2019年高考数学大二轮精准提分第二篇 第31练选修系列

第31练 坐标系与参数方程[选做大题保分练]
[明晰考情]1.命题角度： 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程;参数方程与普通方程的互化,常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标方程、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式,同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.2.题目难度：中档难度.
考点一 曲线的极坐标方程
方法技巧 (1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,ρ2＝x 2＋y 2,tan θ＝y
x (x ≠0),要注意ρ,θ的取值范围及其影响,灵活运用代入法和平方法等
技巧.
(2)由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.
1.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ,圆心为C ,点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π
3,求CP 的长. 解 由ρ＝4cos θ,得ρ2＝4ρcos θ,即x 2＋y 2＝4x , 即(x －2)2＋y 2＝4,∴圆心C (2,0), 又由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π
3, 可得点P 的直角坐标为(2,23), ∴|CP |＝(2－2)2＋(23－0)2＝2 3.
2.在极坐标系中,曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上,求a 的值.
解 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1,
即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0, ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中,令y ＝0,得x ＝2
2
. 将⎝⎛
⎭
⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2
,得a ＝22. 3.在直角坐标系xOy 中,直线C 1：x ＝－2,圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1,以坐标原点为极点,x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程;
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积.
解 (1)因为x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ, 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2,
C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π
4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0,
得ρ2－32ρ＋4＝0,解得ρ1＝22,ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2,即|MN |＝ 2.
由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 为等腰直角三角形, 所以△C 2MN 的面积为1
2
.
4.已知在平面直角坐标系xOy 中,圆M 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝532＋2cos θ，
y ＝7
2＋2sin θ
(θ为参数),以Ox
轴为极轴, O 为极点建立极坐标系,在该极坐标系下,圆N 是以点⎝⎛⎭⎫3，π3为圆心,且过点⎝⎛⎭
⎫2，π
2的圆.
(1)求圆M 的普通方程及圆N 的直角坐标方程;
(2)求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点之间距离的最小值.
解 (1)将方程⎩⎨⎧
x ＝532＋2cos θ，
y ＝7
2＋2sin θ
消去参数θ,可得⎝
⎛⎭⎫x －5322＋⎝⎛⎭⎫y －722
＝4,
所以圆M 的方程为⎝
⎛⎭⎫x －5322＋⎝⎛⎭⎫y －722
＝4.
点⎝⎛⎭⎫3，π3和点⎝⎛⎭⎫2，π2的直角坐标分别为⎝⎛⎭⎫32，3
2,()0，2, 所以圆N 的圆心为⎝⎛⎭
⎫
32，32,
半径为r ＝
⎝⎛⎭⎫32－02＋⎝⎛⎭
⎫32－22＝1, 故圆N 的直角坐标方程为⎝
⎛⎭⎫x －
322＋⎝⎛⎭
⎫y －322
＝1. (2)由(1)得圆M ,N 的圆心距为MN ＝
⎝⎛⎭⎫32
－5322＋⎝⎛⎭⎫32－722＝4,
所以圆M 上任一点P 与圆N 上任一点之间距离的最小值为d min ＝MN －3＝4－3＝1. 考点二 参数方程及其应用
要点重组 过定点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为
参数),t 的几何意义是P 0P →
的数量,即|t |表示P 0到P 的距离,t 有正负之分.使用该式时直线上任意两点P 1,P 2对应的参数分别为t 1,t 2,则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|,P 1P 2的中点对应的参数为1
2(t 1＋t 2).
方法技巧 (1)参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程就是要消去参数,消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法,且消参数时要注意参数的取值范围对x ,y 的限制.
(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解.
5.(2018·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝4sin θ(θ为参数),直线l 的
参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos α，
y ＝2＋t sin α(t 为参数).
(1)求C 和l 的直角坐标方程;
(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率. 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 2
16
＝1.
当cos α≠0时,l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α, 当cos α＝0时,l 的直角坐标方程为x ＝1.
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内, 所以①有两个解,设为t 1,t 2,则t 1＋t 2＝0.
又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α
,故2cos α＋sin α＝0,于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.
6.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2＋2sin θ(θ为参数),直线l 的参数方程
为⎩⎨
⎧
x ＝1－22t ，
y ＝22t
(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出直线l 的普通方程以及曲线C 的极坐标方程;
(2)若直线l 与曲线C 的两个交点分别为M ,N ,直线l 与x 轴的交点为P ,求|PM |·|PN |的值.
解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝1－22t ，y ＝22t
(t 为参数),
消去参数t ,得x ＋y －1＝0.
曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝2＋2sin θ
(θ为参数),
利用平方关系,得x 2＋(y －2)2＝4,则x 2＋y 2－4y ＝0. 令ρ2＝x 2＋y 2,y ＝ρsin θ,
代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)在直线x ＋y －1＝0中,令y ＝0,得点P (1,0).
