第九节 函数的连续性与间断点

第九节 函数的连续性与间断点
一. 函数的连续性
1.函数在一点的连续性
(1)定义 设)(x f y =在)(0x U 内有定义.如果 0)]()([lim lim 0
0=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x , 则称)(x f y =在0x 处连续.
由于0x x x -=∆,故x x x ∆+=0,当0→∆x 时,则0x x →. )()()()(000x f x f x f x x f y -=-∆+=∆
所以y x f x f ∆+=)()(0,从而).()(lim 00x f x f x x =→由此有
定义 设)(x f y =在)(0x U 内有定义.如果 ).()(lim 00x f x f x x =→(即)(x f 当0x x →时的极限等于该点的函数值)
则称)(x f y =在0x 处连续.
定义("_"δε语言) 设)(x f y =在)(0x U 内有定义.0,0>∃>∀δε,当δ<-<00x x 时,有
ε<-)()(0x f x f
则称)(x f y =在0x 处连续.
(2)左连续、右连续
定义 (1)设)(x f 在),[00δ+x x 上有定义.如果
)()(lim )0(0000x f x f x f x x ==++→ (或0lim 0
=∆+→∆y x ) 则称)(x f y =在0x 处右连续.
(2)设)(x f 在],(00x x δ-上有定义.如果
)()(lim )0(0000x f x f x f x x ==--→ (或0lim 0
=∆-→∆y x ) 则称)(x f y =在0x 处左连续.
注意 )(x f 在0x 处连续⇔)(x f 在0x 处既左连续又连续.该结论主要用于讨论分段函数)(x f 在分段点0x 处的连续性.
2.连续函数
如果)(x f 在开区间),(b a 内每一点均连续,则称)(x f 在),(b a 内连续. ),(b a 称为)(x f 的连续区间.
如果)(x f 在开区间),(b a 内连续,且在a 处右连续,b 处左连续,则称)(x f 在],[b a 上连续. ],[b a 称为)(x f 的连续区间.
几何上,连续函数的图形是一条连绵不断的曲线.
例 设⎪⎩⎪⎨⎧-+=,
1,,arccos )(2x b x a x f .1,
1,11-<-=<<-x x x ,求b a ,使得)(x f 在1-=x 处连续.
解 )(x f 在1-=x 处连续,则
π+=+=+-+-→a x a f x )arccos (lim )01(01, 01lim )01(201=-=----→x f x ,
且 b f =-)1(.所以
⎩⎨⎧==+.
0,b b a π 解得.0,=-=b a π
例 证明x y cos =在),(+∞-∞内连续.
证明 ),(+∞-∞∈∀x ,则 x x x x f x x f y cos )cos()()(-∆+=-∆+=∆, 所以2sin 22sin lim 2]cos )[cos(lim lim 0
00x x x x x x y x x x ∆∆+-=-∆+=∆→∆→∆→∆ 2
sin )2sin(lim 20x x x x ∆∆+-=→∆, 因为022sin 0→∆≤∆≤x x ,)0(→∆x ,所以02sin lim 0=∆→∆x x .又1)2
sin(≤∆+x x ,所以
0lim 0=∆→∆y x
即x y cos =在),(+∞-∞内连续.
二. 函数的间断点
设)(x f 在)(00x U 内有定义.如果)(x f 满足下列三种条件之一:
(1)在0x x =处无定义;
(2)在0x 处有定义,但)(lim 0x f x x →不存在; (3) 在0x 处有定义,且)(lim 0x f x x →存在,但)()(lim 00
x f x f x x ≠→. 则称)(x f 在0x 处不连续,点0x 称为)(x f 的不连续点或间断点.
根据在间断点函数的不同性质状态,可将间断点分成以下两大类:
1.第一类间断点
左、右极限都存在的间断点,称为第一类间断点.
(1)可去间断点 如果0x 是)(x f 的间断点,且)0()0(00-=+x f x f ,则0x 是)(x f 的可去间断点.
显然,如果定义)(lim )(00x f x f x x →=,则)(x f 在0x 处连续.
例 1
1)(2--=x x x f 在1=x 处无定义,点1=x 为)(x f 的间断点.但 21
1lim 21=--→x x x . 如果补充定义2)1(=f ,即
⎪⎩
⎪⎨⎧=≠--=.1,2,1,11)(2x x x x x f 则)(x f 在1=x 处连续.
(2)跳跃间断点
如果0x 是)(x f 的间断点,且)0()0(00-≠+x f x f ,则0x 是)(x f 的跳跃间断点. 例 讨论x x f sgn )(=在0=x 处的连续性.
解 0=x 为x x f sgn )(=的分段点,从而 .1)0(,1)0(-=-=+f f
因为)0()0(-≠+f f ,所以0=x 为x x f sgn )(=的间断点,且为第一类的跳跃间断点.
2.第二类间断点
函数的不是第一类间断点的任何间断点,称为函数的第二类间断点.
例 x x f tan )(=,2π=
x 是其间断点,且 ∞=→x x tan lim 2
π
所以2π=
x 是x x f tan )(=的第二类间断点,也称2π=x 是x x f tan )(=的无穷间断点. 例 x x f 1sin
)(=,0=x 是其间断点,且0→x 时,)(lim 0x f x →不存在, x
x f 1sin )(=在)1,1(-内无限振荡,故0=x 为x x f 1sin )(=的第二类间断点,也称0=x 为x x f 1sin )(=的振荡间断点.
例 设3
3)(++=x x x f .求 (1))(x f 的间断点,并指出间断点的类型;
(2) )(x f 的连续区间.
解 (1)显然3-=x 为)(x f 的间断点.又
1)
3(3lim )03(,133lim )03(0303-=+-+=--=++=+---→+-→x x f x x f x x , 所以3-=x 为)(x f 的第一类跳跃间断点.
(2) )(x f 的连续区间为).,3()3,(+∞---∞
例 讨论])1()1(1[lim )(22
22222n
n x x x x x x x f ++++++=∞→ 的连续性,若有间断点,并指出间断点的类型.
解 222212222111)11(1lim 1])1(1111[1lim )(x x x x x x x x x f n n n n +-+-+=++++++=∞→-∞→ ,
当0≠x 时,111111)(222
=+-⋅+=x x x x f .
当0=x 时,显然.0)(=x f 所以
⎩⎨⎧=≠=.
0,0,0,1)(x x x f 显然)(x f 在),0()0,(+∞-∞ 内连续.又
)0(1)(lim 0
f x f x ≠=→ 所以0=x 为)(x f 的第一类可去间断点.如果重新定义
1)0(=f
则)(x f 在0=x 处连续.。