市2017-2018学年高二下学期3月月考数学(理)试题 含答案
河北省沧州市吴桥县吴桥中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题(含答案解析)
河北省沧州市吴桥县吴桥中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（）A ．30B ．60C ．120D ．1803．二项式821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（）A ．70-B ．70C ．358-D ．3584．重庆，我国四大直辖市之一，在四大直辖市中，5A 级旅游点最多，资源最为丰富，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观．现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个国家5A 级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩．记事件A ：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B ：甲和乙选择的景区不同，则条件概率()P B A =（）A ．56B ．67C ．78D ．895．文字的雏形是图形，远古人类常常通过创设一些简单的图形符号，借助不同的排列方式，表达不同的信息，如图.如果有两个“ ”，两个“⨯”和两个“ ”.把它们从上到下摆成一列来传递一些信息，其中第一个位置确定为“ ”，同一种图形不相邻，那么可以传递的信息数量有（）A ．8个B ．10个C ．12个D ．14个6．某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（）.A ．15B ．11C ．14D ．237．已知()0.6P A =，()0.3P AB =，()|0.5P B A =，下列选项正确的是（）A ．()0.4P B =B ．()06|.P A B =C ．()|0.5P A B =D ．()()()P AB P A P B ≠8．1234202220222022202220222022C 2C 3C 4C 2022C ++++⋅⋅⋅+=（）A ．202321-B ．202421-C ．202110112⨯D ．202210112⨯二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．已知2251818C C x x +-=，则x 可能取值为6B ．已知2251818C C x x +-=，则x 可能取值为7C ．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为0D ．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为2910．身高各不相同的六位同学A B C D E F 、、、、、站成一排照相，则说法正确的是（）A ．A 、C 、D 三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法B ．A 与C 同学不相邻，共有5424A A ⋅种站法C ．A 、C 、D 三位同学必须站在一起，且A 只能在C 与D 的中间，共有144种站法D ．A 不在排头，B 不在排尾，共有504种站法11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（）A ．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数B ．123356781C C C C +++=C ．第2020行的第1010个数最大D ．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2:11三、填空题12．22x x +n 的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，则n 的值为.13．若()()()()72701271222x a a x a x a x +=+++++++ ，则4a =.14．已知甲同学从学校的2个科技类社团、4个艺术类社团、3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为.四、解答题15．某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A 、B 两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A 元素指标达标的概率为34，B 元素指标达标的概率为89，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品．(1)一个食品经过检测，AB 两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；(2)任意依次抽取该种食品4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ分布列及()E ξ．16．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的6道，试求：(1)抽到他能答对题目数X 的分布列；(2)求X 的期望和方差17．三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40%，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有3%、5%和1%不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件.(1)求取到的是不合格品的概率；(2)经检验发现取到的产品为不合格品，它是由哪一部机器生产出来的可能性大？请说明理由.18．一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是12，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为13、23；若前次出现绿球，则下一次出现红球，绿球的概率分别为35、25，记第()N,1n n n ∈≥次按下按钮后出现红的概率为n P ．(1)求2P 的值；(2)当,N 2n n ∈≥，求用1n P -表示n P 的表达式；(3)求n P 关于n 的表达式．19．2024年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有错误选择或不选择得0分．(1)已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量X ．