二次函数综合题2022年成都数学中考二模汇编

二次函数综合题2022年成都数学中考二模汇编
x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为1.如图，抛物线y=−1
2
(6,0)，点C坐标为(0,6)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
(1) 求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2) 点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
(3) 若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，
点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．
2.已知点A(−2,2)，B(8,12)在抛物线y=ax2+bx上．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图1，点F的坐标为(0,m)(m>4)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴
的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求AE
之值（用
FH 含m的代数式表示）；
(3) 如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C，D两点，点P从点C出发，沿射线CD方
向匀速运动，速度为每秒√2个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=3PM，求t的值．
3.成都地铁规划到2022年将通车13条线路，近几年正是成都地铁加紧建设和密集开通的几年，市
场对建材的需求量有所提高，根据市场调查分析可预测：投资水泥生产销售后所获得的利润y1（万元）与投资资金量x（万元）满足正比例关系y1=20x；投资钢材生产销售后所获得的利润y2（万元）与投资资金量x（万元）满足函数关系的图象如图所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点，AB∥x轴）．
(1) 直接写出当0<x≤30及x>30时，y2与x之间的函数关系式；
(2) 某建材经销公司计划投资100万元用于生产销售水泥和钢材两种材料，若设投资钢材部分的
资金量为t（万元），生长销售完这两种材料后获得的总利润为W（万元）．
①求W与t之间的函数关系式；
②若要求投资钢材部分的资金量不得少于45万元，那么当投资钢材部分的资金量为多少万
元时，获得的总利润最大？最大总利润是多少？
4.如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2−10ax+16a(a≠0)交x
轴于A，B两点，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点H，且AB=2DH．
(1) 求a的值；
(2) 点P是对称轴右侧抛物线上的点，连接PD，PQ⊥x轴于点Q，点N是线段PQ上的点，
过点N作NF⊥DH于点F，NE⊥PD交直线DH于点E，连接EF，如图2，求线段EF的长；
(3) 在（2）的条件下，连接DN，DQ，PB，如图3，当DN=2QN(NQ>3)，2∠NDQ+
∠DNQ=90∘时，作NC⊥PB交对称轴左侧的抛物线于点C，求点C的坐标．
答案
1. 【答案】
(1) 把 B ，C 两点坐标代入抛物线解析式可得 {−18+6b +c =0,c =6, 解得 {b =2,c =6.
∴ 抛物线解析式为 y =−12x 2+2x +6， ∵ y =−12x 2+2x +6=−12(x −2)2+8， ∴ D (2,8)；
(2) 如图 1，过 F 作 FG ⊥x 轴于点 G ，
设 F (x,−12
x 2+2x +6)，则 FG =∣∣−12x 2+2x +6∣∣， ∵ ∠FBA =∠BDE ，∠FGB =∠BED =90∘，
∴ △FBG ∽△BDE ，
∴ FG BG =BE DE ，
∵ B (6,0)，D (2,8)，
∴ E (2,0)，BE =4，DE =8，OB =6，
∴ BG =6−x ，
∴ ∣∣−12x 2+2x+6∣∣6−x =48
， 当点 F 在 x 轴上方时，有
−12x 2+2x+66−x =12，解得 x =−1 或 x =6（舍去），此时 F 点的坐标为 (−1,72)；
当点 F 在 x 轴下方时，有
−12x 2+2x+66−x =−12，解得 x =−3 或 x =6 (舍去)，此时 F 点的坐标为 (−3,−92)； 综上可知 F 点的坐标为 (−1,72) 或 (−3,−92)；
(3) 如图 2，设对角线 MN ，PQ 交于点 Oʹ，
∵ 点 M ，N 关于抛物线对称轴对称，且四边形 MPNQ 为正方形，
∴ 点 P 为抛物线对称轴与 x 轴的交点，点 Q 在抛物线的对称轴上，
设 Q (2,2n )，则 M 坐标为 (2−n,n )，
∵ 点 M 在抛物线 y =−12x 2+2x +6 的图象上，
∴ n =−12(2−n )2+2(2−n )+6，解得 n =−1+√17 或 n =−1−√17，
∴ 满足条件的点 Q 有两个，其坐标分别为 (2,−2+2√17) 或 (2,−2−2√17)．
2. 【答案】
(1) 点 A (−2,2)，B (8,12) 在抛物线 y =ax 2+bx 上，
