北京市2020-2021学年高三上学期期末数学试题汇编：概率

2021北京高三数学上学期期末汇编：概率
一．选择题（共1小题）
1．（2020秋•海淀区校级期末）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率()
A．
3
10
B．
1
3
C．
3
8
D．
2
9
二．填空题（共1小题）
2．（2020秋•朝阳区期末）在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据《周髀算经》记载，西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例：若勾为三，股为四，则弦为五．一般地，像(3，4，5)这样能够成为一个直角三角形三条边长的正整数组称为勾股数组．若从(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15，17)，(9，12，15)，(9，40，41)，(10，24，26)，(11，60，61)，(12，16，20)这些勾股数组中随机抽取1组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为．三．解答题（共7小题）
3．（2020秋•通州区期末）某企业为了解职工A款APP和B款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如表：
假设所有职工对两款APP是否使用相互独立．
（Ⅰ）分别估计该企业男职工使用A款APP的概率、该企业女职工使用A款APP的概率；
（Ⅰ）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A款APP的人数为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅰ）据电商行业发布的市场分析报告显示，A款APP的用户中男性占52.04%、女性占47.96%；B款APP的用户中男性占38.92%、女性占61.08%．试分析该企业职工使用A款APP的男、女用户占比情况和使用B款APP 的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符．
4．（2020秋•顺义区期末）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：
注：1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值； 2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．
假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率． （Ⅰ）从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率； （Ⅰ）从A 、E 两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅰ）用“1ξ=”和“0ξ=”分别表示对A 款运动鞋满意和不满意，用“1η=”和“0η=”分别表示对B 款运动满意和不满意，试比较方差()D ξ与()D η的大小．（结论不要求证明）
5．（2020秋•西城区期末）防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用．北京地区2010年至2019年每年汛末(10月1日）水库的蓄水量数据如表：
（Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率；
（Ⅰ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设X 为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；
（Ⅰ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明）
6．（2020秋•房山区期末）2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类．生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗．
某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如图：
（Ⅰ）现从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过
4.0吨的概率；
（Ⅰ）从2020年6月至12月中任意选取2个月，记X 为选取的这2个月中回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份的个数．求X 的分布列及数学期望；
（Ⅰ）假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为a 吨．当a 为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小．（只需写出结论，不需证明）
（注：方差2222121
[()()()]n s x x x x x x n
=-+-+⋯+-，其中x 为1x ，2x ，n x ⋯⋯的平均数）
7．（2020秋•石景山区期末）在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分．随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：
男生评分结果的频数分布表
为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：
（Ⅰ）求m 的值；
（Ⅰ）为进一步改善食堂状况，从评分在[50，70)的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”的人数为X ，求X 的分布列；
（Ⅰ）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率．
8．（2020秋•丰台区期末）全社会厉行勤俭节约，反对餐饮浪费．某市为了解居民外出就餐有剩余时是否打包，进
行了一项“舌尖上的浪费”的调查，对该市的居民进行简单随机抽样，将获得的数据按不同年龄段整理如表：
假设所有居民外出就餐有剩余时是否打包相互独立．
（Ⅰ）分别估计该市男性居民外出就餐有剩余时打包的概率，该市女性居民外出就餐有剩余时打包的概率； （Ⅰ）从该市男性居民中随机抽取1人，女性居民中随机抽取1人，记这2人中恰有X 人外出就餐有剩余时打包，求X 的分布列；
（Ⅰ）假设每年龄段居民外出就餐有剩余时打包的概率与表格中该段居民外出就餐有剩余时打包的频率相等，用“1k ξ=”表示第k 段居民外出就餐有剩余时打包，“0k ξ=”表示第k 段居民外出就餐有剩余时不打包(1k =，2，3，4)，写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ的大小关系．
（只需写出结论） 9．（2020秋•海淀区期末）某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如表所示：
注：年返修率=
年返修台数
年生产台数
．
（Ⅰ）从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不少于100元/台的概率；
（Ⅰ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀．现从2013~2020年中随机选出3年，记ξ表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数．求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅰ）记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分别为21s ，2
2s ，23s ．若
2231{s max s ，22}s ，其中21{max s ，22}s 表示21s ，22s ，这两个数中最大的数．请写出a 的最大值和最小值．（只需写
出结论）
（注2222121
