Van der Waerden函数的极值性及其应用
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在推广了相关文献已有结论的同时从极值分布的角度考察了常见的处处连续但处处不可导函数的相关特征
第 32 卷 第 2 期 2013 年 2 月
绵阳师范学院学报 Journal of Mianyang Normal University
Vol． 32 No． 2 Feb． ， 2013
Van der Waerden 函数的极值性及其应用
k→∞
Gauss 取整函数． 由此可以得到： 引理 2 有限小数在实数中稠密． 通过分析（ 1 ） 表示的 Van der Waerden 函数 f（ x） 的取值情况， 可以证明： 定理 1 Van der Waerden 函数 f（ x） 在所有的有限小数点处取得极小值 ． 证 明： 由于函数 φ（ x） 的取值与整数部分无关， 所以 Van der Waerden 函数 f（ x） 是周期为 1 的周期函数， 并且 f（ x） 在所有整数点上取得极小值 0． 不妨设 k 位有限小数 a 可以表示为
1
引言
1］ 文［ 给出了黎曼函数极大值的一个新的性质， 即黎曼函数在任意非零值点处取得极大值， 从而指出 而且函数的极值点可以在定义域内稠密 ． 黎曼函数的这种极大 函数的极值点可以有无穷多但至多可数个 ， 性揭示了函数极值可能的分布情况 ． 另一方面， 历史上 Weierstrass 于 1872 年利用函数项级数第一次构造出 了一个处处连续而处处不可导的函数 （ 称为 Weierstrass 函数） ：
［ 1］ 黄慧，陈辉． 黎曼函数的极大性及其应用［ J］ ． 大学数学， 2010 ， 26 （ 6 ） ： 64 － 66． ［ 2］ 刘文． Weierstras 函数不可微性的一种证明［ J］ ． 高等数学研究， 2002 ， 5 （ 2 ） ： 5 － 6． ［ 3］ 陈纪修，邱维元． 数学分析课程中的一个反例［ J］ ． 高等数学研究， 2006 ， 9 （ 1 ） ： 2 － 5．
{
{
{
此时，
k
f（ x） － f（ a） =
∑ s =1
d s － c s f（ 10 －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 …） + 10 s －1 10 k f（ 10 －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 … 10 k
= （ | U | －| L | ） ·10 －k －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 … +
（ 下转第 31 页）
· 31·
兰冲锋等： 基于主成分回归分析构建顾客满意度模型的实证研究
第2 期
Empirical Study on Modal of Customer Satisfaction Based on principal Component Regression
LAN Chong － feng1 ，YAN Yun － yun2 （ 1． School of Mathematics ＆ Computer Science，Fuyang Teachers College，Fuyang，Anhui 236000 ； 2． School of Science，Guilin University of Science and Engineerinbg，Guilin，Guangxi 541004 ） Abstract： With the intensity of market competition，businesses owners begin to turn their attention on products to customers，and customer satisfaction is the evaluation index for measuring the quality of products and service． In this paper，the research results of customer satisfaction in China and abroad are firstly reviewed，then，by using principal component regression，the index is tested，and in the end，the empirical study of road maintenance，taking the highway system of a certain province as the case，is conducted． Key words： Principal component regression； customer satisfaction； weight coefficient
（ a）
（ b）
（ a）
（ b）
图 1 Van der Waerden 函数的图像及其部分放大 Fig． 1 Image of Van der Waerden Function and its part enlarge
3
总结