把直线l 的参数方程代入圆C 的方程得t 2－32t ＋1＝0, ∴t 1＋t 2＝32,t 1t 2＝1.
由直线参数方程的几何意义,得|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝1.
7.已知椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1,直线l ：⎩
⎨⎧
x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t (t 为参数).
(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程;
(2)设A (1,0),若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等,求点P 的坐标.
解 (1)椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数),
直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ,3sin θ),
则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ, 点P 到直线l 的距离
d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.
由|AP |＝d ,得3sin θ－4cos θ＝5, 又sin 2θ＋cos 2 θ＝1, 得sin θ＝35,cos θ＝－4
5.
故P ⎝⎛⎭
⎫
－85，335.
考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用
方法技巧 (1)解决极坐标与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程
的互化,参数方程与普通方程的互化.涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题,往往通过参数方程引入三角函数,利用三角函数的最值求解.
(2)数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.
8.(2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos θ，
y ＝sin θ (θ为参数),直线l
的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a ＋4t ，
y ＝1－t (t 为参数).
(1)若a ＝－1,求C 与l 的交点坐标;
(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17,求a . 解 (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2
＝1.
当a ＝－1时,直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋4y －3＝0，x 29
＋y 2
＝1， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝0或
⎩⎨⎧
x ＝－2125
，
y ＝2425，
从而C 与l 的交点坐标是(3,0),⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0,
故C 上的点(3cos θ,sin θ)到l 距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|
17.
当a ≥－4时,d 的最大值为a ＋9
17 .
由题设得a ＋9
17＝17,所以a ＝8;
当a <－4时,d 的最大值为－a ＋1
17.
由题设得－a ＋1
17＝17,
所以a ＝－16. 综上,a ＝8或a ＝－16.
9.(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2＋t ，y ＝kt
(t 为参数),直线l 2的参
数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C .
(1)写出C 的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径.
解 (1)消去参数t ,得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2); 消去参数m ,得l 2的普通方程l 2：y ＝1
k (x ＋2).
设P (x ,y ),由题设得⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，
消去k ,得x 2－y 2＝4(y ≠0),
所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0).
(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π,θ≠π),
联立⎩⎨⎧
ρ2(cos 2θ－sin 2
θ)＝4，
ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，
得
cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ).
故tan θ＝－13,从而cos 2θ＝910,sin 2θ＝1
10.
代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4,得ρ2＝5, 所以l 3与C 的交点M 的极径为 5.
10.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos α，
y ＝2＋t sin α(t 为参数),在极坐标系(与直角
坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρ＝6sin θ.
(1)求圆C 的直角坐标方程;
(2)设圆C 与直线l 交于点A ,B .若点P 的坐标为(1,2),求||P A ＋||PB 的最小值. 解 (1)由ρ＝6sin θ,得ρ2＝6ρsin θ, 化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y , 即x 2＋(y －3)2＝9.
(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程, 得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0, 由Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7>0, 故可设t 1,t 2是上述方程的两根,
所以⎩⎨⎧
t 1＋t 2＝－2()cos α－sin α，t 1·t 2
＝－7，
又直线l 过点()1，2, 故结合t 的几何意义得
||P A ＋||PB ＝||t 1||＋t 2||＝t 1－t 2
＝
()t 1＋t 22－4t 1t 2
＝4()cos α－sin α2＋28 ＝32－4sin 2α≥32－4 ＝27,
所以||P A ＋||PB 的最小值为27.
典例 (10分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 与椭圆C 的极坐标方程分别为cos θ＋2sin θ＝0和ρ2＝4cos 2θ＋4sin 2θ.
(1)求直线l 与椭圆C 的直角坐标方程;
(2)若Q 是椭圆C 上的动点,求点Q 到直线l 距离的最大值. 审题路线图
利用极坐标和直角坐标互化公式―→得直线和椭圆的直角坐标方程――――→引入参数α
得椭圆的参数方程――→代入距离公式用α的三角函数表示Q 到l 的距离――――→利用辅助角
公式转化Q 到l 距离的最大值 规范解答·评分标准
解 (1)由cos θ＋2sin θ＝0,得ρcos θ＋2ρsin θ＝0,即x ＋2y ＝0, 所以直线l 的直角坐标方程为x ＋2y ＝0.
由ρ2
＝4cos 2θ＋4sin 2θ
,得ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4,即x 2＋4y 2＝4,所以x 24＋y 2＝1.
