广东省2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试卷 Word版含解析

宝安区2018-2019学年高二下学期期末考试
数学理试卷
一、选择题。

1.已知集合{
A x y ==，{}12
B x x =-<<，则A B =（ ）
A. ()1,1-
B. (]1,1-
C. [)1,2
D. ()1,2
【答案】C 【解析】 【分析】
集合A 和集合B 的公共元素构成集合A
B ，由此利用集合A={}1x x ≥ ,
{}12B x x =-<<，即可求出A B 。

【详解】因为{
A x y ==={}10x x -≥={}1x x ≥。

集合{}12
B x x =-<<，
所以A
B ={}12x x ≤<=[)1,2。

【点睛】本题考查交集及其运算，是基础题，解题时要认真审题。

2.()12z i i +=（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
通过21i
z i
=
+ 求出z ，然后得到复数z 对应的点的坐标。

【详解】由()12z i i +=得22(1)
1.1(1)(1)
i i i z i i i i -===+++- 所以复数z 在复平面对应的点在第一象限。

【点睛】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题。

3.已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为20x y ±=，该双曲线的焦点
A. ()
±
B. ()
±
C. ()
±
D.
()
±
【答案】C 【解析】 【分析】
由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到
2.b
a
= 然后利用222,c a b =+ 即可得到焦点坐标。

【详解】由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到
2.b
a
=即 4.b =
所以22220.c a b =+= 又双曲线顶点在x 轴上，所以焦点坐标为()
±。

【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，渐近线方程，属于基础题。

4.已知函数()()21,1
2,1
x x f x f x x ⎧->-⎪=⎨+≤-⎪⎩，则()3f -=（ ）
A. 7
8
-
B. 12
-
C. 1
D. 7
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，由函数的解析式可得()3(1)(1).f f f -=-=，又由1
(1)211f =-= 即得到答案。

【详解】由函数的解析式可得()3(1)(1).f f f -=-=，又由1
(1)211f =-=，则(3) 1.f -=
【点睛】本题考查了分段函数，解答的关键是运用函数的周期性把(3)f - 转化有具体解析式的范围内。

5.在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
【解析】 【分析】
利用已知条件，表示出向量AM ,然后求解向量的数量积。

【详解】在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，可得
12
.33
AM AB AC =
+ 则AB AM ⋅=12()33AB AB AC ⋅+=21221
3347.3332AB AB AC +⋅=+⨯⨯⨯=
【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量。

6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M N ，间隔3分钟先后从点P ，绕原点按逆时针方向作角速度为
6
π
弧度/分钟的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为（ ）
A. 37.5分钟
B. 40.5分钟
C. 49.5分钟
D. 52.5分钟
【答案】A 【解析】
【详解】分析：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，y M =()x+3sin 6
26x π
ππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，
计算y M ﹣y N 6
4x π
π⎛⎫+
⎪⎝⎭，即可得出．
详解：由题意可得：y N =sin cos 626x x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，y M =()cos x+3sin 6
26x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∴y M ﹣y N =
y M ﹣y N sin 6
4x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，
令sin 64x ππ⎛⎫+
⎪⎝⎭=1，解得：6
4x π
π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2k π+2π，x=12k+32，
k=0，1，2，3．
∴M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间=3×12+3
2
=37.5（分钟）． 故选：A ．
点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.
7.下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. 283
π-
B. 483
π-
C. 8π-
D. 1689
π
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三视图得到原图是，边长为2正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心。

【详解】根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心，故剩余的体积为：3414
828.383
ππ-⨯⨯=- 故答案为：B.
【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高
平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
8.“3a =”是“圆O ：2
2
2x y +=与圆C ：()()22
8x a y a -+-=外切”的（ ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分条件也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
由圆O ：2
2
2x y +=与圆C ：()()22
8x a y a -+-=外切可得，圆心(0,0)O 到圆心(,)C a a
的距离是 求出a 的值，然后判断两个命题之间的关系。

【详解】由圆O ：2
2
2x y +=与圆C ：()()22
8x a y a -+-=外切可得，圆心(0,0)O 到圆
心(,)C a a 的距离
是
即
== 可得 3.a =± 所以
“3a =”是“圆O ：2
2
2x y +=与圆C ：()()2
2
8x a y a -+-=外切”的充分不必要条件。

