离散数学2.1
离散数学(第五版)清华大学出版社第2章习题解答
离散数学（第五版）清华大学出版社第2章习题解答2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域.(1) 令F(x):x是鸟G(x):x会飞翔.命题符号化为∀x(F(x)→G(x)).(2)令F(x):x为人.G(x):x爱吃糖命题符号化为¬∀x(F(x)→G(x))或者∃x(F(x)∧¬G(x))(3)令F(x):x为人.G(x):x爱看小说.命题符号化为∃x(F(x)∧G(x)).(4) F(x):x为人.G(x):x爱看电视.命题符号化为¬∃x(F(x)∧¬G(x)).分析1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。
（1）-（4）中的F(x)都是特性谓词。
2° 初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为27∀x(F(x)∧G(x))即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。
将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。
”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。
若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。
”这显然改变了原命题的意义。
3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。
2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为∀xF(x)其中F(x):(x+1)2=x2+2x+1,此命题在(a),(b),(c)中均为真命题。
（2）在(a),(b),(c)中均符号化为∃xG(x)其中G(x):x+2=0，此命题在（a）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。
（3）在(a),(b),(c)中均符号化为∃xH(x)其中H(x):5x=1.此命题在(a),(b)中均为假命题，在(c)中为真命题。
分析1°命题的真值与个体域有关。
2° 有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题“人都呼吸”。
考试必备离散数学概念总结
1.1、单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式2.1、若等价式A↔B是重言式，则称A与B等值，记作A⇔B，并称A⇔B是等值式2.2、(1) 文字——命题变项及其否定的总称2.3、设C1=l∨C1', C2=lc∨C2', C1'和C2'不含l和lc, 称C1∨'C2'为C1和C2(以l和lc为消解文字)的消解式或消解结果, 记作Res(C1,C2)2.4、设S是一个合取范式, C1,C2,⋯,Cn是一个简单析取式序列. 如果对每一个i(1≤i≤n), Ci是S的一个简单析取式或者是Res(Cj,Ck)(1≤j<k<i), 则称此序列是由S导出Cn的消解序列. 当Cn=λ时, 称此序列是S的一个否证.3.1、设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值，A1∧A2∧…∧Ak为假，或当A1∧A2∧…∧Ak为真时，B也为真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确的, 并称B是有效结论.4.1、个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域(论域)——个体变项的取值范围4.2、谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：如, F(a)：a是人谓词变项：如, F(x)：x具有性质F一元谓词(n=1)——表示性质多元谓词(n≥2)——表示事物之间的关系0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项4.3、设L是一个非逻辑符集合, 由L生成的一阶语言L 的字母表包括下述符号：非逻辑符号（个体常项符号、函数符号、谓词符号）和逻辑符号（个体变项符号、量词符号、联结词符号、括号与逗号）4.4、设R(x1, x2, …, xn)是L的任意n元谓词，t1, t2, …, tn 是L的任意n个项，则称R(t1,t2, …, tn)是L的原子公式.4.5、在公式∀xA 和∃xA 中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在∀x和∃x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现.4.6、若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式.6.1、A⊆B⇔∀x ( x∈A →x∈B )6.2、A = B⇔A⊆B∧B⊆A6.3、A⊂B⇔A⊆B∧A≠BA⊈B⇔∃x ( x∈A ∧x∉B )6.4、幂集：P(A)={ x | x ⊆A } （一定包含空集）6.5、并A⋃B = {x | x∈A∨x∈B}交A⋂B = {x | x∈A∧x∈B}相对补A-B = {x | x∈A∧x∉B}对称差A⊕B = (A-B)⋃(B-A)绝对补~A = E-A6.6、广义并⋃A = { x | ∃z ( z∈A∧x∈z )}广义交⋂A= { x | ∀z ( z∈A →x∈z )}7.1、设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作A⨯B，且A⨯B = {<x,y>| x∈A∧y∈B}.7.2、设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.（计数：|A|=n, |A×A|=n^2, 所以A上有2^(n^2)个不同的二元关系。
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结数理逻辑部分第2章一阶逻辑2.1 一阶逻辑基本概念个体词（个体）: 所研究对象中能够独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2}无限个体域，如N, Z, R, …全总个体域: 宇宙间一切事物组成谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：F(a)：a是人谓词变项：F(x)：x具有性质F一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x y，…0元谓词: 别含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项量词: 表示数量的词全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等如x 表示对个体域中所有的x存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一具等如x表示在个体域中存在x一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲符号化为p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a)例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字分不取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域.解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为x G(x)(2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为x G(x)(b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中(1) x (F(x)G(x))(2) x (F(x)G(x))这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域(1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数,L(x,y)：x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y)))或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特殊要求，用全总个体域量词顺序普通别能随便颠倒否定式的使用考虑：①没有别呼吸的人②别是所有的人都喜爱吃糖③别是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应怎么符号化？2.2 一阶逻辑合式公式及解释字母表定义字母表包含下述符号：(1) 个体常项：a, b, c, …, a i, b i, c i, …, i1(2) 个体变项：x, y, z, …, x i, y i, z i, …, i 1(3) 函数符号：f, g, h, …, f i, g i, h i, …, i1(4) 谓词符号：F, G, H, …, F i, G i, H i, …, i1(5) 量词符号：,(6) 联结词符号：, , , ,(7) 括号与逗号：(, ), ，定义项的定义如下：(1) 个体常项和个体变项是项.(2) 若(x1, x2, …, x n)是任意的n元函数，t1,t2,…,t n是任意的n个项，则(t1, t2, …, t n) 是项.(3) 所有的项基本上有限次使用(1), (2) 得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数依然项定义设R(x1, x2, …, x n)是任意的n元谓词，t1,t2,…, t n 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, t n)是原子公式.原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式定义合式公式（简称公式）定义如下：(1) 原子公式是合式公式.(2) 若A是合式公式，则(A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B),(A B)也是合式公式(4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式(5) 惟独有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合式公式.请举出几个合式公式的例子.定义在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有浮现都称为约束浮现，A中别是约束浮现的其他变项均称为是自由浮现的.例如, 在公式x(F(x,y)G(x,z)) 中,A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域，x为指导变元, A中x的两次浮现均为约束浮现，y与z均为自由浮现.闭式: 别含自由浮现的个体变项的公式.给定公式A=x(F(x)G(x))成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1代入得A=x(x>2x>1) 真命题成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2 代入得A=x(x>1x>2) 假命题咨询: xF(x)x F(x) 有成真解释吗？xF(x)x F(x) 有成假解释吗？被解释的公式别一定全部包含解释中的4部分.闭式在任何解释下基本上命题，注意别是闭式的公式在某些解释下也也许是命题.永真式（逻辑有效式）：无成假赋值矛盾式（永假式）：无成真赋值可满脚式：至少有一具成真赋值几点讲明：永真式为可满脚式，但反之别真谓词公式的可满脚性（永真性,永假性)是别可判定的利用代换实例可判某些公式的类型定义设A0是含命题变项p1, p2, …,p n的命题公式，A1,A2,…,A n是n个谓词公式，用A i处处代替A0中的p i (1i n)，所得公式A称为A0的代换实例.例如:F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等基本上p q的换实例，x(F(x)G(x)) 等别是p q 的代换实例.定理重言式的代换实例基本上永真式，矛盾式的代换实例基本上矛盾式.2.3 一阶逻辑等值式等值式定义若A B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A B，并称A B 为等值式.