重庆市西南大学附属中学20221届高三定时训练(十)数学错题重做(11.24)

西南大学附属中学高2021级定时训练（十） 数学错题重做
（满分：100分 考试时间：60分钟） 2020年11月24日
一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）
1．抛物线21
8
y x =的准线方程是( )
A ．y ＝－2
B ．y ＝2
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
2．双曲线
2
2
22
164x y
m m
-=- (0<m<4)的焦距为( ) A ．6 B ．16 C ．36 D ．236－2m 2 3．据记载，欧拉公式cos sin ()ix e x i x x R =+∈是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x π=时，得到一个令人着迷的优美恒等式10i e π+=，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e ，圆周率π，虚数单位i ，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z=34i e π
的共轭复数为z ，则z =（ ）
A ．22
22i --
B ．22
22i -+
C ．22
22i +
D ．22
22
i -
4．若x ，1a ，2a ，y 成等差数列，x ，1b ，2b ，3b ，y 也成等差数列，其中x y ≠，
则
21
21a a b b -=-（ ） A ．
23
B ．
43 C ．53
D ．3
5、设12,F F 分别是双曲线2
214
x y -=的左、右焦点,点P 在双曲线上,当12F PF △的面
积为1时,12PF PF ⋅的值为( ) A.0
B.1
C.1
2
D.2
6．已知直线0(0)x y a a +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有||||OA OB AB +≥，那么a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞
B ．(2,)+∞
C ．[2,22)
D ．[2,22)
7．双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线C 的
右支上一点．以O 为圆心a 为半径的圆与1PF 相切于点M ，且1PM FM =，则该双曲线的渐近线为（ ）
A ．2y x =±
B ．y x =±
C ．3y x =±
D ．3y x =± 8、已知直线:4360l x y -+=和抛物线2:4C y x =，P 为C 上的一点，且点P 到直线l 的距离与点P 到抛物线C 的焦点的距离相等，那么这样的点P 有（ ） A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
二．多选题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，部分选对得3分）
9．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则( )
A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x
B ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1
C ．点P 的横坐标为±1
D ．△PF 1F 2的面积为 2
10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进
入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨
进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道III 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，则下列式子正确的是（ ）
A ．1122a c a c +=+
B ．1122a c a c -=-
C ．1212
c a a c >
D ．12
12
c c a a <
11．设A ，B 是抛物线2y
x 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ）
A ．若OA O
B ⊥，则2OA OB ≥ B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)
C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1
D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且1
3
AF =，则||1BF =
12．把方程
||
||14
x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有（ ）
A ．函数()f x 的图象不经过第三象限
B ．函数()f x 在R 上单调递增
C ．函数()f x 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1
D ．函数()()2g x f x x =+不存在零点
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13．若双曲线
()2
2
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线与直线2y x =垂直，则其离心率为__________．
14．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若120C =
，a =
b =AB 边上的高的长度为______.
15．已知点P 是抛物线24y x =上动点，且点P 在第一象限，F 是抛物线的焦点，
点A 的坐标为()1,0-，当PF
PA
取最小值时，直线AP 的方程为______．
16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足31
3
a =，()()1112n n a a +++=，则1a =
_______；12S =___________．
四．解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
17．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
(
)()
cos cos sin a B C A C a -=-.
（1）求角A ；
（2）若ABC ∆的周长为8
，求ABC ∆的面积.
18．已知曲线22
:
152
x y C m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆. （1）求m 的取值范围；
（2）设3m =，过点()0,2P 的直线l 交椭圆于不同的两点A ，B （B 在A ，P 之间），且满足PB PA λ=，求λ的取值范围.
