八年级数学下册13线段的垂直平分线第1课时学案北师大版

O A B
l
线段的垂直平分线
课题：第一章第3节 线段的垂直平分线（第 1课时）
学习目标 1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．
2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富
对几何图形的认识。

重点 运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。

难点 垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。

教学流程 学校年级组
二备
教师课前备课 自主学习，尝试解决 自主学习，尝试解决
1、定理“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的
距离相等”条件是 ，结论是 。

2、如图，已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是AB
上的一点，如果EC=7cm ，那么ED= cm ；如果∠
ECD=60°，那么∠EDC= 。

合作学习，
活动一：三人行，必有我师焉： 解：如图，已知：直线l 是线段AB 的垂直平分线
______________________ 2、 写出上面定理的逆命题 它是
∵
∴Rt△ ≌Rt△ (HL 定理)．
C A
D B E
A B 即
活动二：探索新知：
请你用3种方法画出下面线段的垂直平分线。

1.折纸法：在半透明纸上画一条线段AA ’,折纸，使A
与A ’ ，得到的折痕I 就是线段AA ’的垂直
平分线。

2.度量法：用刻度尺量出线段的 ，再用三角
尺过 画垂线。

3.你能用尺规作图画出线段的垂直平分线吗？
思考：为什么这样作出的直线，就是线段AB 的垂直
平分线？设该直线交AB 于点O ，你能给出证明吗？
活动三：垂直平分线的应用
例题：已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC ，O
是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线
段BC 。

证明：
课堂达标训
练（5至8分
钟）（要求起
点低、分层
次达到课标
要求）。

1、如图，AD 是线段BC 的垂直平分线，AB = 5，BD = 4，则AC = ，CD = 。

2、如图，△ABC 中，AB = AC ，∠A = 40°，DE 为AB 的中垂线，则∠1 = °，∠C = °，∠3 = °，∠2 = °；若△ABC 的周长为16cm ，BC = 4cm ，则
AC = ，△BCE 的周长为 。

(1) (2)
3、如图，要在公路l 边上建一个公交车站M ，使A 、B
两地到M 的距离相等。

请你找出M 的位置。

A B C D C B A D
E 132C B P A
B C D
A A
B l
4、如图，在ABC ∆中，AD 垂直平分BC ，4=AB ，
那么=AC 依据是 ：
学习小结,
引导学生整
理归纳 垂直平分线定理： ，逆定理是 。

