正态分布及抽样误差

0.10
0
124 132 140 148 156 164
图
某市120名12岁男童身高(cm)的频数分布
6
极差=160.9-125.9=35 分10组，组距=极差/10=35/10=3.5，组距取 4 下界 124 ，上界164
组 段
124～ 128～ 132～ 136～ 140～ 144～ 148～ 152～ 156～ 160～164
为什么如此摆放奖品？ 平时，我们很少有人会去关心小球下 落位置的规律性，人们可能不相信它是 有规律的。 高尔顿钉板试验
4
正态分布的背景－高尔顿钉板试验
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
x
这条曲线就是我们将要介绍的正态分布曲线。
5
频 率
0.40
0.30 0.20
正态分布及其应用
Normal distribution and its applications
统计学中最重要的理论分布之一
正态分布(Normal distribution)
法国概率论学者狄莫弗 德国数学家Gauss 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution
2
3
正态分布的背景－一个街头赌博游戏
1
2
e

( X )2 2 2
(-∞＜ X ＜+∞)
则称 X 服从正态分布 , 记作 X ～ N ( , 2 ), 其中， 为分布的均数， 为分布的标准差。
正态分布图示
f(x)
.4
.3
.2
.1
0
x
方差相等、均数不等的正态分布图示
3
1
2
均数相等、方差不等的正态分布图示
-1.9
-1.6 -1.0 -0.5 0
0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239
0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681 u 0
频 数
1 2 10 22 37 26 15 4 2 1 120
频率
0.0083 0.0167 0.0833 0.1834 0.3083 0.2167 0.1250 0.0333 0.0167 0.0083 1.0000
7
合 计
身高的分布
8
正态分布的概率密度函数
如果随机变量X的概率密度函数
f (X)
X Population D
X
n=2
X
n=4
X
n=10
X
X
n=25
Sampling Distribution of sample means
Sampling Distribution of sample means
Sampling Distribution of sample means
标准正态分布
标准正态分布(standard normal distribution)是均数为0，标 准差为1的正态分布。 记为N(0,1)。 标准正态分布是一条曲线。 概率密度函数：
(X )
1 2
e
u2 2
(-∞＜ u ＜+∞)
正态分布转换为标准正态分布
若 X～N(,2)，作变换：
是绝大多数正常人的某观察指标所在的范围。 绝大多数：90%，95%，99%等等。
确定参考值范围的意义：
用于判断正常与异常。
“正常人”的定义：
排除了影响所研究的指标的疾病和有关因素的同质 的人群。
参考值范围确定的原则
选定同质的正常人作为研究对象 控制检测误差 判断是否分组(性别,年龄组) 选择百分界值(90%,95%) 确定可疑范围 单、双侧问题
随机抽样
抽样误差
42
抽样误差的表现
抽 样 误 差 的 表 现
样本均数和 总体均数间 的差别 X
i
样本均数和 样本均数间 的差别 Xi X j
43
抽样误差
定义：
★★★★★
由于个体变异的存在,由抽样引起的样本统计量与总体 参数间的差别。
原因：个体变异＋抽样 表现：
不同样本统计量间的差别 样本统计量与总体参数间的差别
已知变量x1的方差V(x1)=S12，变量x2的方差 V(x2)=S22，则x1+x2的方差为？
49
标准误与标准差（1）
联系：
都表示变异的大小；
SX S / n
样本含量一定时，标准差越大，标准误越大。
标准误与标准差（2）
标准差 含义：
一组变量值离散程度； 标准差越小，均数的代表性越好；
应用： 估计参考值范围； 与n的关系：样本含量越大，标准差越稳定，n 很大时， 标准差趋向于总体标准差。
x 350.24( mol / L), s 32.97 求双侧95%的参考值范围：
下限
上限
x 1.96s 350.24 32.97 285.62( mol / L) x 1.96s 350.24 32.97 414.86( mol / L)
总结
正态分布是描述个体变异的重要分布之一，也是 统计学理论中的重要分布之一； 正态分布是一簇分布，由两个参数决定：均数和 标准差； 正态分布曲线下的面积是有规律的，且与标准正 态分布曲线下的面积对应 ( 以标准正态离差为 单位)。
结果：估计低体重儿的比例为3.14%.
质量控制
质量控制的意义
监控日常工作、科研过程、生产过程中 误 差的变化，分析变化的趋势是否出现异常， 从而引起警觉和注意，以便分析原因，并 及时采取措施。
参考值范围(reference interval)
参考值范围又称正常值范围(normal range)。 什么是参考值范围：
单侧与双侧参考值范围
根据医学专业知识确定！
双侧：白细胞计数，血清总胆固醇， 单侧：上限: 转氨酶，尿铅，发汞 …… 下限: 肺活量，IQ，
参考值范围的估计方法
方法 正态分布法 双侧 单侧下限 单侧上限
X u / 2 s
X u s
X u s
例
20 ～ 29岁正常成年男子尿酸浓度
样本均数的均数为 μ; 样本均数的标准差为
x 。
n
47
标准误(standard error)
样本统计量的标准差称为标准误。
样本均数的标准差称为均数的标准误。
这个公式是怎 么来的？
均数的标准误表示样本均数的变异度。
x

