正弦定理和余弦定理讲解

年级 高一
学科
数学
内容标题 正弦定理和余弦定理 编稿老师
褚哲
一、学习目标
1. 掌握正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，并能应用这些公式解斜三角形.
2. 能正确理解实际问题中仰角、俯角、视角、方位角及坡度、经纬度等有关名词和术语的确切含义.
3. 能熟练应用正、余弦定理及相关公式解决诸如测量、航海、天体运动、物理、几何等方面的问题.
4. 在解决实际问题时，能准确理解题意，分清已知和未知，并能把这些实际问题转化为数学问题，培养分析解决实际问题的能力.
二、重点、难点
重点：正、余弦定理及其证明；用正弦定理、余弦定理解三角形. 难点：定理的推导；从实际问题中抽取出数学模型.
三、考点分析
本章是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上，进一步学习如何解三角形的.正、余弦定理是我们学习三角形相关知识的延续和发展，这些定理进一步揭示了三角形边与角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用，是我们求角三解形的重要工具，本章内容经常会与三角部分结合起来综合考查，难度中等，各种题型均有可能出现.
1. 正弦定理 （1）正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即在ABC ∆中
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（其中R 为AB
C ∆外接圆半径）， 上式对任意三角形均成立.
（2）利用正弦定理可以解决如下有关三角形的问题：
①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边与角； ②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角. 2. 余弦定理
（1）余弦定理：三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即在ABC ∆中，
C
ab b a c B ca a c b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+= 余弦定理还有另一种形式：
若令︒=90C ，则2
2
2
b a
c +=，这就是勾股定理.
ab
c b a C ca b a c B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2
222
222
22-+=
-+=-+=
（2）利用余弦定理，可以解决以下两类三角形的相关问题：
①已知三边，求三个角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 3. 在解三角形问题时，须掌握的三角关系式
在ABC ∆中，以下的三角关系式，在解答有关的三角形问题时经常用到，同学们要记准、记熟，并能灵活地加以运用.
（1）π=++C B A ；
（2）C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+；
（3）2cos 2sin
C B A =+，2sin 2cos C
B A =+； （4）
C ab S sin 21=∆，A bc S sin 21=∆，B ac S sin 2
1
=∆.
4. 实际应用问题中的有关名词、术语
（1）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.
（2）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角. （3）方位角：从指定方向线顺时针到目标方向线的水平角. （4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数. 5. 须熟悉的三角形中的有关公式
解斜三角形时主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长公式和面积公式，比如：
c b a P ++=（P 为三角形的周长）
a ah S 21
=
（a h 表示a 边上的高） A bc B ac C ab S sin 21
sin 21sin 21===
R abc
S 4=
（可用正弦定理推得） )(21
c b a r S ++=（r 为内切圆半径）
此处还须熟悉两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式. 6. 关于已知两边和其中一边的对角，解三角形的讨论
已知两边和其中一边的对角，不能唯一确定三角形的形状，解这类三角形问题的过程中将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论，图1与图2即表示了在ABC ∆中，已知a 、b 和A ∠时解三角形的各种情况
当A ∠为锐角时，
当A ∠为直角或钝角时
知识点一：正弦定理与余弦定理
例1：已知∆ABC 中，∠A ︒=60，3a sin sin sin a b c
A B C
++++
思路分析：可通过设一参数k(k>0)使sin sin a b A B =sin c
k C
==，
证明出sin sin a b A B =sin c C ==
sin sin sin a b c
A B C
++++即可. 解题过程：设sin sin a b A B =
()0sin >==k k C
c 则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =
从而
sin sin sin a b c A B C ++++=sin sin sin sin sin sin k A k B k C
A B C
++++=k
又
sin a
A
=k ==︒
=
260sin 3，所以sin sin sin a b c
A B C ++++=2
解题后反思：∆ABC 中，等式sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
=
()0sin sin sin a b c
k k A B C
++=>++恒成
立.
（1）定理的表示形式：
sin sin a
b
A
B =
sin c
C
=
=
()0sin sin sin a b c
k k A B C
++=>++；
或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k >
（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形的两角和任一边，求其他两边及一角；
②已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边及角.