基本等值式:命题逻辑中16组基本等值式的代换实例如，xF(x)yG(y) xF(x)yG(y)(xF(x)yG(y)) xF(x)yG(y) 等消去量词等值式设D={a1,a2,…,a n} xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)量词否定等值式设A(x)是含x自由浮现的公式xA(x)x A(x)xA(x)x A(x)量词分配等值式x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)注意：对无分配律，对无分配律例将下面命题用两种形式符号化(1) 没有别犯错误的人(2) 别是所有的人都爱看电影解(1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))请给出演算过程，并讲明理由.(2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))给出演算过程，并讲明理由.前束范式定义设A为一具一阶逻辑公式, 若A具有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B, 则称A为前束范式, 其中Q i(1i k)为或，B为别含量词的公式.例如，x y(F(x)(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))是前束范式, 而x(F(x)y(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))别是前束范式.定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式注意:公式的前束范式别惟一求公式的前束范式的办法: 利用重要等值式、置换规则、换名规则、代替规则举行等值演算.换名规则: 将量词辖域中浮现的某个约束浮现的个体变项及对应的指导变项，改成其他辖域中未曾浮现过的个体变项符号，公式中其余部分别变，则所得公式与原来的公式等值.代替规则: 对某自由浮现的个体变项用与原公式中所有个体变项符号别同的符号去代替，则所得公式与原来的公式等值.例求下列公式的前束范式(1) x(M(x)F(x))解x(M(x)F(x))x(M(x)F(x)) （量词否定等值式）x(M(x)F(x))两步结果基本上前束范式，讲明前束范式别惟一.(2) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x) （量词否定等值式）x(F(x)G(x)) （量词分配等值式）另有一种形式xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)xF(x)y G(y) ( 换名规则) x y(F(x)G(y)) ( 量词辖域扩张) 两种形式是等值的(3) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)x(F(x)G(x)) （为啥？）或x y(F(x)G(y)) （为啥？）(4) xF(x)y(G(x,y)H(y))解xF(x)y(G(x,y)H(y))zF(z)y(G(x,y)H(y)) （换名规则）z y(F(z)(G(x,y)H(y))) （为啥？）或xF(x)y(G(z,y)H(y)) （代替规则）x y(F(x)(G(z,y)H(y)))(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))解用换名规则, 也可用代替规则, 这个地方用代替规则 x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z)))x y(F(x,u)G(x,y)H(x,z)))注意：x与y别能颠倒。
离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算
名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值 名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
离散数学第3版习题答案
离散数学第3版习题答案离散数学是一门重要的数学学科，它研究的是离散对象和离散结构的数学理论。
离散数学的应用广泛，涉及到计算机科学、信息技术、通信工程等领域。
在学习离散数学的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和掌握。
本文将为大家提供《离散数学第3版》习题的答案，希望能对学习者有所帮助。
第一章：命题逻辑1.1 习题答案：1. (a) 真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(b) 命题“p ∧ q”的真值表如下：p | q | p ∧ qT | T | TT | F | FF | T | FF | F | F(c) 命题“p ∨ q”的真值表如下：p | q | p ∨ qT | T | TT | F | TF | T | TF | F | F(d) 命题“p → q”的真值表如下：p | q | p → qT | T | TT | F | FF | T | TF | F | T1.2 习题答案：1. (a) 命题“¬(p ∧ q)”等价于“¬p ∨ ¬q”。
(b) 命题“¬(p ∨ q)”等价于“¬p ∧ ¬q”。
(c) 命题“¬(p → q)”等价于“p ∧ ¬q”。
(d) 命题“¬(p ↔ q)”等价于“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
1.3 习题答案：1. (a) 命题“p → q”的否定是“p ∧ ¬q”。
(b) 命题“p ∧ q”的否定是“¬p ∨ ¬q”。
(c) 命题“p ↔ q”的否定是“(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)”。
(d) 命题“p ∨ q”的否定是“¬p ∧ ¬q”。
1.4 习题答案：1. (a) 命题“p → q”与命题“¬p ∨ q”等价。
离散数学2
例2.1 判断公式┐(p∨q) 与 ┐p∧┐q是否等值。
解：用真值表法判断, 如下：
p q ┐p ┐q p∨q ┐(p∨q) ┐p∧┐q ┐(p∨q)↔(┐p∧┐q)
00 1
1
0
1
1
1
01 1
0
1
0
0
1
10 0
1
1
0
0
1
11 0
0
1
0
0
1
从表中可见，┐(p∨q)与┐p∨┐q等值。
注：A与B等值当且仅当A与B的真值表相同。因此，检验A与B
(7)
⇔ p∧(┐(q∧┐p))∨q)
(同一律)
(8)
⇔ p∧((┐q∨p)∨q)
律)
(德摩根律，双重否定
(9)
⇔ p∧((┐q∨q)∨p)
(交换律，结合律)
(10) ⇔ p∧(1∨p)
（排中律）
(11) ⇔ 律）
(13) 可见，（3）中公式不是重言式，因为00，01 都是成假赋
值；它也不是矛盾式，因为10，11 都是其成真赋值，故它是可
3/27/20满21足式。
Discrete Math.
15
例2.6
CHAPTER TWO
例2.6 在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音 对他是哪个省市的人进行了判断：
甲说王教授不是苏州人，是上海人。
乙说王教授不是上海人，是苏州人。
(p∧q)→r
(p→q)→r
000
1
1
0
001
1
1
1
010
1
1
0
011
1
1
1
100
离散数学第二章
注意：
有些关系既不是对称的也不是反对称的；
0 1 0 1 0 1 0 0 0
可以是既是对称的，也是反对称的
如相等关系
24
定义2.10：在集合X上的关系R，如果有：
x, y R且 y, z R ，则必有 x, z R ，
即非对角线上的1， 对称位置必须是0； 而非对角线上的0 不做要求
判断方法：
1. 如果如果存在a到b的有向边，就不存在b到a的有向边。 （逆命题不成立，即可以两条有向边都不存在）； 2. 关系矩阵中，如果 a j ,i 1则ai , j 0，这里i j
(注意：a j ,i 0不一定ai , j 1)
n个
容易证明： n m nm m n i: R R R , R R mn ，m,n均为正整数 0 ii: R 是相等关系，即： R0 ={(x,x)|x∈A} 1 iii: R R
13
逆关系
由于关系中的元素是有序偶，则如果将该有序偶的顺
序颠倒，会得到一个新的关系，称之为逆关系。
~ ~ ~
~
补集的逆关系
~ ~ ~
(5) R S R S , R S R S
注意，这个跟德· 摩根律不一样
(6) R S R S
~
~
~
18
关系的重要性质
定义2.6：在集合X上的关系R，如果对任意 x X ， 有 x, x R ，则称R是自反的。
如：整数集合上的相等关系、" " 关系等；
如果 miq mqj 1 即mij 0 ，则 miq mqj 1 即 ai , aq R且 aq , a j R 由传递性的定义可知，如果R为传递的， 必有 ai , a j R ，即应有 mij 1 2 即：当R是A上的传递关系时，如果 M R 中的元素 bij 0 ， 则必须有 mij 1 ，反之亦然
离散数学2.1命题与联结词
（2）传递式 ， ，则 ，
（3） ， ，则 （ ），
（4） ， ，则 .
其中 ， ， 为任意公式.
4、求范式的例子：求 的析取范式和合取范式.
解
（合取范式）
（合取范式）
（析取范式）
（析取范式）
由上例看出，一个公式的析取范式或合取范式不是唯一的，但它们是等值的.利用合取范式和析取范式可以判别合适公式中的重言式和矛盾式.
5极小（大）项：命题公式A（P ,P ,…, P ），P 与 P 之一出现且仅出现一次的简单合（析）取式（按下角标排序）称极小（大）项。
6.主析与主合关系定理：设公式 的主析取范式为 … 的充要条件是， 的主合取范式为 … ，其中令 ={ , ,…, }， ={ , ,…, }，下标集之间有关系 = 且 = .
1、命题3、命题公式的规范式
2、命题公式4、联结词完备集
讲授新
拓展内容
课后总结
教研室主任签字
讲稿
讲授内容
备注
第二章命题逻辑§2.1命题与联结词——§2.5联结词完备集
简单命题（符号P,Q,…）
本次课主要脉络：
命题
(判,陈）
P可表命题常元（确定），也可表命题变元（抽象，不是命题）
析（合）取范式：由简单合（析）取式析（合）取得到
教学难点
对极小项、极大项，主范式概念的理解
教具和媒体使用
黑板
教学方法
讲授法
教
学
过
程
包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题布置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容
时间分配(90分钟)
重点难点讲授：
1、命题
2、命题公式
3、命题公式的规范式
离散数学第2章 谓词逻辑
在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变元x 被全称量化和存在量化。一般地说，命题函数不是命题， 如果对命题函数中所有命题变元进行全称量化或存在量化， 该函数就变成了命题。这一结论在例2.3中得到验证。
为假。 ⑵ 如果5大于3，则2大于6。 解：设G(x,y)： x大于y a：5，b：3，c：2，d：6 该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d) G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，
ห้องสมุดไป่ตู้这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。
(3) 2 是无理数, 而 3 是有理数 解 ：设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2) G( 3) 真值为 0 (4) 如果2>3，则3<4 解：设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
谓词：刻划个体性质或个体之间相互关系的模式叫做谓词。谓 词常用大写英文字母表示，叫做谓词标识符。
例如可以用F，G，H表示上面三个命题中谓词： F：„是优秀共产党员。 G：„比„高。 H：„坐在„和„的中间。
第2章 谓词逻辑
一元谓词：与一个个体相关联的谓词。如上例中的F。 二元谓词：与两个个体相关联的谓词。如上例中的G。 三元谓词：与三个个体相关联的谓词。如上例中的H。
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第2章 谓词逻辑
课外作业
• 教材P59-60页: 练习题（需要做在练习本上） （1） （2） a)、c) 、d)、e)、 f)、i)、k)、l)
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离散数学第二章
5
3 量词的有关概念
1. 全称量词： “所有的”，“任何一个”，“每 全称量词： 所有的” 任何一个” 一个” 凡是” 一切” 一个”，“凡是”，“一切”表示个体域中每一 表示，称为全称量词。 用符号“ 个，用符号“∀”表示，称为全称量词。
如，所有的人都要呼吸。 所有的人都要呼吸。
16
常用一阶逻辑中的基本等值式
1. 有限个体域 有限个体域D={a1, a2, … ,an }中消去量词 中消去量词 等值式: 等值式
1) ∀xA( x) ⇔ A(a1 ) ∧ A(a2 ) ∧⋯∧ A(an );
2) ∃xA( x ) ⇔ A(a1 ) ∨ A(a2 ) ∨ ⋯ ∨ A(an ).
