课题学习最短路径问题PPT资料(正式版)
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课题学习最短路径问题
为什么有的人会经常践踏草地呢？
禁爱止护践草踏坪 绿地里本没有路，走的人多了… …
两点之间，线段最短
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选 走哪条路最近？你的理由是什么？
C ①D E
A
②
B
两点之间,线段最短
③
F
要在河边修建一个泵站向张村引水，在何
处修建才能使所用引水管道最短？为什么？
B′
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
活动二 如图，河流与公路所夹的角是一个锐角，某公司 A在锐角内．现在要在河边建一个码头C，在公路边D修 建一个仓库，工人们从公司出发，先到 河边的码头卸货， 再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问 仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短．
河流
C ●
公司
●A
●
公路
B
活动二 抽象成数学模型：
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为
AC+CB+BA（即⊿ABC的周长）的距离最短。
和都大于AC +BC，就说明AC +
绿地里本没有路，走的人多了… …
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
若直线l 上任意一点（与点
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借泵助站什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
l
B′
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借 助什么解决问题的？
轴对称
A
·
C′ C
B
·
l
B′
(二)一次轴对称：两点在一条直线同侧
.A .B
.
l
. C B'
.A '
活动一： 甲、乙两村之间隔一条河，如图所示．现 在要在小河上架一座桥，使得这两村之间 的行程最短，桥应修在何处？
三角形两边之差小于第三边
河流
两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军
专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题.
垂线段最短
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为
点之间线段最
短求最小值
C
B'
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
∴BC==AABCC′++CBB，′CCB=CA′B′=，B′C′．C·′A
AC′+BC′
C
= AC′+B′C′．
B
·
l
在△AB′C′中，
重合），连接AC′，BC′，B′C′． A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使PB－PA最大。
AC′+BC′ 即 AC +BC 最短． 活动三：根据上述原理回答：在两条互相垂直的公路a、b旁有两个居民小区A、B，现要在这两条公路旁建立两奶站向两居民区供奶，
张村 应建在何处，使得两居民小区A、B与这两个奶站所围成的四边形的周长最小？
A
点A在∠MON内，在边MO和NO上各找一点B、C使
中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
活动四 抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。
B （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 做法：（1）作点B关于直线l 的对称点B′； 绿地里本没有路，走的人多了… …
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
将军饮马：(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？
最短路线：
A ---P--- B. A P
B 根据： 两点之间线段最短.
两点在一条直线同侧
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途
最短路径问题．
现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题.本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问
题”．
将军饮马问题：
两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就 有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学 者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他， 向他请教一个百思不得其解的问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？
河
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
前面的问题就转化为：当饮马点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB 的和最小
做法：（1）作点B关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求． B
A
●
●
利用对称：将 两条线段的和 转化到一条直 线上，运用两
河边
中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走
路程最短？ 即 AC +BC 最短．
绿地里本没有路，走的人多了… …
利用平移：将折线和的最小值，转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值
A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使PB－PA最大。
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ (一)两点在一条直线两侧 则点C 即为所求．
点A在∠MON内，在边MO和NO上各找一点B、 C使
AC+CB+BA（即⊿ABC的周长）的距离最短。
N
C ●
公司
●A
提示一：求三角形 周长的最小值可转 化为一条直线上
O
●
B
M
B ●
A ●
活动一：
甲、乙两村之间隔一条河，如图所示．现 在要在小河上架一座桥，使得这两村之间 的行程最短，桥应修在何处？
B ●
D
●
● B1
●
A
c
●
利用平移：将 折线和的最小 值，转化到一 条直线上，用 两点之间线段 最短求最小值
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借 助什么解决问题的？
平移
为什么有的人会经常践踏草地呢？
禁爱止护践草踏坪 绿地里本没有路，走的人多了… …
两点之间，线段最短
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选 走哪条路最近？你的理由是什么？
C ①D E
A
②
B
两点之间,线段最短
③
F
要在河边修建一个泵站向张村引水，在何
处修建才能使所用引水管道最短？为什么？
B′
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
活动二 如图，河流与公路所夹的角是一个锐角，某公司 A在锐角内．现在要在河边建一个码头C，在公路边D修 建一个仓库，工人们从公司出发，先到 河边的码头卸货， 再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问 仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短．
河流
C ●
公司
●A
●
公路
B
活动二 抽象成数学模型：
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为
AC+CB+BA（即⊿ABC的周长）的距离最短。
和都大于AC +BC，就说明AC +
绿地里本没有路，走的人多了… …
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
（1）本节课研究问题的基本过程是什么？
若直线l 上任意一点（与点
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借泵助站什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
l
B′
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借 助什么解决问题的？
轴对称
A
·
C′ C
B
·
l
B′
(二)一次轴对称：两点在一条直线同侧
.A .B
.
l
. C B'
.A '
活动一： 甲、乙两村之间隔一条河，如图所示．现 在要在小河上架一座桥，使得这两村之间 的行程最短，桥应修在何处？
三角形两边之差小于第三边
河流
两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军
专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题.
垂线段最短
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为
点之间线段最
短求最小值
C
B'
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
∴BC==AABCC′++CBB，′CCB=CA′B′=，B′C′．C·′A
AC′+BC′
C
= AC′+B′C′．
B
·
l
在△AB′C′中，
重合），连接AC′，BC′，B′C′． A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使PB－PA最大。
AC′+BC′ 即 AC +BC 最短． 活动三：根据上述原理回答：在两条互相垂直的公路a、b旁有两个居民小区A、B，现要在这两条公路旁建立两奶站向两居民区供奶，
张村 应建在何处，使得两居民小区A、B与这两个奶站所围成的四边形的周长最小？
A
点A在∠MON内，在边MO和NO上各找一点B、C使
中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
活动四 抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。
B （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 做法：（1）作点B关于直线l 的对称点B′； 绿地里本没有路，走的人多了… …
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
将军饮马：(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？
最短路线：
A ---P--- B. A P
B 根据： 两点之间线段最短.
两点在一条直线同侧
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途
最短路径问题．
现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题.本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问
题”．
将军饮马问题：
两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就 有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学 者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他， 向他请教一个百思不得其解的问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？
河
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
前面的问题就转化为：当饮马点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB 的和最小
做法：（1）作点B关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求． B
A
●
●
利用对称：将 两条线段的和 转化到一条直 线上，运用两
河边
中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走
路程最短？ 即 AC +BC 最短．
绿地里本没有路，走的人多了… …
利用平移：将折线和的最小值，转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值
A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使PB－PA最大。
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ (一)两点在一条直线两侧 则点C 即为所求．
点A在∠MON内，在边MO和NO上各找一点B、 C使
AC+CB+BA（即⊿ABC的周长）的距离最短。
N
C ●
公司
●A
提示一：求三角形 周长的最小值可转 化为一条直线上
O
●
B
M
B ●
A ●
活动一：
甲、乙两村之间隔一条河，如图所示．现 在要在小河上架一座桥，使得这两村之间 的行程最短，桥应修在何处？
B ●
D
●
● B1
●
A
c
●
利用平移：将 折线和的最小 值，转化到一 条直线上，用 两点之间线段 最短求最小值
回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借 助什么解决问题的？
平移