黑龙江省大庆市2021届新高考数学四模考试卷含解析

黑龙江省大庆市2021届新高考数学四模考试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “8
π
ϕ=-
”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8
x π
=-
对称”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
先求解函数()f x 的图象关于直线8
x π
=-对称的等价条件，得到7
,8
k k ϕππ=+
∈Z ，分析即得解. 【详解】
若函数()f x 的图象关于直线8
x π
=-
对称，
则3,82k k ππϕπ⎛⎫
⨯-+=+∈ ⎪
⎝⎭
Z ， 解得7
,8
k k ϕππ=+∈Z ， 故“8
π
ϕ=-”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8
x π
=-
对称”的充分不必要条件．
故选：A 【点睛】
本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
2．过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点作倾斜角为30°的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为()0,b ，
则该双曲线的标准方程可能为（ ）
A ．2
212
x y -=
B ．2
213x y -=
C ．2
214x y -=
D ．22
132
x y -=
【答案】A 【解析】 【分析】
直线l 的方程为)y x c =+，令0x =，得y =，得到a,b 的关系，结合选项求解即可 【详解】
直线l 的方程为)3y x c =
+，令0x =，得3y =.因为3
b =，所以
22222232a c b b b b =-=-=，只有选项A 满足条件.
故选：A 【点睛】
本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力. 3．函数()
sin x y x
-=
（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项． 【详解】 分析知，函数()
sin x y x
-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ，
当x π=时，sin 0x
x
=，排除D ， 故选：A ． 【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论． 4．若函数f(x)＝13
x 3＋x 2－2
3在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是
A ．[－5，0)
B ．(－5，0)
C ．[－3，0)
D ．(－3，0)
【答案】C 【解析】 【分析】
求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a 满足的不等式组，从而得解. 【详解】
由题意，f′(x)＝x 2＋2x ＝x(x ＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作
出其图象如图所示．
令
13x 3＋x 2－23＝－2
3
，得x ＝0或x ＝－3， 则结合图象可知，3050a a -≤<⎧⎨+>⎩
解得a ∈[－3，0)，
故选C. 【点睛】
本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型. 5．将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移
4
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ）
A ．
8
π B ．
4
π C ．
2
π D ．34
π
【答案】B 【解析】 【分析】
根据条件先求出()g x 的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可. 【详解】
将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移
4
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象， 则()cos 2cos 242g x x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 设22
x πθ=+
， 则当0x a <≤时，022x a <≤，
222
2
2
x a π
π
π
<+
≤+
，
即
222
a ππθ<≤+， 要使()g x 在区间[]0,a 上单调递减，
则22
a π
π+
≤得22
a π
≤
，得4
a π
≤
，
即实数a 的最大值为4
π， 故选：B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.
6．某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）的统计数据(),x y 分别为()2,1.5，
()3,4.5，()4,5.5，()5,6.5，由最小二乘法得到回归直线方程为ˆˆ1.6y
x a +＝，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A ．8年 B ．9年
C ．10年
D ．11年
【答案】D 【解析】 【分析】
根据样本中心点(,)x y 在回归直线上，求出$a ，求解$15y >，即可求出答案.
【详解】 依题意 3.5, 4.5,(3.5,4.5)x y
==在回归直线上，
$$ˆ4.5 1.6 3.5, 1.1, 1.6 1.1a a y x =⨯+=-∴-＝，
由1
ˆ 1.6 1.115,1016
y
x x ->>＝， 估计第11年维修费用超过15万元. 故选:D. 【点睛】
本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题. 7．执行程序框图，则输出的数值为（ ）
A ．12
B ．29
C ．70
D ．169
【答案】C 【解析】 【分析】
由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量b 的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案. 【详解】
0a =，1b =，1n =，022b =+=，5n <，满足条件，
20
12a -=
=，2n =，145b =+=，5n <，满足条件， 5122a -==，3n =，21012b =+=，5n <，满足条件，
12252a -==，4n =，52429b =+=，5n <，满足条件，
295122a -==，5n =，125870b =+=，5n =，不满足条件，
输出70b =. 故选：C 【点睛】
本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.
