常用测量计算公式、模型

ZA = ZC −T
4-6
HA = HC −T sinα1
终点 B 的桩号及设计高程为
ZB = ZA +L
4-7
HB = HC +T sinα2
设过变坡点的铅垂线与圆弧的交点为 D，则 D 点的桩
号与设计高程为
ZD
=
ZA
+
L 2
mE
sinδ
4-8
HD = HC mE sec δ
式 4-8 中的“ m”，竖曲线为凸形时取“-”，为凹形 时取“+”。
1-2 y′p=（yp－y0）cosα-（ xp－ x0）sinα
3.面积计算
日常测量常会遇到面积的计算，测量过程手算
又较为不便，下面介绍按多边形角点坐标计算多边
形面积的方法和公式。如图 2 中 J1、J2、J3、J4 为多
边形角点，Ji 点的平面坐标为 xi，yi。多边形的每一 条边和坐标轴、坐标投影线（图中虚线）组成一个个
HZ
说明： lS 为缓和曲线长度， li 为缓和曲线上任一点 至 ZH 或 HZ 点的长度，式 7-2 中的li 为圆曲线上任一点 至圆曲线起点的长度， R 为曲线半径， βi 为缓和曲线上 任一点的切线与过缓和曲线起点 ZH 或 HZ 点的切线的夹
角，ϕi 为圆曲线上任一点至缓和曲线起点 ZH 或 HZ 点的
一致，便于设计、计算与施工放样。建筑坐标系与
城市或国家坐标系（总称大地坐标系）需要进行联
测，即测定建筑坐标系原点的大地坐标（x0，y0）， 以及建筑坐标系纵轴在大地坐标系中的方位角
（α），据此可以进行坐标换算。设 XOY 为大地坐标
系的坐标轴，X′O′Y′为建筑坐标系的坐标轴，如
图 1 所示。已知 P 点的建筑坐标为（x′P，y′P），可按
xi = R sinϕi + q
yi = R (1 − cosϕi ) + p
7-1
ϕi
=
180° Rπ
⎛ ⎜⎝
li
+
lS 2
⎞ ⎟⎠
7-2
JD α
EH
q
TH
y i1
HY i1QZ
YH
βi
i
LY
LH
R
α-2βo ls
p
φi
li
R+P βo
β o
R=+∞x i 1
O
R=+∞
图1
ZH
β o ZY T Y
形时取“+”。j 点的高程为
H j = H A + hAj
4-12
A 点至 j 点的水平距离为
x＝j C j cosα j
4-13
当逐桩点 P 位于 D～B 点之间时，以竖曲线终点为基
点进行计算。设 B 点距离 j 点圆弧长为 Lj＝ZB－Zj，弦切
角γj 与弦长 Cj 的计算公式与式 4-10 相同。弦长 Cj 竖直 角的绝对值及 B 点至 j 点的高差为
的下方时为负值，竖曲线为凸形；反之为正值，竖曲线
为凹形。
过变坡点 C 的铅垂线与外距直线的夹角δ为
δ = α－1
Δ= 2
1 2
(α＋1 α 2 )
4-2
L
=
π 180 °
Δ
R
4-3
Δ T= Rtan
4-4
2
⎛ Δ⎞
E=R ⎜ sec ⎝
2
−1⎟ ⎠
4-5
（2）主点桩号与高程计算
设变坡点 C 的桩号为 ZC，则竖曲线起点 A 的桩号及 设计高程为
线弧所对的圆心角，如图 1 所示。
8.单圆曲线测设要素计算
切线长： TY
=Байду номын сангаас
α R tan
2
曲线长： LY
=
Rα
π 180°
8-1
外
距： EY
=
R
⎛ ⎜⎝
sec
α 2
− 1⎞⎟⎠
切曲差： DY = 2TY − LY
9.单圆曲线的独立坐标计算
xi = R sinϕi
yi = R(1 − cosϕi )
9-1
5-1
24R
切线增长值： q
=
lS 2
−
lS 3 240R2
5-2
缓和曲线切线角： βi
=
90°li2 π RlS
5-3
总切线角：
β0
=
90°lS πR
5-4
切线长： TH
=
(R
+
p)tan α
2
+
q
（α 为转角）
5-5
曲线长： LH
=
R (α
−
2β
0
)
π 180°
+
2lS
5-6
或 LH
=
Rα
π 180°
C 点至 A 点及 C 点至 B 点的水平距离分别为
dCA = T cosα1
4-9
dCB = T cosα2
（3）逐桩点桩号与高程计算
当逐桩点 P 位于 A～D 之间时，以竖曲线起点 A 为基
点进行计算。设 j 点桩号为 Zj，则 A 点距离 j 点的圆弧
长 Lj＝Zj-ZA，弦切角γj 与弦长 Cj 的计算公式为
P
=
1 2
⎡⎢⎢⎣+xx13((yy24−−yy42))++xx24((yy31−−yy13))⎤⎥⎥⎦
1-3
X J2
x2