【点睛】本题考查了两个圆的
位置关系及两个命题之间的关系，考查计算能力，转化思想。

属于中档题。

9.已知点(0,1)M -在抛物线2
:2(0)C x py p =>的准线上，F 为C 的焦点，过M 点的直线与C 相切于点N ，则FMN ∆的面积为（ ） A. 1 B. 2
C.
1
2
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题中条件可得到抛物线方程，由直线和抛物线相切得到切点N 的坐标，进而求得面积. 【详解】点()0,1M -在抛物线2:2(0)C x py p =>的准线上,可得到p=2,方程为：24x y =，
切点N （x,y ）,满足2
4x y =，过M 点的直线设为1,y kx =-和抛物线联立得到
2440
x k x -+=， 2161601k k ∆=-=⇒=±，取k=1,此时方程为()2
440,2,1x
x N -+=
FMN ∆的面积为:1
122 2.22
N S FM x =⨯⨯=⨯⨯=
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了直线和抛物线的位置关系，当直线和抛物线相切时，可以联立直线和抛物线，使得判别式等于0，也可以设出切点坐标求导得到该点处的斜率.
10.已知ABC ∆为等腰三角形，满足AB AC ==
2BC =，若P 为底BC 上的动点，则
()AP AB AC ⋅+=
A. 有最大值8
B. 是定值2
C. 有最小值1
D. 是定值4
【答案】D 【解析】 【分析】
设AD 是等腰三角形的高.将AP 转化为AD DP +，将AB AC +转化为2AD uuu r
，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项.
【详解】设AD 是等腰三角形的高，长度为
=.故()
AP AB AC ⋅+=
()2
2
2
222224AD DP AD AD
DP AD AD +⋅=+⋅==⨯
=.所以选D.
【点睛】本小题主要考查向量的
线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题.
11.函数()e 21x
f x x =--的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性，排除选项B ，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项,A D ，从而可得结果.
【详解】函数()21x
f x e x =--是偶函数，排除选项B ；
当0x >时，函数()21x
f x e x =-- ，可得()'2x
f x e =-，
当()0,ln 2x ∈时，()'0f x <，函数是减涵数，当ln 2x >时，函数是增函数，排除项选项,A D ，故选C.
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数
的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象
12.
已知双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的左、右焦点分别为1F、2F，A、B分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O对称的两点，且直线AB的斜率为.M、N分别为2
AF、
2
BF 的中点，若原点O在以线段MN为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据M、N分别为2
AF、
2
BF的中点，故OM平行于
1
AF,ON平行于
2
AF，再由向量点积为0得到四边形12
AF BF是矩形，通过几何关系得到点A的坐标，代入双曲线得到齐次式，求解离心率.
【详解】
因为M、N分别为2
AF、
2
BF的中点，故OM平行于
1
AF,ON平行于
2
AF，因为原点O在以线段MN为直径的圆上，根据圆的几何性质得到OM垂直于ON，故得到2
AF垂直于
2
BF，由
AB 两点关于原点对称得到，四边形12AF BF 对角线互相平分，所以四边形12AF BF 是矩形，设角2AOF θ=,
根据条件得到tan θ=
1
sin ,cos ,33
θθ=
=
,3c OA c A ⎛=∴ ⎝⎭
将点A 代入双曲线方程得到：
22
4224422222281
9180189099c c a a c c e e a b
a b c ⎧-=⎪⇒-+=⇒-+=⎨⎪+=⎩
()1e >
解得29e e =±⇒=
故答案为：C.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式
c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).
二、填空题.
13.若x ，y 满足1
13x y x y ≥⎧⎪
≥-⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值为____
【答案】2 【解析】 【分析】
画出不等式组表示的可行域，将2z x y =+变形为22x z y =-+，移动直线22
x z
y =-+并结合图形得到最优解，进而得到所求的最小值．
【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．
由2z x y =+可得22
x z y =-+． 平移直线22x z y =-
+，由图形得，当直线经过可行域内的点A 时，直线22
x z
