关于二次函数最值问题的讨论

关于二次函数的最值问题的讨论
学生姓名：xxx 指导教师：xxx
摘 要：本文讨论了一元二次函数与二元二次函数的最值问题，首先研究了一元二次函数在闭区间上的最值问题，讨论了在四种不同情况下函数的单调区间及最值的变化，其次研究了运用构造法解决二次函数最值问题，详细给出了构造两点间的距离、构造斜率、构造点到直线的距离、构造直线方程以及构造圆锥曲线的方法以及所要注意的细节．
关键词：二次函数 最值 构造法
在生产实践及科学中，常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”等问题，例如如何进行资源调动，才能使成本最小，利润最大；怎样规划建筑蓝图，才能使材料使用最少，空间占用最大等等，这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题．研究函数的最值不仅是要研究其理论意义，更重要的是用理论来服务现实，因此更要透彻的掌握理论，掌握其求解方法．求函数最值的方法灵活多样且综合性强，选择正确的方法进行求解很重要，几何图形作为研究函数性质的一个重要辅助工具，能直观的反应函数本身的特性，使函数形象化，对于某些最值问题利用几何方法求解会更加简捷形象．许多的数学问题都隐含着“形”方面的信息，如果能充分利用这个“形”把复杂的数学问题变为简单的几何问题，便可使问题轻松获解．
一、一元二次函数在闭区间上的最值问题
一元二次函数的一般形式为)0()(2
≠++=a c bx ax x f ，所表示的图形是一条抛物线，我们可以通过分析函数在区间内的单调性来分析最值是否存在，若存在在什么情况下取得最大值或最小值．
1、轴定区间定（对称轴及定义域不变）
对函数)0()(2
>++=a c bx ax x f 在],[n m 上的最值问题有三种情况（此时抛物线开口向上）：
第一种情况:若对称轴在区间内，即),(2n m a b ∈-，则在)2,[a b m -上)(x f 是减函数，在]
,2[n a
b
-上)(x f 是增函数，如图1，故)(x f 的最小值为)2(a b
f -，最大值为)(m f 与)(n f 中较大的一个．
第二种情况:若对称轴在区间左侧，即a
b
m 2-≥，则在],[n m 上)(x f 是增函数，故)(x f 的最小
值为)(m f ，最大值为)(n f ．
第三种情况:若对称轴在区间右侧，即a
b
n 2-≤，则在],[n m 上)(x f 是减函数，故)(x f 的最小值为)(n f ，最大值为)(m f ．
对函数)0()(2
<++=a c bx ax x f 在],[n m 上的最值问题也有三种情况（此时抛物线开口向下）：
第一种情况:若对称轴在区间内，即),(2n m a b ∈-
，则在)2,[a b m -上)(x f 是增函数，在]
,2[n a
b
-上)(x f 是减函数，如图2，故)(x f 的最大值为)2(a
b
f -，最小值为)(m f 与)(n f 中较小的一个．
x
x
图1 图2
第二种情况:若对称轴在区间左侧，即a
b
m 2-≥，则在],[n m 上)(x f 是减函数，故)(x f 的最大值为)(m f ，最小值为)(n f ．
第三种情况:若对称轴在区间右侧，即a
b
n 2-≤，则在],[n m 上)(x f 是增函数，故)(x f 的最大值为)(n f ，最小值为)(m f ．
2、 轴定区间动
例1 求函数34)(2
++-=x x x f 在]3,[+a a 的最大值)(a g 及最小值)(a h ． 解析：7)2()(2+--=x x f 的对称轴是2=x ，
当2≥a 时，)(x f 在定义内是减函数，故34)()(2
++-==a a a f a g ，
62)3()(2+--=+=a a a f a h ；
当32+<<a a 时，即21<<-a 时，)(x f 在)2,[a 上单增，在]3,2[+a 上单减，故
7)2()(==f a g ，)(a h 是)(a f 与)3(+a f 中较小的一个；
当
223
2≤+a 时，即21≤a 时，)3()(+≤a f a f ，34)()(2
++-==a a a f a h ； 当22
3
2>+a 时，即2
1>a 时，()()3+>a f a f ，62)3()(2
+--=+=a a a f a h ；
故当211≤
<-a 时，34)(2++-=a a a h ，当22
1<<a 时，62)(2
+--=a a a h ； 当32+≥a 时，)(x f 在定义域内是增函数，故62)3()(2
+--=+=a a a f a g ，
34)()(2++-==a a a f a h ．
综上,
⎪⎩⎪⎨⎧-≤+--<<-≥++-=)
