逻辑模型讲义

利用上述公理可以证明满足公理1 4 是唯一存在的(证明略) 利用上述公理可以证明满足公理1~4的ϕ (V ) 是唯一存在的(证明略) 存在 ϕ (V ) 的公式吗
W(|S|)可看作这 可看作这 种贡献的权因子
பைடு நூலகம்
Shapley指出， (V )可按下列公式给出： 指出， 下列公式给出 指出 ϕ 可按下列公式给出：
本问题中三城镇处理污水可以有五种方案： 分析 本问题中三城镇处理污水可以有五种方案： (1)每城镇各建一个处理厂（单干）。 每城镇各建一个处理厂（单干） 合建一个, 单独建一个( 城合作建于城2 (2) 城 1, 城 2 合建一个 , 城 3 单独建一个 (1 、 2 城合作建于城 2 处 ) 。 合建一个, 单独建一个( 城合作建于城3 (3) 城 2, 城 3 合建一个 , 城 1 单独建一个 (2 、 3 城合作建于城 3 处 ) 。 合建一个, 单独建一个( 城合作建于城3 (4) 城 3, 城 1 合建一个 , 城 2 单独建一个 (1 、 3 城合作建于城 3 处 ) 。 (5)三城合建一个污水处理厂（建于城3处） 三城合建一个污水处理厂（建于城3 城一 20公里 公里 城二 38公里 公里 城三
i=1 i
作出任何贡献， 作出任何贡献，则他不应从合作中获利
若对所有包含的i的子集S 公理3 若对所有包含的i的子集S有：
ϕ V(S-{i})=V(S)， i (V ) =0。 ， 。
若此n个人同时进行两项互不影响的合作， 公理4 若此n个人同时进行两项互不影响的合作，则两项 合作的分配也应互不影响， 合作的分配也应互不影响，每人的分配额即两项合 作单独进行时应分配数的和。 作单独进行时应分配数的和。
有三个位于某河流同旁的城镇城1 如图） 例1 有三个位于某河流同旁的城镇城1、城 2、城3(如图）三城 镇的污水必须经过处理后方能排入河中， 镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水 处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见， 处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见，我们 再假设污水只能由上游往下游。 再假设污水只能由上游往下游。 表示污水量， 表示管道长度，单位为公里， 用Q表示污水量，单位为米3/秒，L表示管道长度，单位为公里， 则有经验公式： 则有经验公式： 城一 建厂费用 C1=730Q0.712（万元） 万元） 管道费用 C2=6.6Q0.51L(万元） (万元） 已知三城镇的污水量分别为： 已知三城镇的污水量分别为： Q1 =5米3 /秒，Q2 =3米3 /秒，Q3 =5米3 /秒，问： 三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？ 三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？ 每一城镇负担的费用应各为多少？ 每一城镇负担的费用应各为多少？ 20公里 20公里 城二 38公里 公里 城三
一、合作对策模型
从事某一活动的各方如能通力合作，常常可以获得更大的总 从事某一活动的各方如能通力合作， 收益（或受到更小的总损失）。 ）。本节主要讨论在这种合作中 收益（或受到更小的总损失）。本节主要讨论在这种合作中 应当如何分配收益（或分摊损失），这一问题如果处理不当， ），这一问题如果处理不当 应当如何分配收益（或分摊损失），这一问题如果处理不当， 合作显然是无法实现的。 合作显然是无法实现的。 小到人与人之间的合作、企业与企业之间的合作， 小到人与人之间的合作、企业与企业之间的合作，大到民族 与民族之间的合作，国家与国家之间的合作， 与民族之间的合作，国家与国家之间的合作，乃至国家集团 之间的合作，都可以考虑用合作对策模型来进行讨论。 之间的合作，都可以考虑用合作对策模型来进行讨论。 以考虑： 可以考虑： 1、印度与巴基斯坦、巴勒斯坦与以色列之间实现和平的可能 、印度与巴基斯坦、 性和具体对策； 性和具体对策； 2、中国、西班牙、土耳其、英国、加拿大、俄罗斯等国部分 、中国、西班牙、土耳其、英国、加拿大、 民族、地区寻求独立的损益及其对策； 民族、地区寻求独立的损益及其对策； 3、INTEL与AMD开发新市场时的竞争与合作问题。 开发新市场时的竞争与合作问题。 、 与 开发新市场时的竞争与合作问题
