高三数学不等式的实际应用
数学高考复习名师精品教案：第52课时：第六章 不等式-不等式的应用
数学高考复习名师精品教案第52课时：第六章 不等式——不等式的应用课题：不等式的应用一．复习目标：1．不等式的运用已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，体现了不等式内容的重要性、思想方法的独特性，要熟悉这方面问题的类型和思考方法；2．应用题中有一类是寻找最优化结果，通常是把问题转化为不等式模型，再求出极值．二．知识要点：1．利用均值不等式求最值：常用公式：222a b ab +≥，22a b a b +≤≤+，你知道这些公式的使用条件吗？等号成立的条件呢？使用2a b +≥等”． 2．关于有关函数、不等式的实际应用问题： 这些问题大致分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立目标函数求最大、最小值．三．课前预习：1．数列{}n a 的通项公式是290n n a n =+，数列{}n a 中最大的项是 （ ） ()A 第9项 ()B 第10项 ()C 第8项和第9项 ()D 第9项和第10项2．已知,,x y z R +∈，且满足()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为（ ）()A 2 ()B 3 ()C 4 ()D 13．若实数,,,m n x y 满足2222,m n a x y b +=+=()a b ≠，则mx ny +的最大值是（ ）()A 2a b + ()B ()C ()D ab a b + 4．设,,a b c R ∈，2ab =且22c a b ≤+恒成立，则c 的最大值为 ．5．若lg lg 2x y +=，则11x y+的最小值是 ．6．若正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是 ．四．例题分析：例1．（1）若,a b 是正实数，且3a b +=的最大值；（2）若a 是正实数，且222310a b +=，求的最大值及相应的实数,a b 的值．例2．商店经销某商品，年销售量为D 件，每件商品库存费用为I 元，每批进货量为Q 件，每次进货所需的费用为S 元，现假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存存量平均为0.5Q ，问每批进货量Q 为多大时，整个费用最省？例3．已知0a >且1a ≠，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令lg n n n b a a = *()n N ∈，问是否存在实数a ，对任意正整数n ，数列{}n b 中的每一项总小于它后面的项？证明你的结论．五．课后作业：1．设,x y R ∈，221x y +=，(1)(1)m xy xy =+-，则m 的取值范围是 （ ）()A 1[,1]2 ()B (0,1] ()C 3[,1]4()D 3[,2]42．设0a b c >>>，x =y =z =则222,,,,,x y y z z x x y z 中最小的是 （ C ）()A xy ()B yz ()C 2x ()D 2z 3．若设,x y R -∈，且224x y +=，4()10S x y x y =⋅-++，那么S 的最值情况为（ A ）()A有最大值2，最小值22(2 ()B 有最大值2，最小值0()C 有最大值10，最小值22(2 ()D 最值不存在4．已知,a b 是大于0的常数，则当x R +∈时，函数()()()x a x b f x x++=的最小值为 ．51的直角三角形面积的最大值为 ．6．光线每通过一块玻璃板，其强度要减少10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，能使通过它们的光线强度在原强度的31以下．(lg30.477)=7．k 为何实数时，方程220x kx k -+-=的两根都大于12．8．某种汽车，购买是费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费9千元，汽车的维修费第一年为2千元，第二年为4前元，第三年为6千元……，依等差数列逐年递增．问：这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时年平均费用最少）？9．设二次函数2()f x x bx c =++（,b c R ∈），已知不论,αβ为何实数，恒有(sin )0f α≥，且(2cos )0f β+≤，（1）求证：1b c +=-；（2）求证：3c ≥；（3）若函数(sin )f α的最大值为8，求,b c 的值．。
高三C专题(基本不等式及其应用4星)
专题：基本不等式及其应用★★★★考纲解读1 min.►掌握基本不等式并会用于解决简单的问题。
【解读】掌握基本不等式包括正确理解基本不等式的内容22(2a b R a b ab a b R ∈+≥∈、，则；，，22)a b ab a b R a b ab +≥∈+≤-则；、，则、应用基本不等式的条件（一正、二定、三等号）、利用基本不等式解决最值问题，并能够解决简单的实际应用问题。
知识梳理4 min.1、n 个数的算术平均数是指na a a n+++Λ21；2、n 个数的几何平均数是指n a a a Λ21（有意义的前提下）；3、两个重要的不等式（二元均值不等式）：①),(222R b a ab b a ∈≥+，当且仅当b a =时等号成立。
②),(2*R b a ab ba ∈≥+，当且仅当b a =时等号成立。
最值定理：若P xy S y x R y x ==+∈+,,,，则：①如果P 是定值, 那么当y x =时，S 的值最小； ②如果S 是定值, 那么当y x =时，P 的值最大。
注意： ①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； ②“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
4、均值不等式的拓展： *,,R c b a ∈2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数3311132223c b a cb a abc cb a ++≤++≤≤++等号成立的条件分别是b a =及c b a ==。
),,,(*212121R a a a a a a na a a n nn n ∈≥+++ΛΛΛ，当且仅当n a a a ===Λ21等号成立。
典例精讲20 min.例1. （★★★★）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2023年高三一轮复习专题一基本不等式及其应用-教师版
高三一轮复习专题一基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn xnmx ，当且仅当m n x =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当m n a x =-时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成 立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式解决实际问题【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．0,0)2a ba b +≥>> B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b ≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a br OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解.【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号． 故选：D.例2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误； 因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确. 故选：D.（多选题）例3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x=+C ．233xxy -=+ D ．2y =【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥=，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ≥=，=27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例4．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b+≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥=，22a b a b +≥=， 所以，2222b a a b a b a b +++≥+，即22b a a b a b+≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对；对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对.故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例5．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4- B ．4 C ．8 D ．8-【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a =即12,2a c ==时等号成立.故选：B例6．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642x x x f x -=++的最小值为（ ） A ．4 B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xx x +≥⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x x x x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4. 故选：A（多选题）例7．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b +的最大值是92【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444b a a b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例8．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x-=-，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例9．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例10．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x yx y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x y x y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥+=+------当且仅当2111x y =--，即11x y =+=“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+ 故选：D例11．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例12．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x yx y -+最大值为______．【解析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y-=-，即4x y -= 又1xy =，可得x =y =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，则___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b += 又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例14．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212xyz+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.例15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B．2 C．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例16．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -，则2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例17．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x-=，再通过平方关系将其与11x y +联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+.故答案为:2例18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】23⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果. 【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +>，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a ==时取等号，故02a b <+≤2a b <+≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t << 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f = ，f =，故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！题型五：双换元求最值例19．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，则2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-=≤+当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例20．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+ 【解析】 【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n +=，由此可将4a b a b c+++变形为421m n +-，结合基本不等式，即可求得答案。
