高中数学-不等式

不等式
【基础知识回顾】
一、不等关系及性质
比差法：0
00a b a b a b a b a b a b >⇔->⎧⎪=⇔-=⎨⎪<⇔-<⎩
（通常是配方或因式分解等判定差的符号）
不等式的性质::,:,,,0,00,00,0110n n
a b b a a b b c a c a b c a c b a b a c b c
a b c d a c b d a b c ac bc a b c ac bc a c b d ac bd a b n Z n a b a c a b ⎧>⇔<⎧⎪⎪
>>⇒>⎨⎪
⎪⎪
+>⇔>-⎩⎪
⎪⎧>⇔+>+⎧⎨⎪
>>⇒+>+⎩⎪⎪⎨>>⇒>⎧⎪⎪
⎪><⇒<⎨⎨⎪>>>>⇒>⎪⎩⎪>>∈≠⇒>⎪⎪>>⇒<⎪⎩对称性基本性质：传递性移项法则：加法乘法运算性质：乘方、开方:且倒数法则：⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎩
二、解不等式
1、一元一次不等式与线性规划
(1) ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P
在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P
在直线0x y C A +B +=的下方．
(2)线性规划：⇒⎧⎪
⎨⎪⇒⎩
线性约束条件可行域
线性目标函数（截距、斜率、距离）可行解最优解
2、一元二次不等式(0a >) 判别式2
4b ac ∆=-
0∆> 0∆= 0∆<
二次函数2
y ax bx c =++
一元二次方程
20ax bx c ++=
2b x a
-±∆
=
122b x x a ==-
没有实数根
一元二次不等式的解集
20ax bx c ++>
{}1
2
x x x x x <>或
2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩
⎭
R 20ax bx c ++<
{}1
2x x
x x <<
∅
∅
含参问题，要会分类讨论。

（二次项系数分类讨论、判别式分类讨论、比根）
3、均值不等式
（1）2222
2,2,2,()22
a b R a b ab a b R a b ab a b a b a b R ab ++⎧
⎪∈+≥⎪⎪
∈+≥⎨⎪++⎪∈≤≤
⎪⎩、、、 ，(当且仅当a b =时成立等号)，
⎧⎨
⎩和定，积最大；积定，和最小。

一正二定三相等。

(特别留意等号成立的条件)
扩展：22
222
ab a b a b ab a b ++≤≤≤
+(当且仅当a b =时成立等号). （2）对勾函数,(0)k
y x k x
=+>
定义域(,0)(0,)-∞+∞U ，值域,k k ∞+∞U (-,-2][2) 奇函数 渐近线：直线
y x =和直线0x =
拐点：,)k k (--2，,)k k (2
1x x +、a b b a +、2Ax Bx C Dx ++、2
Dx Ax Bx C
++
三、常见、常用结论： 1、（1）max min
()()()()k f x k f x k f x k f x ≥⇔≥⎧⎨
≤⇔≤⎩恒成立恒成立 （2）min max
()()()()x k f x k f x x k f x k f x ≥⇔≥⎧⎨
≤⇔≤⎩存在使成立存在使成立
2、（1）a b 、同号⇔0ab >或
0a b >；（2）a b 、异号⇔0ab <或0a
b
<； 3、绝对值不等式
||||||;||||,(0)||a b a b a a b b b =⎧⎪
⎨=≠⎪⎩
g
g （1） ||0,||a a a ≥≥（2） ||,0;||,0a a a a a a =≥⎧⎨
=-≤⎩（3） ||,0||,0a b b b a b
a b b a b a b <>⇒-<<⎧⎨
>>⇒<->⎩
（4）或 ||||||||||a b a b a b -≤±≤+（5） 4、（1）20000x x x a a a x a ⎧≥≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或 （2）20
000x x x a a a x a ⎧≥≥⎧⎪
<⇔>⎨⎨<⎩⎪<⎩
或
（四）基本不等式
2a b
ab +≤
1．若a,b ∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b 时取等号.
2．如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 变形： 有:a+
b ≥ab 2；ab ≤2
2⎪⎭⎫ ⎝
⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号. 3．如果a,b ∈R+,a ·b=P(定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2
;
如果a,b ∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42
S .
注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，
正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”
4.常用不等式有：（1
）2211
a b a b +≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b m
a a m +<
+（糖水
的浓度问题）。

