2022-2023学年贵州安龙县数学九年级第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000，这个数用科学记数法表示（ ）
A ．44410⨯
B ．84.410⨯
C ．94.410⨯
D ．104.410⨯
2．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为( )
A ．59
B ．49
C ．56
D ．13
3．如图，函数12(0,0),(0,0)a b y a x y b x x x
=>>=>>，的图像与平行于x 轴的直线分别相交于A B 、两点，且点A 在点B 的右侧，点C 在x 轴上，且ABC ∆的面积为1，则（ ）
A ．2a b -=
B ．1a b -=
C ．2a b +=
D ．1a b += 4．如图，点A 、点B 是函数y=
k x
的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积是4，则k 的值是（ ）
A ．-2
B ．±4
C ．2
D ．±2
5．已知二次函数221y ax ax =--(a 是常数)，下列结论正确的是（ ）
A ．当1a =-时，函数图象经过点()1,1-
B ．当1a =-时，函数图象与x 轴没有交点
C ．当2a <时，函数图象的顶点始终在x 轴下方
D ．当0a >时，则1x ≥时，y 随x 的增大而增大．
6．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．下面哪个图形不是正方体的平面展开图（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知点P 的坐标为（3，-5），则点P 关于原点的对称点p '的坐标可表示为（ ）
A ．（3, 5）
B ．（-3，5）
C ．（3, -5）
D ．（-3，-5）
9．对于抛物线2
1(5)33y x =--+，下列说法正确的是（ ）
A ．开口向下，顶点坐标(53)，
B ．开口向上，顶点坐标(53)，
C ．开口向下，顶点坐标(53)-，
D ．开口向上，顶点坐标(53)-，
10．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC =8，BD =6，则菱形的周长等于（ ）
A ．40
B ．47
C ．24
D ．20 11．使关于x 的二次函数()223y x a x =-+--在y 轴左侧y 随x 的增大而增大，且使得关于x 的分式方程
21111ax x x
+-=--有整数解的整数a 的和为（ ） A ．10 B ．4
C ．0
D ．3 12．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着原点旋转180，所得抛物线的解析式是（ ）
A ．2(1)2y x =---
B ．2(1)2y x =-+-
C ．2(1)2y x =--+
D ．2(1)2y x =-++ 二、填空题（每题4分，共24分）
13．将抛物线22y x =-向上平移一个单位后，又沿x 轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是_____．
14．关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根为1，则方程的另一根为______．
15．在一次摸球实验中，摸球箱内放有白色、黄色乒乓球共50个，这两种乒乓球的大小、材质都相同．小明发现，摸到白色乒乓球的频率稳定在60%左右，则箱内黄色乒乓球的个数很可能是________．
16．某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x ，则列出方程是______________．
17．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE EC
的值是 ．
18．若关于x 的一元二次方程2
(2)x m +=有两个相等的实数根，则m 的值为_________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）金牛区某学校开展“数学走进生活”的活动课，本次任务是测量大楼AB 的高度.如图，小组成员选择在大楼AB 前的空地上的点C 处将无人机垂直升至空中D 处，在D 处测得楼AB 的顶部A 处的仰角为42︒，测得楼AB 的底部B 处的俯角为30︒.已知D 处距地面高度为12 m ，则这个小组测得大楼AB 的高度是多少？（结果保留整数.参考数据：tan 420.90︒≈，tan 48 1.11︒≈3 1.73≈）
20．（8分）某市有A、B、C三个公园，甲、乙两位同学随机选择其中一个公园游玩．
（1）甲去A公园游玩的概率是；
（2）求甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）
21．（8分）计算
1
1
124sin3023
12
-
︒
⎛⎫
--+-
⎪
⎝⎭
．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣1．动点P在抛物线上运动（不与点A、B重合），过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，当PQ不与y轴重合时，以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，连结PM．设点P的横坐标为m．（1）求b、c的值．
（2）当点N落在直线AB上时，直接写出m的取值范围．
（3）当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时，设正方形PQMN周长为c，求c与m之间的函数关系式，并写出c 随m增大而增大时m的取值范围．
（4）当△PQM与y轴只有1个公共点时，直接写出m的值．
23．（10分）如图，已知抛物线y＝3
8
x2－
3
4
x－3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C．
