第6章01-线性规划在工商管理中的应用——投资问题

第6章01线性规划在工商管理中的应用——投资问题
同学们，大家好，今天我们来学习第6章线性规划在工商管理中的应用。

这一章，我们主要介绍三个小问题：投资问题，效率评价问题和广告问题。

我们先来看一个投资问题的例子，也就是我们教材里面的例6-8。

例6-8某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。

已知项目A，从第一年到第五年每年年初都可以投资，当年年底能收回本利110%。

项目B，从第一年到第四年每年年初都可以投资，次年年底能收回本利125%，但每年最大投资额不能超过30万元。

项目C，从第三年初需要投资，到第五年年底能收回本利140%，但每年最大投资额不能超过80万元。

项目D，从第二年初需要投资，到第五年年底能收回本利155%，但每年最大投资额不能超过100万元。

每万元每次投资的风险指数如下表6-9所示。

表6-9投资风险指数表
（2）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年底拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险指数为最小？
某部门现有资金200万元，今后5年内考虑给以下的投资项目。

项目A，从第1年到第5年每年年初都可以投资，当年年底能收回本利110%；项目B，从第1年到第4年每年年初都可以投资，次年年底能收回本利125%，但每年最大投资额不能超过30万元；项目C，从第3年初需要投资，到第5年年底能收回本利140%，但每年最大的投资者不能超过80万；项目D，从第2年初需要投资，到第5年底能收回本利155%，但每年最大的投资者不能超过100万元。

每万元每次投资的风险指数如表6-9所示。

第1问，应如何确定这些项目的每年投资额，使得第5年年底拥有资金的本利最大？
第2问，应如何确定这些项目的每年投资额，使得第5年年底的本利在330万元的基础上使得风险指数最小？
我们先来看第1问，确定每年的投资额，使得第5年年底的资金的本利是最大的。

我们先来设变量，设项目A在每年年初都可以投资，项目B在第1年至第4年的年初都可以投资，项目C只有在第3年年初可以投资，项目D只有在第2年年初可以投资，所以我们可以给出表6-10中的变量表。

现在来看约束条件。

第1年初的总资金为200万元，而第1年初的投资额为x 1A 和x 1B ，所以有x 1A +x 1B =200
11200
A B x x +=第2年初的时候，投资于项目A 的资金已经返回，共1.1x 1A ，而第2年初投资在项目A ，B ，D 中的资金分别为x 2A ，x 2B 和x 2D ，所以有x 2A +x 2B +x 2D =1.1x 1A 。

22211.1A B D A
x x x x ++=第3年初的时候，于第2年初投资于项目A 和第1年初投资于项目B 的资金已经返回，分别为1.1x 2A 和1.25x 1B ，而第3年初投资在项目A ，B ，C 中的资金分别是x 3A ，x 3B 和x 3C ，所以，x 3A +x 3B +x 3C =1.1x 2A +1.25x 1B 。

333211.1 1.25A B C A B
x x x x x ++=+第4年初的时候，于第3年初投资于项目A 和第2年初投资于项目B 的资金已经返回，分别为1.1x 3A 和1.25x 2B ，而第4年初投资在项目A ，B 中的资金分别是x 4A 和x 4B ，所以，x 4A +x 4B =1.1x 3A +1.25x 2B 。

44321.1 1.25A B A B
x x x x +=+第5年初的时候，于第4年初投资于项目A 和第3年初投资于项目B 的资金已经返回，分别为1.1x 4A 和1.25x 3B ，而第5年初仅投资于项目A ，资金为x 5A ，所以，x 5A =1.1x 4A +1.25x 3B 。

5431.1 1.25A A B
x x x =+此外，项目B ，C ，D 每年的投资额分别不能超过30万元，80万元，100万元，所以有x 1B ，x 2B ，x 3B ，x 4B ≤30，x 3C ≤80，x 2D ≤100。

1234,,,30B B B B x x x x ≤，380C x ≤，2100
D x ≤于是，我们便得到了下面的约束条件
1A 1B 2A 2B 2D 1A
3A 3B 3C 2A 1B 4A 4B 3A 2B 5A 4A 3B B
3C 2D 200 1.11.1 1.251.1 1.25st. 1.1 1.2530,1,2,3,480100
0i ij x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i x x x ⎧+=⎪++=⎪⎪++=+⎪+=+⎪⎪=+⎨⎪≤=⎪⎪≤⎪≤⎪⎪≥⎩
现在来看目标函数。

在第5年年末时，第5年初投资于项目A 的资金返回，为1.1x 5A ；第4年初投资于项目B 的资金返回，为1.25x 4B ；第3年初投资于项目C 的资金返回，为1.40x 3C ；第2年初投资于项目D 的资金返回，为1.55x 2D 。

所以，目标函数是1.1x 5A +1.25x 4B +1.40x 3C +1.55x 2D 。

于是，我们便得到了下面的数学模型。

5A 4B 3C 2D
max 1.1 1.25 1.40 1.55z x x x x =+++
1A 1B 2A 2B 2D 1A
3A 3B 3C 2A 1B 4A 4B 3A 2B 5A 4A 3B B
3C 2D 200 1.11.1 1.251.1 1.25st. 1.1 1.2530,1,2,3,480100
0i ij x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i x x x ⎧+=⎪++=⎪⎪++=+⎪+=+⎪⎪=+⎨⎪≤=⎪⎪≤⎪≤⎪⎪≥⎩
经求解可以得到下面的最优解，
且最优值为z=341.5万元。

现在我们再来看第二问，如何确定投资额，在第5年年底的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险指数为最小。

变量的设法，显然可以与第一问相同。

在约束条件中，我们只需加入第5年年底的本利不低于330万元即可，也就是1.1x 5A +1.25x 4B +1.40x 3C +1.55x 2D ≥330。

5A 4B 3C 2D 1.1 1.25 1.40 1.55330
x x x x +++≥我们关键是来看目标函数。

投资于项目A 每万元每次的风险指数为1，所以投资于项目A 的总的风险指数为x 1A +x 2A +x 3A +x 4A +x 5A ；投资于项目B 每万元每次的风险指数为3，所以投资于项目B 的总风险指数为3（x 1B +x 2B +x 3B +x 4B ）；类似地，投资于项目C 的总风险指数为4x 3C ，投资于项目D 的总风险指数为5.5x 2D 。

所以，总的风险指数为
1A 2A 3A 4A 5A 1B 2B 3B 4B 3C 2D
3()4 5.5x x x x x x x x x x x ++++++++++所以，我们得到了下面的回答第二问的线性规划模型
1A 2A 3A 4A 5A 1B 2B 3B 4B 3C 2D 1A 1B 2A
2B 2D 1A 3A 3B 3C 2A 1B 4A 4B 3A 2B 5A 4A 3B B 3C 2D 5A 4B min 3()4 5.5200 1.11.1 1.251.1 1.251.1 1.25st.30,1,2,3,4
80100
1.1 1.25 1.4i f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i x x x x =+++++++++++=++=++=++=+=+≤=≤≤++3C 2D 0 1.553300
ij x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪+≥⎪≥⎪⎩好了，今天我们就讲到这里了，谢谢大家！。