所以椭圆C 的直角坐标方程为x 24
＋y 2
＝1.…………………………………………………4分
(2)因为椭圆C ：x 24＋y 2
＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos α，y ＝sin α
(α为参数),……………………6分
可设Q (2cos α,sin α),
因此点Q 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离
d ＝|2cos α＋2sin α|12＋22
＝
22⎪⎪⎪
⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π45
,………………………………………………………8分
所以当α＝k π＋π4,k ∈Z 时,d 取得最大值210
5.
故点Q 到直线l 的距离的最大值为210
5.10分
构建答题模板
[第一步] 互化：将极坐标方程与直角坐标方程互化; [第二步] 引参：引进参数,建立椭圆的参数方程; [第三步] 列式：利用距离公式求出距离表达式; [第四步] 求最值：利用三角函数求出距离的最值.
1.(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数),过点(0,
－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点. (1)求α的取值范围;
(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. 解 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π
2
时,l 与⊙O 交于两点.
当α≠π
2时,记tan α＝k ,则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点,即点O 到l 的距离小于半径
1,当且仅当
|2|1＋k 2
＜1,解得k ＜－1或k ＞1,即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上,α的取值范围是⎝⎛⎭⎫
π4，3π4.
(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝
⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4. 设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P , 则t P ＝
t A ＋t B
2
,且t A ,t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α,t P ＝2sin α.
又点P 的坐标(x ,y )满足⎩⎨⎧
x ＝t P cos α，
y ＝－2＋t P sin α，
所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨
⎧
x ＝22sin 2α，
y ＝－22－2
2
cos 2α⎝
⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.
2.已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝3＋10cos α，
y ＝1＋10sin α
(α为参数),以直角坐标系原点为极点,x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C 的极坐标方程,并说明方程表示什么轨迹;
(2)若直线l 的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1
ρ
,求直线l 被曲线C 截得的弦长.
解 (1)因为曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝3＋10cos α，
y ＝1＋10sin α
(α为参数),
所以曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10,① 曲线C 表示以C (3,1)为圆心,10为半径的圆.
将⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入①并化简,得ρ＝6cos θ＋2sin θ, 即曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋2sin θ. (2)因为直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1, 所以圆心C 到直线y ＝x ＋1的距离d ＝322,
所以直线被曲线C 截得的弦长为2
10－9
2
＝22.
3.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ,曲线M 的直角坐标方程为x －2y ＋2＝0(x >0).
(1)以曲线M 上的点与点O 连线的斜率k 为参数,写出曲线M 的参数方程; (2)设曲线C 与曲线M 的两个交点为A ,B ,求直线OA 与直线OB 的斜率之和.
解 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2y ＋2＝0(x >0)，
y ＝kx ，
得⎩⎨⎧
x ＝22k －1
，y ＝
2k
2k －1.
由x >0,得k >1
2
,
故曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝22k －1
，y ＝
2k
2k －1
⎝
⎛⎭⎫k 为参数，且k >12.
(2)由ρ＝4cos θ,得ρ2＝4ρcos θ, ∴x 2＋y 2＝4x .
将⎩⎨⎧
x ＝22k －1
，y ＝
2k
2k －1
代入x 2＋y 2＝4x ,
整理得k 2－4k ＋3＝0,
∴k 1＋k 2＝4.
故直线OA 与直线OB 的斜率之和为4.
4.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos θ，
y ＝t sin θ(t 为参数,0≤θ<π),以坐标原
点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ＝－4cos α,圆C 的圆心到直线l 的距离为3
2.
(1)求θ的值;
(2)已知P (1,0),若直线l 与圆C 交于A ,B 两点,求1|P A |＋1
|PB |
的值.
解 (1)由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos θ，
y ＝t sin θ
(t 为参数,0≤θ<π),消去参数t ,
得x sin θ－y cos θ－sin θ＝0. 圆C 的极坐标方程为ρ＝－4cos α, 即ρ2＝－4ρcos α,
可得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＋4x ＝0, 即为(x ＋2)2＋y 2＝4,
可知圆心为(－2,0),半径为2,圆C 的圆心到直线l 的距离为d ＝|－2sin θ－sin θ|
sin 2θ＋cos 2θ＝3sin θ.
由题意可得d ＝3
2,
即3sin θ＝32,则sin θ＝1
2,
∵0≤θ<π, ∴θ＝π6或θ＝5π
6
.
(2)已知P (1,0),则点P 在直线l 上,直线l 与圆C 交于A ,B 两点,将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ 代入圆C 的普通方程x 2＋y 2＋4x ＝0,
得(1＋t cos θ)2＋(t sin θ)2＋4(1＋t cos θ)＝0,
∴t 2＋6t cos θ＋5＝0.
设A ,B 对应的参数为t 1,t 2,
则t 1＋t 2＝－6cos θ,t 1t 2＝5,
∵t 1t 2>0,∴t 1,t 2同号,
∴1|P A |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝335.。