n
sx
s n
前者称为理论标准误，后者称为样本标准误。
48
已知变量x的方差V(x)=S2，则2x的方差为？

+ +2 +3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
95%
2.5%
2.5%
-1.96

+1.96
正态曲线下的面积规律
90%
5%
5%
-1.64

+1.64
正态曲线下的面积规律
99%
0.5%
0.5%
-2.58

+2.58
思考
S(-1.96, +1.64)=?
需要掌握的内容
正态分布的性质 正态曲线下面积的分布规律 参考值范围确定的原则和方法
抽样误差及其规律性
Sampling variability and its attributes
从一个例子来谈抽样误差
假如事先知道某地七岁男童的平均身高为 119.41cm。研究者从所有符合要求的七岁男 童中每次抽取100人，共计抽取了五次。
X 117.78cm s =3.98cm
X 120.81cm s =4.33cm
X 119.87m s =5.15cm
40
导致总体均数与样本均数、样本均数之间有差 别的可能原因是？
41
抽样误差的定义
五次抽样得到了不同的结果，原因何在？
不同男童的 身高不同 每次抽到的 人几乎不同
个体变异
X

正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2

x2 x1
正态曲线下的面积规律
S(-, )=0.5 S(-, -1)=0.1587 S(-, -2)=0.0228 S(-, -3)=0.0013 S(-, +1)=0.8413 S(-, +2)=0.9772 S(-, +3)=0.9987 S(-, )=1
38
μ=119.4cm σ = 4.38cm
122.7 121.0 118.1 108.3 124.5 121.1
x=
118.4cm
S =4.41cm
115.8
120.9 117.9 …… 119.4 u
39
X 118.21cm s =4.45cm
μ＝119.41cm σ= 4.38cm
X 120.18cm s =4.90cm
2 1
3
正态分布的特征
正态分布有两个参数(parameter)，即位置参数 (均数)和变异度参数(标准差)。 高峰在均数处； 均数两侧完全对称。 正态曲线下的面积分布有一定的规律。
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-,
-X )
S( +X,)＝S(-, -X)
正态分布的应用
估计频数分布 质量控制 确定临床参考值范围
估计频数分布
某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布，其均 数为3150g，标准差为350g。若以2500g作为低 体重儿，试估计低体重儿的比例。
首先计算标准离差：
2500 3150 u 1.86 350 查标准正态分布表: (-1.86)=0.0314
正态曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1； 正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等； 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相等； -1.64～ +1.64内面积为90%； -1.96～ +1.96内面积为95%； -2.58～ +2.58内面积为99%。 小于-3的面积为 0.13%; 小于-2的面积为 2.28%; 小于- 的面积为15.87%。
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
S(-, -3)=0.0013
S(-, -2)=0.0228
S(-3, -2)=0.0215
S(-2, -1)=0.1359
S(-, -1)=0.1587
S(-, -0)=0.5
S(-1,
)=0.3413
-3
-2 -
-3
-2 -

+ +2 +3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
正态曲线下的面积规律
1-S(- , +)=0.3174 1-S(-2 , +2)=0.0456 1-S(-3 , +3)=0.0026
-3
-2 -

+ +2 +3
-4
-3
。
n
46
中心极限定理(central limit theorem)
Case 2: 从非正态分布总体 ( 均数为μ，方差为 σ ) 中随 机抽样(每个样本的含量为 n)，可得无限多个 样本，每个样本计算样本均数，则只要抽样 次数足够大(n>50),样本均数也近似服从正态 分布。
抽样误差是不可避免的！ 抽样误差是有规律的！
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均数的抽样误差之特点
各样本均数未必等于总体均数； 样本均数间存在差异； 样本均数的分布很有规律；
45
中心极限定理(central limit theorem)
Case 1: 从正态分布总体 N(μ,σ) 中随机抽样(每个样 本的含量为n[如10])，可得无限多个样本[如 1000次 ] ，每个样本计算样本均数，则样本 均数也服从正态分布。 样本均数的均数为 μ;
u
X

~ N (0,1)
则u服从标准正态分布。 u称为标准正态离差(standard normal deviate)
标准正态分布曲线下面积(u)
u
-3.0 -2.5 -2.0 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188
标准误与标准差（3）
标准误 含义：
样本统计量的离散程度； 标准误越小，用样本均数来反映总体均数越可靠；
应用： 计算可信区间； 与n的关系：
样本含量越大，均数的标准误越小，n很大时，标准误 趋向于0。
样本均数的抽样分布
X Population C Population B
X Population A