专题提升6-平面图形的滚动问题及不规则图形面积的求法

专题提升6 平面图形的滚动问题及
不规则图形面积的求法
1．(西宁中考)如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径作半圆交AB 于点D ，连结CD ，则阴影部分的面积是(D ) π－1 π－2
C ．π－2
D ．π－1
【解】 在Rt △ACB 中，AB ＝22＋22＝2 2. ∵BC 是半圆的直径，∴∠CDB ＝90°， ∴CD 是等腰直角三角形ACB 底边上的高，
∴AD ＝BD ＝CD ＝2，∴S 阴影部分＝S 扇形CAB －S △ADC ＝14π×22－1
2×(2)2＝π－1.
《
(第1题) (第2题)
2．(达州中考)如图，将直径AB 为12的半圆绕点A 逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B ′，则图中阴影部分的面积是(B )
A ．12π
B ．24π
C ．6π
D ．36π
【解】 设以AB 为直径的半圆为半圆O ，以AB ′为直径的半圆为半圆O ′. ∵AB ＝AB ′＝12，∠BAB ′＝60°， ∴S 阴影＝S 扇形ABB ′＋S 半圆O ′－S 半圆O ＝60π×122360＋12π×62－1
2π×62＝24π.
3．如图，将边长为a 的正六边形A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6在直线l 上由图①的位置按顺时针方向向右做无滑动滚动，当点A 1第一次滚动到图②的位置时，顶点A 1所经过的路径长为(A )
(第3题)
>
πa πa πa πa
【解】 连结A 1A 5，A 1A 4，A 1A 3，易得A 1A 4＝2a ，A 1A 5＝A 1A 3＝3a .
当点A 1第一次滚动到图②的位置时，顶点A 1所经过的路径分别是以点A 6，A 5，A 4，A 3，A 2为圆心，a ，3a ，2a ，3a ，a 为半径，圆心角均为60°的五条弧， 故总长为
60π·（a ＋3a ＋2a ＋3a ＋a ）180
＝4＋23
3πa . 4．(邵阳中考)如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝3，矩形在直线l 上绕其右下角的
顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置……以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是(D )
(第4题)
A ．2015π
B ．π *
C ．3018π
D ．3024π
【解】 转动第一次的路线长是90π×4
180＝2π， 转动第二次的路线长是90π×5180＝5
2π， 转动第三次的路线长是90π×3180＝3
2π， 转动第四次的路线长是0，
转动第五次的路线长是90π×4
180＝2π， ……
以此类推，每四次转动为一个循环，
故顶点A 转动四次经过的路线长为2π＋52π＋3
2π＋0＝6π. ∵2015÷4＝503……3， ；
∴顶点A 转动2015次经过的路线长是6π×504＝3024π.
5．(梧州中考)如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，以点E 为圆心，ED 长为半径作半圆，交点A ，B 所在的直线于M ，N 两点，分别以MD ，ND 为直径作半圆，则阴影部分的面积为(B )
(第5题)
A ．95
B ．185
C ．365
D ．725
【解】 ∵MN 是半圆的直径，∴∠MDN ＝90°. 在Rt △MDN 中，MN 2＝MD 2＋DN 2， ∴两个小半圆的面积＝大半圆的面积， ∴阴影部分的面积＝△DMN 的面积． …
在Rt △AED 中，DE ＝DA 2＋AE 2＝62＋32＝35，∴MN ＝2DE ＝65，
∴S 阴影＝S △DMN ＝12MN ·DA ＝1
2×65×6＝18 5.
6．如图，水平地面上有一面积为15
2π cm 2的扇形(阴影部分)，半径OA ＝3 cm ，且OA 与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动大半圈至与三角形石块BDE 接触为止，此时，扇形与地面的接触点为C .已知∠BCD ＝30°，则点O 移动的距离为(B )
(第6题)
A ．2π cm
B ．4π cm π cm D ．52π cm
【解】 ∵S 扇形＝12lR ＝12l ·3＝15
2π，∴l ＝5π，可求得扇形圆心角的度数为300°. 连结OC .
