河北省衡水市枣强中学2015-2016学年高一下学期第六次

2015-2016学年河北省衡水市枣强中学高一（下）第六次月考数
学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．若集合A={y|0≤y＜2}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）
A．{x|0≤x≤1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|1＜x＜2}
2．已知函数，则f（9）+f（0）=（）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图都是腰长为5底为8的等腰三角形，俯视图是边长为8的正方形，那么此几何体的侧面积为（）
A．48 B．64 C．80 D．120
4．设实数x，y满足约束条件，则x2+（y+2）2的取值范围是（）
A．[，17]B．[1，17]C．[1，]D．[，]
5．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为，一
个对称中心为（﹣，0），为了得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
7．已知向量=（1，x），=（x，3），若与共线，则||=（）
A．B．C．2 D．4
8．在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b7•b8=3，则log3b1+log3b2+…+log3b14等于（）A．5 B．6 C．8 D．7
9．若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合（）
A．{a|a≤2}B．{a|﹣2＜a＜2}C．{a|﹣2＜a≤2}D．{a|a≤﹣2}
10．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0
11．已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）
A．B．C．D．
12．动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）
A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若x，y满足约束条件，则z=3x+y+2的最大值为．
14．过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB
最小时，直线l的方程为．
15．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又
SA=AB=BC=1，则球O的表面积为．
16．曲线与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围
为．
三、解答题（共6小题，其中17题10分，其它题12分，满分70分）
17．（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）；
（2）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）．
18．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，S是△ABC的面积，已知
a=4，b=5，S=5．
（1）求角C；
（2）求c边的长度．
19．数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+n
（1）求数列{a n}的通项公式a n；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设∠CED=60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．
21．设直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A，B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；
（2）求弦AB的长．
22．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，点A（3，5）．
（1）求过点A的圆的切线方程；
（2）O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S．
2015-2016学年河北省衡水市枣强中学高一（下）第六次
月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．若集合A={y|0≤y＜2}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）
A．{x|0≤x≤1}B．{x|1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|1＜x＜2}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由条件根据补集的定义求得∁R B，从而求得A∩（∁R B）．
【解答】解：∵B={x||x|＞1}，
∴∁R B={x||x|≤1}={x|﹣1≤x≤1}．
再根据集合A={y|0≤y＜2}，A∩（∁R B）={x|0≤x≤1}，
故选：A．
2．已知函数，则f（9）+f（0）=（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】对数的运算性质．
【分析】本题中的函数是一个分段函数，根据自变量的取值范围选择合适的解析式代入自变量9，0，分别求出两个函数值，再相加求值，
【解答】解：∵
∴f（9）+f（0）=log39+20=2+1=3
故选D
3．一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图都是腰长为5底为8的等腰三角形，俯视图是边长为8的正方形，那么此几何体的侧面积为（）
A．48 B．64 C．80 D．120
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱锥，画出图形结合图形求出它的侧面积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是正四棱锥，画出图形如图所示；
则该几何体的侧面积为
S
=4S△PBC=4××8×5=80．
侧
故选：C．
4．设实数x，y满足约束条件，则x2+（y+2）2的取值范围是（）
A．[，17]B．[1，17]C．[1，]D．[，]
【考点】简单线性规划．
【分析】由题意作平面区域，而x2+（y+2）2的几何意义是点A（0，﹣2）与阴影内的点的距离的平方，从而结合图象解得．
【解答】解：由题意作平面区域如下，
，
x2+（y+2）2的几何意义是点A（0，﹣2）与阴影内的点的距离的平方，
而点A到直线y=x﹣1的距离d==，
B（﹣1，2），故|AB|==，
故（）2≤x2+（y+2）2≤（）2，
即≤x2+（y+2）2≤17，
故选：A．
5．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由M在圆外，得到|OM|大于半径，列出不等式，再利用点到直线的距离公式表示出圆心O到直线ax+by=1的距离d，根据列出的不等式判断d与r的大小即可确定出直线与圆的位置关系．
