2021年中考数学第三轮专题冲刺复习：圆的综合(含答案)

2021年中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：圆的综合
1、如图，为的直角边上一点，以为半径的与斜边相切于点，交于点．已知．
（1）求的长；
（2
）求图中阴影部分的面积．
2、如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△
ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．
3、如图，在中，，以为直径的⊙交边于点，过点作，与过点的切线交于点，连接.
（1）求证：；
Rt C
∆AB C
A C
O O AB
D OA
E C3
B=C3
A=
D
A
ABC
∆AB AC
=AB O AC D
C//
CF AB B F BD
BD BF
=
（2）若，，求的长.
4、如图，AB 是O 的直径，CD 与O 相切于点C ，与AB 的延长线交于D .
（1）求证：ADC
CDB ∆∆；
（2）若3
2,2
AC AB CD ==，求O 半径.
5、如图，在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E.
(1)求证：∠A=∠ADE ；
(2)若AD=16，DE=10，求BC 的长.
6、如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，⊙O （圆心O 在△ABC 内部）经过B 、C 两点，交AB 于点E ，过点E 作⊙O 的切线交AC 于点F ．延长CO 交AB 于点G ，作ED ∥AC 交CG 于点D
（1）求证：四边形CDEF 是平行四边形；[来源:] （2）若BC=3，tan ∠DEF=2，求BG 的值．
10AB =4CD =
BC
7、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点B 的切线BP 与CD 的延长线交于点P ，连接OC ，CB ． （1）求证：AE •EB =CE •ED ； （2）若⊙O 的半径为3，OE =2BE ，
9
5
CE DE ，求tan ∠OBC 的值及DP 的长．
8、将一副三角板Rt △ABD 与Rt △ACB （其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt △ABD 中∠D 所对直角边与Rt △ACB 斜边恰好重合．以AB 为直径的圆经过点C ，且与AD 交于点 E ，分别连接EB ，EC ． （1）求证：EC 平分∠AEB ； （2）求
的值．
9、如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD 与BC相交于点E．
（1）求证：BD=BE；
（2）若DE=2，BD=，求CE的长．
10、如图，AB为⊙O的直径，D为AC的中点，连接OD交弦AC于点F.过点D 作AC
DE//，交BA的延长线于点E.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，若4
OA，求四边形ACDE的面积.
=
=AE
11、如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC=BA，在∠ACB的内部作∠ACF=30°，且CF=CA，过点F作FH⊥AC于点H，连接BF．
（1）若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是4，求的长；
（2）请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．
12、如图，已知△ABC 内接于⊙O ，点C 在劣弧AB 上（不与点A ，B 重合），点D 为弦BC 的中点，DE ⊥BC ，DE 与AC 的延长线交于点E ，射线AO 与射线EB 交于点F ，与⊙O 交于点G ，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ， （1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： ɑ 30° 40° 50° 60° β 120° 130° 140° 150° γ
150°
140°
130°
120°
猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：
（2）若γ=135°，CD=3，△ABE 的面积为△ABC 的面积的4倍，求⊙O 半径的长．
13、已知是⊙的直径，是⊙的切线，，交⊙于点
，是上一点，延长交⊙于点.
（1）如图①，求和的大小； （2）如图②，当时，求的大小
.
AB O AT O 0
50=∠ABT BT O C E AB CE O D T ∠CDB ∠BC BE =CDO ∠
14、如图，已知⊙O 的半径长为1，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB=AC ，BO 的延长线交AC 于点D ，联结OA 、OC ． （1）求证：△OAD ∽△ABD ；
（2）当△OCD 是直角三角形时，求B 、C 两点的距离；
（3）记△AOB 、△AOD 、△COD 的面积分别为S 1、S 2、S 3，如果S 2是S 1和S 3的比例中项，求OD 的长．
15、有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形. (1)如图1，在半对角四边形中，，，求与的度数之和；
(2)如图2，锐角内接于，若边上存在一点，使得，
的平分线交于点，连结并延长交于点，.求证：四边形是半对角四边形；
(3)如图3，在(2)的条件下，过点作于点，交于点，当时，求与的面积之比
.
