山西省临汾市浪泉乡中学2021年高二数学理期末试题含解析

山西省临汾市浪泉乡中学2020-2021学年高二数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设长方体的长、宽、高分别为、、，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
2. 若，则（）
A. <<
B. <<
C. <<
D. <<
参考答案：
C
根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b和a、c的大小．
解：因a=lnx在（0，+∞）上单调递增，
故当x∈（e-1，1）时，a∈（-1，0），
于是b-a=2lnx-lnx=lnx＜0，从而b＜a．
又a-c=lnx-ln3x=a（1+a）（1-a）＜0，从而a＜c．
综上所述，b＜a＜c．
故选C
3. 在ΔABC中，已知A=120°，，，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
4. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．
【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）
∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴cos＜，＞═=．
∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为
故答案为D．
【点评】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．
5. 如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（）
A．a＞3 B．a＜﹣2 C．a＞3或a＜﹣2 D．a＞3或﹣6＜a＜﹣2
参考答案：
D
【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．
【分析】利用方程表示焦点在x轴上的椭圆，建立不等式，即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：由题意，∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，
∴a2＞a+6＞0，解得a＞3或﹣6＜a＜﹣2
∴实数a的取值范围是a＞3或﹣6＜a＜﹣2
故选D．
6. 设f（x）=x2（2﹣x），则f（x）的单调增区间是（）
A．x∈（0，）B．x∈（，+∞）C．x∈（﹣∞，0）D．x∈（﹣∞，0）∪（，+∞）
参考答案：
A
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先求出函数的导函数，令导函数大于0，解不等式求出即可．
【解答】解：f（x）=x2（2﹣x），
∴f′（x）=x（4﹣3x），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，
故选：A．
7. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
参考答案：
C
【考点】茎叶图．
【专题】概率与统计．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．
【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；
∴y=8；
甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，
∴x=5．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．
8. 下列框图中，属于工序流程图的是
参考答案：
C
略
9. 在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是
（）
..C C.C－C.A－A
参考答案：
C
10. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是( )
A. 2日和5日
B. 5日和6日
C. 6日和11日
D. 2日和11日
参考答案：
C
试题分析：这12天的日期之和，，甲、乙、丙的各自的日期之和是26，对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日，故答案为C.
考点：等差数列的前项和.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 1785与840的最大约数为．
参考答案：
105
【考点】用辗转相除计算最大公约数．
【分析】用辗转相除法求840与1785的最大公约数，写出1785=840×2+105，840=105×8+0，得到两个数字的最大公约数．
【解答】解：1785=840×2+105，840=105×8+0．
∴840与1785的最大公约数是105．
故答案为105
12. 命题“?x＜3，x2＞9”的否定是_____．
参考答案：
，
因为特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定是：，
故答案为．
13. 执行右图所示的程序框图,若输入x=10,则输出的值为_____________________参考答案：
14. 已知点，则它的极坐标是________．
参考答案：
【分析】
直接利用极坐标公式得到答案.
【详解】已知点，
则：
（在第四象限）
故答案为：
【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的转换，属于简单题.
15. 4男3女站成一排照相，要求男女各不相邻，则共有种不同的站法。

参考答案：
144
16. 观察下列等式
照此规律，第n个等式为________．
参考答案：
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
略
17. 若复数的对应点在复平面的一、三象限角平分线上，则实数a=_________.
参考答案：
－7
【分析】
根据复数乘法的运算法则化简，再根据复数的对应点在复平面的一、三象限角平分线上列方程求解即可.
【详解】因为，
且复数的对应点在复平面的一、三象限角平分线上，
所以，
解得，故答案为－7.
【点睛】本题主要考查复数的乘法运算法则以及复数的几何意义，属于基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘除运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若，c=5，求b．
参考答案：
【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．
【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．
（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．
【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，
根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，
由△ABC为锐角三角形得．
（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．
所以，．
19. （本题满分16分）
已知函数f(x)＝a ln x＋x2＋(a＋1)x＋1．
（1）当a＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
（2）若函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若a＞0，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，都有| f(x1)－f(x2)|＞2| x1－x2|，求实数a的最小值．
参考答案：
解：（1）当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x2＋1．则f′(x)＝－＋x…3分
令f′(x)＞0，得x＜0或x＞1．
所以函数函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)．……………5分
（2）因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝＝＝≥0对x∈(0，＋∞)恒成立.……8分
即x＋a≥0对x∈(0，＋∞)恒成立．所以a ≥0．
即实数a的取值范围是[0，＋∞)．…………………………10分
（3）因为a＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
因为x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，不妨设x1＞x2，所以f(x1)＞f(x2)．
由| f(x1)－f(x2)| >2| x1－x2|恒成立，可得f(x1)－f(x2)＞2(x1－x2)，
即f(x1)－2x1＞f(x2)－2x2恒成立．
令g(x)＝f(x)－2x，则在(0，＋∞)上是增函数．………………12分
所以g′(x)＝＋x＋(a＋1)－2＝≥0对x∈(0，＋∞)恒成立．
即x2＋(a－1) x＋a≥0对x∈(0，＋∞)恒成立．
即a ≥－对x∈(0，＋∞)恒成立
因为－＝－(x＋1＋－3)≤3－2（当且仅当x＋1＝即x＝－1时取等号），所以a ≥3－2．所以实数a的最小值为3－2．………………………………16分
略
20. (本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，请列举出所有基本事件，并求至多1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．
参考答案：
解：（1）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，所以M=40．
因为频数之和为40，所以．
因为a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以．（4分）
（2）因为该校高三学生有360人，分组[15，20）内的频率是0.625，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.625=225人．（7分）
（3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+2=5人
设在区间[20，25）内的人为{a1，a2，a3}，在区间[25，30
）内的人为{b1，b2}．
则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）10种情况，（9分）
而两人都在[20，25）内共有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3）3种情况，
至多一人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率为．（12分）
21. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B.
(1)求B；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
参考答案：
(1)由正弦定理得
，
由余弦定理得，
故cosB＝.
又B为三角形的内角，因此B＝45°.
(2)a＝，
.
22. 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）；
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．
参考答案：
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】（1）设椭圆的标准方程为=1，或，a＞b＞0，由已知得a=2b，且椭圆过点（2，﹣6），由此能求出椭圆的标准的方程．
（2）设椭圆的标准方程为=1，a＞b＞0，由已知条件推导出c=b=3，由此能求出椭圆的标准方程．
【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为=1，或，a＞b＞0，
∵长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，①∵椭圆过点（2，﹣6），∴=1，或=1，②
由①②，得a2=148，b2=37或a2=52，b2=13，故所求的方程为或．
（2）设椭圆的标准方程为=1，a＞b＞0，
∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，
∴△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且OF=c，A1A2=2b，
∴c=b=3．∴a2=b2+c2=18．
故所求椭圆的方程为．。