:[()()()]n s x x x x x x n =-+-+⋅⋅⋅-，其中x 为数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的平均数）
2021北京高三数学上学期期末汇编：概率
参考答案
一．选择题（共1小题）
1．【分析】利用条件概率公式，设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，分别求出P（A），()
P AB，根据条件概率公式求得即可．
【解答】解：设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B
P
∴（A）
21
105
==，
131
()
5915
P A B=⨯=
则所求概率为
1
()1
15 (|)
1
()3
5
P A B
P B A
P A
===
故选：B．
【点评】本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键．
二．填空题（共1小题）
2．【分析】先求出基本事件总数10
n=，再利用列举法求出被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的基本事件有4个，由此能求出被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率．
【解答】解：从(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15，17)，(9，12，15)，(9，40，41)，(10，24，26)，(11，60，61)，(12，16，20)这些勾股数组中随机抽取1组，
基本事件总数10
n=，
被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的基本事件有：(3，4，5)，(6，8，10)，(9，12，15)，(12，16，20)，共4个，
∴被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率
42
105
P==．
故答案为：2
5
．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．解答题（共7小题）
3．【分析】（Ⅰ）根据已知数据用频率估计概率即可求解；（Ⅰ）求出X的可能取值，求出对应的概率，由此可以求解；（Ⅰ）根据样本中的数据，估计A，B款男女用户占的比例比较即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由所给数据可知，男职工使用A款APP的人数为72，
用频率估计概率，可得男职工使用京东APP的概率约为
723 1205
=，
同理，女职工使用A款APP的概率约为
401 1203
=；
（Ⅰ）X 的可能取值为0，1，2，
所以224(0)5315P X ==⨯=，32218(1)535315P X ==⨯+⨯=，311
(2)535P X ==⨯=，
所以X 的分布列为
X 的数学期望481140121515515
EX =⨯
+⨯+⨯=； （Ⅰ）样本中，A 款APP 的男、女用户为7240112+=（人)， 其中男用户占
7264.3%112≈；女用户占4035.7%112
≈， 样本中，B 款APP 的男、女用户为6084144+=（人)，其中男用户占
6041.7%144≈；女用户占84
58.3%144
≈， 所以该企业职工使用B 款APP 的情况与官方发布的男、女用户情况更相符．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了学生的运算转化能力，属于中档题． 4．【分析】（Ⅰ）求出C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数，然后求解顾客是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率．
（Ⅰ）X 的取值为0，1，2，设事件M 为“从A 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，事件N 为“从E 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，说明事件M 与N ⌝相互独立．然后求解X 的概率，得到分布列，然后求解期望． （Ⅰ）判断()()D D ξη<．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为3000.7210⨯=-----（2分）
故此顾客是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是
21021
2000200
=
．--------（4分） （Ⅰ）X 的取值为0，1，2．---------------------------------（5分） 设事件M 为“从A 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”， 事件N 为“从E 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”， 且事件M 与N ⌝相互独立．
根据题意，()P M 估计为0.3，()P N 估计为0.6．
则(0)()(1())(1())0.70.40.28P X P MN P M P N ===--=⨯=----（6分）
(1)()()()(1())(1())0.30.40.70.60.54P X P MN P MN P M P N P M ==+=-+-=⨯+⨯=---------（7分）
(2)()()()0.30.60.18P X P MN P M P N ====⨯=--------------（8分）
所以X 的分布列为：
-------（10分）
X 的期望是：()00.2810.5420.180.9E X =⨯+⨯+⨯=．----（12分）
（Ⅰ）()()D D ξη<．-------------------------------------------（14分） 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
5．【分析】（Ⅰ）设事件A 为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米”，推出从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能，求出事件A 包含的数目，然后求解概率即可．
（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，求出概率，得到随机变量X 的分布列，然后求解期望即可．（Ⅰ）直接判断从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大．
【解答】解：（Ⅰ）设事件A 为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米”， 从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能，⋯（2分）
由图表可知，事件A 包含“2011年和2012年”，“2014年和2015年”，“2018年和2019年”． ⋯⋯（3分） 所以31
()93
P A =
=．⋯
⋯⋯⋯⋯（4分） （Ⅰ）由表可知，2014到2019年的样本数据中，蓄水量超过33亿立方米有2年，蓄水量不超过33亿立方米有4年．
随机变量X 的所有可能取值为0，1，2．⋯⋯⋯⋯⋯（5分）
02
242662
(0)155
C C P X C ⋅====，
1124268
(1)15
C C P X C ⋅===，
2024261
(2)15
C C P X C ⋅===．⋯⋯⋯⋯⋯（8分）
所以随机变量X 的分布列为：
⋯⋯⋯⋯⋯（9分）
所以2812
()012515153
E X =⨯+⨯+⨯=．⋯⋯⋯⋯⋯（11分）
（Ⅰ）从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大．⋯⋯⋯⋯⋯（14分）
【点评】本题考查古典概型概率的求法，离散型随机变量分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能
力，是中档题．
6．【分析】（Ⅰ）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A ，推出只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨，然后求解概率．