ABCD 1
2B D ∠∠1
2
C A ∠∠B ∠C ∠ABC △O ⊙AB
D BD BO OBA ∠OA
E DE AC
F 2AFE EAF ∠∠DBCF D D
G OB
H BC G DH
BG
BGH △ABC △
16、如图，已知线段AB=2，MN ⊥AB 于点M ，且AM =BM ，P 是射线MN 上一动点，E ，D 分别是PA ，PB 的中点，过点A ，M ，D 的圆与BP 的另一交点C （点C 在线段BD 上），连结AC ，DE ．
（1）当∠APB=28°时，求∠B 和CM 的度数； （2）求证：AC=AB 。

（3）在点P 的运动过程中
①当MP=4时，取四边形ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点Q ，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q 为锐角顶点，求所有满足条件的MQ 的值； ②记AP 与圆的另一个交点为F ，将点F 绕点D 旋转90°得到点G ，当点G 恰好落在MN 上时，连结AG ，CG ，DG ，EG ，直接写出△ACG 和△DEG 的面积之比．
M
A
参考答案
2021年中考数学第三轮压轴题专题冲刺复习：圆的综合
1、如图，为的直角边上一点，以为半径的与斜边相切于点，交于点．已知
． （1）求的长；
（2
）求图中阴影部分的面积．
【答案】：
（1）在Rt △ABC 中，
∵BC ⊥OC
∴BC 是⊙O 的切线
∵AB 是⊙O 的切线 ∴
∴
（2）在Rt △ABC 中，sinA= ∴∠A=30° ∵AB 切⊙O 于点D ∴
OD ⊥AB
∴∠AOD=90°
-∠A=60° ∵
∴OD=1
O Rt C ∆AB C A C O O AB D OA E C B =C 3A =D A 1
2
BC AB ==tan =tan 30OD
A AD
=
∴ 2、如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径． （1）求证：△APE 是等腰直角三角形； （2）若⊙O 的直径为2，求PC 2+PB 2的值．
【解答】（1）证明：∵AB=AC ，∠BAC=90°， ∴∠C=∠ABC=45°， ∴∠AEP=∠ABP=45°， ∵PE 是直径， ∴∠PAB=90°， ∴∠APE=∠AEP=45°， ∴AP=AE ，
∴△PAE 是等腰直角三角形．
（2）作PM ⊥AC 于M ，PN ⊥AB 于N ，则四边形PMAN 是矩形， ∴PM=AN ，
∵△PCM ，△PNB 都是等腰直角三角形， ∴PC=
PM ，PB=
PN ，
∴PC 2+PB 2=2（PM 2+PN 2）=2（AN 2+PN 2）=2PA 2=PE 2=22=4．
2601=
=3606
S ππ
⨯
阴影
3、如图，在中， ，以为直径的⊙交边于点，过点
作，与过点的切线交于点，连接.
（1）求证：；
（2）若，，求的长. 【答案】 (1)∵ ∴∠ABC=∠ACB ∵ ∴∠ABC=∠FCB
∴∠ACB=∠FCB ，即CB 平分∠DCF ∵为⊙直径
∴∠ADB=90°，即 ∵BF 为⊙的切线 ∴ ∵ ∴ ∴BD=BF
ABC ∆AB AC =AB O AC D C //CF AB B F
BD BD BF =10AB =4CD =BC AB AC =//CF AB AB O BD AC ⊥O BF AB ⊥//CF AB BF CF
⊥
4、如图，AB是O的直径，CD与O相切于点C，与AB的延长线交于D.
（1）求证：ADC CDB
∆∆；
（2）若
3
2,
2
AC AB CD
==，求O半径.
【答案】：（1）首先连接CO，根据CD与⊙O相切于点C，可得：∠OCD=90°；然后根据AB是圆O的直径，可得：∠ACB=90°，据此判断出∠CAD=∠BCD，即可推得△ADC∽△CDB．学·科网
（2）首先设CD为x，则AB=3
2
x，OC=OB=
3
4
x，用x表示出OD、BD；然后根据△
ADC∽△CDB，可得：AC CD
CB BD
=，据此求出CB的值是多少，即可求出⊙O半径是
多少．
试题解析：（1）证明：如图，连接CO，
，
（2）解：设CD为x，
则AB=3
2
x，OC=OB=
3
4
x，
∵∠OCD=90°，
∴
5
4
x
==，
∴BD=OD﹣OB=531
442
x x x
-=，
由（1）知，△ADC∽△CDB，
∴AC CD CB BD
=，
5、如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE
交AC于点E.