(1)直接写出A、D、C三点的坐标；
(2)若点M 在抛物线上，使得△MAD 的面积与△CAD 的面积相等，求点M 的坐标；
(3)设点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）如图，抛物线y ＝12x 2+x ﹣32
与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为P ．
（1）求点A ，点B 的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点E ，使△ABP 的面积等于△ABE 的面积？若存在，求出符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）如图，已知O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 在圆上，在CD 的延长线上有一点F ，使DF DA =，//AE BC 交CF 于点E ．
（1）求证：EA 是O 的切线
（2）若6BD =，求CF 的长
26．（1）将如图①所示的△ABC 绕点C 旋转180︒后，得到△CA'B'．请先画出变换后的图形，再写出下列结论正确的序号是 ．
①''ABC A B C ≌；
②线段AB 绕C 点旋转180°后，得到线段A'B'；
③''//A B AB ；
④C 是线段BB'的中点．
在第（1）问的启发下解答下面问题：
（2）如图②，在ABC 中，120BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，射线DF 交BA 于E ，交CA 的延长线于F ，请猜想
∠F 等于多少度时，BE =CF ？（直接写出结果，不需证明）
（3）如图③，在△ABC 中，如果120BAC ∠≠︒，而（2）中的其他条件不变，若BE =CF 的结论仍然成立，那么∠BAC 与∠F 满足什么数量关系（等式表示）？并加以证明．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【详解】解：将4400000000用科学记数法表示为4.4×
109. 故选C.
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×
10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
2、B
【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得．
【详解】解：由题意可画树状图如下：
根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：
49
． 【点睛】
本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．
【解析】根据△ABC的面积=1
2
•AB•y A，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式
即可求解．
【详解】设A(a
m
,m),B(
b
m
,m)，
则：△ABC的面积=11
1 22
A
a b
AB y m
m m
⎛⎫
⋅⋅=⋅-⋅=
⎪
⎝⎭
，
则a−b=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质、反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，根据函数的特征设
A、B两点的坐标是解题的关键．
4、C
【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴k＞0，
∵BC∥x轴，AC∥y轴，
∴S△AOD=S△BOE=1
2
k，
∵反比例函数及正比例函数的图象关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，
∴S矩形OECD=1△AOD=k，
∴S△ABC=S△AOD+S△BOE+S矩形OECD=1k=4，解得k=1．故选C．
【点睛】
本题考查反比例函数的性质．
【分析】将1a =-和点()1,1-代入函数解析式即可判断A 选项；利用24b ac =-⊿可以判断B 选项；根据顶点公式可判断C 选项；根据抛物线的增减性质可判断D 选项．
【详解】A. 将1a =-和1x =-代入2
21y ax ax =--41=-≠，故A 选项错误；
B. 当1a =-时，二次函数为221y x x =-+-， ()()22424110b ac =-=-⨯-⨯-=⊿，函数图象与x 轴有一个交点，故B 选项错误；
C. 函数图象的顶点坐标为2424b ac b a
a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，即()11a --，， 当2a <时，1a --不一定小于0，则顶点不一定在x 轴下方，故C 选项错误；
D. 当0a >时，抛物线开口向上，由C 选项得，函数图象的对称轴为1x =，
所以1x ≥时，y 随x 的增大而增大，故D 选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与x 轴的交点，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a b c 、、之间的关系是解题的关键．
6、D
【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180度之后与自身重合称为中心对称，轴对称是折叠后能够与自身完全重合称为轴对称，根据定义去解题.
【详解】解：A 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D 、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选：D ．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形和轴对称图形的定义.