八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．下列长度的三条线段，哪一组能构成三角形（）
A．2,2,5B．3,4,5C．2,6,10D．4,5,9
【答案】B
【解析】由题意直接根据三角形的三边关系进行分析判断即可．
【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A、2+2=4＜5，不能组成三角形；
B、3+4=7>5，能组成三角形；
C、2+6=8<10，不能组成三角形；
D、4+5=9，不能组成三角形．
故选：B．
【点睛】
本题考查能够组成三角形三边的条件，用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
2．下列各数组中，不是勾股数的是( )
A．6，8，10B．9，41，40
C．8，12，15D．5k，12k，13k（k为正整数）
【答案】C
【解析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、62+82=102，三边是正整数，能构成直角三角形，故是勾股数，此选项错误；
B、92+402=412，三边是正整数，能构成直角三角形，故是勾股数，此选项错误；
C、82+122≠152，不是勾股数，此选项正确；
D、（5k）2+（12k）2=（13k）2，三边是正整数，能构成直角三角形，故是勾股数，此选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形.
3．如果一个三角形的一个顶点是它的三条高的交点，那么这个三角形是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【答案】B
【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A 、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；
B 、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；
C 、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；
D 、等边三角形，三条高线交点在三角形内，故错误．
故选B ．
【点睛】
主要考查学生对直角三角形的性质的理解及掌握．
4．如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A ．//A
B D
C ，DAB BC
D ∠=∠
B ．AB D
C =，A
D BC = C ．AO CO =，BO DO =
D ．//AB DC ，AD BC =
【答案】D
【分析】分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可．
【详解】A 、∵AB ∥CD ，
∴∠DAB ＋∠ADC ＝180°，而DAB BCD ∠=∠，
∴∠ADC ＋∠BCD ＝180°，
∴AD ∥BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；
B 、∵AB ＝D
C ，A
D ＝BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；
C 、∵AO ＝CO ，BO ＝DO ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，故此选项不合题意；
D 、AB ＝DC ，AD ∥BC 无法得出四边形ABCD 是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
5．下面的计算中，正确的是（ ）
A ．4442b b b ⋅=
B ．336x x x ⋅=
C ． 4329()a a a ⋅=
D ．326()ab ab = 【答案】B
【分析】直接利用积的乘方运算法则、幂的乘方法则以及同底数幂的乘法运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：A、b4•b4=b8，故此选项错误；
B、x3•x3=x6，正确；
C、（a4）3•a2=a14，故此选项错误；
D、（ab3）2=a2b6，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了积的乘方运算、幂的乘方和同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为( ) A．x(x－1)＝90B．x(x－1)＝2×90C．x(x－1)＝90÷2D．x(x＋1)＝90
【答案】A
【分析】如果设数学兴趣小组人数为x人，每名学生送了（x﹣1）张，共有x人，则一共送了x（x﹣1）张，再根据“共互送了1张贺年卡”，可得出方程为x（x﹣1）＝1．
【详解】设数学兴趣小组人数为x人，每名学生送了（x﹣1）张，共有x人，根据“共互送了1张贺年卡”，可得出方程为x（x﹣1）＝1．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是读清题意，找准数量关系，列出方程．
7．已知二元一次方程组
m2n4
2m n3
-=
⎧
⎨
-=
⎩
，则m+n的值是（）
A．1B．0C．-2D．-1
【答案】D
【解析】分析：根据二元一次方程组的特点，用第二个方程减去第一个方程即可求解.
详解：
24 23
m n
m n
-=
⎧
⎨
-=
⎩
①
②
②-①得m+n=-1.
故选：D.
