安徽师范大学附中2022-2023学年高一数学第一学期期末监测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．集合{|13}P x Z x =∈-<，{}2R |9M x x
=∈，则P ∩M 等于 A.{}1,2
B.{}0,1,2
C.1,0,1,2
D.{|03}x x ≤≤ 2．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是283
π，则它的表面积是
A.17π
B.18π
C.20π
D.28π
3．已知集合{}{}1,2,3,4,5,61,2,3U A ==，，集合A 与B 的关系如图所示，则集合B 可能是（ ）
A.{}2,4,5
B.{}1,2,5
C.{}1,6
D.{}1,3
4．已知命题p ：x R ∀∈，0x >，则p ⌝（ ）
A.x R ∃∈，0x ≤
B.x R ∀∈，0x ≤
C.x R ∃∉，0x ≤
D.x R ∃∈，0x >
5．已知函数()123,042,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨---≤⎪⎩，若方程()()230f x bf x -+=有8个相异实根，则实数b 的取值范围为（） A.()2,4 B.723,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭ C.()23,4 D.72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
6．函数()44x f x x e =--（e 为自然对数的底）的零点所在的区间为
A.() 1,2
B.() 0,1
C.(1,0)-
D.
(2,1)-- 7．已知a b R ∈、，且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.11a b <
B.ln ln a b >
C.22a b >
D.22a b > 8．函数y ＝sin （4
π-2x ）的单调增区间是（ ） A.3[8k ππ-，38k ππ+]（k ∈Z ） B.[8k ππ+，58
k ππ+]（k ∈Z ） C.[8k ππ-，38k ππ+]（k ∈Z ） D.3[8k ππ+，78
k ππ+]（k ∈Z ） 9．已知函数，给出下面四个结论：
①
的定义域是； ②
是偶函数； ③
在区间上单调递增； ④的图像与的图像有4个不同的交点.
其中正确的结论是（）
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②④ 10．已知函数()lg ,? 011,?
0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，则()()1f f -=
A.2-
B.0
C.1
D.1-
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f （x －1）是奇函数，且当01x <≤时，()20201log f x x
=，则1(2021)2020f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
________ 12．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games ），即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．某大学青年志愿者协会接到组委会志愿者服务邀请，计划从大一至大三青年志愿者中选出24名志愿者，参与北京冬奥会高山滑雪比赛项目的服务工作．已知大一至大三的青年志愿者人数分别为50，40，30，则按分层抽样的方法，在大一青年志愿者中应选派__________人.
13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20cm ，则扇形的周长为___cm.
14．若关于x 的不等式3231012x kx x x
->+-对任意的()0,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围为____________ 15．设函数f （x ）=2x 4x 2,x 0
x 5,x 0-+≥⎧+<⎨⎩
，则f （-1）+f （1）=______ 16．在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,2,4)A -关于平面yOz 的对称点是B ，点(3,1,1)C -和点(1,1,3)D -的中点是E ，则||BE =___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()sin33f x x x =，x ∈R
（1）求()f x 的单调递增区间.
（2）求()f x 在区间2,93ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的最大、最小值，并求出取得最值时x 的值. 18．已知函数22()3(cos sin )2sin cos f x x x x x =-+
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）设,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦，求()f x 的值域和单调递减区间 19．若函数()y f x =自变量的取值区间为[],a b 时，函数值的取值区间恰为33,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，就称区间[],a b 为()y f x =的一个“罗尔区间”.已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()4g x x =-+.
（1）求()g x 的解析式；
（2）求函数()g x 在()0,∞+内的“罗尔区间”；
（3）若以函数()g x 在定义域所有“罗尔区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，是否存在实数m ，使集合()(){}(){}2,|,|x y y h x x y y x m =⋂=+恰含有2个元素.若存在，求出实数m 的取值集合；若不存在，说明理由.
20．如图，有一块半径为4的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是圆O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，连接OC 两点，OC 与OB 所形成的夹角为θ.
（1）写出这个梯形周长y 和θ的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）求周长y 的最大值以及此时梯形的面积.
21．设函数()()()2
230f x ax b x a =+-+≠. （1）若(1)4f =，且,a b 均为正实数，求14a b
+的最小值，并确定此时实数,a b 的值； （2）若b R ∀∈满足()2
22
(1)32b f x a x a ab >--+-+在x ∈R 上恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C
【解析】先求出集合M 和集合P ，根据交集的定义，即得P M ⋂。

【详解】由题得{1,0,1,2}P =-，R 3{|3}x x M ∈-≤≤=，则{1,0,1,2}P M ⋂=-.