y =-+在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值． 由31x y y +=⎧⎨
=-⎩ 解得41x y =⎧⎨=-⎩
，
所以点A 的坐标为(4,)1-． 所以min 42(1)2z =+⨯-=． 故答案为2．
【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中z 的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求．
14.在)
5
111x ⎛⎫- ⎪
⎝⎭
的展开式中常数项等于___
【答案】9 【解析】 【分析】
先求出二项式
)
5
1展开式的通项，然后根据分类讨论的方法得到常数项．
【详解】二项式
)
5
1的展开式的通项为5
52
1
5
5
(0,1,2,
,5)r r r
r r T C C x
r --+===，
∴)
5
111x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
展开式中的常数项为35
55(1)1019C C +-⨯=-=．
故答案为9．
【点睛】对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采用组合（即“凑”）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况．
15.已知双曲线2
2
:13
y C x -=的左右焦点分别为1F 、2F ，点A 在双曲线上，点M 的坐标为
2,03⎛⎫
⎪⎝⎭
，且M 到直线1AF ，2AF 的距离相等，则1||AF = ___ 【答案】4 【解析】 【分析】
画出图形，根据M 到直线1AF ，2AF 的距离相等得到M A 为12F AF ∠的平分线，然后根据角平分线的性质得到
112
2
2AF F M AF MF =
=，再根据双曲线的定义可求得1AF ．
【详解】由题意得()()122,0,2,0F F -，点A 在双曲线的右支上， 又点M 的坐标为2,03⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴1228242,23333
F M MF =+
==-=． 画出图形如图所示，12,MP AF MQ AF ⊥⊥，垂足分别为,P Q ， 由题意得MP MQ =，
∴M A 为12F AF ∠的平分线， ∴
112
2
2AF F M AF MF =
=，即122AF AF =．
又122AF AF -=， ∴124,2AF AF ==． 故答案为4．
【点睛】本题考查双曲线的定义和三角形角平分线的性质，解题的关键是认真分析题意，从平面几何图形的性质得到线段的比例关系，考查分析和解决问题的能力，属于中档题．
16.在ABC ∆中，内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，D 是AB 的中点，若1CD = 且
1
()sin ()(sin sin )2
a b A c b C B -=+-，则ABC ∆面积的最大值是___
【解析】 【分析】
由题意及正弦定理得到2
2
2
2ab a b c +-=
，于是可得1cos 4C =
，sin 4
C =；然后在CDA ∆和CDB ∆中分别由余弦定理及CDA CDB π∠∠+=可得2
2
2
2()4c a b =+-．在此基础上可得2
2
42ab a b ++
=，再由基本不等式得到8
5
ab ≤，于是可得三角形面积的最大值． 【详解】如图，设CDA θ∠=，则CDB πθ∠=-
,
在CDA ∆和CDB ∆中，分别由余弦定理可得222
2
1144
cos ,cos()c c b a c c
θπθ+-+-=-=，
两式相加，整理得2
222()02
c a b +-+=，
∴2
2
2
2()4c a b =+-．① 由()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-
=+- ⎪⎝⎭及正弦定理得()()1c b 2a b a c b ⎛
⎫-=+- ⎪⎝
⎭， 整理得2
2
2
2
ab
a b c +-=
，②
由余弦定理的推论可得2221cos 24a b c C ab +-==，所以sin C =
把①代入②整理得2
2
42
ab
a b ++
=， 又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， 所以54222ab ab ab ≥+
=，故得85
ab ≤．
所以118sin 22545
ABC S ab C ∆=
≤⨯⨯=
．
即ABC ∆面积的最大值是
5
．
． 【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．
三、解答题.
17.各项均为正数的数列{}n a 的首项11
a λ
=，前n 项和为n S ，且2
11n n n S S a λ+++=．
（1）求{}n a 的通项公式：
（2）若数列{}n b 满足n
n n b a λ=，求{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】(1) n n a λ=； (2) ()
22
,12
1,0,111n n
n n n
T n λλλλλλλ⎧+=⎪
⎪=⎨-⎪->≠-⎪-⎩ 【解析】 【分析】
（1）已知2
11n n n S S a λ+++=，可得21n n n S S a λ-+=，则11
n n a a λ
+-=
，并验证1n = 时，是
否满足等式，从而知数列{}n a 是等差数列，求其通项即可。