点睛：此题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，关键是利用加减法对方程变形，得到m+n这个整体式子的值.
8．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）
A．(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2B．a(a﹣b)=a2﹣ab
C．(a﹣b)2=a2﹣b2D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
【答案】D
【分析】根据面积相等，列出关系式即可．
【详解】解：由题意得这两个图形的面积相等，
∴a2﹣b2=(a+b)(a-b)．
故选D．
【点睛】
本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握．掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
9．计算，得（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直接提取公因式（-3）m-1，进而分解因式即可．
【详解】（-3）m+2×（-3）m-1
=（-3）m-1（-3+2）
=-（-3）m-1．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
10．已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则这个三角形的第三边的长可能是( )
A．4cm B．5cm C．6cm
D．13cm
【答案】C
【详解】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知第三边应大于5且小于11，
故选C
二、填空题
∆放在如图所示的平面直角坐标系中，点A、C均在y轴上，C(0，2)，∠ACB=90︒，11．腰长为4的等腰直角ABC
AC=BC=4，平行于y轴的直线x=-2交线段AB于点D，点P是直线x=-2上一动点，且在点D的上方，当
4ABP S ∆=时，以PB 为直角边作等腰直角BPM ∆，则所有符合条件的点M 的坐标为________．
【答案】(6,8)-或(2,4)或(8,4)-或(0,0)
【分析】根据等腰直角三角形存在性问题的求解方法，通过分类讨论，借助全等的辅助，即可得解.
【详解】∵90ACB ∠=︒，AC=BC=4，平行于y 轴的直线2x =-交线段AB 于点D ，()0,2C ∴()2,4D -
∵4ABP S ∆= ∴142
PD BC ⋅= ∴PD=2
∴()2,6P -
以PB 为直角边作等腰直角1BPM ∆
如下图，作1M R ⊥PD 于R
∵1PM PB =
190M RP PSB ∠=∠=︒,
1190RM P RPM SPB ∠=︒-∠∠＝
∴()1RM P SPB AAS ∆≅∆
∴14M R PS ==，RP=BS=2
∴()16,8M -；
以PB 为直角边作等腰直角2BPM ∆
同理可得()22,4M ；
以PB 为直角边作等腰直角3BPM ∆
同理可得()38,4M -；
以PB 为直角边作等腰直角4BPM ∆
同理可得()40,0M ，
∴M 的坐标为(6,8)-或(2,4)或(8,4)-或(0,0)，
故答案为：(6,8)-或(2,4)或(8,4)-或(0,0).
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的存在性问题，通过面积法及三角形全等的判定和性质进行求解是解决本题的关键.
12．函数3 4y x =-自变量x 的取值范围是______. 【答案】4x ≠
【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【详解】解：由题意，得
1-x≠0，
解得x≠1，
故答案为x≠1．
【点睛】
本题考查了函数值变量的取值范围，利用分母不为零得出不等式是解题关键． 13．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度，如图，某路口的斑马线路段A B C --横穿双向行驶车道，其中6AB BC ==米，在绿灯亮时，小明共用12秒通过AC ，其中通过BC 的速度是通过AB 速度的1.5倍，求小明通过AB 时的速度.设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列方程得：______.
【答案】66121.5x x
+= 【解析】设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，根据题意列出分式方程解答即可．
【详解】解：设小明通过AB 时的速度是x 米/秒，由共用12秒通过AC 可得：
66121.5x x
+=.
故答案为：66121.5x x
+=. 【点睛】 此题考查由实际问题抽象分式方程，关键是根据题意列出分式方程解答．
14．如图，在ABC 中，,50,AB AC BAC D =∠=是边BC 的中点，DE 垂直AC 于点E ，则EDA ∠=_______________度．
【答案】65
【分析】根据等腰三角形的性质及三线合一的性质可知DAC ∠的度数，再由三角形内角和定理即可得到EDA ∠的度数.
【详解】∵AB AC =
∴ABC ∆是等腰三角形
∵D 是边BC 的中点，50BAC ∠=︒
∴AD 平分BAC ∠
∴1252
DAC BAC ∠=∠=︒ ∵DE ⊥AC
∴90DEA ∠=︒
∴902565EDA ∠=︒-︒=︒，