7、A
【分析】根据正方体展开图的11种形式，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A 、不是正方体展开图，符合题意；
B 、是正方体展开图，不符合题意；
C 、是正方体展开图，不符合题意；
D 、是正方体展开图，不符合题意．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了正方体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
8、B
【分析】由题意根据关于原点对称点的坐标特征即点的横纵坐标都互为相反数即可得出答案．
【详解】解：点P 的坐标为（3，-5）关于原点中心对称的点p '的坐标是（-3，5），
故选：B ．
【点睛】
本题考查点关于原点对称的点，掌握关于原点对称点的坐标特征即横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 9、A 【详解】∵抛物线21y (5)33x =--+
∴a ＜0，∴开口向下，
∴顶点坐标（5，3）．
故选A ．
10、D
【分析】根据菱形的性质可求得BO 、AO 的长，AC ⊥BD ，根据勾股定理可求出AB ，进而可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB =BC =CD =DA ，132==BO BD ，142
AO AC ==，AC ⊥BD ，
则在Rt △ABO 中，根据勾股定理得：5AB ==，
∴菱形ABCD 的周长=4×
5=1． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和勾股定理，属于基础题目，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
11、A
【分析】根据“二次函数在y 轴左侧y 随x 的增大而增大”求出a 的取值范围，然后解分式方程，最后根据整数解及a 的范围即可求出a 的值，从而得到结果．
【详解】∵关于x 的二次函数2
(2)3y x a x =-+--在y 轴左侧y 随x 的增大而增大，
202(1)a -∴-
≥⨯-，解得2a ≥， 把21111ax x x +-=--两边都乘以1x -，得211ax x +-+=-， 整理，得(1)4a x -=-，
当1a ≠时，41
x a =--， 1x ≠，
∴使x 为整数，且2a ≥的整数a 的值为2、3、5，
∴满足条件的整数a 的和为23510++=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质与对称轴，解分式方程，解分式方程时注意符号的变化．
12、A
【解析】试题分析：先将原抛物线化为顶点式，易得出与y 轴交点，绕与y 轴交点旋转180°，那么根据中心对称的性质，可得旋转后的抛物线的顶点坐标，即可求得解析式．
解：由原抛物线解析式可变为：
， ∴顶点坐标为（-1，2），
又由抛物线绕着原点旋转180°，
∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点原点中心对称，
∴新的抛物线的顶点坐标为（1，-2），
∴新的抛物线解析式为：
． 故选A ．
考点：二次函数图象与几何变换．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、21y x =-+
【分析】先确定抛物线y ＝x 2﹣2的二次项系数a= 1，顶点坐标为（0，﹣2），向上平移一个单位后（0，﹣1），翻折后二次项系数a= -1，顶点坐标变为（0，1），然后根据顶点式写出新抛物线的解析式．
【详解】抛物线y ＝x 2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），点（0，﹣2）向上平移一个单位所得对应点的坐标为（0，﹣1），点（0，﹣1）关于x 轴的对称点的坐标为（0，1），
因为新抛物线的开口向下，
所以新抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+1．
故答案为：y ＝﹣x 2+1．
【点睛】
此题考查抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，翻折口开口方向改变，但是大小没变，因此二次项系数改变的只是符号，正确掌握平移的规律并运用解题是关键．
14、－1
【详解】设一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根x 1=1，另一根为x 2，
则，x 1+x 2=-b a
=-2， 解得，x 2=-1．
故答案为-1．
15、20
【解析】先设出白球的个数，根据白球的频率求出白球的个数，再用总的个数减去白球的个数即可．
【详解】设黄球的个数为x 个，
∵共有黄色、白色的乒乓球50个，黄球的频率稳定在60%， ∴x 50
＝60%， 解得x ＝30，
∴布袋中白色球的个数很可能是50－30＝20(个).