（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． （Ⅰ）求出 4.4a =，判断当添加的新数a 等于原几个数的平均值时，方差最小．
【解答】解：（Ⅰ）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）
由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨⋯⋯⋯⋯（2分） 所以1
()7
P A =
．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （Ⅰ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸
所以6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月．
X 的所有可能取值为0，1，2．⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分） 02
342762
(0)217
C C P X C ====，
11342
7124
(1)217
C C P X C ⋅====， 20342
731
(2)217
C C P X C ====⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 所以X 的分布列为：
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）
2416
()0127777E X =⨯+⨯+⨯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）
（Ⅰ） 4.4a =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分）
当添加的新数a 等于原几个数的平均值时，方差最小．
【点评】本题考查离散型随机变量分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 7．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图列方程，能求出m ．
（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列． （Ⅰ）设事件A = “随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”．因为样本人数200人，其中男生共有80人，从而样本中女生共有120人．由频率分布直方图可知，女生对食堂“比较满意”的人数共有24人．由频数分布表，可
知男生对食堂“比较满意”的共有16人，由此能求出随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率． 【解答】解：（Ⅰ）因为(0.0050.0200.0400.020)101m ++++⨯=， 所以0.015m =．
（Ⅰ）依题意，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．
03
333
61
(0)20
C C P X C ⋅===， 12333
69
(1)20
C C P X C ⋅===， 21333
69
(2)20
C C P X C ⋅===， 30333
61
(3)20
C C P X C ⋅===． 所以随机变量X 的分布列为：
（Ⅰ）设事件A = “随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”． 因为样本人数200人，其中男生共有80人， 所以样本中女生共有120人． 由频率分布直方图可知，
女生对食堂“比较满意”的人数共有：1200.0401048⨯⨯=人． 由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人，
48168
20025+=
． 所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为8()25
P A =
． 【点评】本题考查频率、离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查频率分布直方图、超几何分布、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．【分析】（Ⅰ）设该市男性居民外出就餐有剩余时打包为事件A ；设该市女性居民外出就餐有剩余时打包为事件
B ．求出
男性居民外出就餐有剩余时打包的人数，男性居民外出就餐有剩余时不打包的人数，然后求解概率．女性居民外出就餐有剩余时打包的人数，女性居民外出就餐有剩余时不打包的人数，然后求解概率． （Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2．求出概率即可得到分布列． （Ⅰ）写出4312D D D D ξξξξ<<<．
【解答】（Ⅰ）解：设该市男性居民外出就餐有剩余时打包为事件A ；设该市女性居民外出就餐有剩余时打包为事件B ．
男性居民外出就餐有剩余时打包的有2503006008502000+++=人，男性居民外出就餐有剩余时不打包的有
650600**********+++=人，被调查的男性居民有200020004000+=人，
所以20001
()40002
P A =
=． 女性居民外出就餐有剩余时打包的有4505507506502400+++=人，女性居民外出就餐有剩余时不打包的有
6505502501501600+++=人，被调查的女性居民有240016004000+=人，
所以24003
()40005
P B =
=． （Ⅰ）解：X 的所有可能取值为0，1，2． 由题设知，事件A 与B 相互独立，且1()2P A =
，2()5
P B =． 所以121
(0)()()()255P X P AB P A P B ====⨯=，12131
(1)()()()()()25252
P X P AB
AB P A P B P A P B ===+=⨯+⨯=，
133
(2)()()()2510P X P AB P A P B ====⨯=．
所以X 的分布列为
（Ⅰ）解：4312D D D D ξξξξ<<<．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及方程的求法，古典概型概率的求法，是中档题．
9．【分析】（Ⅰ）由图表知，2013年~2020年中，产品的平均利润少于100元/台的看人发只有2015年，2016年，由此能求出从2013年~2020年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不少于100元/台的概率．
（Ⅰ）由图表得，2013~2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年，ξ的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和()E ξ． （Ⅰ）a 的最大值为13，最小值为7．
【解答】解：（Ⅰ）由图表知，2013年~2020年中，产品的平均利润少于100元/台的看人发只有2015年，2016年，
∴从2013年~2020年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不少于100元/台的概率为6
0.758
P =
=． （Ⅰ）由图表得，2013~2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年， ξ∴的所有可能取值为1，2，3，
1262383
(1)28
C C P C ξ===，
11 / 12
21623815(2)28
C C P C ξ===， 3062385(3)14
C C P C ξ===， ξ∴的分布列为：
31559()1232828144E ξ∴=⨯+⨯+⨯=． （Ⅰ）a 的最大值为13，最小值为7．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查超几何分布分布、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12/ 12。