故答案为：65.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及三线合一的性质，熟练掌握相关性质知识是解决本题的关键. 15．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 在BC 的延长线上，G 是AC 上一点，且CG CD =，F 是GD 上一点，且DF DE =．若100A ∠=︒，则E ∠的大小为__________度．
【答案】10
【解析】根据三角形外角的性质，结合已知DF DE
=，得∠E=1
2
∠CDG，同理，CG CD
=，
∠CDG=1
2
∠ACB，AB AC
=，得出∠ACB=∠B，利用三角形内角和180°，计算即得．
【详解】∵DE=DF，CG=CD，
∴∠E=∠EFD=1
2
∠CDG，∠CDG=∠CGD=
1
2
∠ACB，
又∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=1
2
（180°-∠A）=
1
2
（180°-100°）=40°，
∴∠E=11
40=10 22
⨯⨯︒︒，
故答案为：10°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形外角的性质确定各角之间的关系．
16．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．
【答案】()n13-
【详解】试题分析：连接DB，BD与AC相交于点M，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．AC⊥DB．
∵∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形．
∴DB=AD=1，∴BM=1 2
∴
∴
同理可得2，3，…
按此规律所作的第n n-1
17．若分式
29
3
x
x
-
-
的值为0，则x的值为_______.
【答案】-1
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】解：根据题意得：
29=0
30
x
x
⎧-
⎨
-≠
⎩
，
解得：x=-1．
故答案为：-1.
【点睛】
若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为2；（2）分母不为2．这两个条件缺一不可．
三、解答题
18．下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2-4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2-4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）不彻底，（x-2）1；（3）（x-1）1
【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；
（3）将（x2-2x）看作整体进而分解因式即可．
【详解】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，
原式=（x2-1x+1）2=（x-2）1；
故答案为：不彻底，（x-2）1；
（3）（x2-2x）（x2-2x+2）+1
=（x2-2x）2+2（x2-2x）+1
=（x2-2x+1）2
=（x-1）1．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底．19．已知：点D是等边△ABC边上任意一点，∠ABD=∠ACE，BD=CE．
（1）说明△ABD≌△ACE的理由；
（2）△ADE是什么三角形？为什么？
【答案】（1）证明见解析；（2）△ADE是等腰三角形．理由见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS可证△ABD≌△ACE；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等判定AD＝AE，可得△ADE是等腰三角形．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
在△ABD与△ACE中，
AB AC
ABD ACE BD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△ADE是等腰三角形．
理由：由（1）知△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，
∴△ADE 是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 20．如图，点D 、E 分别在AB 、AC 上，连接DE ，DF 平分BDE ∠交BC 于点F ，
180BDF DFC ∠+∠=︒，AED BFD ∠=∠．
（1）DE 与BC 平行吗？并说明理由；
（2）写出图中与CED ∠相等的角，并说明理由；
【答案】（1）DE ∥BC ，理由见解析；（2）与CED ∠相等的角有：∠CFD 、∠ADF ，理由见解析
【分析】（1）利用角平分线及邻补角证得∠BDF=∠BFD ，即可得到∠BFD=∠EDF ，得到DE ∥BC ； （2）根据DE ∥BC 及AED BFD ∠=∠证得∠CED=∠CFD ，再根据∠BFD+∠CFD=180°，
∠BDF+∠ADF=180°，∠BDF=∠BFD ，得到∠ADF=∠CED.
【详解】（1）DE ∥BC ，理由如下：
∵DF 平分BDE ∠，
∴∠BDF=∠EDF ，
∵180BDF DFC ∠+∠=︒，∠BFD+∠DFC=180°，
∴∠BDF=∠BFD ，