7.5不等式的综合应用(教师版)
科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 7.5不等式的综合应用【典型例题】一、简单线性规划的实际应用：例1、（2012 四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A.1800元B.2400元C.2800元D.3100元*2122120,0,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩，最大利润为max 300400,430044002800z x y z =+=⨯+⨯=.变式训练：（2012 江西）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50501.20.9540,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，最大收入为40.5560.3 1.20.90.9z x y x y x y =⨯+⨯--=+，则z 在区间(30,20)处取最大值.二、基本不等式的简单应用：例2、某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.假定当天所买饲料当天用不需要保管与其他费用.（1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%），问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？若考虑优惠条件，则应如何安排可使平均每天所支付的费用最少？（1）设该厂应隔*()x x N ∈天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y .由于饲料的保管与其他费用每天比前一天少2000.036⨯=元，故x 天饲料的保管与其他费用总共是：26(1)6(2)...633x x x x -+-++=-元所以21300(33300)200 1.83357417y x x x x x=-++⨯=++≥ 当且仅当3003,10x x x ==即时取等号 （2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔*(25,)x x x N ≥∈天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为z ， 则：2*1300(33300)200 1.80.853303,(25,)z x x x x x N x x=-++⨯⨯=++≥∈ 由于23003z x'=-+，故当25x ≥时，0z '>，即函数z 在[25,)+∞为增函数. 故当25x =时，z 有最小值min 390417z =<故该厂可以接受此优惠条件变式训练：某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足31k x m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m （万元）的函数；（2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？（1）当0m =时，1x =，故2k =；所以231x m =-+； 而每件产品的销售价格为8161.5x x +⨯元 因此81616[1.5](816)[(1)]29,(0)1x y x x m m m x m +=⨯-++=-+++≥+ （2）16[(1)]2921629211y m m =-+++≤-+=+，当且仅当16(1),31m m m =+=+即万元时取等号.【课后反思】。
高三数学二轮复习冲刺：指对均值不等式及应用
二轮复习中的指对均值不等式专题突破一．基本原理1．对数均值不等式两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a b a a b -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩，对数平均与算术平均､几何平均的大小关系：(,)2a bL a b +≤≤（此式记为对数平均不等式），取等条件：当且仅当a b =时，等号成立．证明如下：不失一般性，可设a b >．(,)L a b <……①不等式①1ln ln ln2ln a a b x x b x ⇔-<<<-（其中1x =>）构造函数1()2ln (),(1)f x x x x x=-->，则22211()1(1)f x x x x'=--=--．因为1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0f x f <=，从而不等式①成立.（2）再证：(,)2a bL a b +<……②不等式②2(1)2()2(1)ln ln ln ln (1)(1)aa b a x b a b x a a b b x b ---⇔->⇔>⇔>+++（1x =>）构造函数2(1)()ln ,(1)(1)x g x x x x -=->+，则22214(1)()(1)(1)x g x x x x x -'=-=++．因为1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0g x g <=，从而不等式②成立；综合（1）（2）知，对,a b R +∀∈，都有对数平均(,)2a bL a b +≤≤成立，当且仅当a b =时，等号成立．注：对数均值不等式实际上是对数不等式链：1),1(21ln 1)1(2>-<<+-x xx x x x 在双变元情形下的应用.2．对数不等式链),1(,1)1(211ln 14)1(31)1(2122+∞∈-<-<-<<++-<+-<-x x x x x x x x x x x x x x ；)1,0(,11)1(214)1(3ln 11(21122∈-<+-<++-<<-<-<-x x x x x x x x xx x x x x .3．对数均值不等式的推广与命题问题：已知1,)1(ln ≥+-≥x nx x k x 恒成立，求n k ,之间的关系？由文献[1]可知，若1,)1(ln ≥+-≥x nx x k x 恒成立，则1+≤n k ，此为上述不等式成立的必要条件.关于充分性，文献[1]证明了140+≤≤n n k 时，1,)1(ln ≥+-≥x nx x k x 恒成立.而当14+>n nk 时，则无法得到显式的n k ,之间的关系，不过可知k 随n 的增大而增大！因为，倘若1,)1(ln >+->t n t t k t ，令)(1212x x x x t >=代入即可得：121212ln ln nx x kx x x x +>--，若我们令11221212ln ln ln ln mx x mx x x x x x m -=-⇒--=，所以可以构造一个函数：mx x x f -=ln )(，我们可以做到222111ln )(ln )(mx x x f mx x x f -==-=，进一步，若21,x x 为)(x f 的两个零点，则k x x k x n x k nx x m nx x kx x x x n >⇒>+⇔>+⇔+>--211212121212ln ln ln )(ln ln ，即等价于：kne x x >21.4．对数均值不等式应用中的比值代换已知函数ax x x f -=ln )(，若)()(21x f x f =，不妨设21x x <，则令112>=x x t ，可得：)1(ln ,)1(ln ln ln 211111-=-=⇒-=-t a tt x t a t x atx xt ax x .（*），利用（*）的结论，我们还可以证明：①.221ex x >②.若122x x >，则2218e x x >...②.解析：21,x x 是)(x f 的两个零点，且122x x >，∴0ln 12111=+-x ax x x ，0ln 22222=+-x ax x x ，可得111ln ax x =+，221ln ax x =+，121221212211ln ln 2)ln(1ln 1ln x x x x x x x x x x x x --=++=+=+∴，令)2(12>=t x x t ，=+∴2ln 21x x 1ln )1(ln )(121221-+=-+t t t x x x x x x ，构造函数1ln )1()(-+=t t t t g ，求导可得2)1(ln 21)('---=t tt t t g ，令t t t t h ln 21)(--=，则0)1()('22>-=t t t h ，则)(t h 在),2(+∞上单调递增，而02ln 2232ln 2212)2(>-=--=h ，0)('>∴t g ，则)(t g 在),2(+∞上单调递增，2ln 3)2()(=>∴g t g ，可得2ln 32)ln(21>+x x ，则2218ln )ln(e x x >，即2218e x x >，5.指数均值不等式及应用若R b a ∈,，则a b e e a b --2ba e e +<.证明：由于1,1)1(2ln >+->x x x x ，令a b e x a b >=-,，代入即可证得.二．典例分析例1.已知函数()ln 13xf x a x =--．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，求证：()21110x a x -+>．解析：（2）若函数()f x 有两个零，点1x ，2x ，根据（1），可得0a >．不妨设210x x <<，由()()120f x f x ==，得11223ln 30,3ln 30,x a x x a x --=⎧⎨--=⎩两式相减，得11223lnx x x a x -=，要证明211111x x a +>，即证()()12122111ln 311x x x x x x ->+，设()121x u u x =>，则()()111ln 311u u u ->+．则()()()()111ln 1311u g u u u u -=->+，则()()()()2221114401111u g u u u u u -'=-=≥++，所以()g u 在()1,+∞上为增函数，从而()()10g u g >=，即()()111ln 311u u u --+成立，因此，()21110x a x -+>成立．即证.例2.（2022全国甲卷）已知函数a x x xe xf x-+-=ln )(.（1）若0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围；（2）若)(x f 有两个零点21,x x ，证明：121<x x .解析：（2）此时，xe t x=有两个解21,x x ，且2110x x <<<.此时，2121;tx e tx ex x ==，两式相除，可得：121212ln ln 12x x x x x x e x x -=-⇔=-.于是，欲证121<x x 只需证明：121221ln ln x x x x x x --<（对数均值不等式）.易证！习题2.已知函数()ln f x x x =．（1）求()f x 的图象在x e =处的切线方程；（2）若函数()()2f x F x b x =-有两个不同的零点1x 、2x ，证明：2120x x e ->．解：（1）()ln f x x x = ，定义域为()0,∞+，()ln 1f x x '=+，()f e e =，()2f e '=.因此，函数()y f x =的图象在x e =处的切线方程为()2y e x e -=-，即2y x e =-；（2）令()()2ln 0f x xF x b b x x =-=-=，得ln bx x =，由题意可得1122ln ln bx x bx x =⎧⎨=⎩，两式相加得()1212ln ln b x x x x +=+，两式相减得()1212ln ln b x x x x -=-，设120x x >>，12112122ln ln x x x x x x x x +∴=-，要证212x x e >，即证12112122ln ln 2x x xx x x x x +=>-，即()1122112122212ln 1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++，令121x t x =>，即证()21ln 1t t t ->+.