1(62)21(7)2(34)(22a a a a a a a a g ，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤++->+--=)21(34)21(62)(22
a a a a a a a h ．
对称轴固定，则抛物线的位置是固定的，定义区间从左向右沿x 轴正方向运动，对开口向下的抛
物线依次进行截取，得到增函数部分，包含顶点的部分和减函数部分，从而将问题转化为“轴定区间定”的问题来解决．
3、 轴动区间定
例2 求函数42)(2
+-=ax x x f 在]2,0[上的最大值)(a g 及最小值)(a h ．
解析：2
24)()(a a x x f -+-=对称轴是a x =，当0≤a 时，)(x f 在定义域内是增函数，故
a f a g 48)2()(-==，4)0()(==f a h ；
当20<<a 时，)(x f 在),0[a 上单减，在]2,[a 上单增，故2
4)()(a a f a h -==，)(a g 为)0(f 与)2(f 中较大的一个，若10≤<a ，则a f a g 48)2()(-==，若21<<a ，则4)0()(==f a g ；
当2≥a 时，)(x f 在定义域内是减函数，故4)0()(==f a g ，a f a h 48)2()(-==． 综上，
⎩⎨
⎧>≤-=)1(4)1(48)(a a a a g ,⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<<-≤=)
2(48)20(4)
0(4)(2
a a a a a a h ． 定义区间固定，对称轴从左向右沿x 轴正方向运动，对开口向上的抛物线依次进行截取，得到减函数部分，包含顶点的部分和增函数部分，从而见问题转化为“轴定区间定”的问题来解决．
4、 轴动区间动
例3 a x a x x f +-+-=)1()(2
在区间],1[a 上的最小值为12-a ，求a 的值． 解析：抛物线)(x f 开口向下，对称轴为2
1
-=a x ． 当
12
1
≤-a 时，即3≤a 时，函数)(x f 在定义域内是减函数，故
120)1()()(2min -==+-+-==a a a a a a f x f ，得2
1
=
a 满足3≤a ； 当a a <-<211时，即3>a 时，函数)(x f 在)21,1[-a 上单增，在],2
1
[a a -上单减，故最小值
是)1(f 与)(a f 中较小的一个，由于2
1
21+<
-a a ，故)()1(a f f >，则120)()(min -===a a f x f ，得21
=a 但不满足3>a ；
当a a ≥-2
1时，即1-≤a ，与题意1>a 不符．
综上，21
=a ．
对称轴与定义区间都在变化，解决问题的关键仍是对对称轴在区间内外的讨论． 二、运用构造法决二次函数最值问题
“构造法”即构造性解题方法，是根据数学问题的条件或结论的特征，以问题中的数学元素为“元件”，数学关系为“框架”，构造出新的数学对象或数学模型，从而使问题转化并得到简便解决的方法．
1、构造两点间的距离解题 例4 求函数545222+-++-=
x x x x y 的最小值．
解析：函数的解析式可改写为2222)10()2()20()1(++-+-+-=
x x y ，当x 变化时，它
表示动点)0,(x P 到两定点)2,1(A 与)1,2(-B 的距离之和．
如图3，点P 在x 轴上移动，有||||||AB PB PA ≥+，当且仅当三点共线时取等号．P 、A 、B 三点共线的条件是
x x ---=
--201102，即35=x ．故当3
5
=x 时，y 取最小值，最小值为 10)21()12(||22=--+-=AB ．
图3
我们可以得到： 形如222112B x A x B x A x y +++++=
的函数的几何意义是x 轴上的动点P 到两定点A 与
B 的距离之和，其中A 与B 在x 轴的同侧，当P 、A 、B 三点共线时，y 取最小值||AB ．
形如222112B x A x B x A x y ++-++=
的函数的几何意义是x 轴上的动点P 到两定点A 与
B 的距离之差，其中A 与B 在x 轴的异侧，且||||PB PA >，当P 、A 、B 三点共线时，y 取最大值
||AB ．
我们还可以将此推广到二元函数中：
例5 已知y x y x 642
2
+=+，求46468++++=y y x z 的最小值． 解析：
2
2222222)2()2(444444)64(44)64(y x y x x y x x y x x x x y x z +-+++=+-+++++=+-+++++=
将y x y x 6422+=+化为13)3()2(2
2=-+-y x ，它表示以)3,2(C 为圆心，以13为半径的圆．Z