8．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A ．圆，但要去掉两个点 B ．椭圆，但要去掉两个点 C ．双曲线，但要去掉两个点 D ．抛物线，但要去掉两个点
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意可得AC BC ⊥,即知C 在以AB 为直径的圆上. 【详解】
PB α⊥Q ,AC α⊂，
PB AC ∴⊥,
又PC AC ⊥，PB PC P ⋂=,
AC ∴⊥平面PBC ,又BC ⊂平面PBC AC BC ∴⊥，
故C 在以AB 为直径的圆上， 又C 是α内异于,A B 的动点，
所以C 的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B 故选：A 【点睛】
本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题. 9．设ln3a =，则lg3b =，则（ ）
A ．a b a b ab +>->
B ．a b ab a b +>>-
C ．a b a b ab ->+>
D ．a b ab a b ->>+ 【答案】A 【解析】 【分析】
根据换底公式可得ln 3
ln10
b =，再化简,,a b a b ab +-，比较ln 3,ln101,ln101-+的大小，即得答案. 【详解】
10ln 3
lg3log 3ln10
b ===
Q ， ()()ln 3ln101ln 3ln101ln 3ln 3ln 3,ln 3ln10ln10ln10ln10
a b a b +-∴+=+=-=-=， ln 3ln 3ln10
ab ⨯=
.
ln 30,ln100>>Q ，显然a b a b +>-.
()310,ln 3ln10e e <∴<Q ,即ln 31ln10,ln 3ln101+<∴<-，
()ln 3ln101ln 3ln 3ln10ln10
-⨯∴<，即ab a b <-. 综上，a b a b ab +>->. 故选：A . 【点睛】
本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.
10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（ ）
A ．23
B ．25
C ．28
D ．29
【答案】D 【解析】 【分析】
由981S =可求59a =，再求公差，再求解即可. 【详解】
解：{}n a Q 是等差数列
95981S a ∴==
59a ∴=，又45a =Q ， ∴公差为4d =，
410629a a d ∴=+=，
故选：D 【点睛】
考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题. 11．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫
=-
> ⎪⎝
⎭在,32ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．20,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．(0,2]
【答案】B 【解析】 【分析】 由ππ32x -
≤≤,可得πππ
333
ππ32x ωωω--≤--≤,结合cos y x =在[π,0]-上单调递增,易得ππ,[π,0]33ππ3
2ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,即可求出ω的范围. 【详解】 由ππ32x -
≤≤,可得πππ
333
ππ32x ωωω--≤--≤, 0x =时,π(0)2cos 3f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
,而ππ,320⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦, 又cos y x =在[π,0]-上单调递增,且π
[π,0]3
-
-∈,
所以ππ,[π,0]33ππ32ωω⎡⎤--⊆-⎢⎥⎣⎦-,则π
ππ33π
π0
2
30ωωω⎧--≥-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩
,即2230
ωωω≤⎧⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎩,故203ω<≤. 故选:B. 【点睛】
本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.
12．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A ．408 B ．120 C ．156 D ．240
【答案】A 【解析】 【分析】
利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况； 【详解】
解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有6
6720A =（种），
当“乐”排在第一节有5
5120A =（种），
当“射”和“御”两门课程相邻时有25
25240A A =（种），
当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有24
2448A A =（种），
则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有72012024048408--+=（种）， 故选：A ． 【点睛】
本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．直线2y ex b =+是曲线()0y lnx x =>的一条切线 2.7182(8e =⋅⋅⋅为自然对数的底数)，则实数
b =__________.
【答案】1- 【解析】
【分析】
根据切线的斜率为e ，利用导数列方程，由此求得切点的坐标，进而求得切线方程，通过对比系数求得b 的值. 【详解】
1y e x '=
=，则1x e =，所以切点为1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，故切线为11y e x e ⎛
⎫ ⎪⎝+-⎭=，
即2y ex =-，故1b =-. 故答案为：1- 【点睛】
本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题，属于基础题.
