7.3.2 正弦型函数的图像

第七章三角函数
7．3.2 正弦型函数的图像
1.结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义．
2.能借助图像理解参数ω，φ，A的含义，了解参数变化对函数图像的影响．
3．会求y＝A sin(ωx＋φ)的参数，如周期，定义域，最大、最小值．
4.通过学习，提高学生直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．
(一)教材梳理填空
1．正弦型函数的定义：一般地，形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，称为正弦型函数，其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0.
2．φ，ω，A对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响
(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响
(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响
(3)A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的影响
3．正弦型函数的性质
(1)一般地，正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)的定义域为R ，值域为[－|A |，|A |]，周期是T ＝2π
|ω|
，而且函数的图像可通过对正弦曲线进行平移、伸缩得到． (2)正弦型函数中的常数A ，ω，φ的实际意义：|A |称为振幅；φ称为初相；周期T ＝2π|ω|，f ＝1T ＝|ω|
2π称
为频率．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)“五点法”只能作函数y ＝sin x 的图像，而不能作函数y ＝sin(x ＋φ)的图像. ( )
(2)利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，“ωx ＋φ”依次取0，π2，π，3π
2，2π五个值．( )
(3)将y ＝sin x 的图像上的点的横坐标伸长到原来的3倍就得到y ＝sin 3x 的图像．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2.函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＋1的最小正周期为( ) A. π
2 B.π C ．2π D.4π
答案：B
3．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4的图像，只要将y ＝sin x 的图像( ) A ．向右平移π
4个单位
B ．向左平移π
4个单位
C ．向上平移π
4
个单位
D.向下平移π
4个单位
解析：选B 将y ＝sin x 的图像向左平移π
4个单位可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像． 4．函数f (x )＝－8sin 3x 为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
解析：选A 由于f (－x )＝－8sin 3(－x )＝8sin 3x ＝－f (x )，所以此函数为奇函数．
第一课时 正弦型函数的图像
题型一 “五点法”作正弦型函数的图像
[学透用活]
[典例1] 用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫
x 2＋π6的图像．
[解] 令t ＝x 2＋π
6
，列表如下：
[方法技巧]
用“五点法”作函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图像的步骤
第一步：列表
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像．
[对点练清]
1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π
2的图像只可能是( )
解析：选B 当x ＝0时，y ＝A sin φ＞0，排除C 、D ；另外，由－π2＜ωx ＋φ＜π
2得到其中一个单调增
区间为⎝⎛⎭⎫
－
π＋2φ2ω，π－2φ2ω，结合图像，排除A ，故选B.
2．用五点法作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3的图像，并指出函数的单调区间． 解：(1)列表：
(2)描点．
(3)连线．用光滑的曲线顺次连接各点，如图所示为该函数在一个周期内的图像，将图像左右平移(每次π个单位长度)即可得到该函数在定义域R 内的图像．
可见在一个周期内，函数在⎣⎡⎦⎤
π12，7π12上递减，又因为函数的周期为π，所以函数的递减区间为
⎣
⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )． 同理，递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π
12(k ∈Z )． 题型二 正弦型函数的图像变换
[学透用活]
对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的系数A ，ω，φ的三点说明 (1)A 越大，函数图像的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．
(2)ω越大，函数图像的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系． (3)φ大于0时，函数图像向左平移，φ小于0时，函数图像向右平移，即“左加右减”． [典例2] (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3的图像是由函数y ＝sin x 的图像通过怎样的变换得到的？
(2)说明y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
6的图像是由y ＝sin x 的图像经过怎样变换得到的． [解] (1)法一：
法二：
y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3. (2)[法一 先伸缩后平移]
[法二 先平移后伸缩]
[方法技巧]
由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的步骤
[提醒] 确定函数y ＝sin x 的图像经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x ”而言．
[对点练清]
1．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3的图像，只要将函数y ＝sin 2x 的图像( ) A ．向左平移π
3个单位长度
B ．向右平移π
3个单位长度
C ．向左平移π
6个单位长度
D ．向右平移π
6
个单位长度
解析：选C 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以将函数y ＝sin 2x 的图像向左平移π
6
个单位长度，就可得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3的图像． 2．把函数y ＝f (x )的图像向左平移π
4
个单位长度，然后再把所得图像上每个点的横坐标伸长到原来的2
倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图像，则y ＝f (x )的解析式为( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
4＋1 B.y ＝cos 2x C ．y ＝－cos 2x
D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫
12x ＋π2－1
解析：选C 将函数y ＝sin x 的图像上每个点的横坐标缩短到原来的1
2(纵坐标保持不变)，得到函数y
＝sin 2x 的图像，再将所得图像向右平移π
4个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图像．故选C.