西南大学附属中学高2021级定时训练（十） 数学错题重做
1. A
2.答案 B 解析 c 2＝64－m 2＋m 2＝64，∴c ＝8.双曲线的焦距为16. 3．A 【详解】欧拉公式cos sin ()ix e x i x x R =+∈
，则
34
co 3344s
n si i z i e
π
ππ==+=
，根据共轭复数定义可知z =， 4．B 【详解】因为在等差数列中，()n m a a n m d -=-，所以()121
3
y a x a -=
-，()211
4
y x b b =--， 即
()()21211
43134
y x a a b b y x --==--. 故选：B ．
5.【答案】A 【解析】不妨设(,)(,0)P P P P P x y x y >,由1212P c y ⨯⨯=,得5
P y =
,∴2305,P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,∴123055,PF ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭,223055,PF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭
,120PF PF ⋅=. 6．C 【详解】设AB 的中点为C ，因为||||OA OB AB +，所以||||OC AC ，
因为||2
OC =
，所以22
2||||2(
)2
4AC OC =≤+，所以2a -或2a ，
因为直线与圆相交，所以22
<，所以2222a -<<， 因为0a >，所以实数a 的取值范围是[2，22)，
7．A 【详解】如图，连接2PF 、OM ，∵M 是PF 的中点， ∴OM 是12PF F △的中位线，∴2OM //PF ，且22||2PF OM a ==， 根据双曲线的定义，得122PF PF a -=，∴1224PF PF a a =+=， ∵1PF 与以原点为圆心a 为半径的圆相切，∴1OM PF ⊥，可得21PF PF ⊥，
12PF F △中，2
2
2
1212PF PF F F +=，即得2
2212(4)(2)a a F F +=，
2
2212(2)20c F F a ∴==，解得225c a =，即22224b c a a =-=，得2b a =. 由此得双曲线的渐近线方程为2y x =±.
8.【答案】C 【解析】由题意设2,4P y y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则由抛物线的定义得点P 到抛物线
C 的焦点的距离等于点P 到准线1x =-的距离，其值为
2
14
y
+，点P 到直线l 的距离为2
2436436
55
y y y y ⨯-+-+=则22
36
145
y y y -++=，化简得21240y y +-=，()212441600∆=-⨯-=>，则满足条件的点P 有两个，故
选C. 9. 答案 ACD
解析 本题考查双曲线的几何性质．等轴双曲线C ：y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x，故A 正确．由双曲线的方程可知|F 1F 2|＝22，所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，故B 错误．点P(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上，不妨设点P(x 0，y 0)
在直线y ＝x 上，所以⎩⎨⎧x 20＋y 2
0＝2，
y 0＝x 0，
解得|x 0|＝1，则点P 的横坐标为±1，故C 正
确．由上述分析可得△PF 1F 2的面积为1
2×22×1＝2，故D 正确．故选ACD.
10．BC 【详解】由题图可得12121122,,>>∴+>+a a c c a c a c ，故A 不正确；
11221122||,||,=-=-∴-=-PF a c PF a c a c a c ，故B 正确；
由1122a c a c -=-得()()22
1221a c a c +=+，即2222
1112222122a c a c a c a c -+=-+，
11．ACD
设直线AB 方程为y kx b =+，将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，利用韦达定
理，结合直线垂直的条件，逐一分析判断得解. 【详解】
B.设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，得20x kx b --=，
则12x x k +=，12x x b =-，
OA OB ⊥，1OA OB k k b ∴=-=-，1b =．
于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确； C.O 到直线AB 的距离2
11d k
=
+，即C 正确；
A.22222424221122112212||||()()()()(1)(1)OA OB x y x y x x x x x x =++=++=++
=．||||2OA OB ∴
正确； D.由题得11111,4312y y +
=∴=,
所以211==12x x ∴±，
x =.
所以11
36
k -
==-，所以直线AB
的方程为14
y x =+
，所以14b =. 由题得2
12121211111||()2244222AB y y y y k x x b k b =+++=++=+++=++
=1114
++=3223
. 所以41
||133
BF =
-=.所以D 正确. 即22
12
11222112211212
22,,,+=+>∴>∴
>c c b a c b a c b b a c a c a a ，故C 正确，D 不正确． 12．ACD 【详解】由题意，方程||
||14x x y y +=， 当0,0x y ≥≥时，2
214x y +=，表示椭圆在第一象限的部分；
当0,0x y ><时，2
214x y -=，表示双曲线在第四象限的部分；
当0,0x y <>时，2
214x y -+=，表示双曲线在第二象限的部分； 当0,0x y <<时，2
214
x y --=，此时不成立，舍去，
其图像如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A 是正确的； 由函数的图象可得，该函数在R 为单调递减函数，所以B 不正确；
由图象可得，函数()f x 的图象上的点P 到原点的距离的最小的点在0,0x y ≥≥的图象上，
设点(,)P x y ，则点P 满足0,0x y ≥≥时，22
14
x y +=，即2214x y =-
则PO ===当0x =时，min 1PO =，所以C 正确； 令()0g x =，可得()20f x x +=，即()1
2
f x x =-，
则函数()()2g x f x x =+的零点，即为函数()y f x =与1
2y x =-的交点，
又由直线12y x =-为双曲线22
14x y -=和2214
x y -+=渐近线，
所以直线1
2y x =-与函数()y f x =没有交点，即函数()()2g x f x x =+不存在零
点，
所以D 是正确的. 故选：ACD.
