2016年高考数学二轮复习试卷汇编(理科)-(8)

2016年高考数学试卷汇编
数学（理科）试题
一．选择题。

（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 设集合}032|{2
<--=x x x M ,}0log |{2
1<=x x N ，则N M 等于（ ）
A ．)1,1(-
B ．)3,1(
C ．)1,0(
D ．)0,1(-
2、下列说法中错误．．
的个数是（ ） ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②命题“2
,0x x x ∀∈-≤R ”的否定是“2
,0x x x ∃∈-≥R ”； ③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题； ④“x ≠3”是“|x |≠3”成立的充分条件． A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
3、若实数x ，y 满足条件0,
30,03,x y x y x +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤≤⎩
则2x y -的最大值为（ ）
（A ）9
（B ）3
（C ）0
（D ）3-
4、设函数()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()2(1)f x x x =-，则5()2
f -=（ ） A -21 B -41 C 41 D 2
1
5、已知两点(1,0),(1,3),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且 120=∠AOC ，设
2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R 则等于 （ ）
A ．1-
B ．２
C ．1
D ．2-
6、在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2=1－a 1，a 4=9－a 3，则a 4+a 5=
（ ）
A ．16
B ．27 C36 D ．81
7、函数()sin()(0,||)2
f x A wx A π
ϕϕ=+><其中的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图象，
则只需将()f x 的图象( ) A ．向右平移
6π
个单位长度 B ．向右平移12π
个单位长度
C ．向左平移6π
个单位长度
D ．向左平移12
π
个单位长度
8、三棱柱三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角 三角形）如图所示, 则这个三棱柱的全面积等于 （ ）
A ．1242+．622+．842+ D ．4
9、若函数3
21(02)3
x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( ) A ．4π B ．6
π
C ．56π
D ．34π
10、在各项均不为零的等差数列｛a n ｝中，若a 1n +- a n
2
+ a 1-n =0（n ≥2），则S 1-n 2-4n=（ ）
A -2
B 0
C 1
D 2
11、已知f （x ）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足'
()()0xf x f x +≤。

对任意正数a 、b ，若a<b ，则必有（ ）
A ．af （b ）≤bf （a ） B. bf （a ）≤af （b ） C. af （a ）≤f （b ） D. bf （b ）≤f （a ） 12、已知函数⎩⎨
⎧>≤+=.
0,ln ,
0,1)(x x x kx x f 则下列关于函数[]1)(+=x f f y 的零点个数的判断正确的是
A ．当0>k 时，有3个零点；当0<k 时，有2个零点
B ．当0>k 时，有4个零点；当0<k 时，有1个零点
C ．无论k 为何值，均有2个零点
D ．无论k 为何值，均有4个零点
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．已知向量a =（1，2），b =（x,4）,且a ⊥b ，则x=
14、已知四面体ABC P -的外接球的球心O 在AB 上，且⊥PO 平面ABC ， AB AC 32=
， 若四
面体ABC P -的体积为
2
3
，则该球的体积为_____________； 15、如图，由曲线x y sin =，直线π2
3
=x 与x 轴围成的阴影部分 的面积是_____________；
16、已知数列｛a n ｝满足a n =n+
n
c ，若对所有n ∈N *
不等式a n ≥a 3恒成立， 则实数c 的取值范围是_____________；
三、解答题：(本大题共6小题，共70分)
17、（本小题满分12分）ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量
2
(2sin ,3),(cos 2,2cos 1)2
B
m B n B =-=-,且//m n （1）求锐角B 的大小，
（2）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值
18、（本小题满分12分）
已知数列{n a }是等差数列，且满足：a 1＋a 2＋a 3＝6，a 5＝5； 数列{n b }满足：n b －1n b －＝1n a －（n≥2，n ∈N ﹡），b 1＝1． （Ⅰ）求n a 和n b ； （Ⅱ）记数列n c ＝
1
2n b n
＋（n ∈N ﹡），若{n c }的前n 项和为n T ，求n T .
19、（本小题满分12分）
已知函数)0)(2sin(21cos cos sin 2sin 21)(2πϕϕπϕϕ<<+-+=x x x f ，其图象过点).2
1
,6(π （Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）将函数)(x f y =的图象上各点的横坐标缩短到原来的
2
1
，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g 在]4
,
0[π
上的最大值和最小值。

20、（本小题满分12分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，CD AD ⊥，
AB ∥CD ,22
1
==
=CD AD AB ,点M 在线段EC 上． （I ）当点M 为EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF ；
（II ）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为
6
6
时，求三棱锥BDE M - 的体积．
21、（本小题满分12分）设函数2
()(1)x
f x x e ax =--
（Ⅰ）若a=
1
2
，求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若当x ≥0时f （x ）≥0，求a 的取值范围。

22、（本小题满分12分）已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． (1) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；
(2) 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12
ln x
x e ex
>-成立．
考试题答案
一． 选择题。