【解答】解：∵M（a，b）在圆x2+y2=1外，
∴a2+b2＞1，
∴圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=＜1=r，
则直线与圆的位置关系是相交． 故选B
6．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为
，一
个对称中心为（﹣，0），为了得到g （x ）=cos ωx 的图象，则只要将f （x ）的图象（ ）
A ．向右平移个单位
B ．向右平移个单位
C ．向左平移
个单位
D ．向左平移
个单位
【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．
【分析】由周期求得ω，根据图象的对称中心求得φ的值，可得函数的解析式，再根据函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律得出结论．
【解答】解：由题意可得函数的最小正周期为=2×
，∴ω=2．
再根据﹣
×2+φ=k π，|φ|＜
，k ∈z ，可得φ=，f （x ）=sin （2x +
），
故将f （x ）的图象向左平移个单位，可得y=sin [2（x +）+
]=sin （2x +
）=cos2x
的图象，
故选：D ．
7．已知向量=（1，x ），=（x ，3），若与共线，则||=（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．4 【考点】向量的模．
【分析】由两向量的坐标，根据两向量共线的条件求出x 2的值，即可确定出||的值．
【解答】解：∵向量=（1，x ），=（x ，3），且与共线，
∴=，即x 2=3， 则||=
=2，
故选：C ．
8．在各项均为正数的等比数列{b n }中，若b 7•b 8=3，则log 3b 1+log 3b 2+…+log 3b 14等于（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．7 【考点】数列与函数的综合．
【分析】根据等比中项的性质可知b 1b 14=b 2b 13=b 3b 12=…=b 7•b 8=3，代入log 3b 1+log 3b 2+…+log 3b 14，根据对数的运算法则即可求的答案． 【解答】解：∵数列{b n }为等比数列 ∴b 1b 14=b 2b 13=b 3b 12=…=b 7•b 8=3，
∴log 3b 1+log 3b 2+…+log 3b 14=log 3（b 1b 14b 2b 13…b 7•b 8）=log 337=7 故选D ．
9．若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合（）A．{a|a≤2}B．{a|﹣2＜a＜2}C．{a|﹣2＜a≤2}D．{a|a≤﹣2}
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】先对二次项的系数a﹣2分类讨论，进而利用一元二次不等式的解法解出即可．【解答】解：①a=2时，不等式化为﹣4＜0对一切x∈R恒成立，因此a=2满足题意；
②a≠2时，要使不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则必有
解得﹣2＜a＜2．
综上①②可知：实数a取值的集合是{a|﹣2＜a≤2}．
故选C．
10．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，
故l的方程是y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，
故选：D．
11．已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）
A．B．C．D．
【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．
【分析】圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围．
【解答】解：直线l为kx﹣y+2k=0，又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点
故∴
故选C．
12．动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）
A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=
【考点】轨迹方程；中点坐标公式．
【分析】根据已知，设出AB中点M的坐标（x，y），根据中点坐标公式求出点A的坐标，根据点A在圆x2+y2=1上，代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程．
【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x﹣3，2y），∵A在圆x2+y2=1上，
∴（2x﹣3）2+（2y）2=1，
即（2x﹣3）2+4y2=1．
故选C．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．若x，y满足约束条件，则z=3x+y+2的最大值为5．
【考点】简单线性规划．
【分析】先作出约束条件，满足的可行域，再求z=3x+y+2的最大值．
【解答】解：作出约束条件，满足的可行域：
∵O（0，0），A（1，0），B（0，1），z=3x+y+2，
∴z O=3×0+0+2=2，z A=3×1+0+2=5，Z B=3×0+1+2=3，
∴z=3x+y+2的最大值为5．
故答案为：5．
14．过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB
最小时，直线l的方程为2x﹣4y+3=0．
【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．
【分析】研究知点在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，
直线l与CM垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．
【解答】解：验证知点在圆内，
当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，
由圆的方程，圆心C（1，0）
∵k CM==﹣2，
∴k l=
∴l：y﹣1=（x﹣），整理得2x﹣4y+3=0
故应填2x﹣4y+3=0
15．三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又
SA=AB=BC=1，则球O的表面积为3π．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据题意，三棱锥S﹣ABC扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S﹣ABC 的外接球的表面积．
【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB=BC=1，
三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，