（2）因为n
n n b a λ==1n n λ-⋅，是由等差数列和等比数列的对应项的积组成
的数列，用错位相减法即可求和。

【详解】（1）因为2
11n n n S S a λ+++=，①
所以当2n ≥时，2
1n n n S S a λ-+=②
①-②得：()()111n n n n n n a a a a a a λ++++=+-，
因为{}n a 的各项均为正数，所以10n n a a ++>，且0λ>，所以11
n n a a λ
+-=
由①知，2212S S a λ+=，即2
1222a a a λ+=，
又因为11
a λ
=
，所以22
.a λ
=
故()11
n n a a n N λ
*
+-=
∈， 所以数列{}n a 是首项为
1λ，公差为1
λ
的等差数列 ()
1
1
1n n
a λ
λ
λ
=
+-=
（2）由（1）得n n
a λ
=
，1n n b n λ-=⋅
所以()2
2
11231n n n T n n λλλ
λ--=+++⋅⋅⋅+-+，③
()231231n n n T n n λλλλλ-=+++⋅⋅⋅+-+④
③-④得()2
1
11n n n T n λλλλ
λ--=+++⋅⋅⋅+-，
当0λ>且1λ≠时，
()2111n
n T n λλλλ
--=--，()2
111n n
n n T λλλλ-=---； 当1λ=时，由③得
()()2112312
2
n n n n n
T n n ++=+++⋅⋅⋅+-+=
= 综上，数列{}n b 的前n 项和()
22
,12
1,0,111n n
n n n
T n λλλλλλλ⎧+=⎪
⎪=⎨-⎪->≠-⎪-⎩ 【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列以及数列的求和。

利用等比数列求和公式时，当公比是字母时，要注意讨论公式的范围。

属于中档题。

18.如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=
，
EC =2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30．
（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ； （2）求二面角A CE B --的余弦值．
【答案】(Ⅰ)见证明； (Ⅱ) 1
3。

【解析】 【分析】
（Ⅰ）先证得EF FC ⊥，再证得EF BD ⊥，于是可得EF ⊥平面BCD ，根据面面垂直的判定定理可得平面EFC ⊥平面BCD ．（Ⅱ）利用几何法求解或建立坐标系，利用向量求解即可得到所求．
【详解】（Ⅰ）在t R BCD ∆中，F 是斜边BD 的中点，
所以1
12
FC BD =
=. 因为,E F 是,AD BD 的中点，
所以1
12
EF AB =
=，且EC = 所以222EF FC EC +=， 所以EF FC ⊥.
又因为,//AB BD EF AB ⊥， 所以EF BD ⊥， 又BD FC F ⋂=， 所以EF ⊥平面BCD ， 因为EF ⊂平面EFC ， 所以平面EFC ⊥平面BCD ．
（Ⅱ）方法一：取AC 中点M ，连ME ，则//ME CD ，
因为1
2
CE AD =
= 所以CD AC ⊥.
又因为CD BC ⊥，AC BC C ⋂=， 所以CD ⊥平面ABC ， 所以ME ⊥平面ABC ．
因此ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角． 故22cos306AC MC EC ==⋅=
所以CD BC ==
过点B 作BN AC ⊥于N ，则BN ⊥平面ACD ，
且AB BC BN AC ⋅=
=
． 过点B 作BH EC ⊥于H ，连接HN ， 则BHN ∠为二面角A CE B --的平面角．
因为BE BC EC ===，
所以BH BE HN =
===
所以1
cos 3
HN BHN BH ∠=
=， 因此二面角A CE B --的余弦值为13
． 方法二：
如图所示，在平面BCD 中，作x 轴⊥BD，以B 为坐标原点，BD ，BA 所在直线为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ．
因为CD BC ==
同方法一,过程略
)
则()1,1,0C ，()0,0,2A ,()0,1,1E ．
所以()=1,0,1CE -,()0,1,1BE =,()0,1,1AE =-， 设平面ACE 的法向量()111,,m x y z =， 则·0C ?0
AE m E m ⎧=⎨
=⎩，即1111
0y z x z -=⎧⎨
-+=⎩，取11x =,
得()1,1,1m =．
设平面BCE 的法向量()222,,n x y z =
则·0
·
0BE n CE n ⎧=⎨=⎩，即222200y z x z +=⎧⎨-+=⎩，取21x =,得()1,1,1n =-．
所以·1
cos ,=3
3m n m n m n =
=⨯， 由图形得二面角A CE B --为锐角， 因此二面角A CE B --的余弦值为
1
3
． 【点睛】利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求”，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算和证明的交替运用．利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系．
19.如图，OA ，OB 是两条互相垂直的笔直公路，半径OA ＝2km 的扇形AOB 是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB 上新增一个入口P （点P 不与A ，B 重合），并新建两条都与圆弧AB 相切的笔直公路MB ，MN ，切点分别是B ，P ．当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝θ，公路MB ，MN 的总长为()f θ．
（1）求()f θ关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）当θ为何值时，投资费用最低？并求出()f θ的最小值． 【答案】(1) ()4tan(
)2tan (0)422
f π
θπθθθ=-+<<;(2) 当6π
θ=时，投资费用最低，
此时()f θ的最小值为【解析】 【分析】
（1）由题意，设POA θ∠=，利用平面几何的知识和三角函数的关系式及三角恒等变换的公式，即可得函数的关系式；
（2）利用三角函数的基本关系式和恒等变换的公式，求得()f
θ的解析式，再利用基本
不等式，即可求得投资的最低费用，得到答案.
【详解】（1）连接OM ，在Rt OPA ∆中，2,OP POA θ=∠=，故2tan AP θ=， 据平面几何知识可知1,242
MB MP BOM BOP πθ
=∠=∠=-, 在Rt BOM ∆中，2,4
2
OB BOM π
θ
=∠=
-
，故2tan(
)42
BM π
θ
=-，
所以()22tan 4tan()42
f x AP BM π
θ
θ=+=+-， 显然(0,
)2π
θ∈，所以函数的()f θ定义域为(0,)2
π
， 即函数关系式为()2tan 4tan()42f x π
θθ=+-，且(0,)2
π
θ∈。