10
指导变项（ 指导变项（元）等概念
在合式公式∀ 和 在合式公式∀xA和∃xA中，称x是指导变元，称A为相应量词 中 是指导变元， 为相应量词 作用域或辖域。 的作用域或辖域。 在辖域中x的出现称为 在公式 中的约束出现 在辖域中 的出现称为x在公式 中的约束出现； 的出现称为 在公式A中的约束出现； 公式A中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现. 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 公式 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 例1 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、 自由出现和约束出现. 自由出现和约束出现 1) 2) ∀xF(x,y)→∃x(G(x) ∧¬ ∀zP(x,z)) → ∀x ∃ y(A(x,y)→∃z(B(x) ∧P(x,z))) →
永假式 如果 在任何解释下均为假 称A为矛盾 如果A在任何解释下均为假 解释下均为假,称 为 或称永假式 式(或称永假式 ； 或称永假式)； 如果存在一个解释使A为真 则称A为 为真,则称 可满足式 如果存在一个解释使 为真 则称 为 可满足式； 可满足式；
离散数学-第二章命题逻辑
设A( P1，P2，…,Pn )是一个命题公式，
P1，P2，…,Pn是出现于其中的全部命题变元，对P1， P2，…,Pn分别指定一个真值,称为对P1，P2，…,Pn公式A 的一组真值指派。
列出命题公式A在P1，P2，…,Pn的所有2n种真值指 派下对应的真值，这样的表称为A的真值表。
16
例3
值表。
例12 用符号形式表示下列命题。
（1） （2） 如果明天早上下雨或下雪，那么我不去学校 如果明天早上不下雨且不下雪，那么我去学校。
（3）
（4）
如果明天早上不是雨夹雪，那么我去学校。
只有当明天早上不下雨且不下雪时，我才去学校。 解 令P：明天早上下雨； Q：明天早上下雪； R：我去学校。 （1）（P∨Q）→ ¬ R； （2）（¬ ∧¬ P Q）→R； （3）¬ (P∧Q）→R （4）R→（¬ ∧¬ Q） P
4
例4
2．合取“∧” 定义2.2.2
设P和Q是两个命题，则P和Q的合取 是一个复合命题，记作“P ∧ Q”（读作“P且Q”）。
当且仅当命题P和Q均取值为真时，P ∧ Q才取值为真。
P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
例5
设P：我们去看电影。Q：房间里有十张桌子。则
P ∧ Q表示“我们去看电影并且房间里有十张桌子。”
5
3. 析取“∨” 定义2.2.3
设P和Q是两个命题，则P和Q的析取是一个复 合命题，记作“P∨Q”（读作“P或Q”）。
当且仅当P和Q至少有一个取值为真时，P∨Q取值为真。
P
0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P∨Q 0 1 1 1
例6 设命题P：他可能是100米赛跑冠军；
Q：他可能是400米赛跑冠军。
《离散数学》第二章一阶逻辑
定义谓词F(x)：x是亚洲人。 x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
真值： T
2013-7-29
离散数学
27
例：将下列命题符号化。 (1) 兔子比乌龟跑得快.
解：定义特性谓词F(x)：x是兔子。
G(y): y是乌龟。
x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
考虑所有狮子都喝咖啡的情况。
左式为假，符合原句的意思。 对右式而言，设x是老虎，则右式为真。这和原 句是矛盾的。
2013-7-29
离散数学
19
个体域对命题符号化的影响
例：将下列命题符号化。要求个体域为： （1）有理数集合；（2）实数集合；（3）全总个体域。 1. 凡是有理数均可表示成分数。 解：设P (x)：x是有理数。 Q (x)：x可以表示成分数。 （1）有理数集合：x Q(x) （2）实数集合： x (P(x) Q(x)) （3）全总个体域：x (P(x) Q(x)) 2. 有的有理数是整数。 解：设P (x)：x是有理数。 I (x)：x是整数。 （1）有理数集合： x I (x) （2）实数集合： x (P(x) I(x)) （3）全总个体域： x (P(x) I(x))
第二章 一阶逻辑
浙江工业大学计算机学院 浙江工业大学软件学院
2013-7-29
离散数学
1
所有的人都是要死的。 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
2013-7-29
离散数学
2
命题逻辑的局限
符号化： P:所有的人都是要死的。 Q:苏格拉底是人， R:所以苏格拉底是要死的。 P∧Q→R 推理正确吗? 命题逻辑不能表现出简单命题中各部分的内在联系。
离散数学ei-概念解析以及定义
离散数学ei-概述说明以及解释1.引言1.1 概述离散数学是数学的一个重要分支，研究对象是离散的数学结构和离散的数学对象。
与连续数学相对应，离散数学在数学基础理论和实际应用中都具有重要的地位和作用。
离散数学以其严密的逻辑性和抽象性，对实际问题的建模和求解具有重要作用。
通过对图论、集合论、代数结构等概念的研究，离散数学为计算机科学、信息技术、通信工程等领域提供了重要的理论支持和方法工具。
本文将从离散数学的基本概念、在计算机科学中的应用以及未来发展趋势等方面进行深入分析和探讨，以期能够更好地展现离散数学在现代科学技术中的重要地位和应用前景。
1.2 文章结构文章结构部分：本文分为三个主要部分：引言、正文和结论。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的。
在概述中，我们将简要介绍离散数学的基本概念和重要性。
文章结构部分将概述整篇文章的结构和各个部分的内容安排。
目的部分将说明撰写本文的目的和意义。
正文部分包括离散数学的基本概念、离散数学在计算机科学中的应用以及离散数学的未来发展。
在这部分，我们将深入探讨离散数学的核心概念，讨论它在计算机科学领域的重要作用，以及对于未来的发展趋势和方向。
结论部分将总结本文对离散数学重要性的强调，重点突出其在实际应用中的价值，并展望离散数学在未来的发展前景。
在这一部分，我们将对整篇文章进行概括性的总结，并对离散数学的未来发展进行展望。
1.3 目的本文的主要目的是介绍离散数学的基本概念，探讨离散数学在计算机科学中的应用，以及展望离散数学的未来发展方向。
通过对离散数学的重要性进行总结，并强调其在计算机科学和其他领域中的应用价值，希望能够引起读者对离散数学的关注，促进离散数学在科学研究和实际应用中的进一步发展。
同时，希望本文能够为读者提供对离散数学深入理解的基础知识和未来发展的展望，以便读者更好地应用离散数学知识解决实际问题和开展相关研究工作。
2.正文2.1 离散数学的基本概念离散数学是数学的一个分支，主要研究非连续的数学结构和离散的数学对象。
离散数学 第二章：一阶逻辑
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
《应用离散数学》方景龙版-2.1
第2章：谓词逻辑§2.1 个体词、谓词与量词习题2.11. 将下列命题用0元谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。
（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解 （1）令)(x P ：x 学过英语，)(x Q ：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧。
（2）令),(y x P ：x 大于y ，命题符号化为)4,2()3,2(P P →。
（3）令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝。
（4）令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨。
（5）令)(x P ：x 是东北人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(c P c Q →⌝。
2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。
（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解 略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。
求下列各式的真值。
（1）)3(，x xP ∃（2）)1(y yP ，∀ （3）)(y x yP x ，∀∀ （4）)(y x yP x ，∃∃（5）)(y x yP x ，∀∃（6）)(y x xP y ，∃∀ 解（1）因为1)33(=，P ，所以1)3((=∃，x P x 。
（2）因为0)31(=，P ，所以0)1((=∀y P y ，。
（3）因为0)31(=，P ，所以0)(=∀∀y x yP x ，。
（4）因为1)33(=，P ，所以1)(=∃∃y x yP x ，。
（5）))3,()2,()1,(()(x P x P x P x y x yP x ∧∧∃=∀∃，))3,3()2,3()1,3(())3,2()2,2()1,2(())3,1()2,1()1,1((P P P P P P P P P ∧∧∨∧∧∨∧∧= （6）))3,()2,()1,(()(x P x P x P x y x yP x ∨∨∀=∃∀，))3,3()2,3()1,3(())3,2()2,2()1,2(())3,1()2,1()1,1((P P P P P P P P P ∨∨∧∨∨∧∨∨=1111=∧∧=4. 设下面所有的个体变元的个体域都是整数集合，用自然语言表达下列各式并确定其真值。
左孝凌离散数学课件2.1谓词概念与表示-2.2命题函数与量词
①若x，y，z ∈ R（实数），且P(x,y)：x小于y，则这个式子表 示“若x小于y且y小于z，则x小于z”。这是一永真式。
②若 x，y，z ∈人，且P(x,y)解释为：x为y的儿子，则这个式 子表示“若x为y的儿子且y是z的儿子则x是z的儿子”。这是一 个永假式。
③若x，y，z ∈地面上的房子，且P(x,y)：x距离y 10米，则这 个式子表示“x距离y10米且y距离z10米则x距离z10米”。这 个命题的真值将由x，y，z的具体位置而定，它可能为T， 也可能为F。
的取值范围有关。
2.2命题函数与量词
三、量词 • 量词：全称量词()和存在量词() 1.全称量词：用来表达“一切”、“所有”、“凡”、
“每一个”、“任意”等词，用符号“” 表示，
– ｘ表示对个体域里的所有个体 – ｘＦ(ｘ)表示个体域里的所有个体具有性质F. – 符号“”称为存在量词.