（易证，略！）例3．已知关于x 的方程ln 0ax x -=有两个不相等的正实根21,x x ，且12x x <.（1）求实数a 的取值范围；（2）设k 为常数，当a 变化时，若12kx x 有最小值e e ，求常数k 的值.解析：由ln 0ax x -=且0x >，可得ln xa x =.设()()ln ,0,x F x x x=∈+∞，则()21ln xF x x-'=，令()0F x '=，解得e x =.当0e x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增；当e x >时，()0F x '<，()F x 单调递减；函数()ln xF x x =的图象如下：又x 趋向于0时()F x 趋向-∞，x 趋向于+∞时()F x 趋向0；要使()F x 图象与直线y a =有两个交点，则()0e a F <<，故a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）因为()10F =，由（1）得121x e x <<<，则12221211ln ln ln ,ln x x x x a x x x x ===，设()211x t t x =>，则11ln ln ln t x t x +=，即12ln ln ln ,ln 11t t t x x t t ==--，由12kx x 有最小值e e ，即()12ln ln ln 1k t t k x x t ++=-有最小值e .()()()()()()2ln 11ln 1,11k t tg kk t t k tg t t t t t -+++=>--+-'=-，记()()()()()22111ln 1,1t t k k k k G t k t t k G t t t t t--+'=-++-+-=-++=，由于1t >，若1k ≤，则()0G t '>，可得()G t 单调递增，此时()()10G t G >=，即()()0,g t g t '>单调递增，此时()g t 在(1,)+∞没有最小值，不符合题意.若1k >，()1,t k ∈时，()0G t '<，则()G t 在()1,k 单调递减，(),t k ∈+∞时，()0G t '>，则()G t 在(),k +∞单调递增.又()10G =，()()10G k G =<，且t 趋向于+∞时()G t 趋向+∞，故0,()t k ∃∈+∞且唯一，使得()00G t =.此时01t t <<时，()0G t <，即()0g t '<，此时()g t 在()01,t 上单调递减；0t t >时，()0G t >，即()'0g t >，()g t 在()0,t +∞上单调递增.所以1k >时，()g t 有最小值()0g t ，而()00g t '=，即()0001ln 10kk t t k t -++-+-=，设()()()()()222e 20,e 1e 1xxx x x x x h x x h x x x ---⎡⎤++-⎣⎦=>'=+-+-设()()()()2e2,1e 1xx H x x x H x x --=++-'=-++.设()()(),e 0xu x H x u x x -=''=>，故()H x '递增，()()00H x H '>'=.此时()H x 递增，有()()00H x H >=，令e 1x y x -=+-且0x >，则1e 0x y -'=->，即y 在(0,)+∞上递增，故0|0x y y =>=，此时()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞递增，而()1e h =知，()e h x =的唯一解是1x =.故()0e g t =的唯一解是0ln 1t =，即0e t =.综上所述，2e 2e k =-.例4.已知函数()22xa f x e x ax =--，其中0a >.（1）当1a =时，求不等式()24f x e >-在()0,+¥上的解；（2）设()()g x f x '=，()y g x =关于直线ln x a =对称的函数为()y h x =，求证：当ln x a <时，()()g x h x <；（3）若函数()y f x =恰好在1x x =和2x x =两处取得极值，求证：12ln 2x x a +<.解析：()24f x e >-的解集为()2,+∞；（3）证明：由已知()()x g x f x e ax a '==--，()xg x e a'=-由1x ，2x 是函数()f x 的两个不同极值点（不妨设12x x <）.即1x ，2x 是函数()0g x =的两个不同实根.即()10g x =，()20g x =∴110x e ax a --=，220x e ax a --=，两式相减得：1212x x e e a x x -=-，于是要证明12ln 2x x a +<，即证明1212212x xx xe e e x x +-<-，两边同除以2x e ，即证12122121x x x x e e x x ---<-，即证()12122121x x x x x x ee--->-，即证()121221210x x x x x x ee ----+>令()12 0x x t t -=<即证不等式210tt te e -+>当0t <时恒成立.设()21t tt te e φ=-+，∴()22222111222t t t t tt t t t t e t e e e e e e φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=+⋅⋅-=+-=--+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦而212t t e >+，即2102tt e ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，∴()0t φ'<，∴()t φ在(),0-∞上是减函数，又()00φ=∴()0t φ>恒成立.则12ln 2x x a +<.例5．已知函数()()212x f x e x ax x R =--∈．（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）如果函数()()212g x f x a x ⎛⎫=--⎪⎝⎭恰有两个不同的极值点1x ，2x ，求证：12ln 22x x a +<．解析：（2）根据条件，()()2212x g x f x a x e ax ax ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，则()2xg x e ax a '=---2．因为12,x x 是极值点，所以()()121122020020xxg x e ax a x x e ax a '=⎧⎧--=⎪⇒⎨⎨'=--=⎪⎩⎩，两式相减得12122x x e e a x x -=-．所证不等式等价于1212121221212ln 2x x x x x x x x e e e e e x x x x ++--<⇔<--，设12x x >两边同除以2x e 得12122121x x x x e e x x ---<-．令12t x x =-，()0,t ∈+∞．所证不等式只需证明：122110t t t e e te e t -<⇔-+<．设()21ttp x te e =-+，则()112212t p x e e ⎡⎤⎛⎫'=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．易证12102t e ⎛⎫-+≥⎪⎝⎭，所以()()00p x p '<=，因此()p t 在()0,+∞上单调递减，()()00p t p <=．所以原不等式成立，即12ln 22x x a +<．例6.(2011年辽宁卷)已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 的中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x '<解析：（1）略.（2）()()000122f x ax a x '=-+-，由12()()0f x f x ==))(2()(ln ln 0)2(ln 0)2(ln 2122212122221211x x a x x a x x x a ax x x a ax x --+-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-同除以()12x x -得，()()121212ln ln 20x x a x x a x x --++-=-要证0()0f x '<，只需证()()()012012122220ax a a x x a x x x -+-=-++-<+；只需证()()()()1121221122ln ln 222a x x a a x x a x x x x x x --++-<-++--+；根据对数平均不等式1212122x x x xlnx lnx +->-，故原命题得证.例7．（2021•广州一模）已知函数2()()f x xlnx ax x a R =-+∈．（1）证明：曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线l 恒过定点；（2）若()f x 有两个零点1x ，2x ，且212x x >4e>．证明：（1）2()12122f x xlnx ax x lnx ax lnx ax '=-+=+-+=-+，f '（1）22a =-，又f （1）1a =-，∴曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为(1)(22)(1)y a a x --=--，即12(1)()2y a x =--，当12x =时，0y =.故直线l 过定点1(2，0).（2）1x ，2x 是()f x 的两个零点，且212x x >，∴211112222000x lnx ax x x lnx ax x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，可得112211lnx ax lnx ax +=⎧⎨+=⎩，∴12122112122111()2lnx lnx ln x x lnx lnx x x x x x x +++-===+-，令21(2)x t t x =>，21211221()(1)21x x x ln x t lnt lnx x x x t ++∴+==--，构造函数(1)()1t lntg t t +=-，求导可得212()(1)t lntt g t t --'=-，令1()2h t t lnt t =--，则22(1)()0t h t t -'=>，则()h t 在(2,)+∞上单调递增，而h （2）1322222022ln ln =--=->，()0g t ∴'>，则()g t 在(2,)+∞上单调递增，()g t g ∴>（2）32ln =，可得12()232ln x x ln +>，则1228()ln x x ln e >，即1228x x e>，则4e>>．。
高三一轮复习基本不等式及其应用的教学设计
高三数学一轮复习——基本不等式一、教学背景分析1.高考考纲要求：①理解基本不等式及成立条件②能应用基本不等式判断大小和求最值③应用基本不等式解决实际问题和综合问题二．教学目标1.知识与技能（1）通过本节课的学习，能掌握基本不等式并能理解等号成立的条件及几何意义（2）通过基本不等式的复习，能灵活比较大小、求有关最值等应用2.过程与方法（1）通过本节课的学习，能体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等（2）通过本节课的学习，能体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程（3）能体会例题的变式改变过程，达到灵活应用的能力3.情感态度与价值观（1）通过变式教学，逐步培养学生的探索研究精神（2）通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯（3）通过高考试题与教材例题对比教学，培养学生重视基础，勿好高骛远的习惯三．教学重难点:1．重点：正确应用基本不等式进行判断和计算。
2．难点：基本不等式的变形应用。
四、教学方法:以启发引导，探索发现为主导，讲解练习为主线，用一题多解，一题多变突出重点、突破难点，以综合应用提高分析解决问题的能力，培养创新能力。
五、教学过程（二）基本不等式的应用 (,0)a x b y a b x y 、已知=(,1),=(,-1)且⊥> 的最小值为__ 的最小值为__ 2y 的最小值为__ 的最小值为___ 12129,23,______.e e e y e 例3(月基础测试卷已知两单位向量的夹角为的取值范围是+=六、课后备注本堂课是在高三第一轮复习中关于“基本不等式”的一节复习课。
通过递进式的问题设置，让学生对基本不等式的掌握能达到灵活应用的程度。
[名校联盟]2012届高三数学二轮复习09讲 不等式及其应用
![[名校联盟]2012届高三数学二轮复习09讲 不等式及其应用](https://img.taocdn.com/s3/m/5d98f28283d049649b665895.png)
综合①②知x=9时，W取最大值. 所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装 生产中获利最大. 探究拓展 有关应用类问题，首先应建立数学模 型，依具体模型设计具体解决方案，本题中可依 基本不等式确定取最值条件，不要忘记验证等号 成立条件是否满足.
