数学：24.1圆-24.1.4圆周角课件(人教新课标九年级上)

A
O
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90度的圆周角所对的弦是直径。
五、定理
定 理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
C2 C1 C3
推
论
半圆（或直径）所对的圆周 角是直角; A 90°的圆周角所对的弦是直径．
O
·
B
练 习
2.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多 少种方法？与同学交流一下．
1 ∴∠ACB= 2 ×180°= 90°.
CO= AB,
A
· O
B
∴ △ABC 为直角三角形.
3、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=35° ， 求∠BOC的度数。 ∠BOC =140°
700 350
1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
C
●
O
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
四、同弧所对圆周角与圆心角的关系
A

如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部 时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大 小关系会怎样?
C
●
O
B A O D C

老师提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. ∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B.

A
即
你能写出这个命题吗?
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
老师期望: 你可要理 解并掌握 这个模型. B
一. 复习引入:
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角 O
.
2.上节课我们学习了一个反映圆
心角、弧、弦三个量之间关系的
B
C
一个结论，这个结论是什么？ 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有 一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都
分别相等。
一、概念
什么叫做圆周角？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
C
证明： 以AB为直径作⊙O， ∵AO=BO， CO= AB, ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, 1 ∴∠ACB= ×180°= 90°. 2 ∴ △ABC 为直角三角形.
1 2
A
· O
B
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两 点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
A
乙C
甲O
丁E
B
D
AOB是AB所对的圆心角 ACB是AB所对的圆周角 ADB是AB所对的圆周角 AEB是AB所对的圆周角
它们之间有什么关系呢？
C O
A
E
B
类比圆心角探知圆周角

在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么 关系？ 为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角 和圆心角之间有的关系.
恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．
练 习
1.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相 等的角？
∠1 = ∠4 ∠5 = ∠8 ∠2 = ∠7
B C A
2 3 4 5 1 8 7
6
∠3 = ∠6
D
四、同弧所对圆周角与圆心角的关系

所对的弧相等。
作业
⌒ = CF, ⌒ 2、如图，在⊙O中，AB为直径，CB
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC
3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D
为半圆上的两点，∠COD=50°，则
∠CAD=______； 25°
4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为
(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_20° _；
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC 2 102 62 8 A
O B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
D
2 2 AD BD AB 10 5 2(cm) 2 2
练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 1 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= AB 2 求证： △ABC 为直角三角形.
●
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 :
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C
●
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A C B
●
O
O
O
B
B
如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB 分别是什么角？ 它们有何共同点？
∠ADB与∠ACB有什么关系？
圆周角定理:
同弧 (等弧) 所对的圆周角相等. 都等于这条弧所对的圆心角的一半.

你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?
圆周角和圆心角的关系

教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部．
图 23.1.11

如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系?
说说你的想法,并与同伴交流.


的关系
C
●
O
B
A
老师提示:能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2
C
B
●
O
= 1∠COD,
2
∴
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.


同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
即
A C
练习：
如图，圆心角∠AOB=100°，
则∠ACB=___。
O A C B
小结:
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相
交的角叫圆周角.
2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90° 90°的圆周角所对的弦是圆的直径 3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相 等,都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角
方法三
方法一 A C O 方法二
O
B
方法四
D
· B
A
O
六、
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等吗？为什么？
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它 们所对的弧一定相等．
七、例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平 分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
D A C
O
·
B
E
辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗? C
C C
E D D E C E D E
D
练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以 通过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站 在圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置 C，他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？如果同学 丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB 和∠AEB ）和同学乙的视角相同吗？ 丙D

∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2
1 = ∠COD, 2
●
1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
B
四、同弧所对圆周角与圆心角A


如果圆心不在圆周角的一边上,结果 会怎样? 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外 部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的 大小关系会怎样?
D
A
O 40°
B
C
2、求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条 边为直径的圆.） 已知：△ABC
证明：
1 ，CO为AB边上的中线，且CO= AB 2
C
求证： △ABC 为直角三角形. 以AB为直径作⊙O， ∵AO=BO， ∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径,

A
B
●
A O
B
●
A
B
●
O
C
O
C
C
三、 探究
AB 分别量一下图中 所对的两个 圆周角的度数，比较一下，再变 动点C在圆周上的位置，圆周角 的度数有没有变化？你能发现什 么规律吗？ AB 再分别量出图中 所对的圆周
角和圆心角的度数，比较一下， 你什么发现？
圆周角.gsp
C
D O
·
B
A
同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数
思考:
在同圆或等圆中
相等的圆周角所对的弧相等 吗?
在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等.
A B
如图, 若 AC = BD 则 ∠ D=∠A
⌒
⌒
C
D
∴AB∥CD
B

1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°, 求∠A的大小. 解: ∠A