∴∠BFD=∠EDF ，
∴DE ∥BC ；
（2）与CED ∠相等的角有：∠CFD 、∠ADF ，理由如下：
∵DE ∥BC ，
∴∠AED=∠C ，∠C+∠CED=180°，
∵AED BFD ∠=∠，
∴∠C=∠BFD,
∴DF ∥AC ，
∴∠C+∠CFD=180°，
∴∠CED=∠CFD ，
∵∠BFD+∠CFD=180°，∠BDF+∠ADF=180°，∠BDF=∠BFD ，
∴∠CFD=∠ADF,
∴∠ADF=∠CED,
∴与CED ∠相等的角有：∠CFD 、∠ADF.
【点睛】
此题考查角平分线的性质，平行线的判定及性质定理，邻补角定义，补角的性质.
21．（1）因式分解：()
28116a a +-． （2）解方程：21139
x x x -=--． （3）先化简：2211121x x x x x x x -+⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭
，然后x 在1－，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值．
【答案】（1）8(a ﹣1)2；（2）x =-83
；（1）x +1；x =2时，原式=1． 【分析】（1）根据完全平方公式进行因式分解即可；
（2）方程两边同时乘(x +1)(x -1)，将分式方程转化为整式方程即可解答；
（1）根据分式的混合运算法则化简，注意x 只能取2，代入化简后的式子计算即可．
【详解】（1）解：原式=8(a 2+1﹣2a)=8(a ﹣1)2
（2）解：3
x x -－1=1(3)(3)x x +- 方程两边同时乘(x +1)(x -1)得
x (x +1)-(x +1)(x -1)=1
223(9)1x x x +--=
22391x x x +-+=
38x =-
x =83-
检验：当x =83-
时，(x +1)(x -1)≠0， ∴x =83
-是原方程的解． （1）解：原式=2(1)(1)(1)x x x +--×1x x +×21x x
- =11x x +-×1x x +×(1)(1)x x x
+- =x +1
当x =2时，原式=2+1=1
(x 只能等于2)
【点睛】
本题考查了因式分解、解分式方程、分式化简求值，解题的关键是灵活运用上述运算法则．
22．已知y +1与x ﹣1成正比，且当x ＝3时y ＝﹣5，请求出y 关于x 的函数表达式，并求出当y ＝5时x 的值．
【答案】y ＝﹣2x+2，x ＝﹣2
【分析】设方程1(1)y k x +=-,代入当x ＝3时y ＝﹣5, 解方程求得.
【详解】解：依题意，设y +2＝k （x ﹣2）（k ≠3），将x ＝3，y ＝﹣5代入，
得到：﹣5+2＝k （3﹣2），
解得：k ＝﹣2．
所以y +2＝﹣2（x ﹣2），即y ＝﹣2x +2．
令y ＝5，解得x ＝﹣2．
【点睛】
本题考查了待定系数法求得一次函数解析式．求一次函数的解析式时，设y ＝kx +b ，注意k ≠3． 23．如图，(0,2),B(m,0)A 为x 轴上一个动点，,90,AB BC ABC =∠=︒
（1）如图1，当1m =，且,,A B C 按逆时针方向排列，求C 点的坐标．
（图1）
（2）如图2，当3m =，且,,A B C 按顺时针方向排列，(2,0)E -连CE 交y 轴于F ，求证：OE OF =
（图2）
（3）如图3，m ＞2，且,,A B C 按顺时针方向排列，若,D B 两点关于直线AC 的的对称点，画出图形并用含m 的式子表示OBD ∆的面积OBD S ∆
图3
【答案】（1）C （3，1）(2)见解析 （3）OBD S ∆=212
m m -. 【分析】（1）作CD ⊥x 轴，根据题意证明△ABO ≌△BCD 即可求解；
(2)过B 点作GH ⊥x 轴，作AG ⊥GH,CH ⊥GH ，同理可证△ABG ≌△BCH ，求出C 点坐标，从而求出直线EC 解析式，得到F 点坐标即可求解；
（3）根据题意作图，可得四边形ABCD 为正方形，由（2）同理求出C 点坐标，同理求出D 点坐标，即可表示出OBD S ∆.
【详解】（1）1m =
∴(0,2),B(1,0)A
作CD ⊥x 轴，
∵90,ABC ∠=︒
∴90ABO CBD ∠+∠=︒
又90ABO OAB ∠+∠=︒
∴CBD OAB ∠=∠
又AB BC =
∴△ABO ≌△BCD （AAS ）
∴BD=AO=2,CD=OB=1
∴C （3，1）；
(2)过B 点作GH ⊥x 轴，作AG ⊥GH,CH ⊥GH ，
∵AB BC =，90ABC ∠=︒
同（1）可证△ABG ≌△BCH ，
∵3m =
∴BH=AG=BO=3，CH=BG=AO=2
∴C （1,-3）
∵(2,0)E -∴EO=2
求得直线EC 的解析式为y=-x-2
∴F （0，-2）
∴OF=2
则OE OF =；
（3）根据题意作图，∵AB BC =，90ABC ∠=︒
可得△ABF ≌△BCF ，
由(0,2),B(m,0)A
可得BF=AE=m,CF=BE=2,
∴C （m-2,-m ）
∵,D B 两点关于直线AC 的的对称点，
∴四边形ABCD 为正方形
同理△CDG ≌△BCF ≌△ABF
∴CG=BF=AE=m ，DG=CF=BE=2,
∴D （-2，-m+2）
∴OBD S ∆=12OB h ⨯=122m m ⨯⨯-+=211(2)22
m m m m ⨯⨯-=-.
【点睛】
此题主要考查一次函数与几何，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质.
24．ABC ∆在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示，已知A 点坐标为()()()2,3,1,10,2B C --