1］ Van der Waerden 函数的这一新的性质可以帮助我们 本文将文献［ 中的主要结论推广到连续函数上 ， Van der Waerden 函数与 Weierstrass 函数的处处不 更加深刻认识连续函数的一些性态 ． 并且在一定程度上， 可导性也可以由极值点的稠密性反应 ： 如果函数 f（ x） 在 x0 处具有非零导数， 可以由极限的保号性得出f（ x） f（ x） 在 在 x0 的某个邻域内单调， 则 f（ x） 在此邻域内无极值点． 反之， 如果 f （ x ） 的极值点在定义域内稠密， 任意点处没有非零导数． 连续函数极值点的稠密性是函数取值改变剧烈程度的新的刻画 ． 参考文献：
∑ n =0
2
连续函数极值点的分布
1］中推论 2 可得： 由文［ ［1 ］ 引理 1 实值函数的极值点至多有可数个 ． 任意实数都可以表示有限或者无限小数 ． 如果 a =［ a］ + 0 ． a1 a2 …a n … ， x = ［ a ］ + 0 ． a a … a ， k = 1， 2， 3 …， a］为 为某无限小数 记 k 则 x k 为有限小数， 并且 li m x k = a， 其中［ 1 2 k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
= （ | U | －| L | ） ·10 －k －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 … s －1 －t － 2 t +2 φ（ 10 ·10 ·0 ． b1 b2 b3 … 1 1 + k∑ + k +t +2 f（ 0 ． b1 b2 b3 …） 10 s = 1 10 s －1 10 = （ | U | －| L | ） ·10 －k －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 … + （ t + 2 ） ·10 －k －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 … 1 + k +t +2 f（ 0 ． b1 b2 b3 …） 10 1 = （ t + 2 +| U | －| L | ） ·10 －k －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 … + k +t +2 f（ 0 ． b1 b2 b3 …） 10 ＞ 0． f（ x） ＞ f 因此， 当 0 ＜ x － a ＜ δ 时 f（ x） － f（ a） ＞ 0 ， 即 f（ x ） ＞ f （ a ） ． 同理可以证明当设 － δ ＜ x － a ＜ 0 时， （ a） ， 定理得证． 由引理 1 － 2 和定理 1 可以得到本文的主要结论如下： 推论 连续函数的极值点可以有且至多有可数个 ， 而且可以在定义域中稠密． ， Van der Waerden 可以证明 在一般的 函数
∞
f（ x） =
a n sin（ b n x） ， 0 ∑ n =0
＜ a ＜ 1 ＜ b， ab ＞ 1 ， 3］通过引入荷兰数学家 Van der Waerden 给 文［
n
通常 Weierstrass 函数处处不可导的证明较为复杂 出了另外一个例子（ 称为 Van der Waerden 函数） ：
f（ x） =
· 3· b= 函数， 并且取 a = 10 ，
陈
辉： Van der Waerden 函数的极值性及其应用
第2 期
1 ． 因而可以推断 Weierstrass 函数上也有稠密的极值点． 图 1 演示的是取 a 为 2 的 10 Van der Waerden 函数的图像及其部分放大， 从中可以看出定理 1 揭示的 Van der Waerden 函数极小值分布 的规律．
1105 收稿日期： 2012作者简介： 陈辉（ 1983 － ） ， 男， 助教， 主要研究方向： 代数学及高等数学教学．
第 32 卷
绵阳师范学院学报（ 自然科学版）
· 2·
a = 0 ． a1 a2 a3 …a k ， ak ≠ 0， k 1． 2， …， k｝ 和集合 L = ｛ a i 5 | i = 1 ， 2， …k ｝ ， U 和 L 分别表示有限小数 a 记集合 U = ｛ a i ＞ 5 | i = 1 ， 中大于及小于等于 5 的 k 个小数位取值． 取它们元素个数的差值的绝对值为 t， 即 t = ‖U | －| L‖， 其中 | U | －k －t － 2 ， 表示集合 U 中的元素的个数． 设 δ = 10 下面将证明对任意的 x 满足 0 ＜ | x － a | ＜ δ 都有 f（ x） ＞ f（ a） 成立， 即 a 为 Van der Waerden 函数 f（ x） 的极小值点． Van der Waerden 函数在 a 处的取值为 k cs f（ a） = f（ 0 ． a1 a2 a3 …a k） ］ （ 2） ∑ s －1 ， s = 1 10 其中， 0 ． a s a s +1 …a k ， as ＜ 5 cs = 1 － 0 ． a s a s +1 …a k ， as 5． 