故选：C
【点睛】求两个集合的交集并不难，要注意集合P 是整数集。

2、A
【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的
18,即该几何体是78个球，设球的半径为R ，则37428R 833
V ππ=⨯=，解得R 2=，所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和,即22734221784πππ⨯⨯+⨯⨯=，故选A 【考点】三视图及球的表面积与体积
【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键. 3、D
【解析】由图可得B A ⊆，由选项即可判断.
【详解】解：由图可知：B A ⊆，
{}1,2,3A =，
由选项可知：{}1,3A ⊆，
故选：D.
4、A
【解析】直接利用全称命题的否定即可得到结论
【详解】因为命题p ：x R ∀∈，0x >，所以p ⌝：x R ∃∈，0x ≤.
故选：A .
5、B
【解析】画出()f x 的图象，根据方程()()230f x bf x -+=有8个相异的实根列不等式，由此求得b 的取值范围.
【详解】画出函数()f x 的图象如图所示，
由题意知，当2x =-时，()22f -=；当1x =时，()11f =.
令()t f x =，则原方程化为230t bt -+=.
∵方程()()230f x bf x -+=有8个相异实根，
∴关于t 的方程230t bt -+=在()1,2上有两个不等实根.
令()2
3g t t bt =-+，()1,2t ∈， ∴()()2Δ1201221407202b b g b g b ⎧=->⎪⎪<<⎪⎨=->⎪⎪=->⎪⎩
，解得7232b <<. 故选：B
6、B
【解析】分析：先判断函数的单调性，然后结合选项，利用零点的存在定理，即可求解.
详解：由题意，函数()44x
f x x e =--为单调递减函数， 又因为()030,(1)0f f e =>=-<，
由函数的零点判断可知，函数()f x 的零点在区间(0,1)，故选B.
点睛：本题主要考查了函数的零点的判定定理及应用，其中熟记函数的零点的存在定理是解答本题的关键，着重考查
了推理与计算能力，属于基础题.
7、D
【解析】对A ，C 利用特殊值即可判断；对B ，由对数函数的定义域即可判断，对D ，由指数函数的单调性即可判断.
【详解】解：对A ，令1a =，2b =-，
则满足a b >，但11a b >，故A 错误； 对B ，若使ln ln a b >，
则需满足0a b >>，但题中a b R ∈、，故B 错误；
对C ，同样令1a =，2b =-，
则满足a b >，但2214a b =<=，故C 错误；
对D ，2x y =在R 上单调递增，
∴当a b >时，22a b >，故D 正确.
故选：D.
8、D
【解析】先将自变量的系数变为正数，再由三角函数的单调性得出自变量所满足的不等式，求解即可得出所要的单调递增区间
【详解】y ＝sin （
4π-2x ）＝﹣sin （2x 4
π-） 令3222242k x k πππππ+-+＜＜，k ∈Z 解得3788
k x k ππππ++＜＜，k ∈Z 函数的递增区间是3[8k ππ+，78k ππ+]（k ∈Z ） 故选D
【点睛】本题考查正弦函数的单调性，求解本题的关键有二，一是将自变量的系数为为正，二是根据正弦函数的单调性得出相位满足的取值范围，解题时不要忘记引入的参数的取值范围即k ∈Z
9、D
【解析】可根据已知的函数解析式，通过求解函数的定义域、奇偶性、单调性和与的图像的交点个数即可判断.
【详解】函数，不难判断函数的定义域为R ，故①选项是正确的；
②选项，因为，所以，故②选项也是正确的；
选项③，在区间时，，而函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故选项不正确，排除选项；
选项④，可通过画出的图像与的图像，通过观察不难得到，两个函数图像有4个交点，因此，选项④正确.
故选：D.
10、C
【解析】根据自变量所在的范围先求出()110f -=，然后再求出()101f =
【详解】由题意得()111110f -=-+=，
∴()()()110lg101f f f -===
故选C
【点睛】根据分段函数的解析式求函数值时，首先要分清自变量所属的范围，然后再代入解析式后可得结果，属于基础题
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、1
【解析】由函数f (x )是定义在R 上的偶函数及f （x －1）是奇函数得到函数的周期，进而根据函数的性质求得答案.
【详解】根据题意，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则有f （－x ）＝f (x )，又f （x －1）是奇函数，则f （－x －1）＝－f （x －1），所以f （x ＋2）＝f [－（x ＋2）]＝f [－（x ＋1）－1]＝－f [（x ＋1）－1]＝－f (x )，即f （x ＋2）＝－f (x )，
则有f （x ＋4）＝－f （x ＋2）＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，则2020(2021)(12020)(1)log 10f f f =+===，202011log 2020120202020f f ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1(2021)0112020f f ⎛⎫+-=+= ⎪⎝⎭ 故答案为：1.