例2：在∆ABC 中，已知=a c ︒=45B ，求b 及A 的值. 思路分析：本题的已知条件显然符合余弦定理求解的条件. 解题过程：∵2
222cos =+-b
a c ac B
=22
2+-⋅cos45°
=2
121)+-= 8 ∴=b 求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
解法一：∵cos 2222221
,
22+-=b c a A bc ∴︒=60A .
解法二：∵︒⋅==
45sin 2
23
2sin sin B b a A ，又 2.4+1.4=3.8，
21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ， 即︒0＜A ＜︒90 ∴︒=60A
解题后反思：使用解法二时应注意确定A 的取值范围.
例3：在△ABC 中，已知a=3，b =2，B =45°，求A 、C 及c .
思路分析：这是一道已知两边及一边的对角解三角形的问题，可用正弦定理求解，但先要判定△ABC 是否有解，有几个解，亦可用余弦定理求解. 解题过程：∵B =45°<90°，且b <a ，∴△ABC 有两解：
由正弦定理得：sin A =2
32
45sin 3sin =
︒=b
B
a ， ∴A =60°或120°.
①当A =60°时，C =75°
⇒c =22
645sin 75sin 2sin sin +=
︒︒
=B C
b . ②当A =120°时，C =15°
⇒c =2
2
645sin 15sin 2sin sin -=
︒
︒
=B
C
b . 故A =60°，C =75°，
c =
22
6+或A =120°，C =15°，c =2
2
6-. 解题后反思：因sin A =sin(π－A )，故在解三角形中要考虑多种情况，灵活使用正、余弦定理，关键是将“条件”与情况对应.
知识点二：三角形中的几何计算
例4：已知△ABC 中，22（sin 2
A －sin 2
C ）=（a －b ）sinB ，△ABC 外接圆半径为2. （1）求∠C ；
（2）求△ABC 面积的最大值.
思路分析：利用正、余弦定理可以进行边角互化，解题时要注意有意识地进行边角关系的统一.
解题过程：（1）由22（sin 2
A －sin 2C ）=（a －b ）sin
B 得
22（
2
24R a －
2
24R c ）=（a －b ）
R
b
2. 又∵R=2，∴a 2
－c 2
=ab －b 2
.∴a 2
+b 2
－c 2
=ab.∴cosC=ab c b a 2222-+=2
1
.
又∵0°＜C ＜180°，∴C=60°. （2）ABC S ∆=
21absinC=21
×2
3ab=23sinAsinB=23sinAsin （120°－A ） =23sinA （sin120°cosA －cos120°sinA ）=3sinAcosA+3sin 2
A =
2
3
sin2A －23cos2A+23=3sin （2A －30°）+23.
∴当2A=120°，即A=60°时，S max =
2
3
3. 解题后反思：求最值往往是先建立函数关系式，然后借助函数的方法去求解.
例5：在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，2
7
2cos 2sin 42
=-+A C B . （1）求角A 的度数；
（2）若a =3，b +c =3，求b 和c 的值.
思路分析：在三角形的求解中，会经常用到π=++C B A ，显然把B C +转化成A π-可是解题过程更为简便. 解题过程：（1）由2
7
2cos 2sin
42
=-+A C B 及︒=++180C B A ，得： ()[]2
7
1cos 2cos 122=+-+-A C B ，
()5cos 4cos 142=-+A A
即01cos 4cos 42
=+-A A ，
2
1
cos =
∴A ， ︒<<︒1800A Θ，︒=∴60A （2）由余弦定理得：bc
a c
b A 2cos 2
22-+=
21cos =A Θ，212222=-+∴
bc a c b ，()bc a c b 322
=-+∴. 3=a ，3=+c b 代入上式得：2=bc
由⎩⎨
⎧==+23bc c b 得：⎩⎨⎧==2c a b 或⎩⎨⎧==1
2
c b .
解题后反思：正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用得比较广泛，应熟练掌握这些定理.此外，还须熟悉两角和差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式.
知识点三：应用性问题
例6：如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为︒75，︒30，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为︒60，AC=0.1km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，2≈1.414，6≈2.449）
思路分析：解斜三角形的问题时，通常要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解. 解题过程：在△ADC 中，∠DAC=30°，∠ADC=60°－∠DAC=︒30，
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ，
在△ABC 中，,ABC sin C
BCA sin ∠=∠A AB
即AB=
20
62315sin 60sin +=︒︒AC ，
因此，BD=。

km 33.020
6
23≈+ 故B ，D 的距离约为0.33km.