15
2.2命题函数与量词
18
2.2命题函数与量词
解: (1)令Q(x): x是有理数。则（1）符号化为ｘQ(x)。 （2）当个体域为人类集合时：
令G(x): x活百岁以上。则（2）符号化为xG(x)。
当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（2）符号化为
x(M(x) ∧ G(x))
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2.2命题函数与量词
三、量词
2.1谓词的概念与表示
一、基本概念
1. 客体 2. 谓词 3. 表示方法：谓词用大写字母，客体用小写字母 例1、采用谓词表示下列命题
1) 地球绕着太阳转； 2）济南位于北京与南京之间； 3）张三是大学生，李四是工人 解：1）设：L:……绕着……转，a：地球；b：太阳
即，L(a，b) 2）设：L：…位于…与…之间，a：济南；b：北京；c：南京
离散数学基础(洪帆)第二章_关系
二、 两关系矩阵的乘积
定义
设M1是一个(i,j)通路(即第i行、第j列的元素)为
r 的l×m关系矩阵，
(2) r M2是一个(i,j)通路为 ij 的m×n关系矩阵，
(1) ij
则M1与M2乘积记为M1﹒M2是一个l×n的矩阵，
其(i,j)通路为： rij
(r r )
(1) ik (2) kj k=1
1 1 2
2
3
4
3
4
图(1)
图(2)
4. 关系矩阵 定义 设集合A={a1,a2,…,an},B={b1,b2,…,bm} 是由A到B的关系, 则 的关系矩阵 定义为一个n行、m列的矩阵， 记为 M , 且关系矩阵的第i行、第j列的元素 rij
定义如下：
1 若 a i b j rij 0 若 a i 'b j
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
2.3 关系的复合
一、关系的一般运算：交、并、补、差 例1 设A={4,6,9,10}, 1 和 2 是A上的两个关系：
1 ={(a,b)|(a-b)/2是正整数}， 2 ={(a,b)|(a-b)/3是正整数}
试求：1 2 , 1 2 , 1 , 1 2 , 1 2 ,
例3 设A={a,b,c,d}，A上的关系: ={(a,a),(a,b),(b,d),(c,a),(d,c)} 4 试求复合关系 。
2.4 复合关系的关系矩阵和关系图
一、布尔运算 布尔运算只涉及数字0和1, 数字的加法和乘法按照以下方式进行： 0+0=0 0+1=1+0=1+1=1 1· 1=1 1· 0=0· 1=0· 0=0 如：(1· 1)+(0· 1· 1)+(1· 0· 0)+1+0=1
离散数学定义定理
离散数学定义定理1.3.1命题演算的合式公式规定为:(1)单个命题变元本身是一个合式公式.(2)如果A是合式公式,那么┐A是合式公式.(3)如果A和B是合式公式,那么(A∨B),(A∧B),(A→B),(AB),都是合式公式.(4)当且仅当有限次地应用(1)(2)(3)所得到的包含命题变元,连接词和圆括号的符号串是合式公式.1.3.2 设Ai是公式A的一部分,且Ai是一个合式公式,称Ai是A的子公式.1.3.3 设P为一命题公式,P1,P2,……,Pn为出现在P中的所有命题变元,对P1,P2,……,Pn指定一组真值称为对P的一种指派.若指定的一种指派,使P的值为真,则称这组指派为成真指派.若指定的一种指派,使P的值为假,则称这种指派为成假指派.含n个命题变元的命题公式,共有2n个指派.1.3.4 给定两个命题公式A和B,设P1,P2,……,Pn为所有出现于A和B中的原子变元,若给P1,P2,……,Pn任一组真值指派,A和B的真值都相同,称A和B是等价的,记做A B.1.3.5 设A为一命题公式,若A在它的各种指派情况下,其取值均为真,则称A为重言式或永真式.1.3.6 设A为一命题公式,若A在它的各种指派情况下,其取值均为假,则称A为矛盾式或永假式.1.3.7设A为一命题公式,若A在它的各种指派情况下至少存在一组成真指派,则称A为可满足式.1.4.1 设X式合式公式A的子公式,若有Y也是一个合式公式,且XY,如果将A中的X用Y 置换,得到公式B,则AB.1.4.2 设A,B为两个命题公式,AB,当且仅当A ←→B为一个重言式.P=>Q称做P蕴含Q或蕴含式,又称永真条件式.蕴含式有下列性质:(1)对任意公式A,又A=>A;(2)对任意公式A,B和C,若A=>B,B=>C,则A=>C;(3)对任意公式A,B和C,若A=>B,A=>C,则A=>(B∧C);(4)对任意公式A,B和C,若A=>C,B=>C,则A∨B=>C.1.4.3设P,Q为任意两个命题公式,PQ的充分必要条件式P=>Q,,Q=>P.蕴含式推理P∧Q=>P化简式P∧Q=>Q化简式P=>P∨Q附加式┐P=>P→Q变形附加式Q=>P→Q变形附加式┐(P→Q)=>P变形简化式┐(P→Q)=>┐Q变形简化式p∧(P→Q)=>Q假言推论┐Q∧(P→Q)=>┐P拒取式┐p∧(P∨Q)=>Q析取三段式(P→Q) ∧(Q→R)=>P→R条件三段式(PQ) ∧(QR)=>PR双条件三段式(P→Q)∧(R→S)∧(P∧R)=>Q→S合取构造二难(P→Q)∧(R→S)∧(P∨R)=>Q∨S析取构造二难P→Q=>(P∨R) →(Q∨R)前后附加式P→Q=>(P∧R) →(Q∧R)前后附加式1.5.1 一个命题公式称为合取范式,当且仅当它具有形式:A1∧A2∧…∧An(n≥1),其中A1,A2,…,An都是有命题变元及其否定所组成的析取式.1.5.2 一个命题公式称为析取范式,当且仅当它具有形式:A1∨A2∨…∨An(n≥1),其中A1,A2,…,An都是有命题变元及其否定所组成的合取式.1.5.3 n个命题变元的合取式,称作布尔合取或小项,其中每个变元与他的否定不能同时存在,但两者必须出现且仅出现一次.小项有如下性质:(1)每个小项具有一个相应的编码,当该编码与其真实指派相同时,该小项为T,在其余2n-1种指派情况下为F.(2)任意两个不同小项的合取是永假.(3)全体小项的析取式为永真.定义1.5.4 对于给定的命题公式,如果有一个等价公式,它仅由小项的析取组成,则该等价公式称作原公式的主析取范式.定理1.5.1 在真值表中,一个公式的真值为T的指派所对应的小项的析取,即为此公式主析取范式.定理1.5.2 任意含n个命题变元的非永假命题公式,其主析取范式是唯一的.定义1.5.5 n个命题变元的析取式称作布尔析取或大项.其中每个变元与它的否定不能同时出现,但两者必须出现仅出现一次.定理1.5.3 在真值表中一个公式的真值为F的指派所对应的大项的合取,称为此公式的主合取范式.定理1.5.4 任意含有n个命题变元的非永假命题公式A,其主合取范式是唯一的.设命题公式中含有n个命题变元,且A的主析取范式中含有k个小项mi1,mi2,…,mik,则A的主合取范式比含有2n-k个大项.如果命题公式A的主析取范式为∑(i1,i2,……,ik),则A的主合取范式为: ∏(0,1,2,…,i1-1,i1+1,…,ik-1,ik+1,……,2n-1).从A的主析取范式求其主合取范式的步骤为:(1)求出A的主析取范式中未包含小项的下标.(2)把(1)中求出的下标写成对应大项.(3)做(2)中县城大项合取,即为A的主合取范式.根据主范式(主析取范式,主合取范式)的定义和定理,可以判定含n个命题变元的公式:(1)若A可化为与其等价的含2n个小项的主析取范式,则A为永真式.(2)若A可化为与其等价的含2n个大项的主合取范式,则A为永假式.(3)若A的主析取范式不含2n个小项,或A的主合取范式不含2n个大项,则A为可满足的. 定义1.6.1 设H1,H2,…Hn,C是命题公式,当且仅当H1∧H2∧…∧Hn=>C,称C是一组前提H1,H2,…,Hn的有效结论.等值公式表E1┐┐pPE12R∨(P∧┐P)RE2P∧QQ∧PE13R ∧(P∨┐P)RE3P∨QQ∨PE14R∨(P∨┐P)TE4(P∧Q)∧RP∧(Q∧R)E15R∧(P∧┐P)FE5(P∨Q)∨RP∨(Q∨R)E16P→Q┐P∨QE6P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R)E17┐(P→Q) P∧┐QE7P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R)E18P→Q┐Q→┐PE8┐(P∧Q) ┐P∨┐QE19P→(Q→R)(P∧Q)→RE9┐(P∨Q) ┐P∧┐QE20PQ(P→Q)∧(Q→P)E10P∨PPE21PQ(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)E11P∧PPE22┐(PQ) P┐Q常用的推理规则有:(1)前提引入规则:在证明的任何步骤上,都可以引入前提,简称P规则.(2)结论引入规则:在证明的任何步骤上,所证明的结论都可作为后续证明的前提,称为T规则.(3)置换规则:在证明的任何步骤上,命题公式的任何子命题公式都可以用与之等值的命题公式置换,也记作T规则.定理1.6.1 推理H1∧H2∧…∧Hn┣C是有效推理的充分必要条件是H1∧H2∧…∧Hn→C 为永真式.定义1.6.2 设H1,H2,…,Hn是可满足式,则称H1,H2,…,Hn是相容的,若H1,H2,…,Hn是永假式称H1,H2,…,Hn是不相容的.定理1.6.2 若H1∧H2∧…∧Hn∧┐C为永假式,则H1∧H2∧…∧Hn┣C成立.定理1.6.3 若H1∧H2∧…∧Hn∧R=>C,则H1∧H2∧…∧Hn =>R→C.本定理即:若H1,H2,…,Hn,R┣C,则H1,H2,…,Hn┣R→C定义2.1.1 由一个谓词,一些个体变元组成的表达式简称为谓词变项或称为命题函数. (命题函数不是命题,只有命题函数中的变元都取为特定具体的个体时,才是确定的命题.谓词变项摘,个体变元的数目为谓词变项的元数.)