故答案为：20.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
16、()2
561x -=31.1
【分析】根据题意，第一次降价后的售价为()561x -，第二次降价后的售价为()2561x -，据此列方程得解． 【详解】根据题意，得：
()2561x -=31.1
故答案为：()2561x -=31.1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键是理解第二次降价是以第一次降价后的售价为单位“1”的．
17
【解析】试题分析：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB ∥CD ．
∴△ABE ∽△DCE ．∴BE AB EC CD =． ∵在Rt △ACB 中∠B=45°，∴AB=AC ． ∵在RtACD 中，∠D=30°，∴AC CD 3AC tan30=
=︒． ∴BE AB AC 3EC CD 33AC ===． 18、0
【分析】根据一元二次方程根的判别式∆的正负判断即可.
【详解】解：原方程可变形为2440x x m ++-=，由题意可得
164(4)40m m ∴∆=--==
所以0m =
故答案为：0
【点睛】
本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式与一元二次方程的根的情况是解题的关键.
三、解答题（共78分）
19、这个小组测得大楼AB 的高度是31 m.
【分析】过点D 作DE AB ⊥于点E ，本题涉及到两个直角三角形△BDE 、△ADE ，通过解这两个直角三角形求得DE 、AE 的长度，进而可解即可求出答案．
【详解】过点D 作DE AB ⊥于点E ，
则12m BE CD ==，
在Rt BDE 中，30BDE ︒∠=，
∵tan BE BDE DE ∠=，∴123an 30DE ︒==，∴123DE =. 在Rt ADE 中，42ADE ︒∠=，
∵tan AE ADE DE ∠=，tan 420.9123AE ︒=≈， ∴1230.918.68m AE =⨯≈，
∴18.681231m AB AE BE =+=+≈.
答：这个小组测得大楼AB 的高度是31 m.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题．
20、（1）13；（2）13 【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）利用列举方法找出所有的可能情况，再找两位同学恰好在同一个公园游玩的情况个数，即可求出所求的概率．
【详解】解：（1）甲去A 公园游玩的概率为
13； 故答案为：13
. （2）列树状图如下：
共有9种等可能结果，其中甲、乙恰好在同一个公园游玩的有3种，
∴其概率为
3193=. 【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 的概率()m P A n
=
． 21、-1 【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式＝33﹣2）﹣12
＝3﹣3﹣12
＝﹣1．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22、（1）b=1，c=6；（2）0＜m ＜2或m ＜-1；（2）-1＜m≤1且m≠0，
（3）m 的值为：12
【分析】（1）求出A 、点B 的坐标代入二次函数表达式即可求解；
（2）当0＜m ＜2时，以PQ 为边作正方形PQMN ，使MN 与y 轴在PQ 的同侧，此时，N 点在直线AB 上，同样，当m ＜-1，此时，N 点也在直线AB 上即可求解；
（2）当-1＜m ＜2且m≠0时，PQ=-m 2+m+6-（-m+2）=-m 2+2m+2，c=3PQ=-3m 2+8m+12即可求解；
（3）分-1＜m≤2、m≤-1，两种情况求解即可．
【详解】（1）把y=0代入y=-x+2，得x=2．
∴点A 的坐标为（0，2），
把x=-1代入y=-x+2，得y=3．
∴点B 的坐标为（-1，3），
把（0，2）、（-1，3）代入y=-x 2+bx+c ，
解得：b=1，c=6；
（2）当0＜m ＜2时，