解题后反思：利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.
解三角形的相关题目时应根据已知与未知条件，合理选择使用正、余弦定理，使解题过程简洁，并达到算法简炼，算式工整、计算准确.
解斜三角形应用题的步骤：
①准确理解题意，分清已知和未知条件，准确理解应用题中的有关名词、术语，如仰角、俯角、视角、方向角、方位角及坡度、经纬度等；
②根据题意画出图形；
③将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，最后作答.
（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. 在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ） A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 120°
2. 在△ABC 中，a ＝10，B=60°，C=45°，则c 等于 （ ） A. 310+
B. (
)
1310
-
C.
13+
D. 310
3. 在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ ） A. 30°
B. 60°
C. 60°或120°
D. 30°或150° 4. 在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ） A. 无解
B. 一解
C. 两解
D. 不能确定
5. 在△ABC 中，已知bc c b a ++=2
2
2
，则角A 为（ ）
A.
3
π B.
6π C. 32π D. 3
π或32π
6. 在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰或直角三角形
二、填空题
7. 在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则=c b a ::________. 8. 在△ABC 中，===B c a ,2,33150°，则b ＝________.
9. 在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝______；b ＝________. 10. 已知△ABC 中，===A b a ,209,181121°，则此三角形解的情况是________. 11. 已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为________.
12. 在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是________.
三、解答题
13. 在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，33
20
，5的情况下，求相应角C 的度数.
14. 在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322
=+-x x 的两个根，且
()1cos 2=+B A .求：（1）角C 的度数；（2）AB 的长度.
15. 在△ABC 中，证明：2
222221
1cos cos b a b B a A -=-. 16. 在△ABC 中，10=+b a ，cosC 是方程02322
=--x x 的一个根，求△ABC 周长的最小值.
17. 在△ABC 中，若()B A C B A cos cos sin sin sin +=+. （1）判断△ABC 的形状；
（2）在上述△ABC 中，若角C 的对边1=c ，求该三角形内切圆半径的取值范围.
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 答案 C
B
C
B
C
D
二、填空题
7. 2:3:1 8. 7 9. 61236-，24612- 10. 无解 11. 1 12. 120°
三、解答题
13. 解：由正弦定理得BC BC A AB C 10
sin sin =
=
（1）当BC ＝20时，sinC ＝2
1
；AB BC >Θ C A >∴ 30=∴C °
（2）当BC ＝
33
20
时， sinC ＝23； AB BC AB <<︒⋅45sin Θ C ∴ 有两解 ︒=∴60C 或120°
（3）当BC ＝5时，sinC ＝2>1； C ∴不存在
14. 解：（1）()[]()2
1
cos cos cos -
=+-=+-=B A B A C π ∴C ＝120° （2）由题设：⎩⎨⎧==+2
3
2ab b a
︒-+=⋅-+=∴120cos 2cos 222222ab b a C BC AC BC AC AB
()()
102322
2
22=-=-+=++=ab b a ab b a
10=∴AB
15. 证明：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---=-22222222222222sin sin 21
1sin 21sin 21cos cos b B a
A b a b
B a A b B a A , 由正弦定理得：2
222sin sin b B
a A =, 2
222221
1cos cos b
a b B a A -=-∴. 16. 解：02322
=--x x Θ,
2
1
,221-
==∴x x ,
又C cos Θ是方程02322
=--x x 的一个根.
2
1
cos -=∴C
由余弦定理可得：()ab b a ab b a c -+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
⋅-+=2
2
22212 则：()()755101002
2
+-=--=a a a c
当5=a 时，c 最小且3575==c 此时3510+=++c b a
∴△ABC 周长的最小值为3510+
17. 解：（1）由()B A C B A cos cos sin sin sin +=+
可得12
sin
22
=C
0cos =∴C 即C ＝90°
∴△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形
（2）内切圆半径 ()c b a r -+=
21
()1sin sin 2
1-+=B A 21
2214sin 22-≤
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
πA ∴内切圆半径的取值范围是⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-212,
0.。