表示圆上的点到点)0,2(-A 与)0,2(B 的距离之和．如图4，点A 在圆外，点B 在圆内，线段AB 与圆交于原点O ，点O 到A 、B 的距离之和最小．因此，当0,0==y x 时，z 最小为4．
图4
2、构造斜率解题
例6 已知实数3)2(2
2
=+-y x ，求
x
y
的最大值和最小值． 解析：如图5，方程3)2(2
2=+-y x 表示以)0,2(C 为圆心，以3为半径的圆，
x
y
表示该圆上的动点),(y x P 与原点O 连线的斜率．过原点作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则OA 斜率为所求最大值，OB 斜率为最小值．由于3||||,2||=
==BC AC OC ，A 、B 为两切点，故1||||==OB OA ，
点A 、B 的坐标分别为)23,
21(和)2
3
,21(-，故的最大值为3，最小值为3-．
图5
联想直角坐标平面内两点连线的斜率公式2
12
1x x y y k --=
，我们可以得出：
如上题所给，给定限制y x ,的条件，求b
x a
y --),(R b R a ∈∈的最值，
即求动点),(y x 与定点),(b a 连线的斜率的最值．
我们也可以将y x ,的限制条件直接加入所求函数中，像是“求函数x
b x
a y cos sin --=
的最值
),(R b R a ∈∈”，即是求定点 ),(b a 与动点)cos ,(sin x x 连线的斜率的最值，而动点)cos ,(sin x x 是单位圆的参数坐标．
3、构造点到直线的距离解题
例7 设0,0,1≥≥=+y x y x ，则2
2
y x +的最小值为多少？
解析：由于0,0≥≥y x ，故1=+y x 可以看作是一条线段，则2
2
2
2
)0()0(-+-=+y x y x 可以看作是该线段上一点到原点的距离的平方．由图6可知，其最小值显然是原点到线段的距离
||OP 的平方，故
2
1
)2
|
100|(
||22=
-+=OP . 本题解法较多，可转化为一元二次函数再配方求最值，也可用均值不等式求最值，还可用构造法解题．但较之其他方法，构造法更具一般性且计算简单．例如将本题改为“设032=++
y x ，求
y y x x 2622-+
+的最小值”，由于不具备0,0≥≥y x 这个条件，使得均值不等式不能使用，转化为
图6
一元二次函数再配方也显得麻烦，但用构造法仍十分简单．
4、构造直线方程解题
例8 已知实数y x ,满足0422
2
=+-+y x y x ，求y x 2-的最值．
解析：04222=+-+y x y x 可变为5)2()1(2
2=++-y x ，这可看作是以)2,1(-为圆心，5
为半径的圆的方程，且点),(y x 在该圆上．可设t y x =-2，则2
2t
x y -=
，若求y x 2-的最值即是求t 的最值，而t 取最大值时，直线22t x y -=
在y 轴上的截距2
t
-最小． 反之，t 取最小值时，2t -最大，所以只要求直线2
2t
x y -=与圆有公共点时，该直线与y 轴上的
截距的最值即可．由图7可知，当直线2
2t
x y -=与圆相切时，该直线与轴的截距达到最大或最小，由
例9 81212222
2
=++++
+-+x y x x y x ，求22y x +的最大值．
解析：可以把81212222
2
=++++
+-+x y x x y x
化为42)0()1()0()1(2222⨯=-+++-+-y x y x ，其几何意义为直角平面坐标内点),(y x 到点)0,1(),0,1(-的距离之和为8，于是我们可以认为点),(y x 是以定点)0,1(),0,1(-为焦点，以8为长轴长的椭圆上任一点，而2
2
y x +可以认为是该椭圆上的点到原点距离的平方，由椭圆几何性质可知
22y x +的最大值为1642=．
这类问题所给条件与构造两点间的距离颇为相似，我们可以得出： 形如
b y a x y a x =-+++-+-2222)0()()0()(),(R b R a ∈∈
的几何意义是直角平面坐标内点),(y x 到点)0,(),0,(a a -的距离之和为b ，其中两定点对称且在坐标轴上，故由椭圆的定义，我们可认为),(y x 是以定点)0,(),0,(a a -为焦点，以b 为长轴长的椭圆上任一点，再由椭圆的性质解题．
形如
b y a x y a x =-++--+-2222)0()()0()(),(R b R a ∈∈
的几何意义是直角平面坐标内点),(y x 到点)0,(),0,(a a -的距离之差为b ，其中两定点对称且在坐标轴上，故由双曲线的定义，我们可认为),(y x 是以定点)0,(),0,(a a -为焦点，以b 为实轴长的双曲线上任一点，再由双曲线的性质解题．