BC AAC BDA DA AB
二、填空题：
13、-8 14、π34 15、3 16、6≤c ≤12
三、解答题：
17、解：（1）n m
// B B
B 2cos 3)12
cos 2(sin 22
-=-∴ B B 2cos 32sin -=∴ 即 32tan -=B ……………3分
又B 为锐角 ()π,02∈∴B 3
22π=
∴B 3π
=∴B ………6分
（2）,23
B b π
==， 由余弦定理得222
cos 2a c b B ac +-=
即0422=--+ac c a ----------------------------------------------------9
又ac c a 222≥+ 代入上式得4≤ac （当且仅当 2==c a 时等号成立）…10分
34
3
sin 21≤==
∆ac B ac S ABC （当且仅当 2==c a 时等号成立。

）………12分 18、解：（Ⅰ）∵1236a a a ++=，55a =，∴1113361
45
1a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨
⎨+==⎩⎩， …………… 2分 ∴n a n =；…………………………………………………………………… 3分 又111n n n b b a n ---==-，∴当2n ≥时，
1122332211=()()()()()+(1)(2)(3)21+1
n n n n n n n b b b b b b b b b b b b n n n ------+-+-++-+-=-+-+-+++
∴21(1)2
22
n n n n n b b --+=+=, ……………………………………………………4分 又11b =适合上式， ……………………………………………………………5分
∴22
2
n n n b -+=． ……………………………………………………………6分
（Ⅱ）∵2122112()
232(1)(2)12
n n c b n n n n n n n =
===⋅-++++⋅+++，…………… 8分
∴11111111112()2()2()2()2()
23
34
34112
n T n n n n =-+-+-+
+-+-+++ 1122()1=
2222
n
n n n =-=-+++．………………………………… 12分 19、解：（Ⅰ）因为211()sin 2sin cos cos sin()(0)222
f x x x π
ϕϕϕϕπ=+-+<<
所以11cos 21
()sin 2sin 2cos cos 222
x f x x ϕϕϕ+=+-
11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=+
1(sin 2sin cos 2cos )2x x ϕϕ=+
1cos(2).2
x ϕ=-
又函数图象过点1
(,)62
π
所以11cos(2)226
π
ϕ=⨯-
即cos(
)1,3
π
ϕ-=
又0ϕπ<<
所以.3
π
ϕ=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()cos(2)22f x x π=
-，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，可知
1()(2)cos(4),23
g x f x x π==
- 因为[0,
]4
x π
∈
所以4[0,]x π∈ 因此24[,]3
33
x π
ππ
-∈-
故1cos(4)123
x π
-
≤-≤
所以()[0,]4
y g x π
=在上的最大值和最小值分别为
12和1
.4
-
20、设10(<<=λλEC EM ，则，λλ22,4,0-===z y x 即)22,4,0(λλ-M ．——6分
设
)
,,(111z y x n =是平面BDM 的一个法向量，则
02211=+=⋅y x n OB 0)22(411=-+=⋅z y n OM λλ 取11=x 得 λλ-=
-=12,111z y 即 )12,1,1(λ
λ
--=n 又由题设，)0,0,2(=OA 是平面ABF 的一个法向量，—————8分 ∴ 2
1
6
6)1(4222|
||||,cos |2
2
=
⇒=
-+
=
⋅=
><λλλn OA n OA ————10分 即点M 为EC 中点，此时，2=DEM S ∆，AD 为三棱锥DEM B -的高， ∴ =-BDE M V 3
4
2231=⋅⋅=-DEM B V ——————12分 21、解： （I ）,2
1
)1()(,212x e x x f a x --==
时
).
1)(1(1)(+-=-+-='x e x
xe e x f x
x x
.
)0,1(,),0(),1,()(.0)(,),0(;0)(,)0,1(;0)(,)1,(单调减少在单调增加在故时当时当时当-+∞--∞>'+∞∈<'-∈>'--∞∈x f x f x x f x x f x
（II ）).1()(ax e x x f x
--= 令.)(,1)(a e x g ax e x g x
x
-='--=则
若时从而当而为增函数时则当0,0)0(,)(,0)(,),0(,1≥=>'+∞∈≤x g x g x g x a
.0)(,0)(≥≥x f x g 即
若a >1，则当)(,0)(,)ln ,0(x g x g a x <'∈时为减函数，而,0)0(=g
从而当.0)(,0)()ln ,0(<<∈x f x g a x 即时
综合得a 的取值范围为].1,(-∞ 22、[解析]：
(1) '()ln 1f x x =+，当1(0,)x e ∈，'()0f x <，()f x 单调递减，当1(,)x e
∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增．
① 102t t e
<<+<，t 无解；
② 102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e ==-； ③ 12t t e ≤<+，即1
t e
≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；
所以min 1
10()1ln t e e f x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨
⎪≥⎪⎩
， ，．
(2) 22ln 3x x x ax ≥-+-，则3
2ln a x x x
≤++，
设3()2ln (0)h x x x x x =++>，则2
(3)(1)
'()x x h x x +-=，(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递减，
(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递增，所以min ()(1)4h x h ==．
因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=．
（3） 问题等价于证明2
ln ((0,))x x x x x e e
>-∈+∞，由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的
最小值是1e -，当且仅当1
x e =时取到．
设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1'()x x
m x e
-=，易得max 1()(1)m x m e ==-，当且仅当1x =时取到，从而
对一切(0,)x ∈+∞，都有12
ln x x e ex
>-成立．。