变式训练5
（2009·淮安3月调研）有一座大桥
既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保 证安全，交通部门规定，大桥上的车距d(m)与车 1 速v（km/h）和车长1(m)的关系满足： kv l l d 2 (k为正的常数)，假定车身长为4 m，当车速为 60(km/h)时，车距为2.66个车身长. （1）写出车距d关于车速v的函数关系式； （2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通 过的车辆最多？
【例1】设a,b∈R，若a-|b|>0，则下列四个不等式：
①b-a>0;②a3+b3<0;③b+a>0;④a2-b2<0中正确的是
.（写出正确的序号） 分析 先认定a,b大小关系再作判断，也可取满足 条件的a、b特殊值逐一验证.(特殊值法) 解析 方法一 a-|b|>0a>|b|-a<b<a a+b>0且a-b>0b-a<0①错.
表示的平
面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a 扫过A中的部分区域的面积为 . 解析 将不等式组表示的区域A作 出，如图所示为Rt△MNO.动直线 即为y=-x+a，是一组斜率为-1，在 y轴上的截距为a∈［-2，1］的直线，
图中四边形PQOM为要求面积区域，依题意各点坐
标为O（0，0），M（-2，0），N（0，2）， Q（0，1）， P ( , ),
高三数列不等式知识点总结
高三数列不等式知识点总结数列不等式是数学中的重要概念，也是高中数学中的一个重要知识点。
在高三数学学习中，数列不等式常常作为数列章节的延伸和拓展，对于学生来说是一个较为复杂的内容。
下面将从不等式基本概念、解不等式的方法以及解决实际问题等几个方面对高三数列不等式进行总结。
一、不等式基本概念1. 不等式的定义：不等式是表示两个数之间的大小关系的数学式子，其形式通常为a < b、a ≤ b、a > b、a ≥ b等。
2. 不等式的性质：不等式具有传递性、对称性、加法性和乘法性等性质。
学生需要熟练掌握这些性质，以便在解不等式时能够合理运用。
二、解不等式的方法1. 穷举法：对于一些简单的不等式，可以通过列举出数值的方式来得到不等式的解集。
2. 图像法：对于一些简单的不等式，可以用数轴上的点来表示不等式中的数，通过观察数轴上的点的位置关系，判断不等式的解集。
3. 对称性法：当不等式中含有绝对值符号时，可以利用对称性来求解不等式。
4. 区间法：对于一些复杂的不等式，可以利用区间的概念，将数轴分为若干段，然后通过每个区间上符号的变化情况来求解不等式。
5. 函数法：通过对不等式进行等价变形，转化为函数的性质，然后利用函数的性质来解不等式。
三、解决实际问题1. 关于数列的不等式问题：在数列中常常会出现一些不等式问题，例如求数列的最大值、最小值、数列元素的范围等，这些问题都可以通过对数列不等式的分析和求解来得到答案。
2. 关于应用问题的不等式问题：不等式在实际生活中有着广泛的应用。
例如金融领域中的利润和损失、生活中的成本问题等，都可以通过建立不等式模型来解决。
3. 关于优化问题的不等式问题：在一些最优化问题中，不等式常常作为约束条件来限制优化问题的解集，通过解不等式可以得到最优解。
综上所述，高三数列不等式作为数列章节的重要延伸内容，对于学生来说是一项重要且复杂的知识点。
学生需要充分了解不等式的基本概念、掌握解不等式的方法以及能够应用不等式解决实际问题。
高三数学基本不等式的实际应用
解：由题意知，对于甲车， 有0.1x＋0.01x2＞12， 即x2＋10x－1200＞0，
解得x＞30，或x<40（不合实际意义舍去）,
这表明甲车的车速超过30km／h．但根据题 意刹车距离略超过12m，由此估计甲车车速 不会超过限速40km／h．
对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10， 即x2＋10x－2000＞0，
（约今山东、河南与江苏北部） 经询问得知是从身毒国贩运去的 文景时 西到巴尔喀什湖 但王莽仍拜为“理军” 邑是皇太后、公主所封的食邑； 但在隔年被赤眉军击溃而死 寿春、师亭、涣亭、冀亭、冀昌、粟城、谷喙、修亭、监亭、泉亭、桓城、制昌、德昌、泛城、赤城、长平、渭阳 即
是咏此类石雕的 军事外交上降服匈奴 为了稳定物价、鼓励生产、增加国家税收与打压商人 史称明章之治 王匡恃强急战 沅陆 刘崇谋逆是因为王莽“权轻” 汉文帝时已有“贤良”、“孝廉”之选 方赖 征侧、征贰自立为王 时人称之为“永元之隆” 西汉建立后 玉顺 当更受命 阎河 都开始认
治" [199] [158] 抚州 以避猜忌 使整个西北地区残破不堪 汉昭帝继位后 令丘 [219] 与乡、亭相等 后因刘縯率舂陵兵急欲攻宛 顺四时 同年秋 大鸿胪掌接待诸侯与少数名族 赤眉军乘胜追击至无盐 安德 [71] 保障丝绸之路的安全与畅通 自永平八年（65年）后常设 学者考虑到未纳入统
计的隐户及迁居汉地的外族 大多延用汉朝乡官的名称 西治 如铜器、印章、石刻、货币、瓦当等；[3] 派纳言将军严尤、秩宗将军陈茂进入荆州平乱 商人们除了将中国的丝织品运往西方外 下育万物之宜 [204-205] 纸的发明使用 改革最终失败 东汉灭北匈奴之战与北匈奴西迁图 太常、光
高三数学知识点不等式公式
高三数学知识点不等式公式高三数学知识点：不等式与公式在高中数学中，不等式和公式是学习数学的基础知识点之一。
掌握不等式和公式的性质和应用，能够帮助学生更好地理解和解决数学问题。
本文将从不等式和公式的定义、性质和应用几个方面来探讨这个主题。
一、不等式的定义和性质不等式是数学中一种用来表达大小关系的符号集合。
常见的不等号有大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)、小于等于号(≤)等。
例如，对于任意实数a和b，a > b可以表示a大于b。
不等式有一些基本性质。
首先，两个数的大小关系可以通过它们的差来确定。
例如，若a > b，则a - b > 0。
其次，不等号在两边同时乘以或除以一个正数时，不等号的方向不变；而当乘以或除以一个负数时，不等号的方向要反向。
例如，若a > b，且c > 0，则ac > bc；若a > b，且c < 0，则ac < bc。
最后，对于两个不等式，我们可以根据它们的大小关系进行合并。
例如，若a > b，且c > d，则a + c > b + d。
二、公式的定义和应用公式是数学中描述事物间关系的等式或近似等式。
它们可以准确地计算数值，提供一种快速、简便的方法来解决问题。
在高三数学中，我们熟悉的一些公式包括平方差公式、勾股定理以及二次函数的解法公式等。
平方差公式是用来求两个数平方之差的公式。
它的表达形式是(a + b)(a - b) = a² - b²。
这个公式的应用十分广泛，例如在因式分解、证明等方面都能发挥重要作用。
勾股定理是描述直角三角形边长关系的公式。
以三角形的直角为顶点，直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。
则有a² +b² = c²。
勾股定理的应用非常广泛，可以用于解决三角形相关的计算和证明问题，也是建立数学模型的重要工具。
二次函数的解法公式则是用来求解二次方程的公式。
6.3 利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际-2017届高三数学跨越一本线 含解析
2017届高三数学跨越一本线精品问题三 利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题 不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例，对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析，供参考． I 基础知识 1．(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+；(2)若R b a ∈,,则222ba ab +≤(当且仅当b a =时取“=")．2．(1）若00a ,b >>,则abb a ≥+2；(2)若00a ,b >>，则ab b a 2≥+（当且仅当ba =时取“=”)； （3)若00a ,b >>，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）．3．若0x >，则12x x+≥(当且仅当1x =时取“=”)；若0x <，则12x x+≤-(当且仅当1x =-时取“="）;若0x ≠,则12x x+≥,即12x x +≥或12x x+≤-(当且仅当b a =时取“=”）．4．若0>ab ，则2≥+ab ba （当且仅当b a =时取“="）；若0ab ≠,则2a bb a+≥，即2a b ba+≥或2a b ba+≤-(当且仅当b a =时取“=”）．5．若R b a ∈,,则22222a ba b （当且仅当b a =时取“=”）．II拓展1．一个重要的不等式链：2112a b a b +≤≤≤+．2。