以PQ 为边作正方形PQMN ，使MN 与y 轴在PQ 的同侧，此时，N 点在直线AB 上，
同样，当m ＜-1，此时，N 点也在直线AB 上，
故：m 的取值范围为：0＜m ＜2或m ＜-1；
（2）当-1＜m ＜2且m≠0时，
PQ=-m 2+m+6-（-m+2）=-m 2+2m+2，
∴c=3PQ=-3m 2+8m+12；
c 随m 增大而增大时m 的取值范围为-1＜m≤1且m≠0，
（3）点P （m ，-m 2+m+6），则Q （m ，-m+2），
①当-1＜m≤2时，
当△PQM 与y 轴只有1个公共点时，PQ=x P ，
即：-m 2+m+6+m-2=m ，
解得：m =； ②当m≤-1时，
△PQM 与y 轴只有1个公共点时，PQ=-x Q ，
即-m+2+m 2-m-6=-m ，整理得：m 2-m-2=0，
解得：m =， ③m ＞2时，
同理可得：32
m ±=（舍去负值）； ④当-1＜m ＜0时，
PQ=-m ，
解得：32
m =
故m 【点睛】 此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形和正方形相关知识，本题解题的关键是通过画图确定正方形或三角形所在的位置，此题难度较大．
23、（1）A 点坐标为(4，0)，D 点坐标为(－2，0)，C 点坐标为(0，－3)；（2）(2,3)-或(1或(1；
（3）在抛物线上存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P 的坐标为(－2，0)或(6，6)．
【分析】（1）令y=0，解方程23
33084
x x --=可得到A 点和D 点坐标；令x=0，求出y=-3，可确定C 点坐标； （2）根据两个同底三角形面积相等得出它们的高相等，即纵坐标绝对值相等，得出点M 的纵坐标为：3±，分别代入函数解析式求解即可；
（3）分BC 为梯形的底边和BC 为梯形的腰两种情况讨论即可.
【详解】（1）在233384y x x =--中令2330384
x x =--，解得122,4x x =-=， ∴A(4，0) 、D(－2，0). 在233384
y x x =--中令0x =，得3y =-， ∴C (0，－3)；
（2）过点C 做x 轴的平行线a ，交抛物线与点1M ,做点C 关于x 轴的对称点C ',过点C '做x 轴的平行线b ，交抛物线与点23M M 、,如下图所示：
∵△MAD 的面积与△CAD 的面积相等，且它们是等底三角形
∴点M 的纵坐标绝对值跟点C 的纵坐标绝对值相等
∵点C 的纵坐标绝对值为：33-= ∴点M 的纵坐标绝对值为：3m y =
∴点M 的纵坐标为：3±
当点M 的纵坐标为3-时，则2333384
x x -=-- 解得：2x =或0x =（即点C ，舍去）
∴点1M 的坐标为：(2,3)-
当点M 的纵坐标为3时，则2333384
x x =
-- 解得：117x =±
∴点2M 的坐标为：(117,3)+，点3M 的坐标为：(117,3)-
∴点M 的坐标为：(2,3)-或(117,3)+或(117,3)-；
（3）存在，分两种情况：
①如图，当BC 为梯形的底边时，点P 与D 重合时，四边形ADCB 是梯形，此时点P 为(－2，0).
②如图，当BC 为梯形的腰时，过点C 作CP//AB ，与抛物线交于点P ，
∵点C ，B 关于抛物线对称，∴B(2，－3)
设直线AB 的解析式为11y k x b =+，则111140{23k b k b +=+=-，解得113{26k b ==-. ∴直线AB 的解析式为362y x =
-. ∵CP//AB ，
∴可设直线CP 的解析式为32y x m =
+. ∵点C 在直线CP 上，
∴3m =-.
∴直线CP 的解析式为332
y x =-. 联立2332{33384y x y x x =
-=--， 解得110{3
x y ==-，226{6x y == ∴P(6，6).
综上所述，在抛物线上存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶点的四边形为梯形，点P 的坐标为(－2，0)或(6，6). 考点：1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.轴对称的应用（最短线路问题）；5.二次函数的性质；6.梯形存在性问题；7.分类思想的应用.