[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1．用五点法作y ＝2sin 2x 的图像时，首先应描出的五点的横坐标可以是( ) A ．0，π2，π，3π
2，2π
B.0，π4，π2，3π
4，π
C ．0，π，2π，3π，4π
D.0，π4，π3，π2，2π3
解析：选B 由2x ＝0，π2，π，3π2，2π，得x ＝0，π4，π2，3π
4
，π.
2．把y ＝sin x 的图像向左平移π
2个单位长度，得到的图像的解析式为( )
A ．y ＝－cos x
B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫x －π2 D.y ＝cos x
解析：选D y ＝sin x ――――→向左平移π2
个单位长度
y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x . 3．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图像，只要将函数y ＝sin x
2
的图像( )
A ．向左平移π
3个单位
B ．向右平移π
3个单位
C ．向左平移2π
3
个单位
D.向右平移2π
3
个单位
解析：选C 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝sin 12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，所以将函数y ＝sin x 2的图像向左平移2π
3个单位即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫
x 2＋π3的图像．
4．将函数y ＝sin 3x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的1
3倍(纵坐标不变)可得到函数________的图
像．
解析：将函数y ＝sin 3x 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的1
3倍(纵坐标不变)可得，函数y ＝
sin(3×3x )＝sin 9x 的图像.
答案：y ＝sin 9x 二、创新应用题
5．已知函数f (x )的图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图像沿x 轴向左平移π2个单位长度，这样得到的图像与y ＝1
2
sin x 的图像相同，求f (x )的解析式．
解：反过来想，
三、易错防范题
6．为了得到y ＝sin 1
2x 的图像，只需要将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图像( ) A ．向左平移π
6个单位
B ．向右平移π
6个单位
C ．向左平移π
3
个单位
D.向右平移π
3
个单位
解析：选C ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6＝sin 12⎝⎛⎭⎫x －π3，∴将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图像向左平移π
3个单位，可得y ＝sin 1
2
x 的图像． [易错矫正] 本题中有三个易错点：①审题不清，没有弄清楚哪一个函数图像移动变换得另一个函数图像．②平移方向上应该是“左加右减”．③平移的单位长度由于忽视了x 的系数导致错误．解决本类题目谨记平移只是针对x 而言的．
[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练
1．函数y ＝3sin 3x 的图像可看作是由y ＝sin x 的图像按下列哪种变换得到( ) A ．横坐标不变，纵坐标变为原来的1
3
倍
B ．横坐标变为原来的1
3倍，纵坐标变为原来的3倍
C ．横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍
D ．横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的1
3倍
解析：选B
2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π
3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π
12个单位
B ．向右平移
π
12
个单位 C ．向左平移π
3
个单位
D.向右平移π
3
个单位
解析：选B 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π
12个单位即可，故选B.
3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦
⎤－π
2，π上的简图是( )
解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32＜0，排除B 、D.当x ＝π
6
时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝sin 0＝0，
排除C ，故选A.
4．用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，且x 1＋x 5＝3π
2
，则x 2＋x 4等于( )
A.π2 B ．π C.3π2
D.2π
解析：选C 由五点法作图原理知，x 2－x 1＝x 3－x 2＝x 4－x 3＝x 5－x 4＝T
4，故x 1与x 5的中点是x 3, x 2与
x 4的中点是x 3，所以x 2＋x 4＝2x 3＝x 1＋x 5＝3π
2
.