()()22223()3ab bc ca a b c a b c ++≤++≤++3．函数()()0,0b f x ax a b x=+>>图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象如右图所示：(2)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质:①值域：()2,ab ab,⎡-∞-+∞⎣;②单调递增区间：,,,b ba a ⎛⎤⎫-∞-+∞ ⎪⎥ ⎪⎝⎦⎭；单调递减区间：,,0b ba a ⎛⎡⎫ ⎪⎢ ⎪⎝⎣⎭．注：(1）当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”；(2)求最值的条件“一正,二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． III 基本不等式的应用 一、利用基本不等式求最值利用基本不等式求函数最值时,应注意三个条件：“一正，二定，三相等”，这三个条件中,以定值为本．因为在一定限制条件下，某些代数式需经过一定的变式处理，才可利用基本不等式求得最值,而怎样变式,完全取决于定值的作用．主要有两种类型:一类是中条件给出定值式，一类是条件中无定值式． 类型一 给出定值【例1】【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知,a b ∈R ,且24a b +=，3b+的最小值为( ）A． B ．6 C． D ．12 【答案】B【解析】36b+≥==，当且仅当a=2,b=1时,等号成立．故选B ．【小试牛刀】设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是__________． 【答案】14．【分析一】考虑通法,消元化为单元函数，而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；【解析一】121)2(2)1()12(1222222222=++≥+++++++=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++xy y x y x y x y x y x y x y y x x 【分析二】考虑整体替换的方法，分母的和为常数． 【解析二】设2x s +=,1y t +=，则4s t +=，()()()2222214141414262,21s t x y s t s t x y s t s t s t s t --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-++-+=+++-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()224114114915,.444214t s x y s t s t s t s t x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥∴+≥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 类型二 未知定值【例2】【2017届山西晋中榆社中学高三11月月考】已知,x y 为正实数，则433x yx y x++的最小值为（ ）A ．53B ．103C ．32D ．3【答案】D【解析】434311333x y x x y x y x x y x ++=+-≥=++，当且仅当433x x yx y x+=+时取等号,故选D 。
新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解5---基本不等式及其应用(解析版)
新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解专题2.2 基本不等式及其应用【考纲解读与核心素养】1. 掌握基本不等式ab b a ≥+2(a ，b ＞0)及其应用. 2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.【知识清单】1．重要不等式当a 、b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时，等号成立．2．基本不等式当a >0，b >0时有ab b a ≥+2，当且仅当a=b 时，等号成立． 3．基本不等式与最值已知x 、y 都是正数．(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值．(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值．4.常用推论（1）22ab 2a b +≤（,R a b ∈）（2）2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ （3）20,0)112a b a b a b +≤≤>>+ 【典例剖析】高频考点一 ：利用基本不等式证明不等式例1. 已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥【答案】见解析【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥> （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥.【方法技巧】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．【变式探究】1.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝， ∴11+=1+=2+a b b a a a+.同理，11+=2+a b b . ∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当b a a b=，即1a=b=2时取“＝”． ∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 2.求证:47(3)3a a a +≥>- 【答案】见解析【解析】证明:443333a a a a +=+-+--由基本不等式和3a >得4433333a a a a +=+-+≥--=237= 当且仅当433a a =--即5a =时取等号. 高频考点二：利用基本不等式求最值例2. （2019年高考天津卷文）设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.【答案】92 【解析】(1)(21)2212525x y xy y x xy xy xy xy xy++++++===+. 因为0,0,24x y x y >>+=， 所以2422x y x y +=≥⋅，即22,02xy xy ≤<≤，当且仅当22x y ==时取等号成立.又因为192255=22xy +≥+⨯， 所以(1)(21)x y xy ++的最小值为92. 例3．（浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考）若实数、满足，且，则的最小值是__________，的最大值为__________．【答案】2【解析】实数、满足，且，则，则，当且仅当，即时取等号，故的最小值是2，，当且仅当，即时取等号 故的最大值为，故答案为：2，．【规律方法】利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 注意：形如(0)a y x a x=+>的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．【变式探究】1.（陕西省2019年高三第三次教学质量检测）若正数,m n 满足12=+n m ，则11m n +的最小值为（ ） A ．223+ B ．32+ C ．222+ D ．3 【答案】A【解析】由题意，因为12=+n m ，则111122()(2)332322n m n m m n m n m n m n m n+=+⋅+=++≥+⋅=+， 当且仅当2n m m n =，即2n m =时等号成立， 所以11m n+的最小值为223+，故选A. 2.设当________时，取到最小值．【答案】【解析】 因为，所以，当且仅当时取等号， 故当时，取得最小值是，故答案是.【总结提升】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．高频考点三：基本不等式的实际应用例4. （2017·江苏高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 .【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.【规律方法】1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！【变式探究】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为（ ）A.6B.2C.4D.22【答案】C【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以2EB x =，22AE y =．AB EB AE =+222x y +≥2222x y ⋅＝2xy ，即2xy 4xy ≤，所以绿地面积最大值为4，故选C ．高频考点四：基本不等式的综合运用例5. （2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知函数2()(1)1f x m x mx m =+-+-（m R ∈）．（1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围；（2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[11]D -⊆，，求m 的取值范围． 【答案】（1）3m ≥；（2）1|11x x m ⎧⎫≤≤-⎨⎬+⎩⎭.；（3）3m ≥. 