(1)求证：∠A=∠ADE；
(2)若AD=16，DE=10，求BC的长.
【答案】（1）证明：连结OD，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∴∠ADE=∠A.
（2）解：连结CD，∵∠ADE=∠A，
∴AE=DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°.
∴EC是⊙O的切线，∴DE=EC，
∴AE=EC.
又∵DE=10，
∴AC=2DE=20，
在Rt△ADC中，DC= .
设BD=x，
在Rt△BDC中，BC2=x2+122, 在Rt△ABC中，BC2=(x+16)2-202,
∴x2+122=(x+16)2-202,解得x=9，
∴BC= .
6、如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；[来源:]
（2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．
【答案】（1）连接CE，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠B=45°，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠FEC=∠B=45°，∠FEO=90°，
∴∠CEO=45°，
∵DE∥CF，
∴∠ECD=∠FEC=45°，
∴∠EOC=90°，
∴EF∥OD，
∴四边形CDEF是平行四边形；（2）过G作GN⊥BC于N，
∴△GMB是等腰直角三角形，
∴MB=GM，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴∠FCD=∠FED，
∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°，∴∠CGM=∠ACD，
∴∠CGM=∠DEF，
∵tan∠DEF=2，
∴tan∠CGM=CM
GM
=2，
∴CM=2GM，
∴CM+BM=2GM+GM=3，
∴GM=1，
∴
7、如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与CD的延
长线交于点P ，连接OC ，CB ．
（1）求证：AE •EB =CE •ED ；
（2）若⊙O 的半径为3，OE =2BE ，95
CE DE =，求tan ∠OBC 的值及DP 的长．
【答案】
（2）解：∵⊙O 的半径为3，∴OA =OB =OC =3，∵OE =2BE ，∴OE =2，BE =1，AE =5，∵
95
CE DE =，∴设CE =9x ，DE =5x ，∵AE •EB =CE •ED ，∴5×1=9x •5x ，解得：x 1=13，x 2=﹣13（不合题意舍去），∴CE =9x =3，DE =5x =53
，过点C 作CF ⊥AB 于F ，∵OC =CE =3，∴OF =EF =12OE =1，∴BF =2，在Rt △OCF 中，∵∠CFO =90°，∴CF 2+OF 2=OC 2，∴CF =
Rt △CFB 中，∵∠CFB =90°，∴tan ∠OBC =2
CF BF =CF ⊥AB 于F ，∴∠CFB =90°，∵BP 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠EBP =90°，∴∠CFB =∠EBP ，在△CFE 和△PBE 中，∵∠CFB =∠PBE ，EF =EF ，∠FEC =∠BEP ，∴
△CFE ≌△PBE （ASA ），∴EP =CE =3，∴DP =EP ﹣ED =3﹣53=43
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8、将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点 E，分别连接EB，EC．
（1）求证：EC平分∠AEB；
（2）求的值．
【解答】（1）证明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，
∴∠AEC=∠BEC，
即EC平分∠AEB；
（2）解：如图，设AB与CE交于点M．
∵EC平分∠AEB，
∴=．
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，
∴∠BAD=30°，
∵以AB为直径的圆经过点E，
∴∠AEB=90°，
∴tan∠BAE==，
∴AE=BE，
∴==．
作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．
在△AFM与△BGM中，
∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，
∴△AFM∽△BGM，
∴==，
∴===．
9、如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD 与BC相交于点E．
（1）求证：BD=BE；
（2）若DE=2，BD=，求CE的长．
【解答】解：（1）设∠BAD=α，
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD=∠BAD=α，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°﹣2α，
∵BD是⊙O的切线，
∴BD⊥AB，
∴∠DBE=2α，
∠BED=∠BAD+∠ABC=90°﹣α，
∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=90°﹣α，
∴∠D=∠BED，
∴BD=BE
（2）设AD交⊙O于点F，CE=x，则AC=2x，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵BD=BE，DE=2，
∴FE=FD=1，
∵BD=，
∴tanα=，
∴AB==2
在Rt△ABC中，
由勾股定理可知：（2x）2+（x+）2=（2）2，
∴解得：x=﹣或x=，
∴CE=；
10、如图，AB为⊙O的直径，D为AC的中点，连接OD交弦AC于点F.过点D
DE//，交BA的延长线于点E.
作AC
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接CD ，若4==AE OA ，求四边形ACDE 的面积.