（i ）求()3P X =；（ii ）求使得()P X k =取最大值时的整数k ；(2)若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B ，D 选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为12，求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．参考答案：1．B【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值.【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.2．B【分析】根据分步乘法计数原理结合捆绑法分析求解.【详解】先从5人中选出4人值班，再从4人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、二天，所以安排方法数为422542C C A 60⋅⋅=.故选：B.3．D【分析】由82181C 2kk kk T x-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令820k -=得出k 后代入计算即可得.【详解】88218811C C ,0,1,2,,822k kk kk kk T x x k x --+⎛⎫⎛⎫=-=-=⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令820k -=，即4k =，故445817035C 2168T ⎛⎫=-==⎪⎝⎭，即展开式的常数项为358.故选：D.4．D【分析】求出事件A 发生的个数和事件,A B 同时发生的个数，根据条件概率的计算公式，即得答案.【详解】由题意可知事件A 发生的情况为甲乙两人只有有一人选择巫山小三峡或两人都选选择巫山小三峡，个数为1124C C 19+=,事件,A B 同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为1124C C 8=，故()()8()9P AB P B A P A ==,故选：D 5．B【分析】列出所有的基本事件即可..【详解】列举得：,,,,,⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，,,,⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，共10种，故选：B.6．B【分析】利用正难则反的方法，求出总的方法数，利用分类讨论的方法，分一、二、三个职位连任，可得答案.【详解】四人中选出三人分别任职三个不同的岗位，其方法数为34A 43224=⨯⨯=，三个职位中有一位连任，假设上届任职的甲、乙、丙三人分别担任书记、副书记和组织委员，假设甲连任书记，副书记可选的人选分别为丙和丁，当丁担任了副书记，则组织委员只能选乙；当丙担任了副书记，则组织委员只能选乙和丁，故其方法数为()13C 129+=；三个职位中有两位连任，其方法数为23C 13⨯=；三个职位中三位都连任，其方法数为1.故符合题意的方法数为2493111---=.故选：B.7．B【分析】根据条件概率的概率公式计算可得.【详解】因为()|0.5P B A =，即()()()()()0.51P BA P B P BA P A P A -==-，又()0.6P A =，()0.3P AB =，所以()0.5P B =，故A 错误；又()()()0.3|0.60.5P AB P A B P B ===，故B 正确；()()()P AB P A P B =，故D 错误；()()()()()()0.50.3|0.40.5P AB P B P BA P A B P B P B --====，故C 错误.故选：B 8．D【分析】结合导数以及二项式展开式的知识求得正确答案.【详解】()01221C C C C nn nn n n n x x x x +=++++ ，两边求导得()11211C 2C C n n n n n n n x x x n x--+=+++ ，令1x =得1122C 2C C n nn n n n n -⋅=+++ ，再令2022n =得：123420222021202220222022202220222022C 2C 3C 4C 2022C 2022210112++++⋅⋅⋅+=⨯=⨯.故选：D 9．BC【分析】对于选项A 和选项B ，根据组合数公式2251818C C x x +-=，计算求解即可判断；对于选项C 和选项D ，根据赋值法求解即可判断．【详解】根据组合数公式2251818C C x x +-=，则225x x +=-或22518x x -=++，解得7x =，经检验符合题意；故A 错B 对；令1x =，则921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为0，故C 对D 错.故选：BC.10．ABD【分析】根据全排列和定序即可判断A ；利用插空法即可判断B ；利用捆绑法即可判断C ；利用间接法即可判断D.【详解】对于A ，6个人全排列有66A 种方法，A 、C 、D 全排列有33A 种方法，则A 、C 、D 从左到右按高到矮的排列有6633A 120A =种方法，A 正确；对于B ，先排列除A 与C 外的4个人，有44A 种方法，4个人排列共有5个空，利用插空法将A 和C 插入5个空，有25A 种方法，则共有44A 25A 种方法，B 正确；对于C ，A 、C 、D 必须排在一起且A 在C 、D 中间的排法有2种，将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有44A 种方法，则共有442A 48=种方法，C 错误；对于D ，6个人全排列有66A 种方法，当A 在排头时，有55A 种方法，当B 在排尾时，有55A 种方法，当A 在排头且B 在排尾时，有44A 种方法，则A 不在排头，B 不在排尾的情况共有6546544A 2A A 50-+=种，D 正确.故选：ABD 11．ABD【分析】根据杨辉三角读出数据即可判断A ，利用组合数公式判断B ，分析各行数据的特征，即可判断C ，求出第12行中从左到右第2个数与第3个数，即可判断D.【详解】对于A ：第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为172836++=；而第9行第8个数字就是36，故A 正确；对于B ：因为123567611C C 6576515523C 21⨯⨯⨯=+++⨯+=⨯⨯++，38876C 56321⨯⨯==⨯⨯，所以123356781C C C C +++=，故B 正确；对于C ：由图可知：第n 行有1n +个数字，如果n 是偶数，则第12n+（最中间的）个数字最大；如果n 是奇数，则第12n +和第112n ++个数字最大，并且这两个数字一样大，所以第2020行的第1011个数最大，故C 错误；对于D ：依题意：第12行从左到右第2个数为112C 12=，第12行从左到右第3个数为212C 66=，所以第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为12:662:11=，故D 正确；故答案为：ABD.12．