12、10
【解析】根据分层抽样原理求出抽取的人数
【详解】解：根据分层抽样原理知，502410504030⨯
=++， 所以在大一青年志愿者中应选派10人
故答案为：10
13、6π＋40
【解析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角310
πα=
，再由扇形的弧长公式，可得弧长l ，即可求解扇形的周长，得到答案. 【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角35410πα==
， ∴由扇形的弧长公式，可得弧长6l r απ=
⋅=，
∴扇形的周长为(640)cm π+. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
14、[]0,1
【解析】根据题意显然可知0k ≥，整理不等式得：102k x x <
-，令()102f x x x
=-，求出()f x 在()0,2x ∈的范围即可求出答案.
【详解】由题意知：2302kx x x +->，即22>-k x x 对任意的()0,2x ∈恒成立，0k ∴≥ 当()0,2x ∈，3
231012x kx x x
->+-得：233210kx x x x <+--， 即2
00+21x kx <-对任意的()0,2x ∈恒成立，即210210=2x k x x x -<-对任意的()0,2x ∈恒成立， 令()102f x x x
=-，()f x 在()0,2x ∈上单减，所以()()21f x f >=，所以1k ≤ 01k ∴≤≤.
故答案为：[]0,1
15、3
【解析】直接利用函数的解析式，求函数值即可
【详解】函数f （x ）=2x 4x 2,x 0
x 5,x 0-+≥⎧+<⎨⎩
， 则()()11f f -+=215142-++-+=3
故答案为3
【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力
16、【解析】先利用对称性求得点B 坐标，再利用中点坐标公式求得点E 坐标，然后利用两点间距离公式求解.
【详解】因为点(1,2,4)A -关于平面yOz 的对称点是(1,2,4)B ，
点(3,1,1)C -和点(1,1,3)D -的中点是(1,0,2)E -，
所以||BE ==，
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）252,318318k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
；（2）29x π=-或3x π=时()min f x =18x π=时()max 2f x = 【解析】分析：（1）先利用辅助角公式化简函数f(x)，再利用复合函数的单调性性质求()f x 的单调递增区间.（2）利用不等式的性质和三角函数的图像和性质求()f x 在区间2,93ππ⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦上的最大、最小值，并求出取得最值时x 的值.
详解：（1）()12sin3cos32sin 3223f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 由()232232k x k k z π
π
π
ππ-≤+≤+∈得()252318318
k k x k z ππππ-≤≤+∈， ∴()f x 的单调递增区间为252,318318k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （2）当293x ππ-
≤≤时，43333x πππ-≤+≤ 当333x ππ+=-或4333x ππ+=，
即29x π=-或3x π=时()min f x = 当332x ππ+=即18x π=时()max 2f x =
点睛：（1）本题主要考查三角函数的单调性和区间上的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数sin()y A wx h φ=++的最值.
18、（1）π；
（2）()f x
的值域为2⎡⎤⎣⎦，()f x 的递减区间为,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ 【解析】（1）先根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再求出周期即可；
（2）先根据x 的范围求得233x π
π
π-≤+≤，再结合正弦函数的性质可得到函数()f x 的值域，求得单调递减区间
【详解】（1）(
)2sin 22sin 2,3f x x x x T ππ⎛
⎫=+=+= ⎪⎝⎭
（2）∵,,23333x x πππππ⎡⎤∈-∴-≤+≤⎢⎥⎣⎦
，
sin 2123x π⎛⎫∴-
≤+≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴
的值域为2⎡⎤⎣⎦， 当3222232k x k π
ππππ+≤+≤+，即71212
k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈时, ()f x 单调递减，且,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
， 所以()f x 的递减区间为,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ 19、（1）()4,00,04,0x x g x x x x --<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩
；（2）[]1,3；（3）存在，{}84m m -≤≤-.
【解析】（1）根据()g x 为R 上的奇函数，得到()00g =，再由()0,x ∈+∞时，()4g x x =-+，设(),0x ∈-∞时，则()0,x -∈+∞代入求解.
（2）设0a b <<，易知()g x 在()0,∞+上单调递减，则()()3434g b b b g a a a
⎧==-+⎪⎪⎨⎪==-+⎪⎩，则a ，b 是方程34x x =-+的两个不等正根求解
（3）设[],a b 为()g x 的一个“罗尔区间”，且a ，b 同号，若0a b <<，由（2）可得，若0a b <<，同理可求，得
到()h x ，再根据集合()(){}(){}
2,|,|x y y h x x y y x m =⋂=+恰含有2个元素，转化为2y x m =+与()h x 的图象有两个交点，即方程24x m x +=-+在[]1,3内恰有一个实数根，方程24x m x +=-+，在[]3,1--内恰有一个实数根求解..