∵∠BCD ＝30°，∴∠BOC ＝2∠BCD ＝60°. ∴AmC ︵
所对圆心角的度数为300°－60°＝240°，
]
∴点O 移动的距离＝lAmC ︵＝240π×3
180＝4π(cm)．
7．(重庆中考)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，先以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，再以AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是2π(结果保留π)．
【解】 根据题意，得S 阴影部分＝S 扇形ADB －S 半圆AB . ∵S 扇形ADB ＝90π×42360＝4π，S 半圆AB ＝1
2π×22＝2π， ∴S 阴影＝4π－2π＝2π.
(第7题) (第8题)
8．如图，将半径为2 cm 的圆形纸板沿着长和宽分别为16 cm 和12 cm 的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，则圆心所经过的路线长是4π＋56cm.
【解】 圆在矩形的四个角的顶点处旋转的角度为90×4＝360°，即一个圆周，则旋转的路线长是2π×2＝4π(cm)．
∴圆心所经过的路线长＝2(16＋12)＋4π＝(56＋4π) cm. 、
9．(恩施中考)如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度等于5π．
(第9题)
【解】 如解图．
(第9题解)
由图形可知，圆心先向前走OO 1的长度，从O 到O 1的运动轨迹是一条线段，长度为1
4圆的弧长，然后沿着O 1O 2︵走过1
4圆的弧长．
∴圆心O 运动路径的长度为14×2π×5＋1
4×2π×5＝5π.
10．(河南中考)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB ︵
于点E ，以点O 为圆心，OC 长为半径作CD ︵交OB 于点D .若OA ＝2，则阴影部分的面积为π12＋3
2． 【解】 连结OE . —
∵C 为OA 的中点，∴OC ＝12OE ＝1
2OA ＝1. 又∵CE ⊥OA ，
∴∠CEO ＝30°，∠COE ＝60°， ∴CE ＝3，∠BOE ＝30°.
∴S 阴影＝S 扇形OBE ＋S △COE －S 扇形OCD
＝30π×22360＋12×1×3－90π×12360＝π12＋32.
(第10题) (第11题)
11．如图，正三角形ABC 的边长为3 cm ，边长为1 cm 的正三角形RPQ 的顶点R 与点A 重合，点P ，Q 分别在AC ，AB 上．将△RPQ 沿着边AB ，BC ，CA 顺时针连续翻转，直至点P 第一次回到原来的位置，则点P 运动的路径长为2πcm(结果保留π)．
【解】 由图可知，点P 第一次回到原来的位置时，运动路径为3段120°的弧长， 《
即运动路径长＝3×120π×1
180＝2π.
12．如图，已知AB 为半圆的直径，C ，D 为AB ︵
的三等分点， 半圆的半径为R ，求S 阴影．
(第12题)
【解】 连结OC ，OD ，CD . ∵C ，D 为AB ︵
的三等分点， ∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. 又∵OC ＝OD ， ∴∠DCO ＝60°. ∴∠AOC ＝∠OCD . ：
∴CD ∥AB .
∴S △ACD ＝S △COD .
∴S 阴影＝S 弓形＋S △ACD ＝S 弓形＋S △COD ＝S 扇形OCD . ∵S 扇形OCD ＝60×πR 2360＝16πR 2，∴S 阴影＝1
6πR 2.
13．如图，等腰梯形MNPQ 的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°.正方形ABCD 的边长为1，它的一边AD 在MN 上，且顶点A 与点M 重合．现将正方形ABCD 在梯形的外面沿边MN ，NP ，PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与点Q 重合即停止滚动．
(第13题)
(1)请在所给的图中，用尺规作出点A 在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图．
(2)求正方形在整个翻滚过程中点A 所经过的路线与梯形MNPQ 的三边MN ，NP ，PQ 所围成图形的面积S .
【解】 (1)作图如解图所示．
(第13题解)
(2)∵点A 依次绕点D ，C ，B 翻滚，都翻滚2次，半径分别为1，2，1，翻转角分别为90°，90°，150°，
∴S ＝2×90π×12360＋2×90π×（2）2360＋2×150π×12360＋4×12×12＝π2＋π＋5π6＋2＝73π＋2.。