怎样找出一个合理的分摊原则，以保证合作的实现？ 怎样找出一个合理的分摊原则，以保证合作的实现？
N人合作对策模型
(1)对于每一子集S ⊆I，对应地可以确定一个实数V(S)，此数的实际意 V(S)， (1)对于每一子集S I，对应地可以确定一个实数V(S) 对于每一子集 义为如果S中的人参加此项合作，则此合作的总获利数为V(S) 十分明显， V(S)， 义为如果S中的人参加此项合作，则此合作的总获利数为V(S)，十分明显， V(S)是定义于 的一切子集上的一个集合函数。根据本问题的实际背景， 是定义于I V(S)是定义于I的一切子集上的一个集合函数。根据本问题的实际背景，还 应要求V(S)满足以下性质: V(S)满足以下性质 应要求V(S)满足以下性质: 设有一个n人的集合I={1,2,…,n} 其元素是某一合作的可能参加者。 设有一个n人的集合I={1,2, ,n}，其元素是某一合作的可能参加者。 I={1,2, ,n}，
(| S | −1)!(n − | S |)! W (| S |) = n!
可视为i在合作 可视为 在合作 S中所作的贡献 中所作的贡献
解决三城镇污水处理问题
城1究竟应当承担多少费用
我们应该承担的是2103万元！ 我们应该承担的是2103万元！ 2103万元
首先不难看出 ： S1={{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}} 计算出与(11.1)式有关的数据并列成表
ϕ i (V ) =
S ∈S i
∑ W (| S |)[ V ( S ) − V ( S − {i})] i=1,…,n (11.1)
(11.2) )
Si是I中包含 的一切子集所成的集合， 中包含i的一切子集所成的集合 中包含 的一切子集所成的集合， |S|表示集合 中的元素个数，而 表示集合S中的元素个数 表示集合 中的元素个数，
本章介绍的一些模型采用的也是类似的方法。 本章介绍的一些模型采用的也是类似的方法。建模者从问 题应当具有的某些基本属性出发，运用逻辑推理方法或者导出 题应当具有的某些基本属性出发， 满足这些基本属性的解来， 满足这些基本属性的解来，或者证明在原有观念下问题不可能 有解，从而从根本上改变人们对这一问题的看法. 有解，从而从根本上改变人们对这一问题的看法
数学模型•逻辑模型 数学模型 逻辑模型
北京理工大学王宏洲
关于逻辑模型
欧几里得在不加证明而被直接采用的一些基本概念和公理 的基础上。运用逻辑推理方法得出了一系列的定理、推论， 的基础上。运用逻辑推理方法得出了一系列的定理、推论，从 而建立了完整的欧几里得几何学， 而建立了完整的欧几里得几何学，这一辉煌成果至今仍然是人 类的宝贵财富。 类的宝贵财富。
Shapley提出了以下公理： 提出了以下公理： 提出了以下公理
上的特征函数， 设V是I上的特征函数， (V ) 是合作对策，则有 是 上的特征函数 ϕ 是合作对策，
合作获利对每人的分配与此人的标号无关。 公理1 合作获利对每人的分配与此人的标号无关。
n
公理2
即若第i人在他参加的任一合作中均不 即每人分配数的总和等于总获利数。 ∑ϕ (V) =V(I)，即每人分配数的总和等于总获利数。
容易计算： 容易计算： 以三城合 作总投资 为最少
总投资( 万元) 方案 总投资(：万元) 1 6200 2 3 4 5 5800 5950 6230 5560
费用怎么分摊呢？ 费用怎么分摊呢？
城三建议：建厂费用按三城污水量之比 ： ： 分摊 分摊， 城三建议：建厂费用按三城污水量之比5：3：5分摊，管 道是为城1、 建的， 道是为城 、城2建的，应由两城协商分摊。 建的 应由两城协商分摊。
