古典概率在中学教学中的探讨

古典概率在中学教学中的探讨
【摘要】概率统计是大学许多专业的重点课程，特别是数学系的必修之课。

在最近几年，中学增加了概率统计的一些初步知识，在高考的试题中，关于概率统计的试题也逐渐增加。

但课本上的知识讲得较浅，知识面狭窄，从而导致学生易学易懂但不易解题。

所以应该作适当的知识拓展，以适应新形势的需要。

【关键词】古典概率中学教学探讨
遵义学院数学系同学在各个县中学实习期间，对所在实习学校进行了教学调查。

重点是调查概率统计这门课在中学的教学情况。

通过调查他们得出了一致的结论，概率统计这门课，中学课本上讲得较浅，导致学生易学易懂而不易解题。

均一致要求作适当的知识拓展，以适应新形势的需要。

某同学说：“近几年高考中，谈得比较多的是概率的得分率偏低，特别是古典概率方面的考题”，针对这个问题，他在实习期间，调查了遵义县某中学的高三年级800多名学生，从中随机抽取了50名学生，对概率统计的应用进行调查。

调查结果如下：
从上表中可以清楚看出：比例显然不符合正态分布。

该同学说：究其原因,依据同学们的反映,课本上的知识讲得较浅,知识面狭窄，从而导致他们易学易懂而不易解,均要求将”等可能事件”这部分内容作适当的拓展。

在高考试题中，关于概率统计的试题也逐渐增加，而且难度超过了普通高中数学课程的标准。

又一同学举了这样一个例子：
2005年高考湖北卷文科第21题：某会议室有5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同。

假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡的寿命为1年以上的概率为P1，寿命为2年以上的概率为P2。

从使用之日起每满一年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。

(I)在第一次灯泡更换工作中,求不需要更换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；(II)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率；(III)当P1=0.8,P2=0.3时,求在第二次灯泡更换工作中,至少需要更换4只灯泡的概率.(结果保留两个有效数字)。

在这道考题中，在求(Ⅱ)的解答时，其过程涉及到要求在第一次未更换灯泡，而在第二次需要更换灯泡的概率。

如果设A=“该型号灯泡寿命在一年以上”，B=“该型号灯泡寿命在2年以上”，由题意得：P(A）=P1，P(B)=P2，则P()=1-P2，
则P（第1次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡)= P(A )。

在求P(A )中，就涉及到独立与非独立的问题。

在公开发表的论文中，关于这一道题的这一步解，就有两种截然不同的答案。

在湖北省教育考试院主办的《湖北招生考试》2005年6月10日出版的《2005年高考试卷与参考答案》中，认为A与是独立的，有P(A ）=P(A)P()=P1(1－P2)，而华南师范大学数学科学院2006年出版的《中学数学研究》第一期34页上的文章认为A与非独立，认为B是A的子集，有P(A )=P1－P2。

在这里，我们暂时不讨论这两种解答谁是谁非。

大部分高中生在这种试题的面前，是束手无策的。

而在高中的课本里，关于事件的独立性，仅仅是通过具体的情景中，介绍两个事件的相互独立性。

课本的要求仅仅是“了解”。

所以许多学生在了解了高考试题的难度以后，迫切要求老师在讲授概率统计时，作适当的加深拓展。

又一同学在论文“伯努利概型在初等教学应用的拓展”中，阐述了她在遵义市某中学高二年级十一个班，总计七百零九名学生学习概率统计这部分内容的大致情况。

她发现学生普遍认为概率统计易学易懂，但不易掌握，“尤其是n重独立重复试验中有k次发生的概率最不易掌握”，该同学把全日制普通高级中学教科书《数学》（必修、人教版、第二册B下）关于伯努利概型的内容与大学教科书中有关内容进行了比较。

认为“高等数学的表述及证明为高中教材计算在n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率的计算方法奠定了理论基础。

”最后得出一个结论：高等数学中伯努利概型对于高中的n重独立试验发生k次的概率具有理论指导意义。

另一同学利用实习期间，对遵义县一些中学作了调查，在毕业论文“对高中数学等可能性事件的探讨”中说：“在调查时，我发现高中生在解决概率问题时，总是容易犯一些分析问题不足的错误”。

“我认为这是因为学生在最开始学习概率时，对‘等可能性事件的概率’问题没有能够深刻地认识理解。

”
高中数学的定义：
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成，如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1/n。

如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率: P(A)=m/n。

大学里，把“等可能性事件的概率”问题归为有限等可能概型——古典概型，其定义为：设古典概型的所有基本事件为:，事件A含有其中的m个基本事件，则定义事件A的概率，P(A)=m/n。

其中n是基本事件的总数，m是A包含的基本事件数。

然后他根据高中学生的反映，评价说：“其实，大学里对‘等可能性事件的概率’的定义比中学里的定义还要简单” 该同学进一步地说：“集合是高中生进入高中后最先学习的数学知识”，如果把集合的知识重新定义“等可能性事件的概率”，问题会更清楚。

下面是他重新下的定义：“如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，那么这n个基本事件就组成一个集合I(I为全集)；且集合I中所有元素出现的可能性都相等，那么每个元素（基本事件）出现的概率都是。

如果某个事件A含有m个元素（结果），即A为全集I的一个子集，那么事件A的概率就为：P(A)=m/n”。

以上就这些同学的调查，写的毕业论文。

我们可以看出，同学们这次利用实习，进行了专项调查，获得了丰收的硕果。

笔者同意他们的看法，初等教育的概率统计部分内容，应该作适当的拓展，要把大学的内容与中学的内容有机结合起来。

高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容。

是培养公民素质的基础课程。

高中数学课程对于认识数学与自然，数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值，文化价值，提高分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。

高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。

高中数学课程是学习高中物理，化学，技术等课程和进一步学习的基础。

同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观，价值观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。

参考文献：
[1]湖北招生考试[J].《2005年高考试题与参考答案》．2005-06-10.
[2]中学数学研究[M]．华南师范大学数学科学院《中学数学研究》编辑部．2006年第1期．
[3]数学课程标准（实验）中华人民共和国教育部制订.人民教育出版社．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。