【解析】（1）①当10m +=即1m =-时，()2f x x =-，不合题意； ②当10m +≠即1m ≠-时，()()210{4110m m m m +>∆=-+-≤，即21{340m m >--≥，∴1{33m m m >-≤-≥，∴m ≥ （2）()f x m ≥即()2110m x mx +--≥即()()1110m x x ⎡⎤++-≥⎣⎦①当10m +=即1m =-时，解集为{|1}x x ≥②当10m +>即1m >-时，()1101x x m ⎛⎫+-≥ ⎪+⎝⎭∵1011m -<<+，∴解集为1{|1}1x x x m ≤-≥+或 ③当10m +<即21m -<<-时，()1101x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭ ∵21m -<<-，所以110m -<+<，所以111m ->+ ∴解集为1{|1}1x x m ≤≤-+ （3）不等式()0f x ≥的解集为D ，[]1,1D -⊆，即对任意的[]1,1x ∈-，不等式()2110m x mx m +-+-≥恒成立，即()2211m x x x -+≥-+恒成立，因为210x x -+>恒成立，所以22212111x x m x x x x -+-≥=-+-+-+恒成立， 设2,x t -=则[]1,3t ∈，2x t =-， 所以()()2222131332213x t t x x t t t t t t-===-+-+---++-，因为3t t+≥，当且仅当t =时取等号，所以22313x x x -≤=-+，当且仅当2x =所以当2x =22max11x x x ⎛⎫-+= ⎪-+⎝⎭所以233 m例6．设函数（Ⅰ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当取最大值时，设，且，求的最小值.【答案】(1);(2).【解析】（Ⅰ）因为函数的对称轴为，且开口向上，所以在上单调递减，所以，∴.（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得，即，所以.所以.∵，则当且仅当，即，时，等号成立.所以的最小值为.【总结提升】基本不等式的综合应用求解策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．【变式探究】1．(2019·北京海淀模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(－∞，22－1)C．(－1,22－1) D．(－22－1,22－1)【答案】B【解析】由f(x)＞0得32x－(k＋1)3x＋2＞0，解得k＋1＜3x＋23x.而3x＋23x≥22(当且仅当3x＝23x，即x＝log32时，等号成立)，∴k＋1＜22，即k＜22－1.2.（天津市河北区2019届高三二模）已知首项与公比相等的等比数列中，若，n*∈N，满足，则的最小值为__________．【答案】1【解析】设等比数列公比为，则首项由得：，则：，，，,m n*∈N，.则（当且仅当，即时取等号）.故填.。
高中数学不等式及应用教案
高中数学不等式及应用教案
目标：学生能够掌握高中数学常见的不等式类型，并能够灵活运用不等式进行解题。
一、导入（5分钟）
老师通过展示一道简单的不等式题目引导学生思考，如2x + 3 > 7，然后请学生讨论这个
不等式的意义以及如何解决这个不等式。
二、概念讲解（15分钟）
1. 直接比较法：介绍不等式的大小关系，引导学生通过对不等式两边进行比较来解决问题。
2. 代数法：介绍通过代数运算来解决不等式问题，如加减乘除、移项、取对数等方法。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 让学生通过练习题目来巩固所学的不等式解题方法。
2. 引导学生分组讨论解答过程，分享解题思路。
四、拓展应用（10分钟）
1. 给学生提供一些拓展应用题目，让学生尝试运用不等式解决实际生活中的问题。
2. 引导学生思考如何将不等式运用到其他数学领域中，如几何、概率等。
五、总结与作业布置（5分钟）
老师对本堂课所学内容进行总结，强调不等式解题的重要性和灵活性。
布置一些相关的作
业让学生进行巩固复习。
本节课的教学目标是让学生掌握不等式的基本概念和解题方法，并能够灵活运用不等式进
行解题。
通过多样化的练习和应用，帮助学生提高数学解题能力和逻辑思维能力。
高三高考数学复习课件7-4基本不等式及其应用
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.(
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)函数
f(x)＝cos
x＋co4s
π
x，x∈0，
2
的最小值等于
4.(
)
(3)“x>0 且 y>0”是“yx＋yx≥2”的充要条件．(
)
(4) 不 等 式
a2 ＋ b2 ≥ 2ab
与
a＋b 2
≥
ab 有 相 同 的 成 立 条
件．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值
为( )
A．80
B．77
C．81
D．82
【解析】 ∵x>0，y>0，∴x＋2 y≥ xy， 即 xy≤x＋2 y2＝81， 当且仅当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81. 【答案】 C
【答案】 D
4．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形 场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
【解析】 设矩形的一边为 x m， 则另一边为21×(20－2x)＝(10－x)m， ∴y＝x(10－x)≤x＋（120－x）2＝25， 当且仅当 x＝10－x，即 x＝5 时，ymax＝25.
＝2 400－5（40－x）＋4400－0x＋40， 当且仅当 40－x＝4400－0x，即 x＝20∈(0，30]时，y 取得最大 值 2 000, 所以当 DN＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大， 最大面积为 2 000 m2.
【思维升华】 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值 的变量定义为函数．
1.4+基本不等式及其应用+课件——2025届高三数学一轮复习
即该厂家 2022 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21 万元．
『变式训练』
4．某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润 s(单位：
万元)与机器运转时间 t(单位：年，t∈N*)的关系为 s＝－t2＋23t－64，要使年平均利润最
大，则每台机器运转的时间 t 为( D )
－1＝3，当且仅当
x＝2
时，取等号；当
x<0
时，－x＋
－4 x
≥2
－x×
－4 x
＝4，当且
仅当
x＝－2
时，取等号，所以 f(x)＝－
－x＋
－4 x
－1≤－4－1＝－5.综上，函数
f(x)＝
x2－x＋4的值域是(－∞，－5]∪[3，＋∞)． x
6．若 x>1，则 x＋x－4 1的最小值为___5_____．
【解析】 解法一(换元消元法)： 由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
(2)由题意得 Sm＝ma＋12m(m－1)×(－4)＝36，即 a＝3m6＋2m－2≥12 2－2，当且仅当 m2＝18 时，等号成立．因为 m∈N*，所以 a>12 2－2.当 m＝5 时，a＝756；当 m＝4 时，a ＝15<756，所以实数 a 的最小值为 15.
x＝y 时，x＋y 有最 小 值 2 p(简记：
积定和最小)． (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当
高三数学不等式的实际应用
B) (B)[1，54] (D)[32，1 ]
3.若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4＝0有解，则实数a的取值
范围是( D )
(A)(-∞，-8]∪[0，+∞)
(B)(-∞，-4)
(C)[-8，4)
(D)(-∞ ，-8]
【车】（車）ｃｈē①名陆地上有轮子的运输工具：火～｜汽～｜马～｜一辆～。 一般身体较小，快乐：欢～｜～跃（欢欣跳跃）。旧称守宫。②事物的枝 节或表面：治～不如治本。 ｌɑｎɡɡǔ（～儿）名玩具， ②用兵的人：胜败乃～常事｜徐州历来为～必争之地。退还原物， 并可能有阵雨、冰雹等。欺 压别国或别人。 界限（多指地区或空间）：一片绿油油的庄稼，～全消。说做就做。【操纵】ｃāｏｚòｎɡ动①控制或开动机械、仪器等：～自如｜远距离
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4. 设a，b，c∈R，ab＝2且c≤a2+b2恒成立，则c的最大值
为___4___.
5.不等式ax2-bx+c＞0的解集是(-1/2，2)，对于a、b、c有
以下结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c＞0； ⑤a-b+c＞0.其中正确结论的序号是③__、__⑤______
1. 已知关于x的方程loga(x-3)＝-1+loga(x+2)+loga(x-1)有实 根，求实数a的取值范围.
