度最大值记为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S．若 （单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为
则 ，
所以 平面QNR，
所以正四面体的体积为 ，
如图所示 ，在正八面体中，连接AC交平面EFBH于点O，则 平
面EFBH，
所以 ，
所以正八面体 体积为 ，
因为新多面体体积为原正四面体体积 与正八面体体积 之和，
角 的平面角．
易得 ， ，
四、解答题：本题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图，在空间四边形 中， ，点 为 的中点，设 ， ， .
（1）试用向量 ， ， 表示向量 ；
（2）若 ， ， ，求 的值.
18.如图. 四棱锥P-ABCD中， 平面ABCD，且 ， .
（1）求异面直线PC与AD所成角的余弦；
③
解由①②③构成的方程组可得 ，即点 的坐标
进而
设平面 的一个法向量为 ，可得
所以 ，令 ，解得 ，即 ，
易知，平面 的一个法向量 ，
，
由图可知，二面角 的大小为锐角，
二面角 的余弦值为 .
D.三棱锥 体积 定值.
12.当 时，函数 与 的图象恰有三个交点 ，且 是直角三角形，则（）
A. 的面积 B.
C.两函数的图象必在 处有交点D.
第二部分非选择题（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上.
13.已知 ， 为锐角， ， ．则 的值为__________．
【答案】D
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ABC
【12题答案】
【答案】BD
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】①. ②.
【17题答案】
【答案】（1） （2）
A. B. C. D.
6.鹳雀楼是我国著名古迹，位于今山西省永济市，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．更有唐朝诗人王之涣在作品《登鹳雀楼》中写下千古名句“欲穷千里目，更上一层楼”．如图是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼的项点C的仰角为 ，沿直线前进51.9米到达E点，此时看点A的仰角为 ，若点B，E，D在一条直线上， ，则楼高 约为（ ）（）
（2）求点A到平面PCD的距离.
20.已知 的内角 所对的边分别是 在以下三个条件中任先一个：① ；② ；③ ；
并解答以下问题：
（1）若选___________ 填序号 ，求 的值；
（2）在（1）的条件下，若 ，当 有且只有一解时，求实数 的范围及 面积S的最大值.
21.已知函数 ，其中常数 .
（1） 在 上单调递增，求 的取值范围；
10.已知 ，且 ．下列说法正确的是（）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. D.
11.一副三角板由一块有一个内角为 的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥 ，取 中点 与 中点 ，则下列判断中正确的是（）
A直线 面
B. 与面 所成的角为定值
C.设面 面 ，则有 ∥
（）
A.26%B.34%C.42%D.50%
8.a，b为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 的直角边 所在直线与a，b都垂直，斜边 以 为旋转轴选择，有下列结论：
①当直线 与a成60°角时， 与b成30°角；
②当直线 与a成60°角时， 与b成60°角；
③直线 与a所成角的最小值为45°；
④直线 与a所成角的最大值为60°；
（2）若 ，将函数 图像向左平移 个单位，得到函数 的图像，且过 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
22.正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体 和一个正八面体 的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．
沈阳市第120中学2021—2022学年度高二上学期
期初质量监测数学
满分：150分，时间：120分钟.
第一部分选择题（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 ，则下列向量中与 平行的是（）
A. B. C. D.
2.已知复数 ，则 （）
即 ，∵ 的图像过 ，∴ ，
得： ，即： ， ，∴ ， ，∵ ，∴ ，
得 ， ， ， ，
令 ，参变分离得 在 恒成立，令 ，
则函数 在 上递增，当 时， . .
【22题答案】
【答案】（1） ；（2） ；（3）新多面体是七面体；证明见解析．
【详解】（1）如图所示： ，在正四面体中，分别取PT，QR的中点，连接QN，RN，NG，
（1）求新多面体的体积；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）求新多面体为几面体？并证明．
23.已知矩形 ， 为 中点，将 至 折起，连结 .
（1）当 时，求证： ；
（2）当 时，求二面角 的余弦值.
参考答案
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
线PC与AD所成角的余弦值为 .
【小问2详解】
， ，设平面PCD的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，解得： ， ，故 ，设点A到平面
PCD的距离为 ，则
【20题答案】
【答案】（1）条件选择见解析； ；（2） ， .
【详解】解：（1）若选①，由已知化简得 ，
由正弦定理得 ，
由余弦定理得 .
因为 ，所以 ；
【详解】（1） ，
故
∵点E为AD的中点，
故
（2）由题意得
故
故
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
因为 平面ABCD， 平面ABCD
所以， ， ，因为 ，故以A为坐标原点， 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为 过点C作CE⊥AD于点E，则CE=AB=2，AE=BC=1，因为 ，所以DE=CE=2，故 ， ， ， ， ， ，设异面直线PC与AD所成角为 ，所以 ，异面直
若选②，由二倍角公式 ，故 ，
因为 ，所以 ；
若选③，由题设及正弦定理得 .
因为 ， 所以
由 可得 故 ，
因为 ， 故 ，因此 ；
（2）由已知 ，当 有且只有一解时， 或 ，
即 或 ，故 或 ， ，
①当 时， 为直角三角形，B为直角， ，故 ，所以 ；
②当 时 ，
由余弦定理可得
当且仅当 时等号成立，
三角形面积为 ，即 面积的最大值 .
综上， 面积的最大值 .
【21题答案】
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1）由题意得 ，又 ，得 的最小正周期为 ，
由正弦函数的性质，当 ，函数取得最小值， 函数取得最大值，
∴ 是函数 的一个单调递增区间，
又因为函数 ( )在 上单调递增，则 ，解得 .
（2）由（1）得 ，将函数 图像向左平移 个单位，得到函数 的图像，
由余弦定理得 .
（3）新多面体是七面体，证明如下：
由（2）可知，正八面体任何相邻面构成的二面角余弦值均为 ，设此角为 ．
在正四面体中，易得 为二面角 的平面角．
由余弦定理得 ，
即正四面体相邻面所构成的二面角 的余弦值为 ，
所以 ，因此新多面体是七面体．
【23题答案】
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【详解】（1）证明：由题意可知，
， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 .所以 .
（2）过点 作直线 平面 ，以点 为原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，设点 的坐标为 ，则 的坐标为 ，
①
又 ②，
其中正确的是_______.（填写所以正确结论的编号）.
A.①③B.①④C.②③D.②④
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9.已知向量 ，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. 向量 在向量 方向上的投影的数量是 D. 与向量 方向相同的单位向量是
14.在空间直角坐标系 中，设点 是点 关于坐标平面 的对称点，点 关于 轴对称点 ，则线段 的长度等于__________．
15.点 为边长为 的正四面体 底面 内一点，且直线 与底面 所成角的正切值为 ，则动点 所在曲线长度为___________．
16.在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝1，现将△ABC沿对角线AC翻折，得到四面体DABC，则该四面体外接球的体积为________；设二面角D－AC－B的平面角为θ，当θ在 内变化时，BD的取值范围为________．
A B. C. D.
3.已如向量 ， ，且 与 互相垂直，则 （）．
A. B. C. D.
4.设m，n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列说法正确的是（）
A.若 ， ， ，则
B.若 ， ， ，则
C.若 ， ， ，则
D.若 ， ， ，则
5.正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）