定义 2.2.1 由一个或几个原子命题函数以及逻辑联接词组合而成的表达式称为符合命题函数.定义2.2.2 谓词演算的合式公式,可由下述各条组成(合式公式A记为WffA):(1)原子谓词公式是合适公式.(2)若A是合式公式,则┐A是合式公式.(3)若A和B都是合式公式,则(A∨B),(A∧B),(A→B),(AB)是合式公式.(4)如果A是合式公式,x是A中出现的任何变元,则(x)A和(x)A都是合式公式.(5)只有经过有限次应用规则(1)(2)(3)(4)所得到的公式是合式公式.定义2.2.3 给定谓词合式公式A,其中一部分公式形式为(x)(Bx)或(x)(Bx),称量词,后面所跟的x为指导变元或作用变元.称B为相应量词的辖域(或作用域).在辖域中,x的一切出现称为约束出现.在B中除去约束出现的其他变项的出现称为自由出现.(1)约束改名规则,将量词辖域中,某个约束出现的个体变元及其相应指导变元改成本辖域中未出现过的个体变元,其余不变.(2)自由带入规则,对某个自由出现的个体变元可用个体常元或用与原子公式中与所有个体变元不同的个体变元取代入,且处处代入.定义2.3.1 给定任何两个谓词公式WffA和WffB,设它们有共同的个体域E,若对A和B的任一一组变元进行赋值,所得命题的真值相同,则称谓词公式A和B在E上市等价的,记作AB. 定义2.3.2 给定任意谓词公式WffA,其个体域为E,对于A的所有赋值WffA都为真,则称WffA在E上有效的(或永真的).定义2.3.3一个谓词公式WffA,对于A的所有赋值WffA都为假,则称WffA为不可满足的(或永假的).定义2.3.4一个谓词公式WffA,如果至少在一个赋值下为真,则称该WffA为可满足.等值公式表E23(x)((Ax)∨(Bx))( x)(Ax)∨(x)(Bx)E30(x)(Ax) →B(x) ((Ax)→B)E24(x)((Ax)∧(Bx))(x)(Ax)∧(x)(Bx)E31(x)(Ax) →B(x) ((Ax)→B)E25┐(x)(Ax)(x)┐(Ax)E32A→(x)(Bx) (x) (A→(Bx))E26┐(x)(Ax)(x)┐(Ax)E33A→(x)(Bx) (x) (A→(Bx))E27(x)(A∨(Bx))A∨(x)(Bx)I17(x)(Ax)∨(x)(Bx) =>(x)((Ax)∨(Bx))E28(x)(A∧(Bx))A∧(x)(Bx)I18(x)((Ax)∧(Bx)) =>(x)(Ax)∧(x)(Bx)E29(x)((Ax)→(Bx))(x)(Ax)→(x)(Bx)I19(x)(Ax)→(x)(Bx) =>(x)((Ax)→(Bx))定义 2.4.1 一个公式,如果量词均在全式的开头,它们的作用域,延伸到整个公式的末尾,则该公式叫做前束范式.前束范式形式如下:(Q1V1)(Q2V2)……(QnVn)A.其中Qi(1≤i≤n)为或,A为不含有量词的谓词公式.定理2.4.1 任意一个谓词公式,均和一个前束范式等价.谓词演算推理规则(1)全称指定规定,US. ∵(x)P(x) ∴P(c)(2)全称推广规则,UG:∵P(x)∴(x)P(x)(3)存在指定规则,ES: ∵(x)P(x) ∴P(c)(4)存在推广规则,EG:∵:P(c) ∴(x)P(x)定义3.1.1 设A,B是任意两个集合,若A=B,当且仅当它们有相同的成员.定义3.1.2 设A,B是任意两个集合,加入A的每个元素都是B的元素,则称A为B的子集,或A包含在B内或B包含A.记作: AB或BA定理3.1.1 集合A和集合B相等的充分必要条件式两个集合互为子集.定义3.1.3 如果集合A的每一元素都属于B,但集合B中至少有一个元素不属于A,则称A为B的真子集,记作AB.定义3.1.4 不包含任何元素的集合称为空集,记作Φ或{ }.定理3.1.2 对于任何集合A必有ΦA.(空集包含在A内)定义3.1.5 设A为任意集合,以A的子集为元素所组成的集合,称为集合A的幂集.记作P(A). 定理3.1.3 如果有限集合A有n个元素,则其幂集P(A)有2n个元素.(2n-1个子集元素个数为奇数)定义3.1.6 在一定范围内,如果所有集合均为某一集合的子集,则称该集合为全集.全集记作E. 定义3.2.1 设任意两个集合A和B,由集合A和B的所有共有元素组成的集合S,称为A和B 的交集,记作A∩B.S=A∩B={x|(x∈A)∧(x∈B)}集合的交运算有如下性质:A∩A=A A∩B=B∩A A∩Φ=Φ A∩B定义3.2.2 设任意两个集合A和B,所有属于A或属于B的元素所组成的集合S称为A和B 的并集,记作A∪B.S=A∪B={x|(x∈A)∨(x∈B)}交运算性质:a)A∪(A∩B)=A b)A∩(A∪B)=A吸收率:c) 设集合ABA∪B=B d)设集合ABA∩B= A定义3.2.3 设A,B为任意两个集合,所有属于A而不属于B的一切元素组成的集合S,称为B 对于A的补集,或相对补,记作A-B.定义3.2.4 设E为全集,对任一集合A,关于E的补E-A,称为集合A的绝对补,记作~Aa)~(~A)=A b)~E=Φ c)~ Φ=E; d)A∪~A=E c)A∩~A=Φ定理3.2.2 设A,B为任意两个集合,则下列关系式成立.a) A-B=A∩~B b)A-B=A-(A∩B) c)~(A∪B)=~A∩~B d)~(A∩B)=~A∪~B定义3.2.5 设A,B为任意两个集,A和B的对称差为集合S,其元素或属于A,或属于B,但不能既属于B,又属于比,记作AB.定理3.2.3 设任意集合A,B,C,则有以下性质:a)AB=BA b)AΦ=A c)AA=Φ d)AB=(A∩~B)∪(~A∩B) e)(AB)C=A(BC)定义3.3.1 由两个客体x和y,按一定的顺序,组成一个二元组,称此二元组为有序对,或称序偶,记作或(x,y).其中x是该序偶的第一元素,y是该序偶的第二元素.定义3.3.2 两个序偶相等,=,iff x=u,y=v.定义3.3.3 设A,B为集合.用A中的元素x作为第一元素,B中的元素作为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组成的集合,叫做A和B的笛卡尔积,记作A×B.A×B={|x∈A,y∈B}定理3.3.1 设A,B,C为任意三个集合,则有:a) A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) b) A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) c)(A∪B)×C=(A∪C)×(B∪C) d) (A ∪B)×C=(A∪C)×(B∪C)定理3.3.2 设A,B,C,D,为非空集合,则A×BC×D的充要条件为AC,BD.定义3..3.4 设A,B是任意两个集合,A×B的子集R称为从A到B的二元关系.当A=B是,称R 为A上的二元关系.从这个定义可以表明A到B的二元关系,也是序偶的集合.故∈R,即称a与b有关系R,记作aRb.若R,则称a与b没有关系R,记作aRb.若R=Φ称为空关系,若R=A×B称R为全关系,当A=B时,全关系EA={|x∈A∧y∈A}=A×A,A 上的恒等关系IA={|x∈A}定义 3.3.5 设R为二元关系,由∈R的所有x所组成的集合domR,称为R的前域.domR={x|(y)(∈R)}使∈R得所有y组成的集合ranR称为R的值域. ranR={y|(x)(∈R)}R的前域和值域一起称为R的域,记作FLDR,即:FLDR=domR∪ranR.定理3.3.3 若Z和S是从集合X到Y的两个关系,则Z,S的交,并,差,补仍是X到Y的关系. 定义3.4.1 设R是集合X上的二元关系,(1)如果对任意x∈X,必有xRx,则称关系R在X上是自反的.(2)如果对任意x∈X,必有xRx,则称关系R在X上是反自反的.(3)如果对任意x,y∈X,若xRy必有yRx,则称关系R在X上是对称的.(4)如果对任意x,y∈X,若xRy且yRx必有x=y,则称R是反对称的.也可叙述为:若xRy,且xY,必有xRy.(5)如果对任意x,y,z∈X,xRy且yRz必有xRz,则称关系R在X上是传递的.定义3.5.1 设R是从X到Y的二元关系,如将R中每一序偶的元素顺序互换,所得到的集合称为R的逆关系,记作R-1(或Rc)即:R-1={|∈R}定义3.5.2 设R为A到B的关系,S为从B到C的关系,则R○S称为R和S的复合关系表示为:R○S={|x∈A∧z∈C∧(y)(y∈B∧∈R∧∈S)},R○S称为关系的合成运算.(复合运算不满足交换律)定理3.5.2 设A={a1,a2,…,am},B={b1,b2,……,bn},C={c1,c2,……,cr}从A到B的关系R1关系矩阵MR1=(xij)是m×n阶矩阵.从B到C的关系R2的关系矩阵MR2=(yij)是n×r阶矩阵,那么从A到C的关系矩阵:MR1○R2=(zij)是m×r阶矩阵,其中,i=1,2,……,m, j=1,2,……,r.定义3.5.3 设R是A上二元关系,如果有另一个关系R',满足:(1)R'是自反的(对称的,可传递的);(2)R'R;(3)对于任何自反的(对称的,可传递的)关系R",如果有R"R,就有R"R',则称关系R'为R的自反(对称,传递)闭包,记作r(R)(s(R),t(R)).定理3.5.3 设R为非空有穷集合A上的二元关系.(1)r(R)=R∪IA;(2)s(R)=R∪R-1;(2)t(R)=R∪R2∪……∪Rn,其中n是集合A中元素的数目. 定义3.6.1 给定集合A上的关系ρ,若ρ是自反的,对称的,则称ρ是A上的相容关系.定义3.6.2 若把一个集合A分成若干叫做分块的非空子集,使得A中每个元素,至少属于一个分块,那么这些分块的全体构成的集合叫做A的覆盖.定义3.6.1 给定集合A的覆盖,S={S1,S2,……Sn},由它确定的关系:ρ=S1×S1∪S2×S2∪……∪Sn×Sn是相容的.定义3.7.1 设R为定义在集合A上的一个关系,若R是自反的,对称的和传递的,则R称为等价关系.