二项分布贝叶斯假设检验方法

差别在于是否涉及后果, 度量得失的尺度是损失函 数, 风险即为期望 损失 ∀。直接概率比法不是决策
问题, 不涉及损失函数, 风险无从谈起。统计推断中
有 ! 犯 2类错误概率 ∀的概念, 在一些情况下其取值 与 2类风险可能相等, 但在引入损失函数之前两者
不是同一个概念。
( 4) 对 p 1 取值的认识模糊 鉴别比取值是困扰二项分布贝叶斯假设检验工
则通常为后验风险最小准则, 对应二行动决策问题也 可取二行动风险相当准则, 也就是生产方、使用方双 方风险相当原则。下文从贝叶斯决策分析出发介绍
二项分布贝叶斯假设检验的新方法 # # # 决策选优法。
2. 1 方法步骤
( 1) 给出原假设和备择假设
H 0 p = p0, H 1 p = p1 = p0. ( 2) 计算先验分布
1- ∀i ( x ), p = p0, L ( ∀i ( x ), p ) =
∀i ( x ), p = p 1. ( 7) 对每一个决策函数 ∀i ( x )分别计算统计决 策拒收风险 i 和接受风险 !i
n
& i = P ( x | p 0 )L ( ∀i ( x ), p0 ), x=0
D ( i ) = ∀i ( x ), m in ( | 0i - ! 1i |, i = 1, 2, ∃, n ). 2. 2 应用举例
* 收稿日期: 2008- 03- 02; 修回日期: 2008- 04- 20 作者简介: 贾旭山 ( 1974- ), 男, 山西长治人。工程师, 学士, 主要从事导弹武器系统试验鉴定总体工作。 通信地址: 125000 辽宁葫芦岛 92941部队 93分队 电话: 0429- 2737333
% 38%
n d
ln d为拒收 临界值,
则当
s K时, 接受 H 0; 当 s< K 时, 拒收 H 0。
( 4) 计算双方风险
生产方风险:
=
0
0
, 使用方风险:
!= 1
1 !,
其中 和 !分别为经典检验方法下的生产方风险和
使用方风险。
1. 2 方法分析 直接概率比法在实际运用中主要存在以下几个
问题:
( 1) 方法失效 设 p0 = 0 8, p1 = 0 6, 0 = 0 15, n = 5, 则直接概 率比法计算出的临界值 K 为 6。 ( 2) 方案偏激
1 二项分布贝叶斯假设检验直接概率 比法分析
1. 1 方法简介 参考文献 [ 1]对二项分布贝叶斯假设检验直接
概率比法作了系统的阐述, 这里简要摘录如下: ( 1) 给出原假设和备择假设 H 0 p = p0, H 1 p = p1 = p0. ( 2) 计算验前概率
PH 0 = P {p = p0 } 0, PH 1 = P {p = p1 } 1 = 1- 0.
0
0
1
1
1
( 7) 计算统计决策拒收风险 和接受风险 !