∴球的半径R==．
球的表面积为：4πR2=4π•（）2=3π．
故答案为：3π．
16．曲线与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为
．
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围．
【解答】解：可化为x2+（y﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，
2为半径的圆y≥1的部分．
直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．
且k AP==，由直线与圆相切得d==2，解得k=
则实数k的取值范围为
故答案为：
三、解答题（共6小题，其中17题10分，其它题12分，满分70分）
17．（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）；
（2）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；抽象函数及其应用．
【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再根据3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17可确定出k，b的值，进而可求函数解析式
（2）在已知的等式当中，用替换x，联立f（x）和f（）二元一次方程组求解f（x）
即可．
【解答】解：（1）由题意可设f（x）=kx+b
∵3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17
∴3[k（x+1）+b]﹣2[k（x﹣1）+b]=2x+17
即kx+5k+b=2x+17
∴解方程可得，k=2，b=7
∴f（x）=2x+7
（2）由2f（x）+f（）=3x①
可得2f（）+f（x）=②
①×2﹣②得：3f（x）=6x﹣
所以，f（x）=2x﹣（x≠0）
18．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，S是△ABC的面积，已知
a=4，b=5，S=5．
（1）求角C；
（2）求c边的长度．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由题意和三角形的面积公式求出，由内角的范围求出角C；
（2）由（1）和余弦定理求出c边的长度．
【解答】解：（1）由题知，
由S=absinC得，，解得，
又C是△ABC的内角，所以或；
（2）当时，由余弦定理得
==21，解得；
当时，
=16+25+2×4×5×=61，解得．
综上得，c边的长度是或．
19．数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+n
（1）求数列{a n}的通项公式a n；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
=2n，从而归纳可得；
【分析】（1）分类讨论当n≥2时，a n=S n﹣S n
﹣1
（2）化简b n==﹣，从而求和．
【解答】解：（1）当n=1时，S1=12+1=2，
当n≥2时，a n=S n﹣S n
﹣1
=n2+n﹣（（n﹣1）2+（n﹣1））=2n，
当n=1时，也成立；
故a n=2n；
（2）b n===﹣，
故T n=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=1﹣=．
20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设∠CED=60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；
（Ⅱ）由题意求得三角形CDE是以∠CDE为直角的直角三角形，然后结合已知求得CD，再由三棱锥体积公式求得答案．
【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，
∵O为BD中点，E为PD中点，
∴EO∥PB，
∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
∴PB∥平面AEC；
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD，
又AP=1，AD=，
∴，
∵E为PD的中点，
∴DE=1，
由PA⊥平面ABCD，可得平面PAD⊥平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD=AD，且CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，则CD⊥ED，
在Rt△CDE中，
由DE=1，∠CED=60°，
∴CD=tan60°=，
则．
21．设直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A，B．
（1）求弦AB的垂直平分线方程；
（2）求弦AB的长．
【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】（1）求出圆的圆心为C（1，0），半径r=4．根据垂径定理，弦AB的垂直平分线经过圆心C，由此加以计算即可得出AB的垂直平分线方程；
（2）利用点到直线的距离公式，算出圆心C（1，0）到直线x+2y+4=0的距离，再根据垂径定理加以计算，可得弦AB的长．
【解答】解：（1）∵圆x2+y2﹣2x﹣15=0化成标准方程得（x﹣1）2+y2=16，
∴圆心为C（1，0），半径r=4．
∵直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A、B，
∴设弦AB的垂直平分线为l：2x﹣y+m=0，
由垂径定理，可知点C（1，0）在l上，得2×1﹣0+m=0，解之得m=﹣2．
因此，弦AB的垂直平分线方程为2x﹣y﹣2=0；
（2）圆心C（1，0）到直线x+2y+4=0的距离为：
d==．
根据垂径定理，得|AB|=2=2，即弦AB的长等于2．
22．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0，点A（3，5）．
（1）求过点A的圆的切线方程；
（2）O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S．
【考点】圆的切线方程．
【分析】（1）先把圆转化为标准方程求出圆心和半径，再设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，然后可得切线方程．
（2）先求OA的长度，再求直线AO 的方程，再求C到OA的距离，然后求出三角形AOC 的面积．
【解答】解：（1）因为圆C：x2+y2﹣4x﹣6y+12=0⇒（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．
所以圆心为（2，3），半径为1．
当切线的斜率存在时，
设切线的斜率为k，则切线方程为kx﹣y﹣3k+5=0，
所以=1，
所以k=，所以切线方程为：3x﹣4y+11=0；
而点（3，5）在圆外，所以过点（3，5）做圆的切线应有两条，当切线的斜率不存在时，
另一条切线方程为：x=3．
（2）|AO|==，
经过A点的直线l的方程为：5x﹣3y=0，
故d=，
故S=d|AO|=
2016年8月19日。