定义 3.7.2 设给定非空集合A,若有集合S={S1,S2,……Sm},其中SiA,Si(i=1,2,…,m),且Si∩Sj=(ij),同时有,称S是A的划分.定义3.7.3 设R为集合A上的等价关系,对任何a∈A,集合[a]R={x|x∈A,aRx}称为元素a形成的等价类.简记[a]或.定理3.7.1 设给定非空集合A上等价关系R,对于:a,b∈A有aRb iff[a]R=[b]R.定义3.7.4 集合A上的等价关系R,其等价类集合{[a]R|a∈A}称为A关于R的商集记作A/R. 定理3.7.2 集合A的等价关系R,确定了A的一个划分,该划分就是商集A/R.定理3.7.3 集合A的一个划分确定A的元素间的一个等价关系.设集合A有一个划分S={S1,S2,……Sm},现定义一个关系R,当aRb,当且仅当a,b在同一分块中,这样:(1)a与a在同一分块中,故必有aRa,即R是自反的.(2)若a,b在同一分块中,则b,a也在同一分块,即aRb=>bRa,故R是对称的.(3)若a与b在同一分块中,b与c在同一分块中,因为Si∩Sj=(ij),即b属于且属于一个分块,故a 与c必在同一个分块中,故有:aRb∧bRc=>aRc,即R是传递的.定义3.8.1 设A是一个集合,如果A上的关系R满足自反性,反对称性,以及传递性,则称R是A上的一个偏序关系,并记作"≤",序偶称作偏序关系.定义3.8.2 设集合A上有二元关系,R若是反自反和传递的,称R为A上的拟序关系.并把称为拟序集,或记作<A,.定理3.8.1 集合A上二元关系是拟序的,则R必为反对称的.定义3.8.3 集合A上二元关系是拟序集,对于任意x,y∈A,如果x≤y或者y≤x成立,称x和y 可比.定义3.8.4 在偏序集中,如果想x,y∈A,x≤y,且xy,且没有其他元素,z满足x≤z,z≤y,则称元素y 盖住元素x.记COV A{|x,y∈A;y盖住x}(设R是非空集合A上的偏序集,a,b是A中两个不同元素,如果∈R,且在A中没有其他元素c,使得∈R和∈R,称元素b盖住元素a.)定义3.8.5 设≤是集合A上的二元关系,如果对于A中任意两个元素a,b∈A,必有a≤b或b≤a,则称≤是A上的全序关系(或称线序关系).若≤是A上的全序关系,称是全序集.定义3.8.6 设是一个偏序关系,钱B是A的子集,对于B中的一个元素b,如果B中没有任何元素x,满足bx,且b≤x称b为B的极大元.同理对于b∈B,如果B中没有任何元素x,满足bx,且x≤b,则称b为B的极小元.定义3.8.7 令是一个偏序集,BA,若有某个元素b∈B,对B中每一个元素,x有x≤b,称b为的最大元,同理,若有某个元素b∈B,对于每个x∈B有,b≤x,则称b为的最小元.定义3.8.8 设为偏序集,对于BA,如果有a∈A,且对于B的任意元素x都满足x≤a,则称a为子集B的上界,同样对于B的任意元素x,都满足a≤x,则称a为B的下界.定义3.8.9 设为偏序集,若有子集BA,若a为B的任一上界,若对B的所有上界y均有a≤y,则称a是B的最小上界(上确界),同样若b为B的任一下界,若对B的所有下界z,均有z小于等于b,则称b为B的最大下界(下确界).定义3.8.10 设为全序集,如果A的任何非空子集都含有最小元,称为良序集.定义3.9.1 设X和Y是任何两个集合,而f是X到Y的一个关系,如果对于每一个x∈X,有惟一的y∈Y,使得∈f,称关系f为函数,记作f:XY或.假如∈f,称x为自变元,与x相对应的y称为函数在x处的值,记作y=f(x),即∈f.y称为f作用下的x的象.从函数定义可以知道它与关系有别于如下两点:(1)函数的定义域是X,而不能是X的某个真子集,这点可以表示为domf=X.(2)一个x∈X只能对应惟一的y∈Y,使得∈f称f为函数.定义3.9.2 设f,g,都是X到Y上函数,它们有相同的定义域与值域,即domf=domg,rang=rang,且对每个x∈X都有f(x)=g(x),称函数f与g是相等的,并记作f=g.定义3.9.3 设X,Y为集合,把所有从X到Y的函数构成的集合记作YX,即Yx={f|f: XY}.定义3.9.4 给定函数f: XY.(1)若ranf=Y称f是满射的或f为到上的.(2)若函数满足x1,x2∈X,若x1x2时必有f(x1) f(x2),则称f为入射的.(3)若函数f既是满射,又是入射,则称f为双射.定义3.10.1 设f: XY,g: YZ,合成关系fg={|(x∈X)∧(z∈Z)∧(y)(y∈Y)∧(y=f(x)∧z=g(y))},称fg为,f,g的做合成运算或复合运算.定理3.10.1设f: XY,g: YZ是两个函数,合成运算gf是XZ的函数,且对每一个x∈X有(gf)(x)=g(f(x)).定义3.10.2设函数f: XX,若对所有x∈X有f(x)=x,则称f为X上的恒等函数,并记作IX.定理3.10.2 设f: XY是任意函数,则IXf=fIX=f.定义3.10.3 给定集合X和Y,且有函数,f: XY,对所有x∈X,存在惟一y0∈Y,使得f(x)=y,即ranf=y0,则称f是常值函数.定理3.10.3 令gf是一个复合函数.(1)若g和f是满射的,则gf是满射的.(2)若g和f是如射的,则gf是入射的.(3)若g和f是双射的,则gf是双射的.定理3.10.4 设f: XY是一个双射函数,那么fc是YZ的双射函数.定义3.10.4设f: XY是一个双射函数,称YX的双射函数f-1为f的逆函数.注意:fc(逆关系)不一定是f-1(逆函数).一个函数f: XY,要有逆函数,必须f是双射的.否则只能保证有fc,但未必有逆函数f-1存在. 定理3.10.5设f: XY是一个双射函数,g: YZ是一个双射函数,则(1)f-1f=IX,f-1f-1=Iy; (2)(f-1)-1=f; (3)(gf)-1= g-1f-1定义4.1.1 设A,B为任意集合,一个从An到B的映射,称为集合A上的一个n元运算.如果BA,则称该n元运算时封闭的.定义4.1.2 一个非空集合A,连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,…,fk所组成的系统,称为一个代数系统,记作:.定义4.1.3 设A为任意非空集合,*是集合A上的二元运算.(1)封闭性:对任意a,b∈A,若有a*b∈A,则称运算*关于集合是封闭的.(2)结合律:对任意a,b,c∈A,若有a*(b*c)=(a*b)*c,则称运算*在集合A是可结合的,或称运算*在A上满足结合律.(3)交换律:对任意a,b∈A,若有a*b=b*a,称为运算*在A上市可交换的,或称*运算在A上满足交换律.(4)幂等率:若对a∈A,有a*a=a,则称运算*在A上市幂等的,或称运算×在A上满足幂等率.(5)分配律:若对a,b,c∈A有: a(b*c)=(ab)*(ac) 和(b*c)a=(ba)*(ca)成立,则称运算对*时可分配的,或称运算*满足分配律.(6)吸收率:若和*满足交换律而且有:a,b∈A,并有a(b*c)=a和a* (bc)=a,则称和*运算时可吸收的,或称和*运算满足吸收率.定义4.1.4 设*为集合A上的二元运算,若存在(或),使得对于x∈A,都有(或),则称(或)是A中关于*运算的左(或右)幺元(或单位元). 如果A中一个元素e,它既是左幺元,又是右幺元,则成e是A中关于运算* 的遥远.显然对于任一x∈A,e*x=x*e=x.定义4.1.5 设*式定义在集合A上的二元运算,如果有一个元素,对于任意元素都有,则称为A 中关于运算*的左零元;如果有一个元素,对于任意元素都有,则称为A中关于运算*的右零元.如果A中的一个元素,他既是左零元,又是右零元,则称为A上关于运算*的零元.定理4.1.1 设*是集合A上的二元运算,且在A中有关于运算*的左幺元和右幺元,则,且A中幺元是惟一的.定理4.1.2 设*是定义在集合A上的二元关系,在A中有关于运算*的左零元和右零元那么,且A中零元是惟一的.定理4.1.3 设有代数系统中,A的元素个数多于1,若其存在关于运算*的单位元e与零元O,则. 定义4.1.6 设代数系统中,e是关于*的单位元,若对A中某个元素a,存在A的一个元素b,使得b*a=e,则称b为a 的一个左逆元;若a*b=e,则称b为a的一个右逆元.若一个元素b,既是a 的左逆元,又是a的右逆元,则称b是a的一个逆元,记作.定理4.1.4 设代数系统,这里*是定义在A上的二元运算,A中存在幺元e,且每一个元素都有左逆元,如果*是可结合运算,那么这个代数系统中,任何一个元素的左逆元必定也是该元素的右逆元,且每个元素的逆元是惟一的.定义4.1.7 如果两个代数系统中运算的个数相同,对应运算的元数也相同,且代数常数的个数也相同,则称这两个代数系统具有相同的构成成分,也称它们是同类型的代数系统.同类型的代数系统仅仅是构成成分相同,不一定具有相同运算性质.定义4.1.8 设是代数系统,,且B对都是封闭的,B和S还含有相同的代数常数,则称是V的子代数系统,简称子代数.定义 4.2.1 设*是集合S上的二元运算,若运算*时封闭的,并且*是可结合的,则称代数系统<S,*》为半群.这个定义包括两点,及对于任意,(1),(2)(a*b)*c=a*(b*c)定理4.2.1 设是一个半群,,且*在B上封闭,那么也是一个半群,通常称是半群的子半群.定义4.2.2 若半群中存在一个幺元则称为独异点(或含幺半群).定理4.2.2 设是独异点,对于,且a, b均有逆元,则:(1),(2)若a*b有逆元,则.定义4.3.1 设是一个代数系统,其中G是非空集合,*是G上一个二元运算,(1)如果*是封闭的;(2)运算*时可结合的;(3)存在幺元e;(4)对于每一个元素,存在它的逆元;则称是一个群.定义4.3.2 设是一个群,如果G是有限群,那么称为有限群,G中元素的个数统称称为该有限群的阶数,记为.定义4.3.3 若群G中,只含有一个元素,即G=|e|,|G|=1,则称G为平凡群.,G关于*运算,构成一个群,这个群称为Klein四元群.