（2）化简（1）中()f
θ的函数关系式可得：
()24tan 824tan
1
2
f θ
θθ
-=
-- 令2tan
(12)2t t θ
-=<<，则tan
22t θ
=-，代入上式得：
2444443434t y t t t t
-=-=--≥-=-++-
当且仅当2tan
2
t θ
-==
时取“＝”，此时tan
22
θ
=
求得tan θ=，又02πθ<<，所以6πθ=
∴当6
π
θ=
时，投资费用最低，此时()f
θ
的最小值为【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，以及基本不等式求最值问题，其中根据平面几何的知识和三角函数的关系式和恒等变换的公式，得到函数的解析式是解答的关键，着重靠考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
20.中国已经成为全球最大的电商市场，但是实体店仍然是消费者接触商品和品牌的重要渠道.某机构随机抽取了年龄介于10岁到60岁的消费者200人，对他们的主要购物方式进行问卷调查.现对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计，得到如下图表：
（1）根据已知条件完成上述列联表，并据此资料，能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关？
（2）用分层抽样的方法从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，然后再从这8名消费者中抽取5名进行答谢.设抽到的消费者中40岁以下的人数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++.
临界值表：
【答案】（1）可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄
有关；（2）见解析 【解析】 【分析】
(1)先由频率分布直方图得到列联表，再根据公式计算得到卡方值，进而作出判断；（2）消费者中40岁以下的人数为X ，可能取值为3，4，5，求出相应的概率值，再得到分布列和期望. 【详解】（1）根据直方图可知40岁以下的消费者共有()2000.10.20.3120⨯++=人，40或40岁以上的消费者有80人，故根据数据完成列联表如下：
依题意，2K 的观测值
()2
2007555254512080100100
K ⨯⨯-⨯=
⨯⨯⨯ 75
18.7510.8284
=
=> 故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关. （2）从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，其中40岁以下的有6人，40岁或40岁以上的有2人，从这8名消费者抽取5名进行答谢，设抽到的消费者中40岁以下的人数为X ，则X 的可能取值为3，4，5
且()23
265
8205
35614C C P X C ====， ()1426583015
45628
C C P X C ====，
()05265
863
55628
C C P X C ====， 则X 的分布列为：
()515315345 3.751428284
E X =⨯
+⨯+⨯== 故X 的数学期望为3.75.
【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.
21.已知抛物线E ：2
2y px =上一点()m,2到其准线的距离为2．
（1）求抛物线E 的方程；
（2）如图A ，B ，C 为抛物线E 上三个点，()8,0D ，若四边形ABCD 为菱形，求四边形
ABCD 的面积．
【答案】(1) 2
4y x = ；(2) 32或
【解析】 【分析】
（1）利用点在抛物线上和焦半径公式列出关于,m p 的方程组求解即可。

（2）设出A,C 点的坐标及直线AC,利用设而不求和韦达定理求出AC 中点的坐标，然后求出B 点的坐标，利用B 在抛物线上以及直线BD 和直线AC 的斜率互为负倒数列出方程组求出B 点坐标，然后求出AC 的长度，即可求出面积。