14．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】
直接根据分层抽样的比例关系得到答案. 【详解】
分层抽样的抽取比例为801160020=，∴抽取学生的人数为6001
20
⨯=1． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.
15．已知A B C P 、、、是同一球面上的四个点，其中PA ⊥平面ABC ，ABC V 是正三角形，
3PA AB ==，则该球的表面积为______.
【答案】21π 【解析】 【分析】
求得等边三角形ABC 的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥P ABCD -外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】
设1O 是等边三角形的外心，则球心O 在其正上方
1
2
PA 处.设1O C r =
，由正弦定理得32sin
3
r r π
=
=
==所以得三棱锥P ABCD -外接球的半径
()(
)
()2
22
211119213244R OO O C PA O C ⎛⎫=
+=+=+= ⎪⎝⎭
，所以外接球的表面积为221
44214
R πππ=⨯
=. 故答案为：21π
【点睛】
本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.
16．已知双曲线22x a -2
2y b
=1(a>0，b>0)与抛物线y 2=8x 有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若
|FP|=5，则点F 到双曲线的渐近线的距离为_____. 3 【解析】 【分析】
设点P 为()00,x y ，由抛物线定义知，025FP x =+=，求出点P 坐标代入双曲线方程得到,a b 的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】
由题意得F(2，0)，因为点P 在抛物线y 2=8x 上，|FP|=5，设点P 为()00,x y ，
由抛物线定义知，025FP x =+=，解得003
26
x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩
不妨取P(3，6)，代入双曲线22x a -2
2y b
=1，得29a -224b =1，
又因为a 2+b 2=4，解得a=1，3，因为双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±， 所以双曲线的渐近线为y=±3，由点到直线的距离公式可得，
点F 到双曲线的渐近线的距离
d =
=
【点睛】
本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()(
)1e x
f x x a =+-，a R ∈.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当1a ≥时，证明：()ln 1f x a a a -+≤. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）求导得()1e x
f x a ='-，分类讨论0a ≤和0a >，利用导数研究含参数的函数单调性；
（2）根据（1）中求得的()f x 的单调性，得出()f x 在ln x a =-处取得最大值为
()1ln ln 1ln 1f a a a a a a ⎛⎫
-=-+-=-- ⎪⎝⎭
，构造函数()ln 1ln g a a a a a a =---+，利用导数，推出
()()11g a g ≤=，即可证明不等式.
【详解】
解：（1）由于()(
)1e
x
f x x a =+-，得()1e x
f x a ='-，
当0a ≤时，()0f x '>，此时()f x 在R 上递增； 当0a >时，由()0f x '=，解得ln x a =-， 若(),ln x a ∈-∞-，则()0f x '>， 若()ln ,x a ∈-+∞，()0f x '<，
此时()f x 在(),ln a -∞-递增，在()ln ,a -+∞上递减. （2）由（1）知()f x 在ln x a =-处取得最大值为：
()1ln ln 1ln 1f a a a a a a ⎛⎫
-=-+-=-- ⎪⎝⎭
，
设()ln 1ln g a a a a a a =---+，则()1
1ln g a a a
'=-
-， 令()11ln h a a a =-
-，则()211
0h a a a
'=-≤， 则()h a 在[
)1,+∞单调递减，∴()()10h a h ≤=， 即()0g a '≤，则()g a 在[
)1,+∞单调递减 ∴()()11g a g ≤=， ∴()ln ln 1f a a a a --+≤， ∴()ln 1f x a a a -+≤. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论和构造新函数，通过导数证明不等式，考查转化思想和计算能力.
18．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为23的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，2SA SC ==，M 、N 分别为AB 、SB 的中点.
