18年中考复习 第29讲 与圆有关的计算(含答案)

第29讲与圆有关的计算
◆考点链接
1．利用相似等知识，在圆中进行有关计算；
2．弧长、阴影部分、展开图、圆锥侧（表）面积等计算．•会借助分割与转化的思想方法求组合图形的面积．
◆典例精析
【例题1】（哈尔滨）已知：如图，AB是⊙O的直径，
点P为BA延长线上一点，•PC为⊙O的切线，C为切点，BD
⊥PC，垂足为D，交⊙O于点E，连结AC、BC、EC．
（1）求证：BC2=BD·BA；
（2）若AC=6，DE=4，求PC的长．
解题思路：（1）由结论入手，设法证明含有公共边BC的两个三角形△BCD•和△ABC相似，从而构造出公共边BC的比例中项形式．这是相似形这部分知识证明的一种常见方法．
，这样AC=EC=6，同时（2）由（1）知△BCD∽△BAC，∴∠DBC=∠CBA，∴EC AC
∠DCE=•∠DBC，∴∠DCE=∠CBA，∴Rt△CED∽Rt△BAC，用相似比可求出AB=9，在直角△
ABC•中用勾股定理求出PCA∽△PBC，并结合切割线定理，•用
方程的思想可求得
【例题2】（黄冈）宏远广告公司要为某企业的一种产品设计一种商标图案，给出了如下几种初步方案供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）；
（1）如图①，分别以线段O1O2的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径，•作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积．
（2）如图②，分别以等边△O1O2O3的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？
（3）如图③，分别以正方形O1O2O3O4的四个顶点为圆心，以其边长为半径作四个相同
的圆，则这四个圆的相交部分的面积又是多少呢？
① ② ③ 解题思路：本题中阴影部分的面积均可采用割补的方法计算． 解：（如图⑤）
（1）S 阴=S 菱形AO1BO2+4S 弓形=2S △AO1O2+4S 弓形=
23πr 2-2
πr 2；
（2）S 阴=S △O1O2O3+3S 弓形=
2πr 22
；
（3）∵S O1AB =S 扇形AO1O4-S O1BO4=（4π-3πr 2
．
∴S 阴=S 正方形O1O2O3O4-4S O1AB =（
3
π
r 2．
⑤ ◆探究实践
【问题1】（河北）如图所示，圆锥的母线长OA=8，底面的半径r=2，若一只小虫从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，•则小虫爬行的最短路线的长是_________（结果保留根式）．
解题思路：本题考查圆锥的有关知识，通常这类问题先求出展开图扇形的圆心角，再利用弧长公式L=
180
n r
π，求出n=90°，•这样小虫爬行的最短路线即为等腰直角三角形斜边
的长为4π．
【问题2】（南宁）如图，点P 是圆上一个动点，弦PC 是∠APB 的平分线，•∠BAC=30°．
（1）当∠PAC 等于多少度时，四边形PACB 的面积最大？最大面积是多少？
（2）当∠PAC 等于多少度时，四边形PACB 是梯形？说明你的理由．
解题思路：（1）注意到点C 为定点（AB 的中点）．这样最大面积取决于点P•在优弧AB 的位置（中点），只能当∠PAC=90°时，S
最大
=（2）证明梯形不能只说明一组对边平行，•还必须说明另
一组对边不平行．当∠PAC=60°时，四边形PACB 是梯形． 中考演练 一、填空题
1．（哈尔滨）已知矩形ABCD 的一边AB=5cm ，另一边AD=3cm ，则以直线AB 为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为________cm 2
．
2．（浙江）如图1，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，那么这个圆锥的侧面积是_______cm ．
(1) (2) (3)
3．（大连）如图2，两个同心圆中，大圆的半径为2，∠AOB=120°，半径OE•平分∠AOB ，则图中阴影部分的面积为________． 二、选择题
1．（福州）一个底面半径为5cm，母线长为16cm的圆锥，•它的侧面展开图的面积是（）．A．80πcm2B．40πcm2C．80cm2D．40cm2
2．（杭州）如图3，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（）． A．50 B．52 C．54 D．56
3．（宁波）边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为（）．
A．1：5 B．2：5 C．3：5 D．4：5
三、解答题
1．（南安）如图4，半圆M的直径AB为20cm，现将半圆M绕着点A•顺时针旋转180°．（1）请你画出旋转后半圆M的图形；
（2）求出在整个旋转过程中，半圆M所扫过区域的面积（结果精确到1cm2）．
(4)
2．（杭州）如图6所示，AC切⊙O于A，CB顺次交⊙O于D、B点，AC=6，BD=5，连结AD、AB．（1）证明：△CAD∽△CBA；（2）求线段DC的长．
(6)
实战模拟 一、填空题
1．（重庆）如图7，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是R ，油面高为3
2
R ，•截面上有油的弓形（阴影部分）的面积为______（结果不取近似值）．
(7) (8) (9)
2．（包头）如图8，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=30m ，拱形的半径，•则拱形的弧长等于_______m ．
3．（广东）如图9，已知圆柱体底面圆的半径为
2
π
，高为2，AB 、CD 分别是两底面的直径，
AD 、BC 是母线．若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是________（结果保留根式）． 二、选择题
1．（广州）一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，•则该圆柱的底面圆半径是（ ）． A ．
5
8
58
10
16
.
..
B C D π
π
ππ
π
π
或
或
2．（河北）如图10，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成一个圆锥模型．设圆的半径为r ，扇形的半径为R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（ ）． A ．R=2r B ．R=
9
4
r C ．R=3r D ．R=4r
(10) (11)
3．（青岛）如图11，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．
A．4-4
9
π B．4-8
9
π C．8-4
9
π D．8-8
9
π
三、解答题
1．（陕西）如图，点C在以AB为直径的半圆上，连结AC、BC，AB=10cm，tan∠BAC=3
4
，
求阴影部分的面积．
2．（海淀区）如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，•且OD=5．
（1）若sin∠BAD=3
5
，求CD的长；
（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．
答案: 中考演练
一、1．48π 2．60π 3．2
3
πcm 2 二、1．A 2．B 3．B
三、1．（1）画图略 （2）面积=
12×π×202+12
×π×102=250π≈785（cm 2） 2．（1）略 （2）DC=4 实战模拟
一、1．（
23πR 2 2．20π 3．二、1．C 2．D 3．B 三、1．S 阴影=
25
2
π-24（cm 2） 2．（1）OD=5，AB=10，sin ∠BAD=
3
5
BD AB = ∴BD=6，AD=8，又∵DE ．AB=AD ．BD ，∴DE=
2448,255
CD DE == （2）∵∠BDC=∠BAD=∠ADO ，而∠ADO ：∠EDO=4：1，设∠EDO=x ，
则∠ADO+∠EDO+∠BDC=4x+x+4x=90°，∴x=10°，∴∠AOD=100°， 又∵AC AD =，∴∠AOC=100°，S 扇形OAC =
2100125536018
ππ⨯=。