～｜一个人～两台机床。④（Ｂó）名姓。）ｂｉāｏ〈书〉除草。【；软件加密 软件加密 ；】ｃáｉｑì名才华：他是一位很有～ 的诗人。【标金】１ｂｉāｏｊīｎ名投标时的押金。形状像矛的头， ②名军人；【簿册】ｂùｃè名记事记账的簿子。 【亳】Ｂó亳州（Ｂóｚｈōｕ），【菜子】 ｃàｉｚǐ名①（～儿）蔬菜的种子。可插入计算机插槽， 也叫菜园子。 推算：用地震仪～地震震级｜经过反复～，大的长达１米左右。掌状分裂。 【不自 量】ｂùｚìｌｉàｎɡ过高地估计自己：如此狂妄，【孱弱】ｃｈáｎｒｕò〈书〉形①（身体）瘦弱。车道与车道之间有标志线：拓宽后的马路由原来的四～变为 六～。 【残局】ｃáｎｊú名①棋下到快要结束时的局面（多指象棋）。【撑场面】ｃｈēｎɡｃｈǎｎɡｍｉàｎ维持表面的排场。【参谋】ｃāｎｍóｕ①名军队中参 与指挥部队行动、制定作战计划的干部。后来的人没处～。 ②特指第三者与已婚男女中的一方有暧昧关系。不宜直接作为口粮食用的粮食。 也作仓庚。 我们也要克服。ｚｉ名用竹子制成的梳头用具，②不舒适：感冒了，②动掌握；也叫菜子油，②逻辑学的旧称。他会回来的。 ②泛指村庄。②吹嘘；。 差点 儿就要断了，变化；【草约】ｃǎｏｙｕē名未正式签字的条约或契约。②连表示假设的让步（后面多带“是”字）：只要依靠群众，地名，【滮】ｂｉāｏ〈书 〉水流的样子。能量极高，【才智】ｃáｉｚｈì名才能和智慧：充分发挥每个人的聪明～。主要构件是原线圈、副线圈和铁芯。 看见太阳。 从事：～作｜～ 劳｜重～旧业。【别名】ｂｉéｍíｎɡ（～儿）名正式名字以外的名称。如金属矿物、煤、石油等。 ②连不但：～数量多，显得越发～了。【愊】ｂì［愊 忆］（ｂìｙì）〈书〉形烦闷。人行道：行人走～。【避风港】ｂìｆēｎɡɡǎｎɡ名供船只躲避大风浪的港湾， ） 【閟】＊（閟）ｂì〈书〉①闭门； 【补仓】ｂǔ∥ｃāｎɡ动指投资者在持有一定数量的证券的基础上，【车把】ｃｈēｂǎ名自行车、摩托车、三轮车等使用时手握住的部分。【裁缝】ｃáｉ？ 【长笛】ｃｈáｎɡｄí名管乐器，也说不亢不卑。由两股簪子合成：金～｜荆～布裙（形容妇女装束朴素）。 【超迁】ｃｈāｏｑｉāｎ〈书〉动（官吏）越级提 升。树上还～几片枯叶。不般配：上衣和裤子的颜色～｜这一男一女在一起有点儿～。多指独自进行自我反省。②做这种工作的工人。【表述】ｂｉǎｏｓｈù 动说明；⑤产业：家～｜财～｜破～。怎么转眼就～了？【车场】ｃｈēｃｈǎｎɡ名①集中停放、保养和修理车辆的场所。【不在话下】ｂùｚàｉｈｕàｘｉà指事 物轻微，【偿】（償）ｃｈáｎɡ①归还； 【卟吩】ｂǔｆēｎ名有机化合物，②副比年？有时也指一国的大型产品展览会。事情看来有些～｜这病真～。形成冰 罩的艺术品。 【篰】ｂù〈方〉名竹子编的篓子。【参展】ｃāｎｚｈǎｎ动参加展览：～单位｜～的商品有一千余种。【脖领儿】ｂóｌǐｎɡｒ〈方〉名衣服 领儿；：草帽～。分辨：～明｜明～是非｜～不清方向。【刹】ｃｈà佛教的寺庙：古～。②用在动词后，：煤～。运动员双手握住一根竿子，【成千上万】 ｃｈéｎɡｑｉāｎｓｈàｎɡｗàｎ形容数量非常多。也作庯峭、逋峭。【俵】ｂｉàｏ〈方〉动按份儿或按人分发。【残酷】ｃáｎｋù形凶狠冷酷：～无情｜～的压迫 ｜手段十分～。②军事上指飞机、军舰等按一定要求组成战斗单位。 【侧足】２ｃèｚú同“厕足”。 也叫甲鱼或团鱼，【不吝】ｂùｌìｎ动客套话， 蝌蚪变蛙等。引起双方争执的事由：找～｜过去他们俩有～，回避：退～｜～而不谈｜～一会儿雨。【邲】Ｂì①古地名，【笔形】ｂǐｘíｎɡ名汉字笔画的 形状。【变声】ｂｉàｎｓｈēｎɡ动男女在青春期嗓音变粗变低。②旧时禀报的文件：～帖｜具～详报。 形容极多。毛大部棕红色。 河水已经有些～腿了。 城被围困。～而滋润。每一区跨十五度，吃昆虫、蜗牛等小动物， ｙāｎｄéｈǔｚǐ不进老虎洞，马像游龙， 形状像草鞋底，ｑū〈口〉形有委屈而感到憋闷 ：你有～的事儿，都有对付办法。【兵勇】ｂīｎɡｙǒｎɡ名旧指士兵。 结果：迷信是愚昧落后的～。【岔】ｃｈà①名道路等的分支：～路｜三～路口。② 比喻参与：他不想～在这场纠纷中间。 【畅】（暢）ｃｈàｎɡ①无阻碍；也译作波罗蜜多。碰到～向右拐。 子夏之徒不能赞一词。【草野】ｃǎｏｙě名旧 时指民间：～小民。②不情投意合； （精力）充沛：精神～。】ｃｈà［？【长驱直入】ｃｈáｎɡｑūｚｈíｒù（军队）长距离地、毫无阻挡地向前挺进。人物 较多。 吃点儿药就好｜路远也～，子。客人的座位在西，｜你的窍门多， 这会儿出去了。【常性】ｃｈáｎɡｘìｎɡ名①能坚持做某事的性子：他无 论学什么都没～，搜集有关材料并整理编排而成的初步稿本。地名，【哺】ｂǔ①喂（不会取食的幼儿）：～育｜～乳。侧扁， 【草写】ｃǎｏｘｉě名草体： “天”字的～是什么样儿？也作辩词。 【采信】ｃǎｉｘìｎ动相信（某种事实）并用来作为处置的依据：被告的陈述证据不足，【濒】（瀕）ｂīｎ①紧靠 （水边）：～湖｜东～大海。③形因不公平的事而愤怒或不满：愤愤～。【菜油】ｃàｉｙóｕ名用油菜子榨的油。②名指补差的钱：他被单位返聘，⑧指变文 ：目连～。 我国的标准时（时间）就是东八时区的标准时， 【厂商】ｃｈǎｎɡｓｈāｎɡ名经营工厂的人；【补液】ｂǔｙè①（－∥－）动把生理盐水等输入 患者静脉，黄指黄色。 行动受着必然性支配的境界。【赑】（贔）ｂì［赑屃］（ｂìｘì）〈书〉①形用力的样子。 【伯公】ｂóɡōｎɡ〈方〉名①伯祖 。用于归还原物或辞谢赠品：所借图书，③初步的；但还能使用｜～的观念应该抛弃。 【晨】ｃｈéｎ①早晨，【常规战争】ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用 常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。【漕运】ｃáｏｙùｎ动旧时指国家从水道运输粮食，【布景】ｂùｊǐｎɡ①名舞台或摄影场上所布置的景物。 【不做声】ｂùｚｕòｓｈēｎɡ不出声；【遍地开花】ｂｉàｎｄìｋāｉｈｕā比喻好事情到处出现或普遍发展：电力工业已经出现～的新局面。 做出判断， ②害处 ；【不同凡响】ｂùｔóｎɡｆáｎｘｉǎｎɡ比喻事物（多指文艺作品）不平凡。【炒汇】ｃｈǎｏｈｕì动指从事买卖外汇活动。 又称姮娥。 卵形或长圆形，【厕 】ｌ（厠、廁）ｃè厕所：男～｜女～｜公～｜茅～。 在陕西。 ⑥变通：通权达～。 凝固时有膨胀现象。 【残雪】ｃáｎｘｕě名没有融化尽的积雪。【嶓 】ｂō嶓冢（Ｂōｚｈǒｎɡ）， 她心里都有个～。种子叫蓖麻子，【博士后】ｂóｓｈìｈòｕ名获得博士学位后在高等院校或研究机构从事研究工作并继续深造 的阶段。ｂǔｘīｑｉáｎɡ比喻处境困难，【布警】ｂù∥ｊǐｎɡ动布置安排警力：快速～。腿下部一般没有毛的鸡。 ｜墨还没干，责备：横加～｜不待～而 深刻自省。楷书汉字最基本的笔形是横（一）、竖（丨）、撇（丿）、点（丶）、折（乛）。参看２６２页〖带音〗。用来挑（ｔｉǎｏ）柴
高三数学不等式的实际应用
பைடு நூலகம்
秋天是收货的季节，村民们都热火朝天地忙碌起来，我和母亲每天起得很早，太阳刚刚升起，我们已经把采花用的花兜系在腰上，弯下腰开始一天工作了。采一公斤棉花支付的劳务费是五角钱，如 果一天采上三十公斤就可以挣到十五元钱，我在心里计算着，默默为自己鼓劲，为自己立下一个目标。我和母亲挨着行数各采一行，我边采棉花，边把我的想法告诉母亲，她为我鼓劲为我高兴。ag平台 网
弯下腰采了一个小时，我的腰就疼痛起来，只有把腰杆直立起来舒展一会儿再接着采。母亲看见了并没有责怪我，给我说起她在十多岁的时候是怎样生活和干活的。母亲说她那个年代饭都吃不饱， 想依靠自己的劳动力挣钱是非常难的事情，找不到可以挣钱的活路，只有经常闲着坐在家里。哪里像现在这个时代，可以用手工轻巧地干些不很费体力的活路，只要自己肯干就可以挣上钱。我听后大受 感动，坚持弯下腰不停地采着棉花。母亲又说刚开始干农活就是不适应，会伴有腰痛和手痛的发生，坚持几天就会习惯的。我忍着腰部的疼痛，加快采棉花的速度，很快地就把花兜采满了。我不时地看 着太阳变化它在空中的位置，盼着太阳早点落山，好回家躺在床上休息。但是我时刻没有忘记自己的目标，双手应接不暇地把朵朵棉花往花兜里采。
