2015工程制图基础-2_200209173

判断可见性 由水平投影看出，NK段直 线在平面之前，则n' k' 为可见， 画粗实线；m' k'与平面重影部 分为不可见，画虚线。 21
N C
M
例15：求铅垂线EF与△ABC的交点K。
e′ k′ b′ d′ c′ b
分析
交点是平面与直线的公有 点，则交点K的水平投影必与 直线的积聚性投影重合。用平 面上取点的方法即可求出k′。 作图 1、在水平投影上确定交点k；
判断可见性
判断可见性可借助于重影点，即 判断哪个投影的可见性，就取对该投 影面的重影点，再通过另一投影来判 断。 判断水平投影的可见性需取对水 平面的重影点，如M、N；点M、N分别 在直线EF和AC上。 由正面投影得知点M在点N上方， 则mf可见，为粗实线；kn不可见，为 虚线。依此类推。 25
e
A
例6：试完成平行四边形ABCD的投影。
DC四边形 AB，且过面上点 D, BC ∥ AD，且过面上点 ABCD 即为所求 B, 直线 DI在面上！ DE 为所求 DC在AB ╳ AD平面上 BC
8 8
三. 属于平面的直线和点
例7：已知平面ABC，试在该平面上任作一直线。
b′ m′ n′ c′ 分析 在平面上作直线，可有两种思路： （1）由平面上的两点确定直线 （2）由平面上一点及任一直线确定直线 作图 方法一 1、在AB上取点M，在AC上取点N； 2、连接点M、N；MN即为所求。 直接利用平面上的已知点作图更 为简便，如连接点B、C或连接 点M、C等。 方法二 过点B作直线BD∥AC，BD即为所求。
平面 ∥ 直线 ∥ 平面 ∥ 平面 直线 平面 平面 平面 直线 平面
√ √ √ √ √ √ √
11
平行问题
直线∥平面 平面∥平面
12
5.1 平行问题
一．直线与平面平行 定 理 若直线平行于平面上的任一直线， 则该直线与该平面平行。
反之，若直线平行于平面，则在平面内必 可作一直线与该直线平行 。
c
定理2：若一直线与某一投影面垂直面平行，则该直线必有一 个投影与平面具有积聚性的那个投影平行。 如果直线的投影与投影面垂直面具有积聚性的投影相互平 行，则此直线与该平面平行。 A B Q
a b QH
例11：判断图中的直线 与△平面平行否。 (a) (b) (c)
15
二．平面与平面平行
定 理 若两个平面上的两条 相交直线相互平行， 则此二平面互相平行。
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例18：求正垂面DEF与一般位置平面ABC的交线。
a′ l′ k′ m′ e′ n′ c′ a d k l m(n) c L F B K E C f b 分析 f′ b′
d′
正垂面DEF的正面投影积聚成直 线；交线是两平面的公有线；则交 线的正面投影必与该直线重合。 作图
1、取两平面的公有点K、L的正面投影 k′、l′； 2、求作k、l； 3、连接直线kl；KL即为所求。
1．直线与平面相交
相交的 核心问 题是求 公有点
A E
B
K F C
交点是直线与平面的公有 点，即：交点即在直线上也在 平面上。 直线通过交点后，可见 性会发生变化，被平面遮挡 的部分不可见了。
这里仅讨论直线或平面至少其一具有积聚性投 影的情况。此时交点必在具有积聚性的投影上。
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5.2 相交问题
一. 有一个几何元素垂直于投影面的情况
1．直线与平面相交
例14:△ABC为铅垂面，求直线MN与△ABC的交点。
a′ b′ m′ k′ c′ c ak A B K n′ 分析
m
b
n
交点是平面与直线的公 有点，则水平投影中，平面 的积聚性投影与mn的交点即 为直线与平面的交点。 作图 1、在水平投影上确定交点k； 2、根据投影对应关系确定k′；
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例10： ①过点K作一直线平行于平面（AB ╳ CD)。 ②过点K作一水平线平行于面（AB ╳ CD)。
c' i' a'
b' d' e'
k'
f'
X
a d k f e i b
O
① 解题步骤： 作 KE∥AB, 则KE∥(AB ╳ CD)。 ② 解题步骤： • 先作面上任一水平线 IB • 再作 KF∥IB, 则水平线 KF ∥(AB ╳ CD)。
n
相交问题
直线 平面 平面 平面
18
直线与平面相交—交点为共有点 平面与平面相交—交线为共有线 求交问题的本质是求共有点 几何元素相对 投影面的位置 均不具有 积聚性投影 至少其一具有 积聚性投影 特殊位置的相交问题
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一般位置的相交问题
5.2 相交问题
一. 有一个几何元素垂直于投影面的情况
C
A B a b
θ
C
θ＝ θ
A
B
θ
C
