宁夏银川一中2014高三上第四次月考试卷- 数学(理)

宁夏银川一中2014高三上第四次月考试卷
数学（理）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数
i
i
i z (1)1(2+-=为虚数单位)的虚部为
（ ） A ．1 B. -1 C. 1± D. 0
2．设集合{}312|A ≤-=x x ，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则
=⋂B A （ ）
A ．)2,1( B. ]2,1[ C. )2,1[ D. ]2,1(
3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，3513,2a a a ==,则=9S （ ）
.A 72- .B 54- .C 54 .D 72
4．设a 为实数，函数x a ax x x f )3()(23-++=的导函数为)(x f '，且)(x f '是偶函数， 则曲线：)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为（ ） A. 0169=--y x B. 0169=-+y x C. 0126=--y x D. 0126=-+y x
5．已知幂函数)(x f y =的图像过点()2,4，令)()1(n f n f a n ++=，+∈N n ，记数列⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，则n S =10时，n 的值是（ ）
A. 110
B. 120
C. 130
D. 140
6．如图，在矩形ABCD 中，
2AB BC =
=，点E 为BC 的中点，
点F 在边CD 上，若2=⋅，则BF AE ⋅的值是（ ） A. 2 B. 2 C. 0 D. 1
7．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中
π0,2
A ϕ><
）
的部分图象如右图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象， 则只需将()f x 的图象（ ）
A. 向右平移π6
个长度单位 B. 向右平移π12
个长度单位
C. 向左平移π6
个长度单位 D. 向左平移π12
个长度单位
8．若不等式x 2
＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12
）成立，则a 的取值范
围是（ ）
A ．0≥a
B ．2-≤a
C ．2
5-
≥a
D ．3-≤a 9．若
54cos -=α，α是第三象限的角，则2
tan
12
tan
1α
α-+等于（ ）
A ．2
1- B. 2
1 C. -
2 D. 2
10．函数ln x x x x
e e y e e
---=+的图象大致为 （ ）
A. B. C. D. 11．若函数
)
0,0(1
)(>>-=b a e b
x f ax 的图象在0x =处的切线与圆
221x y +=相切，则a b +的最大值是（ ）
A ．
4 B.
12． 定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在
),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）
A ．
)22,0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)
6
6,0( 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+-≤-+≥043041
y x y x x ，则目标函数y x z -=3的最
大值为 .
14．已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，
则该三角形最大角为_____________. 15．设函数)
0(2
)(>+=x x x
x f ，观察：
2)()(1+==x x x f x f ， 4
3))(()(12+=
=x x x f f x f ，
8
7))(()(23+=
=x x x f f x f ，……
根据以上事实，由归纳推理可得：当2≥∈*n N n 且时，
==-))(()(1x f f x f n n .
16．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足
)()2
3
(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n
n
S a n n
=⨯+（其中n S 为{}n a 的前n 项和）,则=+)()(65a f a f .
三、解答题:本大题共5小题，共计70分。

解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 1
7
.
(本小题满分12分）
已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，21=a ，且2a ，
3a , 14+a 成等比
数列
. (1)求
数
列
{}
n a 的通
项
公
式
；
(2
)设)
2.(2
+=n n a n b ，求数列{}n b 的前
n 项和S n
18.（本小题满分12分） 已知向量
)
2
1,cos 3(,)1,(sin -=-=x x ,函数2)()(-⋅+=a b a x f ． （1）求函数)(x f 的最小正周期T ;
（2）已知c b a ,,分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边, 其中Ａ为锐角,4,32==c a ,且1)(=A f ,求Ａ，b 和ABC ∆的面积Ｓ．
19.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是等差数列，18,652==a a ，数列{}n b 的前n 项和是n T ，且
1
2
1
=+n n b T ． (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 求证：数列{}n b 是等比数列； (3) 记n n n b a c ⋅=，求{}n c 的前n 项和n S ．
20．（本小题满分12分） 已知函数f (x )＝e x
－ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；
(2)是否存在a ，使f (x )在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由
21. （本小题共１２分） 已知函数()ln f x x a x =-，
1(), (R).a
g x a x
+=-
∈ （1）若1a =，求函数()f x 的极值；
（2）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；
（3）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，
则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题
目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，A B
是0的一条切线，切点为B ，直线A D E ，
C F
D ，C G
E 都
是O 的割线，已知A C =A B . (
1
)
求证
：F
G
/
/
A
C ;
(2)若C G =1，C D =4，求GF
DE 的值.
23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3－2
2t ，
y ＝5＋2
2t
(t
为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |.
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 （1）求不等式1123-≥---x x 的解集;
（2）已知1,,=+∈+b a R b a ，求证：2
25)1()122≥
+++b
b a
a （.