（2）解：连接DC ，
∵D 为AC 的中点，
∴OD ⊥AC ，AF=CF ，
∵AC ∥DE ，且OA=AE ，
∴F 为OD 的中点，即OF=FD ， 在△AFO 和△CFD 中，
AF CF AFO CFD OF FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AFO ≌△CFD （SAS ），
∴S △AFO =S △CFD ，
∴S 四边形ACDE =S △ODE
在Rt △ODE 中，OD=OA=AE=4， ∴OE=8，
∴
∴S 四边形ACDE =S △ODE =12×OD ×DE=12×4×
11、如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，BC=BA，在∠ACB的内部作∠ACF=30°，且CF=CA，过点F作FH⊥AC于点H，连接BF．
（1）若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是4，求的长；
（2）请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．
试题解析：（1）∵AC是直径，
∴∠CBA=90°，
∵BC=BA，OC=OA，
∴OB⊥AC，
∵FH⊥AC，
∴OB∥FH，
在Rt△CFH中，∵∠FCH=30°，
∴FH=CF，
∵CA=CF，
∴FH=AC=OC=OA=OB，
∴四边形BOHF是平行四边形，
∵∠FHO=90°，
∴四边形BOHF是矩形，
∴BF=OH，
在Rt△ABC中，∵AC=8，
∴AB=BC=4，
∵CF=AC=8，
∴CH=4，BF=OH=4﹣4，
∵BF∥AC，
∴===，
∴=，
∴AG=4﹣4．
∴BF是⊙O的切线．
12、如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D 为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
ɑ30°40°50°60°
β120°130°140°150°
γ150°140°130°120°
猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：
（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
【答案】（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°连接OB，
∴由圆周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA，
∵OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB=α，
∴∠BOA=180°﹣2α，
∴2β=360°﹣（180°﹣2α），
∴β=α+90°，
∴∠EBO+∠EAG=180°，
∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，
∴γ+α=180°；
（2）当γ=135°时，此时图形如图所示， ∴α=45°，β=135°， ∴∠BOA=90°，∠BCE=45°， 由（1）可知：O 、A 、E 、B 四点共圆， ∴∠BEC=90°，
∵△ABE 的面积为△ABC 的面积的4倍， ∴
， ∴， 设CE=3x ，AC=x ， 由（1）可知：BC=2CD=6， ∵∠BCE=45°， ∴CE=BE=3x ，
∴由勾股定理可知：（3x ）2+（3x ）2=62，
，
∴
，
， ∴
， 在Rt △ABE 中，
4AE
AC
=3CE
AC
=
∴⊙O 半径的长为5．
13、已知是⊙的直径，是⊙的切线，，交⊙于点
，是上一点，延长交⊙于点.
（1）如图①，求和的大小； （2）如图②，当时，求的大小.
【答案】：(1)如图，连接AC,
∵是⊙的直径，是⊙的切线， ∴AT ⊥AB,即∠TAB=90°. ∵， ∴∠T=90°-∠ABT=40°
AB O AT O 050=∠ABT BT O C E AB CE O D T ∠CDB ∠BC BE =CDO
∠AB O AT O 0
50=∠ABT
由是⊙的直径，得∠ACB=90°， ∴∠CAB=90°-∠ABC=40° ∴∠CDB=∠CAB=40°;
（2）如图，连接AD,
在△BCE 中，BE=BC ，∠EBC=50°， ∴∠BCE=∠BEC=65°, ∴∠BAD=∠BCD=65° ∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=65° ∵∠ADC=∠ABC=50° ∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.