定义4.3.4 设是一个群,若运算*在G上满足交换律,则称G为交换群或Abel群(阿贝尔群). 定义4.3.5 设是群,若,使得成立的最小正整数k称为a的阶,记作|a|.定理4.3.1 设为群,有:(1); (2); (3);(4);(5)若G为Abel群,.定理4.3.3 对|G|>1的群不可能有零元.定理4.3.4 设是一个群,对于.必存在惟一的,使a*x=b.定义4.3.7 设为群,若在G中存在一个元素a,使得G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都由a的幂组成,则称该群为循环群,元素a称为循环群G的生成元.定义4.3.8 设是一个群,S是G的非空子集,如果也构成群,则称是的一个子群,记作S≤G.子群判别定理:定理4.3.5 设是群,H是G的非空子集,则H≤G iff.(1)a,b∈H,有a*b∈H;(2)a∈H,有a-1∈H.定理4.3.6 设是群,H是G的非空子集,iffa,b∈H,则a*b-1∈H.定理4.3.7设是群,H是G的有穷非空子集,则H是G的子群iffa,b∈H,有a*b∈H.设是群,C={a|a∈G,且对x∈G有a*x=x*a},C又称CentG.定义4.4.1 设是一个代数系统,如果满足(1)是阿贝尔群;(2)是半群;(3)运算*对于运算☆是可分配的;则称是环.定理4.4.1 设是一个环,则对任意a,b∈A有(1);(2);(3);(4);(5)其中是加法幺元,-a是a的加法逆元,a+(-b)记为a-b,注意上面各式中不能只理解是实数上的加法与乘法.定义4.4.2 设是环,对a,b∈R,a≠0,b≠0,但a·b=0;则称a是R中的一个左零因子,b是R中一个右零因子;若一个元素既是左零因子,又是右零因子,则称它是一个零因子.定义4.4.3 设R是一个环,对于任意的a,b∈R,若a·b=0,则a=0或b=0,就称R是一个无零因子环.(整数环,有理环,实数环,复数环都是无零因子环.)定理4.4.2 设是环, R是无零因子环的充分必要条件,是在R中乘法适合消去律,即对任意a,b,c ∈R,a≠0,若有a·b=a·c(或b·a=c·a),则有b=c.定义4.4.4 设是环.如果是可交换的,则称是可交换环.如果含幺元,则称是含幺元.定义4.4.5 设是一个代数系统,如果满足:(1)是阿贝尔群;(2)是可交换独异点,且无零因子,即对任意a,b∈A,a≠,b≠必有a·b≠;(3)运算对于运算+是可分配的.则称是整环.定义4.4.6 设是一个环,且|R|≥2,(1)R有幺元;(2)每个非零元有逆元;则称这个环是除环.如果一个除环是可交换的,称为域.当为域时,及是阿贝尔群,其中R*=R-|0|.定义4.5.1 设是一个偏序集,如果A中任意两个元素都有最小上界和最大下界,则称为格.定义4.5.2 设是一个格,P是由格中元素及≤,=,≥,∧,∨等符合所表示的命题,如果将P中的分别换成≥,≤,∨,∧得到的命题P*,称P*为P的对偶命题,简称对偶.格的对偶原理:如果命题P对一切格L为真,则P的对偶命题业对一切格为真.定义4.5.3 设是一个格,如果在A上定义两个二元运算∨和∧,使得对任意a,b∈A,a∨b等于a 和b的最小上界,a∧b等于a和b的最大下界.称为由格所诱导的代数系统.二元运算∨和∧分别称为并运算和交运算.定理4.5.1 在格中,对任意a,b∈A,都有:a≤a∨b,b≤a∨b, a∧b≤a,a∧b≤b.定理4.5.2 设是格,a,b∈A,(1)a≤b,且a≤c=>a≤b∧c; (2)a≥b且a≥c =>b∨c.定理4.5.3 在格中,对于a,b,c,d∈A,如果a≤b,c≤d,则a∨c≤b∨d,a∧c≤b∧d.定理4.5.4 设是一个格,由所诱导的代数系统为,则对于任意a,b,c,d∈A,有:(1);(交换律)(2);结合律(3)a∨a=a;a∧a=a(幂等律)(4)a∨(a∧b)=a;a∧(a∨b)=a;(吸收律)定理4.5.5 设是一个代数系统,其中∨和∧都是二元运算,且满足交换性,结合性和吸收性,则A 上存在偏序关系≤,使是一个格.定义4.5.4 设是代数系统,其中∧和∨是二元运算,若∧和∨运算满足交换律,结合律,吸收律,则称是一个格.定理4.5.6 设是格,则(1)a,b,c∈L有a≤b=>a∧c≤b∧c,且a∨c≤b∨c; (2)a,b,c,d∈L有a≤b且c≤d=>a∧c≤b∧d,且a∨c≤b∨c;定理4.5.5 设是格,S是L的非空子集,若S关于运算∧和∨是封闭的,则称是格L的子格.定义4.6.1 设是由格所诱导的代数系统,如果对任意a,b,c∈A满足:,称是分配格.定义4.6.2 设和是两个格,由它们分别诱导的代数系统为和,如果存在着一个从A1到A2的映射f,使得对任意a,b∈A1有:,称f为从到格同态,也可称是的格同态象.当f是双射时,格同态也称为格同构.定理4.6.1 格L是分配格,当且仅当L既不含有与五角格同构的子格,也不含有与钻石格同构的子格.(1)每一条链都是分配格.(2)小于五个元素的格都是分配格.定义4.6.3 设是一个格,如果存在元素a∈A对于任意x∈A,都有a≤x(或x≤a),则称a为格的全下界(全上界).记作0(全下界为1).存在全上界和全下界的格称为有界格,记作.定义4.6.4 设是有界格a∈A,若存在b∈A,使得a∨b=1,且a∧b=0,称b是a的补元.定义4.6.5 在一个有界格中,如果每个元素至少有一个补元,则称此格为有补格.定义4.7.1 一个有补格称为布尔格(或布尔代数).定理4.7.1 设有代数系统,其中B至少包含两个元素,∧,∨为B上两个二元运算, '为B上一元运算,对任何a,b∈B满足(H1)a∧b=b∧a,a∨b=b∨a (交换律)(H2)a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c),a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c) (分配率)(H3)在B中存在零元0,使a∨0=a,a∧0=0,存在单位元1,使得a∧1=a,a∨1=1 (同一律)(H4)a'∈B,使得a∧a'=0,a∨a'=1(补元律)则称是布尔格.定理4.7.2 设为代数系统,∧,∨,是B上的二元运算,'为B上的一元运算,满足条件(H1)-(H4)则称此代数系统为布尔代数.定义4.7.3 设B是布尔代数,函数称为B上的一个n元布尔函数.定义5.1.1 一个图是二元组,其中V是非空结点集,E是连接结点的边集.在一个图中,不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点.在一个图中,若两点由一条有向边或一条无向边关联,则这两个结点称为邻接点.关联与同一结点的两条边称为邻接边.。
离散数学中可比的定义
离散数学中可比的定义1.引言1.1 概述在离散数学中，可比性是一个重要的概念，用来描述两个元素之间的比较关系。
可比性可以用于不同领域的问题，比如排序算法、图论、集合论等等。
本文将讨论离散数学中可比的定义，并探讨其在该学科中的意义和应用。
首先，我们将介绍可比性的基本概念和要点，并在正文部分对其进行详细阐述。
可比性的定义要点主要包括两个方面。
第一个要点是确定两个元素之间是否具有可比性，即能够进行比较。
对于离散数学中的元素，我们需要找到一种准确的方法或规则来判断它们是否可以进行比较。
这种方法或规则应该具有普适性和可行性，能够适用于不同类型的元素。
第二个要点是确定两个可比元素的大小关系。
我们需要定义一个比较操作符或函数，用于判断两个元素的大小关系。
比较操作符或函数应该满足传递性、反对称性和完全性等基本性质，确保比较的结果是准确和可靠的。
在本文的正文部分，我们将对这两个要点进行详细讨论，并给出具体的例子和证明过程。
我们将介绍一些常见的可比关系，比如数值大小的比较、集合元素的包含关系等等，并进行相应的定义和分析。
通过对离散数学中可比的定义的探讨，我们能够更好地理解和应用这一概念。
可比性在离散数学中具有广泛的应用，可以用于解决各种实际问题。
比如，在排序算法中，可比关系可以用来确定元素的相对顺序；在图论中，可比性可以用来比较两个节点的优先级等等。
总结起来，本文将详细介绍离散数学中可比的定义，探讨其在该学科中的意义和应用。
通过对可比性的研究，我们将能够更好地理解离散数学的基本原理，并在实际问题中灵活应用。
在下一节中，我们将进一步总结可比的定义要点，并讨论其在离散数学中的重要性和应用前景。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行讨论离散数学中的可比的定义：2. 正文：2.1 可比的定义要点1：介绍离散数学中可比的基本概念，如何判断两个元素是否可比，以及可比关系的性质。
2.2 可比的定义要点2：探讨离散数学中可比的不同形式定义，例如偏序集和全序集，并分析它们的特点及应用。
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(4) 记 r:张辉是三好生, s:王丽是三好生,
(5) 简单命题, 记 t:张辉与王丽是同学
r∧ s
8
联结词与复合命题(续)
定义2.3 “p或q”称作p与q的析取式,记作p∨q, ∨称作析 取联结词, 并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假. 例如 张三和李四至少有一人会英语 设 p:张三会英语, q:李四会英语, 符号化为p∨q 相容或与排斥或 例如 这件事由张三和李四中的一人去做 设 p:张三做这件事, q:李四做这件事 应符号化为 (p∨q)∧(p∨q)
17
合式公式的层次