13
．
7
【详解】由余弦定理得2222cos 3122c a b ab C =+-=+-21=
，c =
1333
3232ABC
S =⨯⨯⨯=
△，所以AB 边上的高的长度为333721
=. 14.【答案】5
【解析】因为渐近线方程
b y x a =±，所以12b a =，则2a b =，2
2
2
55c a b b b
=+==，故离心率为52c b a b
==5．故答案为5
． 15．10x y -+=
【详解】由题意，抛物线的方程24y x =可得焦点(1,0)F ，()1,0A -在准线上， 过抛物线上的点P 作PD 垂直与准线交于D 点，由抛物线的定义，可得PF PD =， 在PAD △中，
cos cos PD
DPA PAF PA
=∠=∠， 所以PD PA
最小时，则cos PAF ∠最小，此时PAF ∠最大，
而PAF ∠最大时即过点A 的直线与抛物线相切， 设过()1,0A -与抛物线相切的直线方程为(1)y k x =+，
联立方程组2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，整理得
2
440y y k -+=， 则2
4()440k ∆=--⨯=，解得1k =±，
又由点P 在第一象限，所以1k =，
所以直线AP 的方程为1y x =+，即10x y -+=. 故答案为：10x y -+=.
16．1
3
5
【详解】依题意，设1n n b a =+，则334
3
1a b =+=
，12n n b b +=，故23232b b ==，
1224
3b b =
=，故1a =1113
b -=； 因为12n n b b +=，14
3
b =，232b =，故以此类推，n 是奇数，43n b =，故13n a =，
n 是偶数，32n b =
，故12n a =，所以()12121166532S a a ⎛⎫
=+=⨯+= ⎪⎝⎭
. 故答案为：1
3
；5.
17. (1)60A =︒;(2)
43
. 【详解】（1）由()()
cos cos 23sin a B C A b C a -=-， 得()cos cos 23sin cos a B C a A b C A -+=， 即()()cos cos 23sin cos a B C a B C b C A --+=，
所以()cos cos sin sin cos cos sin sin a B C a B C a B C B C +-- 23sin cos b C A = 即sin sin 3sin cos a B C b C A =，因为sin 0C ≠，所以sin 3cos a B b A =. 由正弦定理得sin sin 3sin cos A B B A =，
因为sin 0B ≠，所以sin 3cos A A =，所以tan 3A =，得60A =︒. （2）因为ABC ∆的外接圆半径为3， 所以3
2sin 233a R A ==⨯⨯
=，所以5b c +=， 由余弦定理得()2
2222cos 22cos60a b c bc A b c bc bc =+-=+--︒ ()2
3b c bc +- 所以()2
2325916bc b c a =+-=-=，得163
bc =
， 所以ABC ∆的面积1116343
sin 22323
S bc A ==⨯⨯=
.
18．（1）72,2⎛⎫
⎪⎝⎭；（2）1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 【详解】（1）因为曲线22
:152
x y C m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，
所以50,
20,52,
m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩
解得：722m <<，
所以m 的取值范围是72,2⎛⎫
⎪⎝⎭
；
（2）因为3m =，所以椭圆方程为：2
212
x y +=；
当直线l 的斜率不存在时，即直线:0l x =，此时()0,1A -，()0,1B ，
由PB PA λ=解得：1
3
λ=；
当直线l 的斜率存在时，设直线:2l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立直线l 与椭圆2
21,:22,x y C y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消y 得()2
21860k x kx +++=，
所以1221228216
21k x x k x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=⎪+⎩
，>0∆，即2230k ->，解得2
32k >，
由PB PA λ=，得2
1
x x λ=
， 而()2
12
2112
121
22x x x x x x x x λλ
+=
++=++⋅， 即()()2
2
2212
212
2
281
6432212222616213221k x x k k x x k k k λλ
⎛
⎫- ⎪++⎝⎭+
=-=-=-=-⋅⎛⎫++ ⎪+⎝
⎭， 又2322
132k -⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭在2
3,2k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
所以1
10
23λλ
<+
<
，又B 在A ，P 之间，即01λ<<，解得：113
λ<<； 综上所述，λ的取值范围是1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭.。