（1）作ABC ∆关于y 轴对称的图形111A B C ∆；
（2）将111A B C ∆向右平移4个单位，作出平移后的222A B C ∆；
（3）在x 轴上求作一点P ，使12PB PC +得值最小，并写出点P 的坐标（不写解答过程，直接写出结果）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；点P 坐标为()2,0．
【分析】（1）作ABC ∆各个顶点关于y 轴对称的对称点，顺次连接起来，即可；
（2）将111A B C ∆向右平移4个单位后的对应点，顺次连接起来，即可；
（3）作出1B 关于x 轴的对称点'B ，连接2'B C ，交x 轴于点P ，即可．
【详解】（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）如图所示，作出1B 关于x 轴的对称点'B ，连接2'B C ，交x 轴于点P ，点P 坐标为()2,0．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中，图形的轴对称与平移变换及点的坐标，掌握轴对称图形的性质，是解题的关键．
25．先化简，再求值: 2295(2)242
y y y y y -÷----，其中 2y =【答案】12y ，2【解析】先把原式化简，化为最简后再代数求值即可.
【详解】解：原式=()()3y)3y 22y y +-÷-（[52y --()()222
y y y +--] =()()()()3y)3y 522222
y y y y y +--+-÷--（ =()
()()
3y)3y 2223y)3y y y y +--⨯-+-（（ =12y
当2y =时，原式222. 【点睛】
本题考查了化简求值问题，正确化简是解题的关键.
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．在平面直角坐标系中，直线1:3l y x =+与直线2:l y mx n =+交与点()2,A b -，则关于x ，y 的方程
组3y x y mx n =+⎧⎨=+⎩
的解为（ ）‘
A ．2
1x y =-⎧⎨
=⎩
B ．2
1x y =⎧⎨
=-⎩
C ．1
2x y =-⎧⎨
=⎩
D ．1
2x y =-⎧⎨
=-⎩
【答案】A
【分析】直接根据图像及一次函数与二元一次方程组的关系进行求解即可． 【详解】解：由直线1:3l y x =+与直线2:l y mx n =+交与点()2,A b -，可得：
231b =-+=，所以()2,1A -；
∴由图像可得：关于x ，y 的方程组3y x y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为2
1x y =-⎧⎨=⎩
；
故选A ． 【点睛】
本题主要考查一次函数与二元一次方程组，关键是根据题意得到一次函数与二元一次方程组的关系即可． 2．关于x 的分式方程2322x m m
x x
++=--的解为正实数，则实数m 可能的取值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．7
【答案】B
【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：
2322x m m
x x
++=-- 方程两边同乘（x-1）得，x+m-1m=3x-6，
解得，6m
x=2
－ 由题意得，6m
x=2
－＞0
解得，m ＜6， 又∵6m
x=
2
－≠1 ∴m ≠1，
∴m ＜6且m ≠1． 故选：B 【点睛】
本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．
3．已知：如图，点P 在线段AB 外，且PA=PB ，求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A ．作∠AP
B 的平分线P
C 交AB 于点C B ．过点P 作PC ⊥AB 于点C 且AC=BC C ．取AB 中点C ，连接PC
D ．过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C 【答案】B
【解析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
【详解】A 、利用SAS 判断出△PCA ≌△PCB ，∴CA=CB ，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，符合题意；
B 、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；
C 、利用SSS 判断出△PCA ≌△PCB ，∴CA=CB ，∠PCA=∠PCB=90°， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，符合题意；
D 、利用HL 判断出△PCA ≌△PCB ，∴CA=CB ， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，符合题意， 故选B ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．
4．三角形的三边为a 、b 、c ，则下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ） A ．a:b:c=8:16:17 B ．222a c b -=
C ．2()()a b c b c =+-
D ．∠A=∠B+∠C