（1）证明：AC SB ⊥； （2）求三棱锥B CMN -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）3
4
. 【解析】 【分析】
（1）取AC 中点D ，连接SD ，DB ，证明AC ⊥平面SDB ，由线面垂直的性质可得AC SB ⊥； （2）由B CMN N CMB V V --=，即可求得三棱锥B CMN -的体积． 【详解】
解：（1）证明：取AC 中点D ，连接SD ，DB .
因为SA SC =，AB BC =，所以AC SD ⊥且AC BD ⊥，
因为SD BD D =I ，SD ⊂平面SDB ，BD ⊂平面SDB ，所以AC ⊥平面SDB .
又SB ⊂平面SDB ，所以AC SB ⊥；
（2）解：因为AC ⊥平面SDB ，AC ⊂平面ABC ，所以平面SDC ⊥平面ABC ， 过N 作NE BD ⊥于E ，则NE ⊥平面ABC ，
因为平面SAC ⊥平面ABC ，SD AC ⊥，平面SAC I 平面ABC AC =，SD ⊂平面SAC ，所以SD ⊥平面ABC ，
又因为NE ⊥平面ABC ，所以//NE SD ， 由于SN NB =，所以NE SD = 所以33
2
CMB S CM BM ∆=⋅=
所以13313
3224
B CMN N CMB CMB V V S NE --∆==⋅=⨯=
. 【点睛】
本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质，属于中档题． 19．已知2()2(01)f x ax x x =-≤≤，求()f x 的最小值.
【答案】()min
2,1
1,1a a f x a a
-<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩
【解析】 【分析】
讨论0a =和0a ≠的情况，然后再分对称轴和区间之间的关系，最后求出最小值 【详解】
当0a =时，()2f x x =-，它在[]
01
，上是减函数 故函数的最小值为()12f =-
当0a ≠时，函数()2
2f x ax x =-的图象思维对称轴方程为1
x a
=
当1a ≥时，](1
01a ∈，，函数的最小值为11f a a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
当01a <<时，1
1a
>，函数的最小值为()12f a =- 当0a <时，
1
1a
<，函数的最小值为()12f a =- 综上，()2,11,1min
a a f x a a
-<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩
【点睛】
本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。

20．在极坐标系Ox 中，曲线C
2
sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，设l 与C 交于A 、B 两点，AB 中点为M ，AB 的垂直平分线交C 于E 、F .以O
为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy . （1）求C 的直角坐标方程与点M 的直角坐标； （2）求证：MA MB ME MF ⋅=⋅.
【答案】（1）2
2:12x C y +=，21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
；（2）见解析.
【解析】 【分析】
（1）将曲线C 的极坐标方程变形为()
2
2
sin 2ρρθ+=，再由222
sin x y y ρρθ⎧=+⎨
=⎩
可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，求出点A 、B 的坐标，即可得出线段AB 的中点
M 的坐标；
（2）
求得3
MA MB ==
，写出直线EF 的参数方程，将直线EF 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，利用韦达定理求得ME MF ⋅的值，进而可得出结论. 【详解】
（1）曲线C 的极坐标方程可化为()2
22sin ρρθ=-，即()2
2sin 2ρρθ+=，
将222
sin x y y
ρρθ⎧=+⎨=⎩代入曲线C 的方程得22
22x y +=， 所以，曲线C 的直角坐标方程为2
2:12x C y +=.
将直线l 的极坐标方程化为普通方程得1x y -=，
联立22
11
2x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得01x y =⎧⎨=-⎩或43
13x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点()0,1A -、41,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此，线段AB 的中点为21,33M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
； （2）由（1
）得3
MA MB ==
，89MA MB ∴⋅=，
易知AB 的垂直平分线EF
的参数方程为232
132x y ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），
代入C
的普通方程得2340233
t --=，4
83392
ME MF -
∴⋅==，
因此，MA MB ME MF ⋅=⋅. 【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
21．已知椭圆2
2:12x C y +=的右焦点为F ，直线2l x =：被称作为椭圆C 的一条准线，点P 在椭圆C 上(异
于椭圆左、右顶点)，过点P 作直线:m y kx t =+与椭圆C 相切，且与直线l 相交于点Q . （1）求证：PF QF ⊥.