p0 = 0. 8 p1 = 0. 6
0. 057 9 0. 682 6
应用决策选优法在 n = 5 和 p0 = 0 8, p1 = 0 6 条件下计算得出的所有决策方案见表 1。可以看出 双方风险相当原则的最优方案是序号 4, 而直接概 率比法确定的方案是序号 3, 此例表明直接概率比 法对检验方案的确定不一定最优。
设 p0 = 0 8, p1 = 0 6, 0 = 0 65, n = 5, 则直接概 率比法 计 算 出 的 临 界 值 K 为 3, 生 产 方 风 险 为 0 037 6, 使用方风险为 0 238 9。
( 3) 风险概念模糊 直接概率比法解决的是推断问题, 而风险概念
属决策分析范畴, 参考文献 [ 2] 指出 ! 决策与推断的
0, x < i,
∀i (x ) =
i= 1, 2, ∃, n ,
1, x i,
式中: ∀i (x )为决策函数, 函数值取 0表示拒收 p0, 取
1表示接受 p0; x 为试验成功数。每一个决策函数代
表一个决策方案, i 为决策方案序号。
( 6) 对每一个决策函数 ∀i ( x )构建损失函数矩
阵
2 二项分布贝叶斯假设检验决策选优 法
风险概念属决策分析范畴, 笔者认为要解决上
述问题应从贝 叶斯决策分析寻 找出路。参 考文献
[ 3]指出, ! 决策分析研究在有风险和不确定因素的 环境下, 一个决策者应该怎样地分析所面临的问题, 并做出合理的抉择? ∀贝叶斯决策中, 一个决策方案 对应一个决策函数, 决策函数 ∀(x )是从样本空间到 行动集的映射, 贝叶斯决策依据后验风险最小准则 从所有决策方案 { ∀(x ), x = 0, 1, ∃, n }中选取最优 决策方案。二项分布贝叶斯假设检验从贝叶斯决策
( 5) 构建二行动决策函数x= 0 1234
5
( 8) 计算贝叶斯决策拒收风险 险!1
0 和接受风
0
0
0
1
1
1
( 6) 构建 ( 0- 1)损失函数矩阵
p0 = 0. 8 p1 = 0. 6
0. 037 6 0. 238 9
x= 0 1
2
3
4
5
p0 = 0. 8 1
1
1
0
0
0
p1 = 0. 6 0
观点来看就是二行动 {接受、拒收 }决策问题, 对应 二行 动决 策有 0 - 1 损失函 数 ( 正确 的决 策无 损 失 # # # 0, 错误的决策有损失 # # # 1) , 后验风险则为 损失函数对后验分布的期望。
假设有二项分布 B ( n, p ), 则样本 x 有 n + 1种 可能取值, 对应有 n 种决策方案, 贝叶斯决策要解决 的问题是依据某一准则从中选取最优决策。决策准
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现代防御技术
2008年第 36卷第 5期
表 1 贝叶斯决策方案 Tab le 1 The so lu tion by Bayes dec ision analysis
p 0 鉴别比 p1 先验概率 0. 8 1. 333 3 0. 6 0. 65 0. 8 1. 333 3 0. 6 0. 65 0. 8 1. 333 3 0. 6 0. 65 0. 8 1. 333 3 0. 6 0. 65 0. 8 1. 333 3 0. 6 0. 65
新的二项分布贝叶斯假设检验方法, 基于实例证明了新方法对原方法有改进, 新方法适于在武器装
备靶场试验中推广应用。
关键词: 决策选优法; 直接概率比法; 鉴别比; 风险相当
中图分类号: O 212 8; T J06
文献 标志码: A
文章编号: 1009 086X ( 2008) 05 0037 04
Bayes H ypothesis T esting for B inom ial D istribution
2008年 10月 第 36卷 第 5期
导弹技术
现代防御技术 M ODERN DEFENCE TECHNOLOGY
二项分布贝叶斯假设检验方法*
贾旭山, 金振中
( 中国人民解放军 92941 部队, 辽宁 葫芦岛 125000 )
O ct. 2008 V o.l 36 N o. 5
摘 要: 分析了二项分布贝叶斯假设检验方法及其存在的问题, 从贝叶斯决策分析出发推出了
n = 5.
( 4) 计算抽样分布 P (X i |pi )
p0 = 0. 8 p1 = 0. 6
x= 0 0. 000 3 0. 010 2
1 0. 006 4 0. 076 8
2 0. 051 2 0. 230 4
3 0. 204 8 0. 345 6
4 0. 409 6 0. 259 2
5 0. 327 7 0. 077 8
现代防御技术
2008年第 36卷第 5期
( 3) 据后验概率比确定检验方案
设现场试验数为 n, 成功数为 s, 据后验概率比 确定拒收不等式为
P P
(p0 (p1
|X |X
) )
=
0 1
p0 p1
s
1- p0 1- p1
n- s
=
d - ( n- s) 1.
0 - s.