利用几何的知识对二次函数的最值问题进行求解，就是要揭示其几何意义．寻找问题所具有的几何意义是非常重要的，因为它直接影响到我们能否构造出合适的几何模型,从而将一个函数的最值问题通过这个模型转化为一个可解的几何问题,使求解问题的方法更为简洁而有效．构造法是构建数学模型的重要方法，不仅能够解决二次函数的最值问题，对于其他函数，例如次数大于二的多次函数，无理函数，三角函数，不等式等的最值问题，也可以通过构造法得以解决．
三、生活中的最优化问题
在生产生活中，要在尽力节省人力，物力，财力和时间的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，这类问题称为最优化问题．在某些情况下，最优化问题也就是最值问题，以下示例给出了我们在生产生活中所常见的最值问题．
1、例11 小区门前有片空地，空地外有面长为十米的围墙，为美化生活环境，要修建一矩形花圃，已买回了32米的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间在围出一条宽为一米的通道以及在左右花圃各放一个一米宽的门，花圃如何设计才能使面积最大．
解析：设花圃宽为x 米，面积为)(x S 平方米． 有4289)417(4)2432()(2+-
-=+-=x x x x S ，由于104340≤-<x ，故2
176<≤x ，又由
于
64
17
<且抛物线开口向下，故定义区间在对称轴左侧且)(x S 在其上单减，故面积最大值为604
289
)4176(4)6(2=+--=S ．
2、例12 欲做一个容量一定的长方形箱子，应选择怎样的尺寸，才能使此箱子的材料最省． 解析：设箱子的长宽高分别为z y x ,,，容量为V ，则xyz V =，箱子的表面积)(2xz yz xy S ++=，
要是使用的材料最少，应S 求的最小值．由于xy V z =，所以)(2y
V
x V xy S ++=，)0,0(>>y x ．这是一个关于y x ,的二元函数．令
0)(2),(,0)(2),(2
2=-==-
=y V x y x S x V y y x S y x ， 得唯一驻点),(33V V P ．根据问题的实际意义可知S 一定存在最小值，故可以断定P 即为S 的最小值点，即当3V y x ==时，函数S 取得最小值．
此时3
V xy
V z ==
，所以长方体实际上是正方体，这表明在体积固定的长方体中，以正方体的表面积最小，最小值32min 6V S =．
求函数最值的方法多种多样，诸如配方法，判别式法，导数法，线性规划法，向量法都是求函数最值的方法，本文所运用的单调性法，构造法只是其中的两种，所能解决的函数问题也只是一小部分，但其中蕴含的转化思想很值得我们学习和借鉴，对提高我们的思维能力很有帮助．
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Discussion about the problem of the most value of quadratic functions
Student: Hu Huiyun Tutor: He Bin
Abstract: This article focuses on the problem of the most value of unitary quadratic function and binary quadratic functions. Firstly, we studied the problem of the most value of quadratic function on a closed interval, discusses changes of a monotonous interval and the most value of function in four different situations. Secondly, we studied the use of construction to solve the problem of the most value of quadratic function, Given detailed methods and particulars of structure the distance between tow point, structure slope, structure the distance between a point and a straight line, structure linear equations and conic section.
Keywords: Quadratic function maximum and minimum methods of structure。