24、（1）A （﹣3，0），B （1，0）；（2）存在符合条件的点E ，其坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣2，2）或（﹣1，﹣2）．
【分析】（1）令y=0可求得相应方程的两根，则可求得A、B的坐标；
（2）可先求得P点坐标，则可求得点E到AB的距离，可求得E点纵坐标，再代入抛物线解析式可求得E点坐标．
【详解】（1）令y=0，则1
2
x2+x
3
2
-=0，
解得：x=﹣3或x=1，∴A(﹣3，0)，B(1，0)；（2）存在．理由如下：
∵y
1
2
=x2+x
31
22
-=-(x+1)2﹣2，
∴P(﹣1，﹣2)．
∵△ABP的面积等于△ABE的面积，
∴点E到AB的距离等于2，
①当点E在x轴下方时，则E与P重合，此时E(﹣1，﹣2)；
②当点E在x轴上方时，则可设E(a，2)，
∴1
2
a2+a
3
2
-=2，解得：a=﹣1﹣22或a=﹣1+22，
∴E(﹣1﹣22，2)或E(﹣1+22，2)．
综上所述：存在符合条件的点E，其坐标为(﹣1﹣22，2)或(﹣1+22，2)或(﹣1，﹣2)．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质及与坐标轴的交点，分别求得A、B、P的坐标是解答本题的关键．
25、（1）证明见解析；（2）1
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠OAC＝30°，∠BCA＝10°，根据平行线的性质得到∠EAC=10°，求出∠OAE ＝90°，可得AE是⊙O的切线；
（2）先根据等边三角形性质得AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝10°，由四点共圆得∠ADF＝∠ABC＝10°，得△ADF是等边三角形，然后证明△BAD≌△CAF，可得CF的长．
【详解】证明：（1）连接OA，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠OAC=30°，∠BCA=10°，
∵AE ∥BC ，
∴∠EAC=∠BCA=10°，
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+10°=90°，
∴AE 是⊙O 的切线；
（2）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC ，∠BAC=∠ABC=10°，
∵A 、B 、C 、D 四点共圆，
∴∠ADF=∠ABC=10°，
∵AD=DF ，
∴△ADF 是等边三角形，
∴AD=AF ，∠DAF=10°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD ，即∠BAD=∠CAF ，
在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAF ，
∴BD=CF=1．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆，切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键．
26、（1）①②③④；（2）60︒；（3）2BAC F ∠=∠，证明见解析
【分析】（1）通过旋转的性质可知①②③④正确；
（2）可结合题意画出图形使BE=CF ，然后通过测量得出猜想，再证明△BEF′是等边三角形即可证明；
（3）结合（2）可进一步猜想，若∠F'=∠BED 则可推出BE=CF ，结合三角形外角的性质可知2BAC F ∠=∠时∠F'=∠BED ，依此证明即可．
【详解】解：(1)如图①，根据旋转的性质，知①②④都是正确的，
根据旋转的性质可得∠A′=∠A ，
∴A′B′∥AB ，③正确，
故答案为：①②③④．
(2) ∠F等于60°度时，BE=CF．
证明如下：
∵D是BC的中点，
∴BD=DC,
如下图，将△CDF，绕点D旋转180°后，得到△BDF′，
由旋转的性质可知，∠C=∠F′BC，CF=BF′
∴CF∥BF′，∠F′=∠F=60°，
∴∠CAB+∠ABF′=180°，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABF′=60°，
∴∠F′ EB=120°-∠ABF′-∠F′=60°，
∴△BEF′是等边三角形，
∴BE=BF′=CF．
(3)数量关系:∠BAC=2∠F.
证明如下:作△DBF'与△FCD关于点D成中心对称，如下图,
则∠F'=∠F，FC=BF'，
∵∠BAC=2∠F，∠BAC=∠F+∠FEA，
∴∠F=∠FEA，
∴∠F'=∠F=∠BED=∠FEA,
∴BE=CF．
【点睛】
本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质．理解旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变是解决（1）的关键．（2）中能结合题意画出对应图形，正确猜想是解题关键；（3）中主要是要理解等腰三角形“等角对等边”．。