【精品】2020年中考数学总复习专题讲义★☆二次函数十大基本问题

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第九讲：二次函数十大基本问题
知识模块与方法
知识模块一：二次函数的定义问题
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． （2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
知识、题型、方法
例1：若x m m m y 232
)3(+--=是二次函数，则=m 。

变式练习： 已知x m
m m m y 19
92
2
)972
(+---=，试讨论m 分别为何值时为正比例函数、反比例函数、
二次函数？
课堂演练一：
1. 二次函数62
)
3(2
+-=-x y 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，
常数项是 。

2. 若y ＝(m ＋1)x m
m -2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为__________．
3. 已知函数4
31
2
--+=
x x y x
，则自变量x 的取值范围是 。

4. 某广告公司欲设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000米，设 矩形的一边长为x 米，所花费用为y 元。

则y 与x 之间的函数关系式为 。

5. 已知函数x
m m y 23
2
)
12(--=，当m 为何值时：
（1）y 是x 的正比例函数，且y 随着x 增大而增大。

（2）函数图象是位于第二、四象限的双曲线。

（3）函数图象是开口向上的抛物线。

知识模块二：二次函数的图象及其性质
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：
上加下减。

3. ()2
y a x h =-的性质：
左加右减。

4. ()2
y a x h k =-+的性质：
二次函数图象的过点问题与交点问题
中考方法点拨：二次函数图象的过点问题与交点问题实际上就是方程问题、代入求值问题
的综合，只要紧紧抓住函数图象经过的点或交点的横坐标与纵坐标都满足 函数解析式，然后代入解析式可得方程（组），从而求解。

知识、题型、方法
例2：已知抛物线x y 2
-
=和直线m x y +=3都经过点（2-，n ）。

（1）求m ，n 的值。

（2）是否存在另一个交点？若存在，请求出。

变式练习：
1．（2008，长春）已知，如图，直线l 经过)0,4(A 和)4,0(B 两点，它与抛物线2
ax y =在
第一象限内相交于点P ，又知AOP ∆的面积为4，求a
第1题图 第2题图
2．（2008，辽宁大连）如图10，直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2
都经过点A (1，0)，B (3，2)．
（1）求m 的值和抛物线的解析式；
（2）求不等式m x c bx x +>++2
的解集(直接写出答案)。

课堂演练二：
1．二次函数22
-=x a y 的图象经过两点A （4-，2）
，B （m ，2），则=m 。

2．若抛物线c x a
y x
++=2
与x 轴的交点坐标是（1-，0）则
=+c a 。

3. 已知函数)0(2
≠=a a
y x 的图象与直线32-=x y 交于点（1，b ）
， A
O B P
y
O y
x
B
A
则求=a 。

4. 如图，是二次函数y ＝ax 2－x ＋a 2－1的图象，则a ＝____________． 第4题图
二次函数图象的单调性问题：
中考方法点拨： 判断二次函数的单调性要紧紧抓住抛物线的开口方向和对称轴2b x a
=-
， 对称轴2b
x a
=-
是二次函数单调性的分界点，即： 1. 当0a >时，抛物线开口向上： 在2b x a <-
范围内，y 随x 的增大而减小；在2b
x a
>-范围内，y 随x 的增大而增大；当2b
x a
=-时，y 有最小值244ac b a -。

2. 当0a <时，抛物线开口向下：
在2b x a <-
范围内，y 随x 的增大而增大；在2b
x a
>-范围内，y 随x 的增大而减小； 当2b
x a
=-时，y 有最大值244ac b a -。

知识、题型、方法
例3：（2011，浙江舟山）如图，已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（－1，0），
（1，－2），当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是 。

例3图
c
+。