【详解】（1）因为()g x 为R 上的奇函数，∴()00g =，
又当()0,x ∈+∞时，()4g x x =-+，
所以当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，
所以()()()44g x g x x x =--=--+=--⎡⎤⎣⎦,
所以()4,00,0
4,0x x g x x x x --<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩
. （2）设0a b <<，∵()g x 在()0,∞+上单调递减， ∴()()3434g b b b g a a a
⎧==-+⎪⎪⎨⎪==-+⎪⎩，即a ，b 是方程34x x =-+的两个不等正根， ∵0a b <<，
∴13
a b =⎧⎨=⎩， ∴()g x 在()0,∞+内的“罗尔区间”为[]1,3.
（3）设[],a b 为()g x 的一个“罗尔区间”，则33a b b a
<⎧⎪⎨<⎪⎩，∴a ，b 同号. 当0a b <<时，同理可求()g x 在(),0-∞内的“罗尔区间”为[]3,1--，
∴()[][]4,1,34,3,1x x h x x x ⎧-+∈⎪=⎨--∈--⎪⎩
， 依题意，抛物线2
y x m =+与函数()h x 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限， 所以m 应当使方程24x m x +=-+在[]1,3内恰有一个实数根，
且使方程24x m x +=-+，在[]3,1--内恰有一个实数根，
由方程24x m x +=-+，即24x m x +=-+在[]1,3内恰有一根，
令()2
4F x x x m =++-，则()()120380F m F m ⎧=-≤⎪⎨=+≥⎪⎩，解得82m ； 由方程24x m x +=-+，即240x x m ++-=在[]3,1--内恰有一根，
令()2
4m x x G x ++-=，则()()1403100G m G m ⎧-=+≤⎪⎨-=+≥⎪⎩，解得104m --≤≤. 综上可知，实数m 的取值集合为{}84m m -≤≤-. 【点睛】关键点点睛：本题关键是对“罗尔区间”的理解，特别是根据()g x 在()0,∞+上单调递减，得到()()3434g b b b g a a a
⎧==-+⎪⎪⎨⎪==-+⎪⎩，转化为a ，b 是方程34x x =-+的两个不等正根求解 20、（1）216sin 16sin 1622y θ
θ=-++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
（2）20，123
【解析】（1）过点C 作CE OB ⊥，表示出28cos DC OE θ==，
8sin 2sin 2CE BC θπθ==-，即可写出梯形周长y 和θ的函数解析式；
（2）令sin 2t θ
=，结合二次函数求出y 的最大值，求出此时的θ，再计算梯形面积即可.
【小问1详解】
由题意得0,2πθ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
.半圆形钢板半径为4，则4OB OA OC ===，
过点C 作CE OB ⊥.在Rt OCE 和Rt BCE 中，
有4cos OE θ=，4sin CE θ=，28cos DC OE θ==.
在OBC 中，因为OB OC =，OBC 为等腰三角形，故2OCB OBC πθ
-∠=∠=，
所以sin 2CE BC πθ-=，8sin cos 4sin 228sin 2sin cos cos 222
CE BC θθθθπθθθ====-. 216sin 88cos 16sin 16sin 16222y θ
θ
θθ=++=-++，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. 【小问2详解】 由216sin 16sin 160222y θ
θπθ⎛⎫=-++<< ⎪⎝⎭.令sin 2t θ=
，则0t <<， 则()222116161616116202y t t t t t ⎛⎫=-++=---=--+ ⎪⎝⎭
. 则当12t =时，周长y 有最大值，最大值20，此时26
θπ=，3πθ=.
故梯形的高h CE ==4CD =，(
)12S AB DC h =+⋅⋅
=. 21、（1）14a b
+的最小值为3，此时1,2a b ==；（2）1a > 【解析】（1）由(1)4f =可得3a b +=，则由
()141143a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭结合基本不等式即可求出； （2）不等式恒成立等价于()2
22
202b x b x a ab +-+-+>对x ∈R 恒成立，利用判别式可得()2244440b a b a --+->对b R ∈恒成立，再利用判别式即可求出a 的范围.
【详解】（1）(1)234f a b =+-+=，则3a b +=，
(
)14114141553333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 当且仅当4b a a b
=，即1,2a b ==时等号成立， ∴14a b
+的最小值为3，此时1,2a b ==； （2）()2
22
(1)32b f x a x a ab >--+-+， 则()2
222(1)2332
ax b x b a x a ab >--+-+-++，
即()2
22
202b x b x a ab +-+-+>对x ∈R 恒成立， 则()22
22402b b a ab ⎛⎫∆=---+< ⎪⎝⎭， 即()22
44440b a b a --+->对b R ∈恒成立， 则()()
22444440a a ∆=---<'，解得1a >. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查一元二次不等式的恒成立问题，属于中档题.。