x3
J3
J1
x1
x4
J4
Ο
y1
y2
y4 y3 Y
对于任意的 n 边形，可以写出下列按角点坐标计
算面积的通用公式：
∑ ( ) P
=
1 2
n i =1
xi
yi+1 − yi−1
1-4
l为缓和曲线长度l为缓和曲线上任一点hz点的长度式72为圆曲线上任一点至圆曲线起点的长度为缓和曲线上任一点的切线与过缓和曲线起点zh或hz点的切线的夹为圆曲线上任一点至缓和曲线起点zh或hz线弧所对的圆心角如图1所示
1.建筑坐标换算为大地坐标
工程建筑物的设计一般采用建筑坐标系，是一
种独立坐标系。其坐标轴与建筑的主轴线相平行或
+ lS
圆曲线长： LY
= π R α − 2β0 180°
5-7
外距： EH
=
(R
+
p) sec α
2
−
R
5-8
切曲差： DH = 2TH − LH
5-9
6.缓和曲线独立坐标计算
xi
= li
−
li5 40R2lS 2
yi
=
li3 6RlS
−
li 7 336 R3lS 3
6-1
7.带缓和曲线的圆曲线的独立坐标计算
ϕi
=
li180° Rπ
说明：li 为圆曲线上任一点至圆曲线起点的长度，R
为曲线半径，ϕi 为圆曲线上任一点至圆曲线起点 ZY 或
YZ 点的圆弧所对的圆心角，如图 2 所示。
JD α
YZ
EY
yi i φi/2
Li
xi
φi
R
QZ
LY
α
O
图2
梯形，例如 x1J1J2x2，x2J2J3x3，……。多边形面积 P
是这些梯形面积的和或差，即
P
=
1 2
⎡ ⎢ ⎢⎣
( x1 + x2 ) − ( x3 + x4
( )
y2 − y1 ) ( y3 − y4
+( )−
x2 + x3 ) ( x4 + x1
( )
(yy3 4−−yy21))⎤⎥⎥⎦
将上式整理后，得到：
（1）要素计算
公路竖曲线通常采用圆曲线，设计数据为圆曲线半
径R，变坡点C的高程HC及相邻坡道的纵坡i 1，i 2；曲线要 素包括竖曲线长L、切线长T、外距E和坡道转角Δ。
由图一的几何关系可得
Δ＝α1-α2
α1＝arctan i 1
4-1
α2＝arctan i 2
式 4-1 中的坡道转角Δ，当坡道线 CB 位于坡道线 AC
下式计算大地坐标（xp，yp）：
xp=x0＋x′pcosα－y′psinα 1-1
yp=y0＋x′psinα＋y′pcosα
X
X′
α
y ′p
α
y p x′p
P
y 0 Ο′
xp
x0
Y′
Y Ο
图1
2.大地坐标换算为建筑坐标
已知 P 点的大地坐标（xp，yp），可按下式换算
为建筑坐标（x′P，y′P）： x′p=（yp－y0）sinα+（ xp－ x0）cosα
γ
j
=
Lj R
90° π
C j = 2R sinγ j
4-10
C α1 α2 Δ
i1 γj j
E
Dδ j
i2
A
α1 Cj HAj αj
L
γj
HBj
Cj
α2
B
R
Δ 2
图一
弦长 Cj 竖直角的绝对值及 A 点至 j 点的高差为
α j = α1 m γ j hA j = C j sinα j
4-11
式 4-11 中的“ m”，竖曲线为凸形时取“-”，为凹
标开始，按顺时针方向依次输入各角点坐标，至最后
一点。公式中的循环参数 i=1～n，当用到 i=1 或 i=n
时，公式中需用到 x0、y0 或 xn+1、y n+1，这些坐标值按 下式调用：
x0=xn，xn+1=x1 1-8
y0=yn，yn+1=y1
4.单圆竖曲线高程模型及计算原理
1）计算原理
如图一所示，称C为变坡点，直线段AC的纵坡为i 1， CB段的纵坡为i 2。i 1-i 2＞0时为凸形竖曲线；i 1-i 2＜0时 为凹形竖曲线。
∑ ( ) P
=
1 2
n i =1
yi
xi+1 − xi−1
1-5
∑( )( ) P = 1 n 2 i=1
xi + xi+1
yi+1 − yi
1-6
∑( ) P = 1 n 2 i=1
xi yi+1 − xi+1 yi
1-7
以上四种通用公式中，1-4 和 1-5 适合于手工计
算，后两种适合于计算机编程。计算式从输入第一坐
α j = −α2 mγ j hB j = C j sinα j
4-14
式 4-14 中的“ m”，竖曲线为凸形时取“-”，为凹 形时取“+”。j 点高程为
H Bj = H B + hBj
1-15
B 点至 j 点的水平距离的计算公式与式 4-13 相同。
5.带缓和曲线的曲线测设元素计算
圆曲线内移值： p = lS2