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A 、∵82+162≠172，故△ABC 不是直角三角形； B 、∵222a c b -=，∴222a c b +=，故△ABC 为直角三角形； C 、∵a 2=（b+c ）（b-c ），∴b 2-c 2=a 2，故△ABC 为直角三角形；
D 、∵∠A=∠B+∠C ，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，故△ABC 为直角三角形； 故选：A 【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理，判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
5．已知AD 是△ABC 中BC 边上的中线，AB=4，AC=6，则AD 的取值范围是（ ）． A ．2<AD<10 B ．1<AD<5
C ．4<AD<6
D ．4≤AD≤6
【答案】B
【分析】延长AD 到E ，使DE=AD ，证明ABD ECD SAS △≌△（），从而求AD 的取值范围 【详解】延长AD 到E ，使DE AD = ∵AD 是BC 边上的中线 ∴BD CD =
ADB EDC DE AD ==∵∠∠，
ABD ECD SAS ∴△≌△（）
CE AB ∴=
46AB AC ==，
6464AE ∴-+＜＜，
即210AE ＜＜
故答案为15AD ＜＜ 【点睛】
本题考察了延长线的应用、全等三角形的判定定理以及三角形的两边之和大于第三边，合理地作辅助线是解题的关键 6．不等式﹣2x ＞1
2
的解集是（ ） A ．x ＜﹣
14 B ．x ＜﹣1
C ．x ＞﹣
14
D ．x ＞﹣1
【答案】A
【解析】解：根据不等式的基本性质3，不等式两边同除以-2，即可得x ＜－14
故选A ． 【点睛】
此题主要考查了不等式的性质，利用不等式的基本性质3解题，关键是注意两边同时乘以或除以同一个负数，不等式的符号改变． 7．在化简分式
2
33
11x x x
-+--的过程中，开始出现错误的步骤是( )
A ．
()()()()()
313
1111x x x x x x +--+-+-
B ．()()
33111x x x x --++-
C ．
()()
22
11x x x --+-
D ．2
1
x -
- 【答案】B
【分析】根据题意直接将四选项与正确的解题步骤比较，即可知错误的步骤． 【详解】解：∵正确的解题步骤是：
()()()()()()()
231333333
11111111x x x x x x x x x x x x x +-----+=-=--+-+-+-， ∴开始出现错误的步骤是()()
331
11x x x x --++-．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查分式的加减法，熟练掌握分式的加减法运算法则是解题的关键. 8．若分式1
3
x x --的值为0，则x 的值应为（ ） A ．1 B ．1- C ．3 D ．3-
【答案】A
【解析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．
【详解】由分式的值为零的条件得x ﹣1＝2，且x ﹣3≠2，解得：x ＝1． 故选A ． 【点睛】
本题考查了分式值为2的条件，具备两个条件：（1）分子为2；（2）分母不为2．这两个条件缺一不可． 9．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A ．2cm 、2cm 、4cm B ．2cm 、6cm 、3cm C ．8cm 、6cm 、3cm D ．11cm 、4cm 、6cm
【答案】C
【分析】根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 【详解】A. ∵2+2=4，∴ 2cm 、2cm 、4cm 不能组成三角形，故不符合题意； B. ∵2+3<6，∴2cm 、6cm 、3cm 不能组成三角形，故不符合题意； C. ∵3+6>8，∴8cm 、6cm 、3cm 能组成三角形，故符合题意； D. ∵4+6<11，∴11cm 、4cm 、6cm 不能组成三角形，故不符合题意；
【点睛】
本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键.
101,3.14,2
π （ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比．
1,3.14,2
ππ 是无理数 故答案为：B ． 【点睛】
本题主要考查了无理数的基本概念，掌握无理数的性质以及判断方法是解题的关键． 二、填空题 11．已知12x y =⎧⎨
=⎩和1
3
x y =-⎧⎨=-⎩都是方程2mx y n -=的解，则3n m -=_______．
【答案】－1
【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得二元一次方程组，解方程组，可得答案． 【详解】把12x y =⎧⎨
=⎩、1
3
x y =-⎧⎨=-⎩分别代入2mx y n -=得：46m n m n -=⎧⎨-+=⎩，
解得5
1m n =⎧⎨=⎩
，
∴33152n m -=⨯-=-． 故答案为：－1． 【点睛】
本题考查方程的解及二元一次方程组，熟练掌握解的概念及二元一次方程组解法是解题关键． 12．分式22
24x y
xy 化为最简分式的结果是__________________．
【答案】
2x y
【分析】根据被开方数不含分母；被开方数不含能开的尽方的因数或因式的二次根式为最简二次根式，进行化简即可。