0 ＜ x － a ＜ ， x 设 δ 可以表示为 x = 0 ． a1 a2 a3 …a k + 10 －k －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 … Van der Waerden 函数在 x 处的取值 f（ x） = f（ 0 ． a1 a2 a3 …a k + 10 －k －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 …） （ 3） －t － 2 k f（ 10 ·0 ． b1 b2 b3 … ds ， ∑ s －1 + 10 k s = 1 10 其中， 0 ． a s a s +1 …a k + 10 s －1 ·10 －k －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 …， as ＜ 5 ds = s －1 －k －t － 2 ·0 ． b1 b2 b3 …， as 5 1 － 0 ． a s a s +1 …a k － 10 ·10 s －1 －k －t － 2 c s + 10 ·10 ·0 ． b1 b2 b3 …， as ＜ 5 = s －1 －k －t － 2 c s － 10 ·10 ·0 ． b1 b2 b3 …， as 5．
∞
［2 ］
φ（ 10 x） ， （ 1） 10 n 说明了函数可以处处连续但处处不可导 ． 在（ 1 ） 中 φ（ x） 表示 x 与最邻近的整数之间的距离， 例如当 x ［3 ］ = 1 ． 26 ， （ x ） = 0 ． 26 ； x = 3 ． 67 ， （ x ） = 0 ． 33 ． （ 1 ） 则φ 当 则φ 通过级数的一致连性可以判断 式给出的 Van der Waerden 函数在实数上连续． Van der Waerdeu 的例子在思想方法上与 Weierstrass 的例子是一致的， 但 给出了连续函数的极值点在定义域 它很简单而且初等． 本文通过研究 Van der Waerden 函数的极值性质， 内可以稠密分布的结论． f（ x） =
n φ（ a x ） （ 4） ∑ an n =0 中， 取 a 为大于 1 的正整数， 上述定理 1 的结论也成立， 不过相应的有限小数指的是 a 进制的有限小数． 本 3］提到的那样， Van der 文取 a 为 10 使得相应的证明更简单而且符合常用的 10 进制小数表示． 就如文［ Waerden 的例子本质上与 Weierstrass 的例子是一致的． 前者用有界周期函数 φ （ x ） 代替后者反例中的正弦 ∞
陈 辉
（ 安徽商贸职业技术学院， 安徽芜湖 241002 ） 摘 要： 通过对 Van der Waerden 函数的讨论， 证明 Van der Waerden 函数在所有的有限小数处取得极小值 ． 给 出了连续函数可以有无穷多但至多可数个极值点， 并且这些极值点可以在定义域内稠密的结果 ． 在推广了相关文 从极值分布的角度考察了常见的处处连续但处处不可导函数的相关特征． 献已有结论的同时， 关键词： 极小值点; Van der Waerden 函数; 稠密; Weierstrass 函数 612x（ 2013 ） 020001034 中图分类号： O172. 2 文献标识码： A 文章编号： 1672-
第 32 卷 第 2 期 2013 年 2 月
绵阳师范学院学报 Journal of Mianyang Normal University
Vol． 32 No． 2 Feb． ， 2013
Van der Waerden 函数的极值性及其应用
k→∞
Gauss 取整函数． 由此可以得到： 引理 2 有限小数在实数中稠密． 通过分析（ 1 ） 表示的 Van der Waerden 函数 f（ x） 的取值情况， 可以证明： 定理 1 Van der Waerden 函数 f（ x） 在所有的有限小数点处取得极小值 ． 证 明： 由于函数 φ（ x） 的取值与整数部分无关， 所以 Van der Waerden 函数 f（ x） 是周期为 1 的周期函数， 并且 f（ x） 在所有整数点上取得极小值 0． 不妨设 k 位有限小数 a 可以表示为
1
引言
1］ 文［ 给出了黎曼函数极大值的一个新的性质， 即黎曼函数在任意非零值点处取得极大值， 从而指出 而且函数的极值点可以在定义域内稠密 ． 黎曼函数的这种极大 函数的极值点可以有无穷多但至多可数个 ， 性揭示了函数极值可能的分布情况 ． 另一方面， 历史上 Weierstrass 于 1872 年利用函数项级数第一次构造出 了一个处处连续而处处不可导的函数 （ 称为 Weierstrass 函数） ：
［ 1］ 黄慧，陈辉． 黎曼函数的极大性及其应用［ J］ ． 大学数学， 2010 ， 26 （ 6 ） ： 64 － 66． ［ 2］ 刘文． Weierstras 函数不可微性的一种证明［ J］ ． 高等数学研究， 2002 ， 5 （ 2 ） ： 5 － 6． ［ 3］ 陈纪修，邱维元． 数学分析课程中的一个反例［ J］ ． 高等数学研究， 2006 ， 9 （ 1 ） ： 2 － 5．
{
{
{
此时，
k
f（ x） － f（ a） =
∑ s =1
d s － c s f（ 10 －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 …） + 10 s －1 10 k f（ 10 －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 … 10 k
= （ | U | －| L | ） ·10 －k －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 … +
（ 下转第 31 页）
· 31·
