上海市新川中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷

上海市新川中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷
一、填空题
1．已知集合{2},{1}A x
x B x x =≤=≥-∣∣，则A B =I ． 2．已知
ππ2
θ<<，且4cos 5θ=-，则sin θ=. 3
．函数y = 4．已知正实数a 、b 满足1ab =，则4a b +的最小值等于．
5．在今年的“抗疫”战斗中，某医疗组现有3名医生和2名护士，需派遣其中两名医护人员去执行任务，则“至少有一名医生”的概率为.
6．已知常数0m >，6
m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 项的系数是60，则m 的值为． 7．函数()ln f x x x =⋅的单调递减区间为．
8．若函数ln(1)ln(1)y x a x =+--为奇函数，则实数a 的值为．
9．已知函数()()2223ln 9
f x f x x x =⋅-+'，则()1f =． 10．若关于x
的方程13x
m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
m 的取值范围. 11．若对任意[1,2]x ∈，均有22||x a x a x x -++=+，则实数a 的取值范围为． 12．若函数3
2,0e ,0x x x y ax x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩
的图像上点A 与点B 、点C 与点D 分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a 的取值范围是．
二、单选题
13．已知a 、b 都是自然数，则“a b +是偶数”是“a 、b 都是偶数”的（ ）条件 A ．充分而不必要
B ．必要而不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
14．已知非零实数,a b 满足a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ）．
A ．22a b >
B ．11a b
>
C ．22a b ab >
D ．22
a b b a > 15．已知函数()2210log 0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩
，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．][(),42,-∞-⋃+∞
B ．[]1,2-
C ．[)(]4,00,2-U
D ．[]4,2--
16．已知函数()()y f x x =∈R ，其导函数为()y f x '=，有以下两个命题：
①若()y f x '=为偶函数，则()y f x =为奇函数；
②若()y f x '=为周期函数，则()y f x =也为周期函数．
那么（ ）．
A ．①是真命题，②是假命题
B ．①是假命题，②是真命题
C ．①、②都是真命题
D ．①、②都是假命题
三、解答题
17．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB AD ==，12D D CD ==，AB AD ⊥．
(1)求证：⊥BC 平面1D DB ；
(2)求点D 到平面1BCD 的距离．
18．已知集合212x A x x ⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，集合{}
2B x x a =-≤． (1)当1a =-时，求A B U ；
(2)若“x B ∈”是“x A ∉”的充分条件，求实数a 的取值范围．
19．某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”规则如下：
①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E （单位：EXP ）与游玩时间t （单位：小时）满足关系式：22016E t t a =++；
②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；
③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50．
（1）当1a =时，写出累积经验值E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，求出游玩6小时的累积经验值；
（2）该游戏厂商把累积经验值E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记为()H t ，若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a 的取值范围．
20．已知函数()f x 在定义域D 上是严格增函数.
(1)若()f x =()f x 的值域；
(2)若()[]12241log ,,(04)214x x x f x D t t t x
+-=++=-<<++的值域为[],m n ，求m n +的值； (3)若()0,D =+∞，且对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝
⎭成立，试求()f x 的解析式.
21．已知函数()()22ln f x ax a x x =-++，其中a R ∈．
(Ⅰ)当1a =时，求曲线y =f (x )在点()()1,1f 处的切线方程；
(Ⅱ)当a >0时，若()f x 在区间[]1,e 上的最小值为−2，求a 的取值范围；
(Ⅲ)若1x ∀，()20,x ∈+∞，且12x x <，()()112222f x x f x x +<+恒成立，求a 的取值范围．。