【详解】（1）由已知可得4222mp p
m =⎧⎪
⎨+=⎪⎩
， 消去m 得：2440p p -+=，2p = 抛物线E 的方程为2
4y x =
（2）设()11,A x y ，()22,C x y ，菱形ABCD 的中心()00,M x y 当AC x ⊥轴，则B 在原点，()4,0M ，
8AC =，8BD =，菱形的面积1
322
S AC BD =
⋅=， 解法一：当AC 与x 轴不垂直时，设直线AC 方程：x ty m =+，则直线BD 的斜率为t -
24y x x ty m ⎧=⎨
=+⎩消去x 得：2
440y ty m --= 1212
44y y t
y y m +=⎧⎨
=-⎩ ()2
22
12
12212
1224244
y y y y y y x x t m +-++===+ 202x t m =+，02y t =，∵M 为BD 的中点
∴(
)
2
428,4B t m t +-，点B 在抛物线上， 且直线BD 的斜率为t -。

()
()222
164428
2,028
t t m t
t t t m ⎧=+-⎪
⎨=-≠⎪+-⎩解得：4m =，1t =± ()4,4B ±
，BD =
12AC y =-===
1
2
S AC BD =
=综上，32s =
或解法二：设()
2
,2B a a ，直线BD 的斜率为()0k k ≠228
a
k a =
- 28,2a M a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，直线AC 的斜率为1k -，
可以设直线AC ：()28
2
a x k y a +-=--
()228
24a x k y a y x ⎧+-=--⎪⎨
⎪=⎩
消去x 得：22
442160y ky ka a +---= ∵12022y y y a +==
42k a -=，2a
k =-
解方程：()22028
a a
a a -=≠-，解得2a =±，1k =±，接下去同上。

【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，计算量较大，考查计算能力，属于难题。

22.设函数()22ln f x x a x =--，a R ∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）设0a >，若存在正实数m ，使得对任意(1,)x m ∈都有()2ln f x x >恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）4a > 【解析】 【分析】
(1)对函数求导，对a 分类讨论得到导函数的正负进而得到单调性；（2）对a 分情况讨论，在不同的范围下，得到函数()f x 的正负，进而去掉绝对值，再构造函数，转化为函数最值问题. 【详解】（1）∵()2a
f x x
'=-
，（0x >）
①若0a ≤，则()0f x '>，故()f x 在()0,+∞为增函数 ②若0a >时，则()02a f x x >⇔>'，()002
a f x x <⇔<<'， 故()f x 在0,
2a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
为增函数
（2）①若02a <≤，则
12
a
≤ 由（1）知()f x 在()1,+∞为增函数，又()10f =，所以()0f x >对()1,x ∈+∞恒成立， 则()()()2ln 2222ln 0f x x f x lnx x a x >⇔>⇔--+>
设()()222ln g x x a x =--+，（1x >），则()2ln f x x >等价于()0g x >
()()2222x a a g x x x
='-++=-
，()20a g x x x '+>⇔>，()
201a g x x x +<⇔<<'， 故()g x 在21,
2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在2,2a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，而()10g =，显然当21,2a x +⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()0g x <，
故不存在正实数m ，使得对任意()1,x m ∈都有()2ln f x x >恒成立， 故02a <≤不满足条件 ②若2a >，则
12a >，由（1）知()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
为增函数，∵()10f =， ∴当1,
2a x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x <，此时()()2ln 2ln f x x f x x >⇔-> ()222ln 0x a x ⇔-+-<
∴设()()222ln h x x a x =-+-，1,2a x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，此时()2ln f x x >等价于()0h x <
()2222a x a h x x x ='-+-=+
，1,2a x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
（i ）若24a <≤，∵1x >∴220x a +->，()h x 在1,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭
为增函数，
∵()10h =，∴1,2a x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭
，()0h x >
故不存在正实数m ，使得对任意()1,x m ∈都有()2ln f x x >恒成立， 故24a <≤不满足条件 （ii ）若4a >，易知()h x 在21,
2a -⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在2,22a a -⎛⎫
⎪⎝⎭
为增函数， ∵()10h =，∴21,
2a x -⎛⎫
∀∈ ⎪
⎝⎭
，()0h x <，故存在正实数m ，（可取22a m -=） 使得对任意()1,x m ∈都有()2ln f x x >恒成立，故4a >满足条件
【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，以及分类讨论思想；对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。