θ1
c a
θ2
c
c
θ1 ≠ θ2
b
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2．直角的投影
若直角的一个边为投影面的平行线，则该直角 在该投影面上的投影为直角。
证明:
已知 ABBC，BC∥H， AB 倾斜于 H ∵ BCAB, BC∥H ∴ BCBb BCQ(AB ╳ Bb) 又 bc∥BC ∴ bcQ ∴ bcab B
c'
X
a 1 3 b k l 4 2 1
15 O 10
1'
X
b b 1 a a
c' c' c c
d' d'
O
c
d d
10
第5章 几何元素间的相对位置关系
点、直线、平面之间的相对位置 点 直线 点 平面 从属关系
平行关系
相交关系
垂直关系
直线 直线 直线 平面 直线 直线 平面 直线 直线 平面
a
b
e e
f
c
c
a d b d′
f a′ h′
c′
⑵ 一般位置平面与特殊位置 平面相交，可利用特殊位 置平面的积聚性找出两平 面的两个共有点，求出交 线。
b′ e′ a
f′
h(f) b d(e)
c
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垂直问题
直线 平面 直线 直线 平面 平面
30
5.3 垂直问题
一．直角的投影特性 1. 任意角的投影 一般情况下：角的投影≠角的实际大小。 角的两边均平行于投影面： 角的投影＝角的实际大小。
Q
.
C
.
c H
A .b a
bc垂直于Q面上所有直线 在H投影面上的投影。
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例19：判断两直线是否垂直。
.
பைடு நூலகம். .
.
( ) ( )
(╳ )
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例20: 已知CD及A，求做AB与CD垂直相交。
c'
. b'
a' d'
分析： CD∥V ： a’b’与c’d’ 垂直相交。 解题步骤： • 过a’ 做a’b’⊥c’d’，交c’d’ 于b’
X
a’
Z c'
a”
c”
O
b’
c b
b”
YW
a
H
YH
铅垂面的投影特性： 垂直于H ：在H上投影投影积聚，且与轴倾斜； 倾斜于V、W：在 V 、W上投影类似于空间的面。
5
②投影面垂直面的投影
例3:已知△ABC为铅垂面且与V面成45°倾角 ，求作H、W面投影。
分析 b′ c′ a′ a
45°
b″ a″ c″
ABC为铅垂面，它 的H面投影积聚成直线， 并与OX轴成45° 作图
b c
1、过a作直线与OX轴 成45° 2、求H面投影 3、求W面投影
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③一般位置平面的投影
与三个投影面均倾斜的平面——一般位置平面。
Z
例4： 完成△ABC 的侧面投影。
X
a’
c' b’ O b”
a”
c” YW
b
a
c YH
一般位置面的投影特性： 与三个投影面均倾斜，所以三个投影都具有类似性。7
D
归纳
特殊位置相交问题的特点： 由于至少相交两元素之一具有积聚性投 影，因此交点或交线的一个投影可直接确定。
解题要点
利用积聚性投影，将求交问题转换成线 上取点或面上取点、线的问题求解。
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一、直线与平面的相对位置
⒈ 直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。 ⒉ 直线与平面相交
b n c c b n
这里仅讨论两平面中至少其一具有积聚性投影 的情况。此时可利用积聚性投影解题。
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2．平面与平面相交
例16:
a'
k'≡l' b'
例17:
b' c' a'
X
b k l
c'
X O
c a
O
a
c
小结： b 从有积聚性的投影出发 利用面上找点或线上找点的方法 在需判断可见性的投影上找重影点，来判断可见性
a c b d
• 求线 CD上点 B 的水平投影 b • 连ab ，则AB为所求
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定理：若直线垂直于平面上两条相交直线，则该 直线与该平面垂直。
a′ a m
n b′ c′ a′ a b b c d′
c d
9
2.属于平面的点
定理： 若点在属于平面的直线上，则点必在该面上。
例8： 例9： ①求属于△的点K的水平投影； 试完成四边形ABCD ②求属于△的距H面15,距V面 的投影。 15 10的点L。10 a' a' b' •面上画线 ① ② k' l' 1' 2' 1' •线上找点 b' a' b'