高中数学基本不等式证明

不等式证明基本方法

例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+-

分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02

a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论

2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。

例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2

22222++<++

分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。

证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++

=)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+-

=)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+-

=))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a

∴0))()((<---a c c b b a

故原不等式成立

评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：

=++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a

b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a

b ++++-+ 11n n n n a b ab a

b ++=+-- ()()n n

a b a b a b =-+-

()()n n a b b a =--

ⅰ）当0a b >>时，0,n n a b b a -><，则()()0n n

a b b a --<

ⅱ）当0a b =>时，0,a b -=，则()()0n n a b b a --=

ⅲ）当0b a >>时，0,n n a b b a -<>，则()()0n n a b b a --<

评注：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分，作差后能因式分解，作商后能进一

步简化变形等，是运用比较法的外部特征。当作差或商后的式子中含有字母时，有时

需对字母进行分类讨论。

例4 ：已知,,a b R +∈且,a b ≠求证：a b b a a b a b > 分析一：作差后可以判定符号，可用作差法。

证法一：(1)a b b a a b b a a b a b a b a b a

b ---=- [1()

]a b b a a a b b -=- ⅰ）当a b >时，1,0,a b a b

>-<则()1b a a b -< ⅱ）当a b <时，01,0,a b a b

<<->则()1b a a b -< 又∵0a b a b >，∴a b b a a b a b >

分析二：不等式两边次数不同，也可以先降次，再作差。

证法二：∵0,0a b >>Q

∴lg()lg()a b a b

a b b a -

lg lg lg lg a a b b a b b a =+--

()(lg lg )a b a b =--

ⅰ）当0a b >>时，a b -与lg lg a b -同为正

ⅱ）当0b a >>时，a b -与lg lg a b -同为负

∴lg()lg()a b a b a b b a >即a b b a a b a b >

评注：有时可将原不等式变形后再作差比较（如平方后作差等），可使变形更方便。

分析三：不等式两边均为正数，也可用作商法。 证法三：()a b a b a b a b a b a b

-=

ⅰ）当0a b >>时，

1,0,()1a b a a a b b b

->->∴> ⅱ）当0b a >>时，01,0,()1a b a a a b b b -<<-<∴> ∴a b b a a b a b >

评注：1．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论

2．作差法是通法，运用较广。作商法要注意条件，不等式两边必须为正数。常用于证幂、指数形 式的不等式。

例5 ：设c b a ,,都正数，求证：c b a c

ab b ca a bc ++≥++ 分析：不等式左边可以两两运用均值不等式，得到不等式右边。

证明：,,,+

∈R c b a Θ,,,+∈∴R c

ab b ca a bc ∴2,2,2bc ca ca ab ab bc c a b a b b c c a

+≥+≥+≥ ∴2(bc a +)(2c b a c

ab b ca ++≥+， ∴c b a c ab b ca a bc ++≥++ 评注：1.利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要 证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法

2．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推 出结论的一种证明方法

例6:设a,b,c 均为正实数，求证：a 21+b 21+c 21≥c b +1+a c +1+b

a +1. 分析一：不等式左边两两结合，可以连续使用均值不等式。

证法一：∵a,b,c 均为正实数， ∴21（a 21＋b 21）≥ab

21≥b a +1，当a =b 时等号成立； 21（b 21＋c 21）≥bc

21≥c b +1，当b =c 时等号成立； 21（c 21＋a 21）≥ca

21≥a c +1．当a =c 时等号成立； 三个不等式相加即得a 21+b 21+c 21≥c b +1+a c +1+b

a +1，当且仅当a =

b =

c 时等号成立. 分析二：从一些常用不等式出发，可以减少思维回路，降低解题难度，提高效率。

证法二：∵0,0>>b a .4)11

)((≥++b a b a ∴.411b

a b a +≥+