1
令K =
ln(
0/ ln
1)- ln
K ey w ords: dec ision optim um seek ing m ethod; direct probab ility ratio tes;t d iscrim ination ratio; risk corresponding to each other
0引 言
二项分布贝叶斯假设检验方法主要用于概率性 指标的鉴定考核, 并在武器装备靶场试验中得到了 实际应用, 然而该方法在应用中暴露出一些问题, 阻 碍了它的进一步推广。本文在分析该方法存在问题 的基础上, 从贝叶斯决策分析出发推出了新的二项 分布贝叶斯假设检验方法, 并通过实例证明新方法 解决了原方法存在的问题。为便于讨论分析且不失 合理性, 本文根据原方法、新方法各自特点分别将两 者命名为直接概率比法和决策选优法。
PH 0 = P {p = p0 } 式中:
0, PH 1 = P {p = p1 }
1 = 1- 0,
贾旭山, 金振中: 二项分布贝叶斯假设检验方法
% 39%
0
=
P
(
p0
)P
{
(
n
P 0,
( p0 s0 )
)P { ( n0, |p0 } + P
s0 ) ( p1
|p0 } )P { (
n0,
s0 )
0i = 0 i, ! 1i = 1 !i. ( 9) 依据风险相当原则从决策集中选优
P (x |p 0 ) =
n x
px0 ( 1- p 0 ) n- x,
x=
0,
1,
∃,
n
,
P (x |p 1 ) = n px1 ( 1- p 1 ) n- x, x = 0, 1, ∃, n . x
( 5) 构建二行动决策方案集
案, 再计算所谓双 方风险, 若 两者相当则采 用该方 案、否则就重新考虑鉴别比, 从而导致鉴别比取值与 风险相当原则 在一定情况下相 互对立。参 考文献
[ 1]对此明确指出, ! 0 和 1 相差较大时, 生产方 风险和使用方风险难以相当, 相应的检验方案较偏 激, 难以被生产方和使用方共同接受 ∀。而 且直接 概率比法直观认定通过概率比确定的检验方案是在 给定条件下 ! 双方风险 ∀相当的最优方案, 这个观点 值得商榷。
为简单计, 这里仅给出方案 3的具体计算步骤, 可以通过计算证明方案 3就是直接概率比法在相同 条件下的给定方案 (证明略 )。
( 1) 给出原假设和备择假设 H 0 p = 0 8,
H 1 p = 0 6. ( 2) 确定先验分布
p0= 0 8 p1= 0 6
0. 65 0. 35
( 3) 确定现场试验数
JIA Xu shan, JIN Zhen zhong
( PLA, N o. 92941 T roop, L iaon ing H uludao 125000, Ch ina)
Abstract: T he Bayes hypothesis testing fo r b inom ial d istribution and the problem s w ith it w as ana lyzed, the new Bayes hypothesis test ing for binom ial distribu tion w as introduced by m eans o f Bayes deci sion analysis, the new one proved better than the o ld by the exam ple, the new Bayes hypo thesis testing for b inom ia l d istr ibution w as appropria te to be used w idely in range test fo r w eaponry.
程应用的重要因素, G JB z 20027# 90 建议鉴别比根 据使用方不希望但能接受的 p1 最低值确定。直接 概率比法既重视鉴别比取值的严肃性, 也强调风险 均担原则。参考文献 [ 1]对 p1 取值就指出 ! p1 的确 定应考虑双方风险相当才具有实际意义 ∀。这样直
接概率比法的实际做法为先根据概率比确定检验方
|p1 },
P (p0 ), P (p1 )为 ( n0, s0 )以前阶段的验前概率。
( 3) 确定试验数 n
综合考虑鉴定需求、国家经济实力和产品昂贵
程度确定。
( 4) 计算抽样分布
n
& !i = P ( x | p1 )L ( ∀i ( x ), p1 ). x= 0
( 8) 对每一个决策函数 ∀i ( x ), 分别计算贝叶 斯决策拒收风险 0i 和接受风险 ! 1i