2016届高考数学(文)二轮复习专题整合突破三角函数的图象与性质(选择、填空题型)(含答案)

一、选择题
1.将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R)的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上
各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为( )
A. y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋5π12(x ∈R) B. y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π12(x ∈R) C. y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π12(x ∈R) D. y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋5π24(x ∈R) 答案 B
解析 原函数图象向左平移
π4个单位后得y ＝sin ⎝
⎛
x ＋
π6
⎭⎪⎫＋π4＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋5π12(x ∈R)的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍得y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋5π12(x ∈R)的图象．
2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )
A ．－ 3 B.3
3
C ．1 D. 3 答案 D
解析 由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f(x)＝tan2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan
π3＝3，故选D.
3．将函数f(x)＝cosx －3sinx(x ∈R)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则a 的最小值是( )
A.π12
B.π
6 C.
π3 D.5π6
答案 B
解析 f(x)＝cosx －3sinx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosx －32sinx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由题知π3＋a ＝π2＋
k π，k ∈Z ，所以a ＝π6＋k π，k ∈Z ，又因为a>0，所以a 的最小值为π
6
.
4．函数f(x)＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4等
于( )
A ．2或0
B ．－2或2
C ．0
D ．－2或0 答案 B
解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x 可知函数图象关于直线x ＝π4对称，则在x ＝π4处函数取得最值，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝±2，故选B.
5．[2015·云南统测]已知平面向量a ＝(2cos 2
x ，sin 2
x)，b ＝(cos 2
x ，－2sin 2
x)，f(x)＝a·b，要得到y ＝sin2x ＋3cos2x 的图象，只需要将y ＝f(x)的图象( )
A.向左平行移动π
6个单位
B ．向右平行移动π
6个单位
C ．向左平行移动π
12个单位
D ．向右平行移动π
12个单位
答案 D
解析 由题意得：f(x)＝a·b＝2cos 4
x －2sin 4
x ＝2(cos 2
x ＋sin 2
x)(cos 2
x －sin 2
x)＝2cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，而y ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2，故只需将y ＝f(x)的图象向右平移π
12
个单位即可．故选D.
6．[2015·南宁适应性测试]函数f(x)＝12(1＋cos2x)·sin 2
x(x ∈R)是( )
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π
2的奇函数
C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π
2的偶函数
答案 D
解析 注意到sin 2x ＝12(1－cos2x)，因此f(x)＝14(1＋cos2x)(1－cos2x)＝14(1－cos 2
2x)
＝14sin 22x ＝18(1－cos4x)，即f(x)＝18(1－cos4x)，f(－x)＝1
8(1－cos4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为π
2
的偶函数，选D.
7．[2014·济宁一模]已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(0<φ<π)的图象如图所示，若f(x 0)
＝3，x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
，5π6，则sinx 0的值为( )
A.43－3
10 B.33＋4
10
C.
43＋110 D.33＋3
10
答案 B
解析 由图象知A ＝5，T 2＝4π3－π
3＝π，
∴T ＝2π，∴ω＝2π
2π
＝1，
且1×π3＋φ＝2k π＋π2，又0<φ<π，∴φ＝π6
，
∴f(x)＝5sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6.
由f(x 0)＝3，得sin(x 0＋π6)＝3
5，
即
32sinx 0＋12cosx 0＝3
5
，① 又x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，∴x 0＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π6＝－45，即32cosx 0－12sinx 0＝－45，② 由①②解得sinx 0＝33＋4
10
.
8.[2015·江西八所重点中学联考]已知函数f(x)＝
sinx ＋cosx ＋|sinx －cosx|
2
，则下列结论正确的是( )
A ．f(x)是奇函数
B ．f(x)在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上递增
C ．f(x)是周期函数
D ．f(x)的值域为[－1,1]
答案 C
解析 由题意得，f(x)本质上为取sinx ，cosx 中的较大值，为周期函数，一个周期T ＝
2π
，
在
(0,2π]上
的
解析
式
为
：
f(x)
＝
⎩⎨⎧
cosx ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪
⎫0，π4，x ∈⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
π4，5π4，x ∈⎝
⎛⎦
⎥
⎤
5π4，2π.∵f(x)为非奇非偶函
数，
∴A 错误；f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π2上单调递增，∴B 错误；由f(x)在(0,2π]
上的解析式可知，其值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－
22，1，∴D 错误．故选C. 9．[2015·南宁适应性测试]已知函数f(x)＝sin(2x ＋α)在x ＝π
12时有极大值，且f(x
－β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为( )
A.π6，－π12
B.π6，π12
C.
π3，－π6 D.π3，π6
答案 D
解析 依题意得2×π12＋α＝2k 1π＋π2，k 1∈Z ，即α＝2k 1π＋π
3，k 1∈Z ，因此选项A 、
B 均不正确；由f(x －β)是奇函数得f(－x －β)＝－f(x －β)，即f(－x －β)＋f(x －β)＝0，函数f(x)的图象关于点(－β，0)对称，f(－β)＝0，sin(－2β＋α)＝0，sin(2β－α)＝0,2β－α＝k 2π，k 2∈Z ，结合选项
C 、
D ，则α＝π3得β＝k 2π2＋π
6
，k 2∈Z ，因此选D.
10．[2015·南昌一模]如图，M(x M ，y M )，N(x N ，y N )分别是函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m(A≥m≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S(m)＝|x N －x M |，则S(m)的图象大致是( )
答案 C
解析 如图所示，作曲线y ＝f(x)的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1
对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C ＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N .又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称，所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ，
所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B,2x 1－x M ＋x N ＝2x B ，
得x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T 2，x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T 2，所以|x M －x N |＝T 2＝π
ω(常数)，选C.
二、填空题
11.[2015·长春质监(三)]函数y ＝12sinx ＋32cosx ( x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 )的单调递增区间是
________．
答案 ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π6
解析 ∵y ＝12sinx ＋32cosx ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，
∴函数的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z)， 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.
12．若函数f(x)＝cos2x ＋asinx 在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．
答案 (－∞，2]
解析 f(x)＝cos2x ＋asinx ＝1－2sin 2
x ＋asinx ，令t ＝sinx ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，则t ∈
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1上是减函数，结合抛物线图象可知，a 4≤12，所以a≤2.
13．函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R)⎝
⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，
x 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π3，且f(x 1)＝f(x 2)，则f(x 1＋x 2)＝________.
答案
32
解析 由图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π
2，则T ＝π，ω＝2，又∵－π6＋
π32＝π12，∴f(x)
的图象过点⎝
⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3，∴f(x)＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.而x 1＋x 2
＝－
π6＋π3＝π6，∴f(x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.
14．[2015·湖南高考]已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝_______.
答案
π
2
解析 由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，易知|PQ|2
＝(x 2－x 1)2
＋(y 2－y 1)2
，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4的两个相邻零点之间的
距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π2ω2＋(22)2，ω＝π2.。