【详解】因为2224x y xy 有意义，所以00x y ≠≠，，所以22
242x y x
xy y
=
本题考查的是根式有意义的条件和最简二次根式的意义，能够判断出00x y ≠≠，是解题的关键。

13．如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(a+2b)，宽为(2a+b)的大长方形，那么需要A 类、B 类和C 类卡片的张数分别为______．
【答案】2，2，1
【分析】根据长乘以宽，表示出大长方形的面积，即可确定出三类卡片的张数． 【详解】解：∵(2a+b)(a+2b)=2a 2+4ab+ab+2b 2=2a 2+1ab+2b 2， ∴需要A 类卡片2张，B 类卡片2张，C 类卡片1张． 故答案为2，2，1． 【点睛】
此题考查了多项式乘多项式，弄清题意是解本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
14．在平面直角坐标系中，直线l 1∥l 2，直线l 1对应的函数表达式为1
2
y x =，直线l 2分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，OA=4，则OB=_____．
【答案】1
【详解】∵直线1l ∥2l ，直线1l 对应的函数表达式为1
2
y x =， ∴可以假设直线2l 的解析式为1
2
y x b =+， ∵4OA =，
∴()40A ，
代入1
2
y x b =+，得到2b =-， ∴()0,2B -， ∴2OB =， 故答案为1．
15．点M （-5，−2）关于x 轴对称的点是点N ，则点N 的坐标是________．
【答案】（-5，2）
【分析】根据关于x轴对称的点的横纵坐标的特点解答即可．
【详解】∵点M（-5，-2）与点N关于x轴对称，
∴点N的横坐标为-5，纵坐标为2，故点N的坐标是：（-5，2）．
故答案为：（-5，2）．
【点睛】
本题考查了关于x轴对称的点的特点：两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．
16．已知等腰三角形有两条边分别是3和7，则这个三角形的周长是_______.
【答案】17
【解析】根据等腰三角形的可得第三条边为3或7，再根据三角形的三边性质即可得出三边的长度，故可求出三角形的周长.
【详解】依题意得第三条边为3或7，又3+3＜7，故第三条边不能为3，
故三边长为3,7,7故周长为17.
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知三角形的构成条件.
17．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC＝_____度．
【答案】35
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∠BOC+∠OBC
＝∠OCE，再根据角平分线的定义可得∠OBC＝1
2
∠ABC，∠OCE＝
1
2
∠ACE，然后整理可得∠BOC＝
1
2
∠BAC．
【详解】解：由三角形的外角性质，∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∠BOC+∠OBC＝∠OCE，∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，
∴∠OBC＝1
2
∠ABC，∠OCE＝
1
2
∠ACE，
∴1
2
（∠BAC+∠ABC）＝∠BOC+
1
2
∠ABC，
∴∠BOC＝1
2
∠BAC，
∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝35°，
故答案为：35°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，要注意整体思想的利用． 三、解答题
18．（1）计算：212-⎛⎫- ⎪⎝⎭－|－3|＋(－2018)0＋(－2)2019×2019
12⎛⎫ ⎪⎝⎭
（2）计算：〔(2x －y)(2x ＋y)－(2x －3y)2〕÷(－2y)． 【答案】（1）1；（2）－6x ＋5y
【分析】（1）根据实数的混合运算法则进行计算即可得解； （2）根据整式的混合运算法则进行计算即可得解.
【详解】（1）原式＝2019
143122⎛⎫-⨯ ⎪
⎝
⎭－＋＋
＝4－3＋1－1 ＝1；
（2）原式＝2222441[((()92))2x y x xy y y ÷－－－＋]－ ＝222244129)()2(x y x xy y y ÷－－＋－－ ＝21212()0()xy y y ÷－－ ＝65x y －＋. 【点睛】
本题主要考查了实数及整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键.
19．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CA 平分∠BCD ，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 交CD 的延长线于点F.求证：△ABE ≌△ADF.
【答案】证明见解析
【解析】试题分析：由CA 平分∠BCD，AE⊥BC 于E ，AF⊥CD，可得AE=AF ，再由HL 判定Rt△AEB≌Rt△AFD，。