（2）若点P 在x 轴的上方，当PQF △的面积最小时，求直线m 的斜率k . 附：多项式因式分解公式：(
)(
)
6
2
2
42
4
351141t t t t t t ---=+--
【答案】（1）证明见解析（2
）【解析】 【分析】
（1）由2
212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222
214220k x ktx t +++-=令0∆=可得2221t k =+，进而得到
21,k P t t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，同理(2,2)Q k t +，利用数量积坐标计算FP FQ ⋅u u u r u u u r 即可；
（2）31
222PQF t S k t
∆=+-，分0k ≥，k 0<两种情况讨论即可. 【详解】
（1）证明：点F 的坐标为(1
0)，. 联立方程2
212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去y 后整理为()222
214220k x ktx t +++-=
有(
)(
)
22
2
2
16421220k t k t ∆=-+-=，可得2221t k =+，2222221kt kt k
x k t t
=-
=-=-+，
22221
2121k t t y t k k t
=-+==++.
可得点P 的坐标为21,k t t ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭. 当2x =时，可求得点Q 的坐标为(2,2)k t +，
21211,,k k t FP t t t t +⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭u u u r ，(1,2)FQ k t =+u u u
r .
有220k t k t
FP FQ t t
++⋅=-+=u u u r u u u r , 故有PF QF ⊥.
（2）若点P 在x 轴上方，因为2221t k =+，所以有1t ≥，
由（1
）知||||FP FQ ====u u u r u u u r 222221(2)1441(22)41||||2222PQF
k t k kt t t kt t S FP FQ t t t
∆+++++-+++=⋅===
u u u
r u u u r 234131
2222t kt t k t t
+-==+-
①因为0k ≥时.由（1
）知k =
3122PQF t S t ∆=+
由函数31
()(1)22t f t t t
=
+≥单调递增，可得此时(1)1PQF S f ∆≥=. ②当k 0<时，由（1
）知31
22PQF t k S t
∆==-
令(
)22222231321312()21(1),()2222211
t t t t g t t t g t t t t t t '
+=---≥=-+=--- 由()
()()()
()
2
2
2
2
2226
2
2
6222244
442
2
3131183122351
241
41411t t t t t t t t t t t t t t t t t t ++--⎛⎫
⎛⎫+----=-== ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
()()()()
442
2
22
2422
1(25)(25)1414(1)
41t t t t t t t t t t ⎡⎤⎡⎤+-+--+--⎣⎦⎣⎦=
=
--，故当
25t >+时， '()0g t >，此时函数()g t 单调递增：当125t ≤<+时，()0g t '＜，此时函数g()t 单
调递减，又由(1)1g =，故函数()g t 的最小值(25)1g +<，函数()g t 取最小值时
22125k +=+，可求得512
k +=-
. 由①②知，若点P 在x 轴上方，当PQF ∆的面积最小时，直线m 的斜率为512
+-. 【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到分类讨论求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道难题. 22．如图，已知抛物线E ：24y x =与圆M ：()2
223 x y r -+= （0r >）相交于A ，B ，C ，D 四个点，
（1）求r 的取值范围；
（2）设四边形ABCD 的面积为S ，当S 最大时，求直线AD 与直线BC 的交点P 的坐标. 【答案】（1）223r <<（2）点P 的坐标为1
(,0)3
- 【解析】 【分析】
()1将抛物线方程24y x =与圆方程()2223 x y r -+=联立,消去y 得到关于x 的一元二次方程, 抛物线
E 与圆M 有四个交点需满足关于x 的一元二次方程在()0,∞+上有两个不等的实数根,根据二次函数的有
关性质即可得到关于r 的不等式组,解不等式即可.