兰冲锋等： 基于主成分回归分析构建顾客满意度模型的实证研究
第2 期
Empirical Study on Modal of Customer Satisfaction Based on principal Component Regression
LAN Chong － feng1 ，YAN Yun － yun2 （ 1． School of Mathematics ＆ Computer Science，Fuyang Teachers College，Fuyang，Anhui 236000 ； 2． School of Science，Guilin University of Science and Engineerinbg，Guilin，Guangxi 541004 ） Abstract： With the intensity of market competition，businesses owners begin to turn their attention on products to customers，and customer satisfaction is the evaluation index for measuring the quality of products and service． In this paper，the research results of customer satisfaction in China and abroad are firstly reviewed，then，by using principal component regression，the index is tested，and in the end，the empirical study of road maintenance，taking the highway system of a certain province as the case，is conducted． Key words： Principal component regression； customer satisfaction； weight coefficient
（ a）
（ b）
（ a）
（ b）
图 1 Van der Waerden 函数的图像及其部分放大 Fig． 1 Image of Van der Waerden Function and its part enlarge
3
总结
1］ Van der Waerden 函数的这一新的性质可以帮助我们 本文将文献［ 中的主要结论推广到连续函数上 ， Van der Waerden 函数与 Weierstrass 函数的处处不 更加深刻认识连续函数的一些性态 ． 并且在一定程度上， 可导性也可以由极值点的稠密性反应 ： 如果函数 f（ x） 在 x0 处具有非零导数， 可以由极限的保号性得出f（ x） f（ x） 在 在 x0 的某个邻域内单调， 则 f（ x） 在此邻域内无极值点． 反之， 如果 f （ x ） 的极值点在定义域内稠密， 任意点处没有非零导数． 连续函数极值点的稠密性是函数取值改变剧烈程度的新的刻画 ． 参考文献：
∑ n =0
2
连续函数极值点的分布
1］中推论 2 可得： 由文［ ［1 ］ 引理 1 实值函数的极值点至多有可数个 ． 任意实数都可以表示有限或者无限小数 ． 如果 a =［ a］ + 0 ． a1 a2 …a n … ， x = ［ a ］ + 0 ． a a … a ， k = 1， 2， 3 …， a］为 为某无限小数 记 k 则 x k 为有限小数， 并且 li m x k = a， 其中［ 1 2 k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
= （ | U | －| L | ） ·10 －k －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 … s －1 －t － 2 t +2 φ（ 10 ·10 ·0 ． b1 b2 b3 … 1 1 + k∑ + k +t +2 f（ 0 ． b1 b2 b3 …） 10 s = 1 10 s －1 10 = （ | U | －| L | ） ·10 －k －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 … + （ t + 2 ） ·10 －k －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 … 1 + k +t +2 f（ 0 ． b1 b2 b3 …） 10 1 = （ t + 2 +| U | －| L | ） ·10 －k －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 … + k +t +2 f（ 0 ． b1 b2 b3 …） 10 ＞ 0． f（ x） ＞ f 因此， 当 0 ＜ x － a ＜ δ 时 f（ x） － f（ a） ＞ 0 ， 即 f（ x ） ＞ f （ a ） ． 同理可以证明当设 － δ ＜ x － a ＜ 0 时， （ a） ， 定理得证． 由引理 1 － 2 和定理 1 可以得到本文的主要结论如下： 推论 连续函数的极值点可以有且至多有可数个 ， 而且可以在定义域中稠密． ， Van der Waerden 可以证明 在一般的 函数
