2012新高考数学全案人教版(课外学生练与悟)8-8

第8章 第8讲
一、选择题
1．为了测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB 的高( )
A ．20(1＋
3
3
) m B ．20(1＋32
) m C ．20(1＋3) m
D ．30 m
[解析] 如图：h ＝20tan30°＋20tan45°＝20(1＋
3
3
)(m)，故选A.
[答案] A
2．已知两座灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察
站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )
A ．北偏东10°
B ．北偏西10°
C ．南偏东10°
D ．南偏西10°
[解析] 如图，∠CBA ＝1
2(180°－80°)＝50°，
60°－50°＝10°，故选B. [答案] B
3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处则这船航行的速度为( )
A.1762海里/小时
B ．346海里/小时 C.1722
海里/小时
D ．342海里/小时
[解析] 设船航行的速度为x 海里/小时，则MN ＝4x ，在△PMN 中PM ＝68，∠MPN ＝75°＋45°＝120°.
∠PNM ＝45°，由正弦定理可得
MN sin120°＝MP sin45° ∴MN ＝68·sin120°
sin45°＝346(海里)
∴x ＝MN 4＝1726(海里/小时)，故选C.
[答案] C
4．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ，继续在地面上前进2003以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )
A ．200 m
B ．300 m
C ．400 m
D ．100 3 m
[解析] 如图，△BED ，△BDC 为等腰三角形BD ＝ED ＝600，BC ＝DC ＝200 3.
在△BCD 中，由余弦定理可得 cos2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32
∴2θ＝30°，4θ＝60°
在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin4θ＝2003×3
2
＝300 m 故选B. [答案] B
5．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为( )
A.400
3 m B.40033 m
C.20033
m
D.2003
m [解析] 设塔高为h ，则依题意，∠ADB ＝60°， ∠CAD ＝∠CDA ＝30°.
在△ACD 中，(200sin60°)2
＝h 2＋h 2－2h 2cos120°，
∴h ＝400
3(m)．
[答案] A
6．甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10 km ，甲船以每小时4 km/h 的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6 km 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )
A.150
7 min B.15
7 min C ．21.5 min
D ．2.15 min
[解析] t h 后，甲乙两船的距离为
s 2＝(6t )2＋(10－4t )2－2×6t ×(10－4t )cos120° ＝28t 2－20t ＋100. ∴当t ＝
202×28＝514
h ＝514×60＝150
7 min 时，甲乙两船的距离最近．
[答案] A 二、填空题
7．在△ABC 中，三边a 、b 、c 与面积S 的关系式为S ＝1
4(a 2＋b 2－c 2)，则角C 为________．
[解析] S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝14×2ab cos C ＝1
2ab cos C
又∵S ＝1
2
ab sin C
∴12ab sin C ＝1
2ab cos C ，∴tan C ＝1 ∴∠C ＝π4.
[答案] π
4
8．一船以32 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 望见航标灯M 在船的北偏东30°方向上，15分钟后到点B 望见航标灯M 在船的北偏东60°方向上，则船在点B 时与航标灯M 的距离是________km.
[解析] 在△ABM 中，∠BAM ＝∠AMB ＝30° ∴BM ＝AB ＝32×1
4＝8(km)．
[答案] 8
9．从某电视塔的正东方向A 处，测得塔顶仰角是60°，从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角是45°，A 、B 间距离是35 m ，则电视塔的高度是________m.
[解析] 如图，CO ⊥平面OAB ，设塔高为h ，则 在Rt △BOC 中，OB ＝h /tan45°＝h
在Rt △AOC 中，OA ＝h /tan60°＝
3
3
h 在△AOB 中，∠AOB ＝150° AB ＝35
由余弦定理可得AB 2＝OB 2＋OA 2－2OA ·OB ·cos150° 即352＝h 2＋13h 2－2·h ·33·h ·(－32)
解得h ＝521. [答案] 521
10．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为________km.
[解析] AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120° ＝
102＋202＋2×10×20×1
2
＝107(km)．
[答案] 107 三、解答题
11．(2007·山东卷)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？
[解] 如题图，连结A 1B 1，A 2B 2＝102，
A 1A 2＝20
60×302＝102，△A 1A 2B 2是等边三角形，
∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得
B 1B 22＝A 1B 12＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos45° ＝202＋(102)2－2×20×102×
2
2
＝200 B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度的大小为102
20×60＝30 2.
答：乙船每小时航行302海里．
12．(2010·陕西，17)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里
/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？
[解] 由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝AB
sin ∠ADB
，
∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB
＝5(3＋3)·sin45°
sin105°
＝5(3＋3)·sin45°
sin45°cos60°＋cos45°sin60°
＝
53(3＋1)
3＋12
＝103(海里)，
又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12
＝900，
∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝30
30＝1(小时)．
答：救援船到达D 点需要1小时．
亲爱的同学请写上你的学习心得。