参考答案
一、选择题
1-5 BDBAB 6-10 AACAC 11-12 DB (文科)1-5 BDBDA 6-10 AAACC 11-12 AB 二、填空题
13. 4 14. 3
2π 15.
n
n x x
2)12(+- 16. 3
三、解答题
1７. （本小题满分12分）
解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由21=a 和1,,432+a a a 成等比数列，得
()()d d d 332)22(2++=+， 解得2=d ，或1-=d ，…………2分
当1-=d 时，03=a ，与1,,432+a a a 成等比数列矛盾，舍去．
2=∴d ………………4分
()(),
212211n n d n a a n =-+=-+=∴即数列{}n a 的通项公式
.2n a n = …………6分
（2）
)2(2
+⋅=
n n a n b =1
11)1(1)22(2+-=+=+n n n n n n ，………………9分 1
111111312121121+=
+-=+-++-+-=+++=n n n n n a a a S n n (1)
2分
1８. （本小题满分12分） .解: （Ⅰ）
…………………………………………2分
……………4分
因为,所以…………………………………………6分 （Ⅱ）
因为
，所以
，
(8)
分
则，所以，即则…………………………………………10分
从而………………………12分
1９. （本小题满分12分）
解：(Ⅰ)设的公差为，则：，，
∵，，∴，∴．
∴．
（Ⅱ）当时，，由，得．
当时，，，
∴，即．∴．
∴是以为首项，为公比的等比数列．
（Ⅲ）由（2）可知：．
∴．
∴
．∴．
∴
∴
20．（本小题满分12分）
解 f ′(x )＝e x
－a ，
(1)若a ≤0，则f ′(x )＝e x
－a ≥0， 即f (x )在R 上递增，
若a >0，e x －a ≥0，∴e x
≥a ，x ≥ln a . 因此f (x )的递增区间是[ln a ，＋∞)． (2)由f ′(x )＝e x
－a ≤0在(－2,3)上恒成立． ∴a ≥e x
在x ∈(－2,3)上恒成立． 又∵－2<x <3，∴e －2
<e x <e 3，只需a ≥e 3
.
当a ＝e 3
时f ′(x )＝e x －e 3
在x ∈(－2,3)上，f ′(x )<0， 即f (x )在(－2,3)上为减函数， ∴a ≥e 3.
故存在实数a ≥e 3
，使f (x )在(－2,3)上单调递减． ２１. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， 当1a =时，()ln f x x x =-，
11()1x f x x x
-'=-
= ，
所以()f x 在1x =处取得极小值1. （Ⅱ）
1()ln a
h x x a x
x
+=+-，
2222
1(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--== ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增；
②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，
所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增.
（III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即
在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即 函数1()ln a h x x a x x
+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. 由（Ⅱ）可知
①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，
所以()h x 的最小值为(e)h ，由
1(e)e 0e a h a +=+-<可得2e 1e 1a +>-， 因为2e 1
e 1e 1+>--，所以2e 1e 1
a +>-； ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，
所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-；
③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+<
故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>
此时，(1)0h a +<不成立.
综上讨论可得所求a 的范围是：
2e 1e 1
a +>-或2a <-. 22．（本小题满分10分）
解：(Ⅰ)因为AB 为切线，AE 为割线，2AB AD AE =⋅，
又因为AC AB =，所以2AD AE AC ⋅=． 所以AD AC AC AE =，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC △∽ACE △，
所以ADC ACE ∠=∠，又因为ADC EGF ∠=∠，所以EGF ACE ∠=∠， 所以AC FG //．
(Ⅱ)由题意可得：F D E G ,,,四点共圆，
CED CFG CDE CGF ∠=∠∠=∠∴,.
CGF ∆∴∽CDE ∆.
CG
CD GF DE =∴. 又 4,1==CD CG ，∴GF
DE =4.
23. （本小题满分10分）
解：(1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，
即x 2＋(y －5)2＝5.
(2)法一：将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，
得(3－22t )2＋(2
2t )2＝5，
即t 2－32t ＋4＝0.
由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ t 1＋t 2＝32，
t 1·t 2＝4.
又直线l 过点P (3，5)，
故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.
(2)法二：因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5，
直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5.
由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y －52＝5，
y ＝－x ＋3＋ 5.得x 2
－3x ＋2＝0. 解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，
y ＝2＋ 5.或 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1＋ 5.
不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，
又点P 的坐标为(3，5)，
故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.
24. （本小题满分10分）
（1）[-2，2]
(2)证明：
4
1)2(,1,,2=+≤∴=+∈b a ab b a R b a 且
22222222222)(]2)[(4)11()(4)1()1(b a ab b a ab b a b a b a b b a a -++-++=++++=+++∴ 225)4
1(4121)4121(421)21(42
22=⨯-+⨯-+≥-+-+=b a ab ab ，当且仅当2
1==b a 时不等式取等号。