∞
f（ x） =
a n sin（ b n x） ， 0 ∑ n =0
＜ a ＜ 1 ＜ b， ab ＞ 1 ， 3］通过引入荷兰数学家 Van der Waerden 给 文［
n
通常 Weierstrass 函数处处不可导的证明较为复杂 出了另外一个例子（ 称为 Van der Waerden 函数） ：
f（ x） =
· 3· b= 函数， 并且取 a = 10 ，
陈
辉： Van der Waerden 函数的极值性及其应用
第2 期
1 ． 因而可以推断 Weierstrass 函数上也有稠密的极值点． 图 1 演示的是取 a 为 2 的 10 Van der Waerden 函数的图像及其部分放大， 从中可以看出定理 1 揭示的 Van der Waerden 函数极小值分布 的规律．
1105 收稿日期： 2012作者简介： 陈辉（ 1983 － ） ， 男， 助教， 主要研究方向： 代数学及高等数学教学．
第 32 卷
绵阳师范学院学报（ 自然科学版）
· 2·
a = 0 ． a1 a2 a3 …a k ， ak ≠ 0， k 1． 2， …， k｝ 和集合 L = ｛ a i 5 | i = 1 ， 2， …k ｝ ， U 和 L 分别表示有限小数 a 记集合 U = ｛ a i ＞ 5 | i = 1 ， 中大于及小于等于 5 的 k 个小数位取值． 取它们元素个数的差值的绝对值为 t， 即 t = ‖U | －| L‖， 其中 | U | －k －t － 2 ， 表示集合 U 中的元素的个数． 设 δ = 10 下面将证明对任意的 x 满足 0 ＜ | x － a | ＜ δ 都有 f（ x） ＞ f（ a） 成立， 即 a 为 Van der Waerden 函数 f（ x） 的极小值点． Van der Waerden 函数在 a 处的取值为 k cs f（ a） = f（ 0 ． a1 a2 a3 …a k） ］ （ 2） ∑ s －1 ， s = 1 10 其中， 0 ． a s a s +1 …a k ， as ＜ 5 cs = 1 － 0 ． a s a s +1 …a k ， as 5． 0 ＜ x － a ＜ ， x 设 δ 可以表示为 x = 0 ． a1 a2 a3 …a k + 10 －k －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 … Van der Waerden 函数在 x 处的取值 f（ x） = f（ 0 ． a1 a2 a3 …a k + 10 －k －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 …） （ 3） －t － 2 k f（ 10 ·0 ． b1 b2 b3 … ds ， ∑ s －1 + 10 k s = 1 10 其中， 0 ． a s a s +1 …a k + 10 s －1 ·10 －k －t －2 ·0 ． b1 b2 b3 …， as ＜ 5 ds = s －1 －k －t － 2 ·0 ． b1 b2 b3 …， as 5 1 － 0 ． a s a s +1 …a k － 10 ·10 s －1 －k －t － 2 c s + 10 ·10 ·0 ． b1 b2 b3 …， as ＜ 5 = s －1 －k －t － 2 c s － 10 ·10 ·0 ． b1 b2 b3 …， as 5．
∞
［2 ］
φ（ 10 x） ， （ 1） 10 n 说明了函数可以处处连续但处处不可导 ． 在（ 1 ） 中 φ（ x） 表示 x 与最邻近的整数之间的距离， 例如当 x ［3 ］ = 1 ． 26 ， （ x ） = 0 ． 26 ； x = 3 ． 67 ， （ x ） = 0 ． 33 ． （ 1 ） 则φ 当 则φ 通过级数的一致连性可以判断 式给出的 Van der Waerden 函数在实数上连续． Van der Waerdeu 的例子在思想方法上与 Weierstrass 的例子是一致的， 但 给出了连续函数的极值点在定义域 它很简单而且初等． 本文通过研究 Van der Waerden 函数的极值性质， 内可以稠密分布的结论． f（ x） =
n φ（ a x ） （ 4） ∑ an n =0 中， 取 a 为大于 1 的正整数， 上述定理 1 的结论也成立， 不过相应的有限小数指的是 a 进制的有限小数． 本 3］提到的那样， Van der 文取 a 为 10 使得相应的证明更简单而且符合常用的 10 进制小数表示． 就如文［ Waerden 的例子本质上与 Weierstrass 的例子是一致的． 前者用有界周期函数 φ （ x ） 代替后者反例中的正弦 ∞
陈 辉
（ 安徽商贸职业技术学院， 安徽芜湖 241002 ） 摘 要： 通过对 Van der Waerden 函数的讨论， 证明 Van der Waerden 函数在所有的有限小数处取得极小值 ． 给 出了连续函数可以有无穷多但至多可数个极值点， 并且这些极值点可以在定义域内稠密的结果 ． 在推广了相关文 从极值分布的角度考察了常见的处处连续但处处不可导函数的相关特征． 献已有结论的同时， 关键词： 极小值点; Van der Waerden 函数; 稠密; Weierstrass 函数 612x（ 2013 ） 020001034 中图分类号： O172. 2 文献标识码： A 文章编号： 1672-