()2不妨设抛物线E 与圆M 的四个交点坐标为11(,2
A x x ，11(,2)
B x x -，22(,2
C x x -，
2(D x ，据此可表示出直线AD 、BC 的方程,联立方程即可表示出点P 坐标,再根据等腰梯形的面
积公式可得四边形ABCD 的面积S 的表达式,
令t =
由t =()1知01t <<,对关于t 的面
积函数进行求导，判断其单调性和最值,即可求出四边形ABCD 的面积取得最大值时t 的值,进而求出点P 坐标. 【详解】
（1）联立抛物线与圆的方程()2222
4,
3,
y x x y r ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 消去y ，得22290x x r -+-=.
由题意可知22290x x r -+-=在()0,∞+上有两个不等的实数根.
所以()2
2
4490,90,
r r ⎧∆=-->⎪⎨->⎪⎩
解得3r <<，
所以r
的取值范围为()
r ∈.
（2）根据（1）可设方程22290x x r -+-=的两个根分别为1x ，2x （120x x <<），
则1(A x
，1(,B x -
，2(,C x -
，2(D x ，
且122x x +=，2
129x x r =-，
所以直线AD 、BC 的方程分别为
)112y x x -=
-，
)112
y x x +=
-,
联立方程可得,点P
的坐标为()
， 因为四边形ABCD 为等腰梯形, 所以()(
)(()212
111
22
S AB CD x x x
x =
+⋅-=-
==
，
令()0,1t =，则()()(
)()2
2
3
242244321f t S t t t
t t ==+-=-+--，
所以()()
()()2
'3232132131f t t t t t =-+-=-+-，
因为01t <<,所以当103t <<
时,()0f t '>；当1
13
t <<时,()0f t '<， 所以函数()f t 在1(0,)3
上单调递增，在1
(,1)3上单调递减，
即当1
3
t =
时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值，
因为t =-,点P
的坐标为()
,
所以当四边形ABCD 的面积S 取得最大值时,点P 的坐标为1(,0)3
-. 【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.
23．在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为sin x y α
α
⎧=⎪⎨
=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，以x 轴
正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()26
π
ρθ+=.
（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设,A B 为曲线1C 上位于第一，二象限的两个动点，且2
AOB π
∠=
，射线,OA OB 交曲线2C 分别于
,D C ，求AOB ∆面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积.
【答案】（1）2
213
x y +=
；40x +-=（2）AOB V 面积的最小值为34；四边形的面积为294 【解析】 【分析】
（1）将曲线1C 消去参数即可得到1C 的普通方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线2C 的极坐标方程即可；
（2）由（1）得曲线1C 的极坐标方程，设1,()A ρθ，2(,)2B π
ρθ+，3(,)D ρθ，4(,)2
C π
ρθ+
利用方程可得
2
2
121
1
43ρρ+
=
，再利用基本不等式得
2212122114
3ρρρρ≤+=，即可得121324
AOB S ρρ∆=≥，根据题意知ABCD COD AOB S S S ∆∆=-，进而可得四边形ABCD 的面积. 【详解】
（1）由曲线1C
的参数方程为sin x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）消去参数得2213x
y +=
曲线2C 的极坐标方程为sin()26
π
ρθ+
=，即sin cos cos sin
26
6
ππ
ρθρθ+=，
所以，曲线2C
的直角坐标方程40x +-=.
（2）依题意得1C 的极坐标方程为2222cos sin 13
ρθ
ρθ+=
设1,()A ρθ，2(,)2B π
ρθ+，3(,)D ρθ，4(,)2
C π
ρθ+ 则
222
2
11
cos sin 13
ρθ
ρθ+=，
2
222
22
sin cos 13
ρθ
ρθ+=，故
2
2
121
1
43
ρρ+
=
2
2
12
122
1
1
43ρρρρ∴
≤
+
=
，当且仅当12ρρ=（即4
π
θ=）时取“=”， 故1213
24AOB S ρρ∆=
≥，即AOB ∆面积的最小值为34
. 此时
34112222sin()cos()4646
COD S ρρππππ∆=
=⋅
++4
8cos 3π==， 故所求四边形的面积为329844
ABCD COD AOB S S S ∆∆=-=-=. 【点睛】
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。