∴{4a −2b =2,64a +8b =12,
∴{a =14,b =−12,
∴y =14x 2−12x ．
(2) 设直线 AF 的解析式为 y =kx +m ，
∵A (−2,2) 在 AF 上，
∴2=−2k +m ，k =12(m −2)，
∴ 直线 y =kx +m 可化为 y =12(m −2)x +m ，
则 {y =12(m −2)x +m,y =14x 2−12x, ∴x 2−2(m −1)x −4m =0，
∴(x +2)(x −2m )=0，
∴x =−2 或 x =2m ，
∴G 的横坐标为 2m ，
∴OH =2m ，
∵OF =m ，
∴FH =√5m ，
过 A 作 AN ⊥x 轴于点 N ，
则 N (−2,0)，
令 14x 2−12x =0， ∴x =0 或 x =2，
∴OE =2，NE =4，
∴AE =2√5，
∴AE FH =√5√5m =2m ．
(3) 由题意 A (−2,2)，B (8,12)，直线 AB 的解析式为：y =x +4，∠BCO =45∘，
直线 AB 与 x 轴交点为 C (−4,0)，
设 P (t −4,t )，则 Q (t,0)，设 M (x 0,y 0)，
由 QM =3PM 可得，则 ∣t −x 0∣=3∣x 0−t +4∣，
（ⅰ）当 t −x 0=3(x 0−t +4) 即 x 0=t −3，
直线 PQ 的解析式为 tx +4y −t 2=0，
∴y 0=34t ， ∴M (t −3,34y)，代入 y =14x 2−12x 即 14(t −3)2−12(t −3)=34t ， ∴t 2−11t +15=0，
∴t =11±√612，即：t 1=11+√612，t 2=11−√612；
（ⅰ）当 x 0−t =3(x 0−t +4) 即 x 0=t −6，
∴y 0=32t ， ∴M (t −6,32t)，代入 y =14x 2−12x 即 y =14(t −6)2−12(t −6)=32t ，
∴t 2−20t +48=0，
∴t =10±2√13，即：t 3=10+2√13，t 4=10−2√13，
综上所述，所求 t 为：t 1=
11+√612，t 2=11−√612，t 3=10+2√13，t 4=10−2√13．
3. 【答案】
(1) y 2=−x 2+60x ；y 2=900
(2) ①设投资钢材部分的资金量为 t 万元，则投资生产水泥的资金量为 (100−t ) 万元，
当 0<t ≤30 时，W =y 1+y 2=20(100−t )+(−t 2+60t )=−t 2+40t +2000，
当 t >30 时，W =20(100−t )+900=−20t +2900．
② ∵ t ≥45，
∴W =−20t +2900，W 随 t 的增大而减小，
∴ 当 t =45 时，W 最大值=2000 万元．
答：当投资钢材部分的资金量为 45 万元时，获得的总利润最大，最大总利润是 2000 万元．
【解析】
(1) 当 0<x ≤30 时，根据题意设 y 2=a (x −30)2+900，
将原点 (0,0) 代入，得：900a +900=0，解得：a =−1，
∴y 2=−(x −30)2+900=−x 2+60x ，
当 x >30 时，y 2=900．
4. 【答案】
(1) 令 y =0，
∵a ≠0，
∴x 2−10x +16=0，得 x =2 或 x =8，
∴ 点 A (2,0)，B (8,0)，
∴AB =8−2=6，
∵AB =2DH ，
∴DH =3，
∵OH =2+12AB =2+3=5， ∴D (5,−3)，
∴−3=a ×52−10a ×5+16a ，得 a =13．
(2) 如图4，过点 D 作 PQ 的垂线，交 PQ 的延长线于点 M ，
∵NE ⊥PD ，
∴∠DPN +∠PNE =90∘，
∵NF ⊥DE ，
∴∠FEN +∠FNE =90∘，
又 DH ⊥x 轴，PQ ⊥x 轴，
∴DE ∥PQ ，
∴∠FEN =∠PNE ，
∴∠DPM =∠ENF ，
∴△EFN ∽△DMP ，
∴EF DM =FN MP ，
设点 P (t,13t 2−103t +163)，
则 FN =DM =t −5，PM =13t 2−
103t +163+3， ∴EF t−5=t−513t 2−103t+163+3，
解得，EF =3．
(3) 如图5，作 QG ⊥DN 于点 G ，
∵DF ∥PQ ，
∴∠FDN =∠DNQ ，
∵2∠NDQ +∠DNQ =90∘，
∴2∠NDQ +∠FDN =90∘，
∵∠FDM =90∘，
∴∠NDM =2∠NDQ ，
∴∠NDQ =∠MDQ ，
∴QG =QM =DH =3，
设 QN =m ，则 DN =2m ，
∵sin∠DNM =
DM DN ，sin∠QNG =GQ NQ ，sin∠DNM =sin∠QNG ， ∴DM 2m =3m ，得 DM =6=DG ，
∴OQ =5+6=11，
∴点P的纵坐标是1
3
×(112−10×11+16)=9，∴点P(11,9)，
∵NG=DN−DG=2m−6，
在Rt△NGQ中，QG2+NG2=QN2，
∴32+(2m−6)2=m2，
解得，m=3（舍去）或m=5，
设点C的坐标为(n,1
3n2−10
3
n+16
3
)，作CK⊥x轴于点K，延长NF交CK于点T，如图6，
则CT=1
3n2−10
3
n+16
3
−5，NT=11−n，
∵P(11,9)，则BQ=11−8=3，PQ=9，∵CN⊥PB，PQ∥CK，PQ⊥x轴，
∴△CTN∽△BQP，
∴CT
BQ =NT
PQ
，
即1
3
n2−10
3
n+16
3
−5
3
=11−n
9
，
解得，n=−1或n=10（舍去），∴点C(−1,9)．。