5．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图像向右平移π4个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得函数图像的解析式为( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －3π4
B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π
2 C ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫10x －3π2 D.y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫10x －7π4 解析：选D 将原函数图像向右平移π
4个单位长度，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤5⎝⎛⎭⎫x －π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图像，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －7π4的图像上各点的横坐标缩短为原来的1
2
倍得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫10x －7π4的图像． 6．将函数y ＝sin x 的图像的横坐标和纵坐标同时伸长到原来的3倍，再将图像向右平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为________________．
解析：y ＝sin x ―――――――――→横坐标伸长到原来的3倍纵坐标伸长到原来的3倍y ＝3sin x 3―――――→向右平移3个单位长度y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤13(x －3)＝3sin ⎝⎛⎭⎫13x －1. 答案：y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫1
3x －1 7．某同学给出了以下结论：
①将y ＝sin x 的图像向右平移π个单位长度，得到y ＝－sin x 的图像； ②将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位长度，得到y ＝sin(x ＋2)的图像； ③将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位长度，得到y ＝sin(－x －2)的图像． 其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．
解析：将y ＝sin x 的图像向右平移π个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin(x －π)＝－sin(π－x )＝－sin x ，所以①正确；
将y ＝sin x 的图像向右平移2个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin(x －2)，所以②不正确； 将y ＝sin(－x )的图像向左平移2个单位长度所得图像的解析式为y ＝sin [－(x ＋2)]＝sin(－x －2)，所以③正确．
答案：①③
8．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像向右平移π4个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，所得图像对应的解析式为____________．
解析：将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6的图像，再将所得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6的图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －5π6的图像．
答案：y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫4x －5π6 9．将函数y ＝1
2sin 2x 的图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，然后横坐标不变，纵坐标缩短
为原来的一半，求所得图像的函数解析式．
解：y ＝12sin 2x ――――→横坐标变为原来的2倍y ＝12sin 2·⎝⎛⎭⎫12x ＝12sin x ――――→纵坐标变为原来的一半y ＝14sin x . 即所得图像的解析式为y ＝1
4sin x .
10．已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫
12x －π4. (1)用“五点法”画函数的图像；
(2)说出此图像是由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到的． 解：(1)列表：
描点：在坐标系中描出下列各点⎝⎛⎭⎫π2，0，⎝⎛⎭⎫3π2，3，⎝⎛⎭⎫5π2，0，⎝⎛⎭⎫7π2，－3，⎝⎛⎭⎫9π
2，0. 连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图像，如图所示．
这样就得到了函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫
12x －π4在一个周期内的图像，再将这部分图像向左或向右平移4k π(k ∈Z )个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图像．
(2)①把y ＝sin x 的图像上所有的点向右平行移动π
4
个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像； ②把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π
4的图像；
③将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫
12x －π4的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图像．
B 级——高考水平高分练
1．将函数y ＝sin x 的图像上所有的点向右平移π
10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的
2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10
B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π10 D.y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π20 解析：选C 将函数y ＝sin x 的图像上的点向右平移π
10个单位长度可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10的图像；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π
10的图像，所以所求函数的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π
10. 2．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像向右平移π
8
个单位，所得图像对应的函数是( )
A ．非奇非偶函数
B ．既是奇函数又是偶函数
C ．奇函数
D.偶函数
解析：选D 把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像向右平移π
8个单位得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x 的图像，y ＝－cos 2x 是偶函数．
3．若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图像向右平移π
3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图像重合，则ω的最小值为________．
解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图像向右平移π
3个单位长度，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＋π3的图像．因为所得函数图像与函数y ＝sin ωx 的图像重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－7
2
－6k (k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值5
2
.
答案：52
4．设ω＞0，若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图像向右平移4π
3个单位长度后与原图像重合，求ω的最小值．
解：将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图像向右平移4π
3个单位长度后，所得图像的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦
⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫
ωx ＋π3－4ωπ3＋2.
因为平移后的图像与原图像重合， 所以有4ωπ3＝2k π(k ∈Z )，即ω＝3k
2(k ∈Z )，
又因为ω＞0，所以k ≥1， 故ω＝3k 2≥3
2.
故ω的最小值为3
2
.
5．设m 为实常数，已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4＝m 在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β. (1)求m 的取值范围； (2)求α＋β的值．
解：作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
4在区间(0,2π)上的图像如图所示．
(1)若方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4的图像与y ＝m 有两个相异的交点．观察图像知，当－2＜m ＜2且m ≠1时有两个相异的交点，即方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4＝m 在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m 的取值范围为(－2，1)∪(1，2)．
(2)当m ∈(－2，1)时，由图像易知两交点关于直线x ＝
5π4对称，∴α＋β2＝5π4，α＋β＝5π
2
. 当m ∈(1，2)时，由图像易知两交点关于直线x ＝π
4对称，
∴
α＋β2＝π4，α＋β＝π2.故α＋β的值为5π2或π
2
.。