【考点例题解析】
考点1不等式的性质 1.
对于实数c b a ,,中，给出下列命题：
①2
2
,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,2
2
； ③2
2
,0b ab a b a >><<则若； ④b
a b a 11,0<<<则若； ⑤b
a
a b b a ><<则
若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b
c b a c a b a c ->
->>>则若,0； ⑧11
,a b a b >>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______
考点2比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式） 2. 设2a >，12
p a a =+
-，2
422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 4. 若)2
lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=
⋅=
>>，则R Q P ,,的大小关系是 .
考点3解不等式 5. 不等式2
120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______
6. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式
02
>-+x b
ax 的解集为
考点4恒成立问题 7. 关于x 的不等式a x 2
+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________
8. 若不等式2
2210x mx m -++>对01x ≤
≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.
考点5求最值 9.
（直接用）求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋
12x
2
（2）y ＝x ＋1
x
10. （配凑项与系数）
（1）已知5
4x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值。

（2）当时，求(82)y x x =-的最大值。

考点6利用基本不等式证明不等式
11. 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222
12. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc
13. 已知a 、b 、c R +
∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---≥
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
考点7均值定理实际应用问题：
14. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如图），
如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池
底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

考点8目标函数求最值
15. 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤-+≤-+0,0870
32y x y x y x ，求目标函数y x k +=3的最大值
16.
已知实系数一元二次方程2
(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且102x <<,22x >．则1
b
a -的取值范围是
17. 已知,x y 满足约束条件：03440x x y y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪≥⎩ ,则
22
2x y x ++的最小值是
【课后作业】
一、选择题： 1．设
()lg ,f x x =若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是（ ）
A (a-1)(c-1)>0
B ac>1
C ac=1
D ac>1
2．设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是（ ）
A 1x y +≥
B 11
22
x y >>或 C 1x ≥ D x<-1
3．不等式(0x -≥的解集是（ ）
A {|1}x x >
B {|1}x x ≥
C {|21}x x x ≥-≠且
D {|21}x x x =-≥或
4．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x,则（ ）
A 2a b x +=
B 2a b x +≤
C 2a b x +>
D 2
a b
x +≥
5．已知1324a b a b -<+<<-<且，则2a+3b 的取值范围是（ ）
A 1317(,)22-
B 711(,)22-
C 713(,)22-
D 913(,)22
-
6．若不等式ax 2
+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ）
A a ≤-21或a ≥21
B a ＜21
C -21≤a ≤21
D a ≥ 2
1
7．已知函数y=㏒2
1(3x )52
+-ax 在[-1，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围（ ）
A a ≤-6
B -60＜a ＜-6
C -8＜a ≤-6
D －8≤a ≤-6
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8.若+
∈R y x ,，且2x+8y-xy=0则x+y 的范围是
9.已知实数
的取值范围是则满足
x y x y x
y x ,,-= 。

10.已知两个正变量m y x y x y x ≥+=+4
1,4,则使不等式
满足恒成立的实数m 的取值范围
是 。

11.已
知函数①
()
04
≠+=x x
x y ②
()
2
0cos 4
cos π
ππx x
x y +
=③
9
132++=
x x y ④
()()()22
1
0tan 41cot 1πππx x x y ++=
，其中以4为最小值的函数个数是 。

12．已知
()x f 是定义在()+∞,0的等调递增函数，()()(),y f x f xy f +=且()12=f ，则不等式
()()23≤-+x f x f 的解集为 。

13．（案中）已知a2+b2+c2=1, x2+y2+z2=9, 则ax+by+cz 的最大值为。