14、如图，已知⊙O 的半径长为1，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB=AC ，BO 的延长线交AC 于点D ，联结OA 、OC ． （1）求证：△OAD ∽△ABD ；
（2）当△OCD 是直角三角形时，求B 、C 两点的距离；
（3）记△AOB 、△AOD 、△COD 的面积分别为S 1、S 2、S 3，如果S 2是S 1和S 3的比例中项，求OD 的长．
AB
O
【解答】（1）证明：如图1中，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠C=∠B，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=∠B，∵∠ADO=∠ADB，∴△OAD∽△ABD．
（2）如图2中，
∵BD⊥AC，OA=OC，
∴AD=DC，
∴BA=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
在Rt△OAD中，∵OA=1，∠OAD=30°，
∴OD=OA=，
∴AD==，
∴BC=AC=2AD=．
（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．
∵△DAO∽△DBA，
∴==，
∴==，
∴AD=，AB=，
∵S
2是S
1
和S
3
的比例中项，
∴S
22=S
1
S
3
，
∵S
2=ADOH，S
1
=S
△OAC
=ACOH，S
3
=CDOH，
∴（ADOH）2=ACOH CDOH，
∴AD2=ACCD，
∵AC=AB．CD=AC﹣AD=﹣，
∴（）2=（﹣），整理得x2+x﹣1=0，
解得x=或，
经检验：x=是分式方程的根，且符合题意，
∴OD=
．
15、有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形. (1)如图1，在半对角四边形中，，，求与的度数之和；
(2)如图2，锐角内接于，若边上存在一点，使得，
的平分线交于点，连结并延长交于点，.求证：四边形是半对角四边形；
(3)如图3，在(2)的条件下，过点作于点，交于点，当时，求与的面积之比.
【答案】
（2）在ΔBED 和ΔBEO 中
∴ΔBED ≌ΔBEO ∴∠BDE=∠BOE
ABCD 1
2B D ∠∠1
2
C A ∠∠B ∠C ∠ABC △O ⊙AB
D BD BO OBA ∠OA
E DE AC
F 2AFE EAF ∠∠DBCF D D
G OB
H BC G DH
BG
BGH
△
ABC △BD BO EBD EBO BE BE ⎧=⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
又∵∠BCF=
∠BOE ∴∠BCF=∠BDE
如图，连接OC
设∠EAF=a ，则∠AFE=2∠EAF=2a ∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2a ∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA=a
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2a ∴∠ABC=
∠AOC=∠EFC ∴四边形DBCF 是半对角四边形.
1
2
1
2
121
2
∴∠BAC=60°
∴∠BOC=2∠BAC=120°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=30°
∴
∵DG ⊥OB
∴∠HGB=∠BAC=60°
∵∠DBG=∠CBA
∴ ΔDBG ∽ΔCBA ∴ ∵DH=BG ，BG=2HG
∴DG=3HG ∴ ∴ 16、如图，已知线段AB=2，MN ⊥AB 于点M ，且AM =BM ，P 是射线MN 上一动点，E ，D 分别是PA ，PB 的中点，过点A ，M ，D 的圆与BP 的另一交点C （点C 在线段BD 上），连结AC ，DE ．
（1）当∠APB=28°时，求∠B 和CM 的度数；
（2）求证：AC=AB 。

（3）在点P 的运动过程中
①当MP=4时，取四边形ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点Q ，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q 为锐角顶点，求所有满足条件的MQ 的值； ②记AP 与圆的另一个交点为F ，将点F 绕点D 旋转90°得到点G ，当点G 恰好落在MN 上时，连结AG ，CG ，DG ，EG ，直接写出△ACG 和△DEG 的面积之比． 2的面积1=（)的面积3
DBG BD ABC BC =的面积1的面积3
BHG BDG =的面积1的面积9BHG ABC =
【答案】（1）∵MN⊥AB，AM=BM，∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
∵∠APB=28°，
∴∠B=76°，
如图1，连接MD，
M A
（3）①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，
∵MD是Rt△MBP的中线，
∴DM=DP，
∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，
∴RC=RP，
∵∠ACR=∠AMR=90°，
∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，
∴12+MR2=22+PR2，
∴12+（4﹣PR）2=22+PR2，
∴PR=13
8
，
∴MR=19
8
，
Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，∴Q与R重合，
∴MQ=MR=19
8
；
Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，
在Rt △QCP 中，PQ=2PR=
134， ∴MQ=
34； Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，
∵BM=1，MP=4，
∴
∴DP=12BP=2
， ∵cos ∠MPB=
MP DP PB PQ ， ∴PQ=178
， ∴MQ=
158； Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，
由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，
∴MQ=15
8
；
综上所述，MQ的值为13
8
或
3
4
或
15
8
；
②△ACG和△DEG的面积之比为6
3
．
理由：如图6，∵DM∥AF，
∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°，∴GMD=∠GDM，
∴GM=GD=1，
过C作CH⊥AB于H，
由∠BAC=30°可得CH=12AC=12
AB=1=MG ，
∴1，
∴S △ACG =12CG ×，
∵S △DEG
∴S △ACG ：S △DEG =
63-．。