最新证明不等式的基本方法一

am a bm b
Байду номын сангаас
例3．在⊿ABC中a、b、c分别是A、B、C的对边， S是三角形的面积求证：
c a b 4ab 4 3S
2 2 2
c2 a2 b2 4ab 4 3S
2ab cos C 4ab 2 3ab sin C
3 1 4ab(1 sin C cos C ) 2 2 3 1 4ab[1 ( sin C cos C )] 2 2 a、b (0， ）且 sin(C ) 1 4ab[1 sin(C )] 6 6 4ab[1 sin(C )] 0. 即c2 a2 b2 4ab 4 3S 6
四、小结 ：我们一起学习了证明不等式的 最基本、最重要的方法：比较法， 1．比较法之一（作差法）步骤：作差—— 变形——判断与0的关系——结论 2．比较法之二（作商法）步骤：作商—— 变形——判断与1的关系——结论
五、作业 P23习题2。11、2、3、4
二、讲解新课：
思考一： 已知 a , b 是正数，且 a
3 3 2
b ，求证：
2
a b a b ab
尝试：作差比较，作差——变形——定符号
注：比较法是证明不等式的基本方法， 也是最重要的方法 比较法之一（作差法）步骤：作差——变形 ——判断与0的关系——结论
例2（P21例）如果用akg 白糖制出 bkg a 糖溶液，则糖的质量分数为 ，若上述溶 b 液中添加 m kg白糖，此时糖的质量分数增加到 am ，将这个事实抽象为数学问题，并 bm 给出证明。 此即：已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：
不等式的证明的基本方法
------ 比较法
一、复习引入：
对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
判断两个实数大小的依据是： a b ab 0 a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础.
思考二： 例4．设a, b R+，求证：
a b (ab)
a b
a b 2
a b
b
a
方法2：作商法 理论根据：
a a b 0 1 b a a b, b 0 1 b
操作方法：“作商——变形——判断商式大于1 或小于1”
三、练习 1．求证：x2 + 3 > 3x 2． 已知a, b都是正数，并且a b， 求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2