全部由城1 全部由城1负担 0.51 6 2→城 管道费： 万元） 城2→城3管道费： .6 × (5 + 3) × 38 ≈ 724（万元） 20公里 5 万元） 城1负担 ： 8 × 724 = 425.5 （万元） 公里 城二 约为2457 2457万元 城1的总负担 ：约为2457万元 城1自己建厂费用 ：2300万元 2300万元 38公里 公里 城三
(2)定义合作结果V (2)定义合作结果V（S）的分配为 ϕ(V) = (ϕ1(V),L,ϕN (V)) ，其中 ϕi (V) 定义合作结果 表示第i人在这种合作下分配到的获利。显然， 表示第i人在这种合作下分配到的获利。显然，不同的合作应有不同的分 ϕ 配，问题归结为找出一个合理的分配原则 ϕ(V ) 来， (V ) 被称为合作对策
是否存在合理分配原则 ϕ(V ) 是否存在合理分配原则
1953年Shapley采用逻辑建模方法研究了这一问题。 采用逻辑建模方法研究了这一问题。 1953年Shapley采用逻辑建模方法研究了这一问题 首先， 首先，他归纳出了几条合理分配原则ϕ (V )应当满足 的基本性质（用公理形式表示）， ），进而证明满足这 的基本性质（用公理形式表示），进而证明满足这 是唯一存在的， 些基本性质的合作对策ϕ (V ) 是唯一存在的，从而妥 善地解决了问题。 善地解决了问题。
分摊方案有道理， 分摊方案有道理，但得作一 可行性论证” “可行性论证” 城1的“可行性论证”： 可行性论证”， 同意城3意见，由城2→ 2→城 同意城3意见，由城2→城3的管道费 番 730 万元） 联合建厂费 用可按污水量之比=：3：5分摊，但 ： × (5 + 3 + 5)0.712 5 4530（万元） 用可按污水量之比5 分摊， 万元） 城1负担 ：5 13 × 4530 ≈ 1742 （万元） 1→城 的管道费用应由城1承担。 城1→城2的管道费用应由城1承担。 1→城2管道费 1费用增加！不合理！ 万元） 城1→合作后城： .6 × 50.51 × 20 不合理！ 万元） 城 管道费： 6 合作后城1费用增加！ ≈ 300 （ 城一
S {1}
和城3 城2和城3应该承担400 V(S) 0 V(S-{I}) 0 的费用可类似算出 0
V(S)-V(S-{I}) |S| W(|S|)
政治： 政治： 欧盟的经济、政治、外交、国防一体化 欧盟的经济、政治、外交、 中日东海岛屿和领海争端 中朝之间的结盟与友好互助关系 中国与东盟南海岛屿争端与资源联合开发 经济： 经济： 石油主要输出国组成的OPEC组织 石油主要输出国组成的 组织 湄公河流域合作协议 跨区域旅游景区的联合开发 国际各种标准化和技术促进组织 军事： 军事： 北约组织内部的共同防务条约 美国与哥伦比亚之间的禁毒军事合作 美国与以色列之间的军事同盟关系 中国大陆与台湾之间的战与和
欧几里德几何的五条公理： 、任意两个点可以通过一条直线连接。 、 欧几里德几何的五条公理：1、任意两个点可以通过一条直线连接。2、任 意线段能无限延伸成一条直线。 、给定任意线段， 意线段能无限延伸成一条直线。3、给定任意线段，可以以其一个端点作 为圆心，该线段作为半径作一个圆。 、所有直角都全等。 、 为圆心，该线段作为半径作一个圆。4、所有直角都全等。5、若两条直线 都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条 都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角， 直线在这一边必定相交。 直线在这一边必定相交。 第五条公里称为平行公理，可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点， 第五条公里称为平行公理，可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点， 有且仅有一条不与该直线相交的直线。 有且仅有一条不与该直线相交的直线。
具有这种性质的集合函数V 具有这种性质的集合函数V（S）称为I的特征函数。 称为I的特征函数。
V (φ ) =0（没有人参加合作则合作获利不能实现） 没有人参加合作则合作获利不能实现） V ( S1 U S 2 ) ≥ V ( S1 ) + V ( S 2 ) 对一切满足 S1 I S 2 = φ 的S1、S2成立