定义2.7 (1) 单个命题变项或命题常项是0层公式 (2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一： (a) A=B, B是n层公式 (b) A=BC, 其中B,C分别为i层和j层公式, 且 n=max(i, j) (c) A=BC, 其中B,C的层次及n同(b) (d) A=BC, 其中B,C的层次及n同(b) (e) A=BC, 其中B,C的层次及n同(b) 例如 p 0层 pq 2层 ((pq) r)(rs) p (pq)r 4层 1层 3层
9
实例
例3 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年. 解 记 p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数 (1) p∨r, 真值:1 (3) r∨s, 真值: 0 (4) 记t:元元拿一个苹果,u:元元拿一个梨 (t∧u)∨(t∧u) (5) 记v:王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年 (v∧w)∨(v∧w) 又可形式化为 v∨w (2) p∨q, 真值: 1
18
公式的赋值
定义2.8 设p1, p2, … , pn是出现在公式A中全部的命题变项, 给 p1, p2, … , pn指定一组真值, 称为对A的一个赋值或解释. 使公式为真的赋值称作成真赋值, 使公式为假的赋值称作 成假赋值 说明: (1) 赋值记作=12…n, i=0或1, 诸i之间不加标 点符号 (2) 通常赋值与命题变项之间按下标或字母顺序对应, 即 当A的全部命题变项为p1, p2, … , pn时, 给A赋值12…n 是指p1=1,p2=2,…,pn=n; 当A的全部命题变项为p,q,r,… 时, 给A赋值123…是指p=1, q=2, r=3, …
Байду номын сангаас
又如 张三一面喝茶一面看报
设p:张三喝茶, q:张三看报, p并且q
6
联结词与复合命题
定义2.1 “非p”(或 “p的否定”)称为p的否定式, 记作p, 称作否定联结词, 规定p为真当且仅当 p为假 例如 p:2是合数, p: 2不是合数, p为假, p为真
定义2.2 “p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式, 记作 p∧q, ∧称作合取联结词, 规定 p∧q为真当且仅当 p与q 同时为真
24
注意： pq 与 qp 等值（真值相同）
13
联结词与复合命题(续)
定义2.5 “p当且仅当 q”称作 p与 q的等价式 , 记作pq, 称作等价联结词. 并规定pq为真当且仅当 p与q同 时为真或同时为假. pq 的逻辑关系: p与q互为充分必要条件 例如 这件事张三能做好, 且只有张三能做好 设p:张三做这件事, q:这件事做好了 形式化为: pq
例如 p:2是偶数, q: 2是素数, p∧q: 2是偶素数, p为真, q为真, p∧q为真
7
实例
例2 将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解 记 p:王晓用功, q:王晓聪明
3
命题及其真值
命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果,真或假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题
注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是 命题
4
实例
例1 下列句子中那些是命题？ (1) 北京是中华人民共和国的首都. (2) 2 + 5 ＝8. (3) x + 5 ＞ 3. (4) 你会开车吗？ (5) 2050年元旦北京是晴天. (6) 这只兔子跑得真快呀！ (7) 请关上门！ (8) 我正在说谎话. 真命题 假命题 真值不确定 疑问句 真值确定, 但未知 感叹句 祈使句 悖论
第2章
命题逻辑
1
第2章
命题逻辑
2.1 命题逻辑基本概念
2.2 命题逻辑等值演算
2.3 范式 2.4 推理
2
2.1 命题逻辑基本概念 2.1.1 命题与联结词
命题与真值(简单命题, 复合命题) 联结词(¬, , , , )
2.2.2 命题公式及其分类
命题公式及其赋值 真值表 命题公式的分类
14
实例
例5 求下列复合命题的真值 (1) 2+2＝4 当且仅当 3+3＝6. (2) 2+2＝4 当且仅当 3是偶数. (3) 2+2＝4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2+2＝5 当且仅当 美国位于非洲. (5) f (x)在x0处可导的充要条件是它在 x0处连续. 1 0 1 1 0
15
23
命题公式的分类
重言式(永真式): 无成假赋值的命题公式 矛盾式(永假式): 无成真赋值的命题公式 可满足式: 非矛盾式的命题公式 注意: 重言式是可满足式，但反之不真. 例如 上例中 (1) (qp)qp为重言式 (2) (pq)q为矛盾式 (3) (pq)r为非重言式的可满足式
10
联结词与复合命题(续)
定义2.4 “如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式, 记作pq, 并 称p是蕴涵式的前件, q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联 结词, 规定, pq为假当且仅当 p为真且q为假. 例如 如果明天天气好, 我们就出去郊游
设p:明天天气好, q:我们出去郊游,
形式化为 pq
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 1 1
0 0 0 1
1 1 1 1
21
实例(续)
(2) (pq) q p q 0 0 1 1 0 1 0 1 p 1 1 0 0 pq 1 1 0 1 (pq) 0 0 1 0 (pq) q 0 0 0 0
22
实例(续)
(3) (pq) r p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 p q 0 0 1 1 1 1 1 1 r 1 0 1 0 1 0 1 0 (pq)r 1 1 1 0 1 0 1 0
(1),(2),(5)是命题, (3),(4),(6)~(8)都不是命题
5
简单命题与复合命题
简单命题(原子命题):简单陈述句构成的命题 简单命题的符号化:用p, q, r, … ,pi,qi,ri (i≥1)表示 用“1”表示真，用“0”表示假 复合命题:由简单命题通过联结词联结而成的陈述句 例如 如果明天天气好, 我们就出去郊游 设p:明天天气好, q:我们出去郊游, 如果p, 则q
联结词与复合命题(续)
基本复合命题的真值 p q 0 0 0 1 1 0 1 1 p 1 1 0 0 p∧ q 0 0 0 1 p∨ q 0 1 1 1 pq 1 1 0 1 p q 1 0 0 1
联结词优先级:( ),, , , , 同级按从左到右的顺序进行
16
合式公式
命题常项: 简单命题 命题变项: 取值0(真)或1(假)的变元 定义2.6 合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下： (1) 单个命题常项或变项是合式公式,并称作原子合式公式 (2) 若A是合式公式, 则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式, 则(AB), (AB), (AB), (AB)也 是合式公式 (4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式 说明:(1) 元语言符号与对象语言符号 (2) 在不影响运算顺序时, 括号可以省去 例如 0, p, pq, (pq)(pr), pq r, (pq)r
19
实例
例6 公式A=( p1 p2 p3 )(p1 p2) 000是成真赋值, 001是成假赋值 公式B= (pq)r 000是成假赋值, 001是成真赋值
20
真值表
真值表: 命题公式在所有可能的赋值下的取值的列表 含n个变项的公式有2n个赋值 例7 给出公式的真值表 (1) (qp) qp p q qp (qp) q (qp) qp
11
蕴涵联结词(续)
pq 的逻辑关系: q为p的必要条件, p为q的充分条件 “如果p,则q” 的多种表述方式： 若p,就q 只要p,就q p仅当q 只有q 才p 除非q, 才p 除非q, 否则非p 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假)
12
实例
例4 设p:天冷, q:小王穿羽绒服， 将下列命题符号化 (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服. (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服. (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷. (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服. (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服. (6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷. (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服. (8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候. pq pq qp 或 pq qp qp pq pq 或 qp qp