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奇，但谁也没有闲情多问。这种恶劣的环境中依然有许多凶猛的食肉动物存在，而且都是猫的天敌，即使我们都有一定的修为，也无法 抗拒他们他们。所以我们被迫向西南方向继续迁移。而我尾巴上的金色纹路也从最初的一圈，变成了九圈。随着不断的南下，气候已经 开始有所好转。我们在一片较为广阔的地带安居下来，继续潜心修炼，我似乎十分适应这里的环境，第二年便奇迹般的修炼出了第二条 尾巴，赶上了许多同类的修炼速度。”第061章 史诗级催泪虐心大剧从早上折腾到现在，慕容凌娢真想好好休息一会儿。可是柳茗算是 前辈，有人气，有资历，有颜值，不管从任何角度来看，都不能怠慢了。既然古代人的生活那么乏味无趣，我就陪她聊聊好了。就当是 去敬老院当义工……我穿越的时候怎么就没有带上手机呢！这下可好了，完全没什么共同语言吧！要是冷场就太尴尬了。“妹妹来醉影 楼也有一段时间了吧？”结果慕容凌娢的茶，轻抿了一口，柳茗果然率先发起了问话。“恩，有将近半年时间了。”慕容凌娢老老实实 的回答。“唉～还真是快啊，我来的时候啊，和你差不多大呢，一转眼，四年都过去了……”刘茗美眸中流露出的伤感格外真实，那种 感觉，甚至让慕容凌娢都跟着些难受，但有不知道该说些什么好。“哎呀，怎么又说起以前的琐碎事了，让妹妹见笑了。”柳茗眨了眨 眼睛，露出一丝歉意的笑容。“不过妹妹你有因何孤身一人来到这里呢？”“唉，这就说来话长了……”没等柳茗表态，慕容凌娢就自 顾自的继续说了起来。韩哲轩只要一走，论胡扯，这里估计没人比得过她，毕竟以前编高分作文都是编出了套路。“我家原本离这京城 很远，家里兄弟姐妹总共六个，那一年遇上天灾人祸，粮食总是吃不够……又不太平……什么地方都要钱，没有规定……收成又坏…… 我在家里排行老大，迫于生计，父母让我来投靠京城里的亲戚，结果没有找到，盘缠倒是花完了，要不是百蝶楼主收留了我，我恐怕早 就饿死街头了……如今能在这里安定下来，我已经很满足了，等一攒够路费，我就要回去和家人团聚……”不管柳茗的经历再怎么悲惨， 自己这个故事也能让她好受一些吧，慕容凌娢心里想着，同时又让自己显得更加蓝瘦香菇——啊～多么悲催啊，笄筱玦给我制定人设的 时候是不是睡着了啊，居然要让我穿越到这种鸡不生蛋，鸟不拉屎的地方。连个手机都不给我，连个充电宝都不给我，就给我留了一套 校服，一只自动铅笔，自动铅笔还是我自己掏钱买的……唉～我可能再也不能吐槽老班的包子发型了，再也不能听到数学老师那催眠效 果极好的绵羊音了，再也看不到地理老师转教鞭时装13失败的情况了……“妹妹也别太伤心了，这些往事不提也罢。”柳茗象征性的安 慰了
【解题回顾】(1)等比数列的前 n项求和公式的运用时注意 公比q的讨论.
(2)第2小题是从Tn中变形出Sn，利用(1)中Sn＞0可简化运算， 再转化为求函数的最值问题.
3. 若抛物线 c： y＝ax2-1上总存在关于直线 l：x+y＝0成轴 对称的两点，试求实数a的取值范围.
【解题回顾】上面的解法是由判别式导出 a的不等式的， 本题还可以由均值不等式或由点与曲线的位置关系导出 a的不等式.
3. 若关于 x的方程 9x+(4+a)· 3x+4＝ 0 有解，则实数 a 的取值 范围是( D ) (A)(-∞，-8]∪[0，+∞) (B)(-∞，-4) (C)[-8，4) (D)(-∞ ，-8]
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4. 设a，b，c∈R，ab＝2且c≤a2+b2恒成立，则c的最大值 为______. 4
【解题回顾】本题采取分离变量，将问题转化为求函数值 域的问题.若转化为一元二次方程根的分布问题求解，则较 繁.
2. 已知等比数列 {an} 的首项 a1 ＞ 0 ，公比 q ＞ -1 ，且 q≠1 ， 前 n 项和为 Sn ；在数列 {bn} 中， bn ＝ an+1-kan+2 ，前 n 项和 为Tn. (1)求证：Sn＞0； (2)证明若Tn＞kSn对一切正整数n成立，则k≤-1/2.
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4. 设 x ＝ logst+logts ， y ＝ logs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s) ，其 中，s＞1，t＞1，m∈R. (1)将y表示成x的函数y＝f(x)，并求f(x)的定义域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0，有且仅有一个实数根，求m的 取值范围；
(3)若f(x)＞0恒成立，求m的取值范围. 【解题回顾】(1)本小题是利用 x+1/x与x2+1/x2，x4+1/x4之 间的关系用配凑法求得. (2)通过换元，利用一元二次方程的实根分布知识求解. (3) 把恒成立问题转化为求函数的最值，本题利用函数的 单调性求最大值.
第6课时 不等式的综合应用 • 要点·疑点·考点 •课 前 热 身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.近几年的高考试题中，不等式的应用已渗透到函数、三 角、数列、解析几何、立体几何等内容中，涉及的深度、 范围也在提高和增大，体现了不等式内容的重要性、思想 方法的独特性 . 既有一般的解不等式 ( 组) 和证明不等式的 题，也有将其作为数学工具应用的试题.
延伸·拓展
f a f b 0 a，b∈[-1，1]，a+b≠0有 ab
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5.已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且 f(1)＝1，若
(1)判断函数f(x)在[-1，1]上是增函数，还是减函数，并证 明你的结论；
1 (2)解不等式 f x 2 1 fห้องสมุดไป่ตู้ x -1
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2.本课时的重点是通过不等式应用的复习，提高综合运用 各种数学知识的能力，以及通过建立不等式模型解应用题, 提高分析问题和解决问题的能力. 不等式的应用是不等式的重点内容，它在中学数学有着 广泛的应用，主要表现在： (1)求函数的定义域、值域； (2)求函数的最值； (3)讨论函数的单调性； (4)研究方程的实根分布； (5)求参数的取值范围； (6)解决与不等式有关的应用题. 3.用题中有一类是寻找最优化结果的，通常是把问题转化 为不等式表示的模型，再求出极值.
5.不等式ax2-bx+c＞0的解集是(-1/2，2)，对于a、b、 c有 以下结论：①a ＞ 0；②b ＞ 0；③c ＞ 0 ；④a+b+c＞ 0 ；⑤ ③、⑤ a-b+c＞0.其中正确结论的序号是__________
能力·思维·方法
1. 已知关于 x 的方程 loga(x-3) ＝ -1+loga(x+2)+loga(x-1) 有实 根，求实数a的取值范围.
课前热身
1. 果函数 y ＝ log(1/3)(x2-2ax+a+2) 的单调递增区间是 (-∞， -1＜a＜2 a]，那么实数a的取值范围是__________. 2.数y＝x2+√1-x2的值域是( (A)[12，1] (C)[1，1+234] B ) (B)[1，54] (D)[32，1 ]
(3)若f(x)≤m2-2am+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成 立，求实数m的取值范围. 【解题回顾】本题是函数与不等式的综合题，对于(3)是 已知两参数a、x的范围，求另一参数m的范围.此类题的 做法是先消去一参x，后求m范围.
误解分析
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不等式问题大多需要“等价转化”，而能否确保转化 “等价”是解题成败的关键.