5【分析】根据二项式定理求解.【详解】因为22nx ⎫⎪⎭的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，所以23C C n n =，解得n=5；故答案为：5.13．35-【分析】所求4a 为()42x +的系数，因为()77(1)21x x +=+-⎡⎤⎣⎦，利用其展开式通项公式，求得()43347(1)2T C x =-+，即可得答案.【详解】()77(1)21x x +=+-⎡⎤⎣⎦展开式的通项公式为()7172(1)kkk k T C x -+=+-，令74k -=，则k =3，则()43347(1)2T C x =-+，所以3347(1)35a C =-=-.故答案为：-3514．613【分析】根据题意，结合组合的知识分别求得事件A 与事件AB 的概率，从而利用条件概率公式即可得解.【详解】依题意，设事件A 为“所报的两个社团中有一个是艺术类”，事件B 为“所报的两个社团中有一个是体育类”，则11211454432299C C C C C 2612(),()C 36C 36P A P AB +====，所以12()636()26()1336P AB P B A P A ===∣.故答案为：613.15．(1)3536；(2)分布列见解析，期望值为83.【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算即得.（2）求出合格品的概率，利用二项分布的概率求出分布列和数学期望.【详解】（1）令M 为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则M 是A ，B 都不达标的事件，因此1135()1()14936P M P M =-=-⋅=，所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为3536.（2）依题意，A ，B 两类元素含量指标都达标的概率为382493⨯=，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然2(4,)3ξB ，因此411(0)()381P ξ===，134218(1)C ()3381P ξ⋅⋅===，2224218(2)C (()3327P ξ===，3342132(3)C ()3381P ξ⋅===，4216(4)()381P ξ===，所以ξ的概率分布为：ξ01234P18188182732811681数学期望18832168()0123481812781813E ξ=++⨯+⨯+⨯+⨯=.16．(1)分布列见解析(2)期望()95E X =；方差()1425D X =【分析】（1）列举出X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；（2）根据期望和方差的计算公式直接求解即可.【详解】（1）由题意知：X 所有可能的取值为0,1,2,3，()34310C 410C 12030P X ====；()2146310C C 3631C 12010P X ====；()1246310C C 6012C 1202P X ====；()36310C 2013C 1206P X ====；X ∴的分布列为：X0123P 1303101216（2）期望()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；又()213111901493010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴方差()()()2219811452525D XE X E X =-=⎡⎤⎣⎦.17．(1)0.028(2)它是机器乙生产的概率最大【分析】（1）根据全概率公式求得正确答案.（2）根据贝叶斯公式求得正确答案.【详解】（1）取到的是不合格品的概率为：0.40.030.250.050.350.010.028⨯+⨯+⨯=.（2）取到的产品为不合格品，它是机器甲生产的概率为0.40.031230.028287⨯==，它是机器乙生产的概率为0.250.05125250.02828056⨯==，它是机器甲生产的概率为0.350.013570.02828056⨯==，所以它是机器乙生产的概率最大.18．(1)2715P =(2)143155n n P P -=-+(3)()1149N,1381519n n P n n -⎛⎫=-+∈≥ ⎪⎝⎭【分析】（1）分两种情况讨论：①第一次和第二次均出现红球；②第一次出现绿球第二次出现红球，根据互斥事件概率法则可求得2P ．（2）第n 1-次按下按钮后出现红球的概率为()1N,2n P n n -∈≥，则出现绿球的概率为11n P --，根据互斥事件概率法则可用1n P -表示n P ；（3）根据143155n n P P -=-+，将其变形为1949191519n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭构造等比数列，从而可求得n P ．【详解】（1）若按钮第一次、第二次按下后均出现红球，则其概率为111236⨯=，若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿球、红球，则其概率为1332510⨯=，故所求概率为213761015P =+=.（2）由题意可得第n 1-次按下按钮后出现红球的概率为()1N,2n P n n -∈≥，则出现绿球的概率为11n P --，若第n 1-次、第n 次按下按钮后均出现红球，则其概率为113n P -⨯，若第n 1-次、第n 次按下按钮后依次出现绿球、红球，则其概率为()1315n P --⨯，所以()1111343135155n n n n P P P P ---=+-⨯=-+（其中,N 2n n ∈≥）.（3）由（2）得1949191519n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭（其中,N 2n n ∈≥），又191911921938P -=-=，所以919n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭构成首项为138，公比为415-的等比数列，所以()1149N,1381519n n P n n -⎛⎫=-+∈≥ ⎪⎝⎭.19．(1)（i ）()3364P X ==；（ii ）1k =(2)该同学选择单选A 或单选C 的得分期望最大，最大值为125分【分析】（1）（i ）易知X 服从二项分布，据此计算()3P X =；（ii ）令()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，结合二项分布的概率公式得到不等式组，解得k 的取值范围，再由k 为整数确定取值；（2）算出单选、双选和三选条件下的数学期望，比较大小即可.【详解】（1）（i ）因为14,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()3341333C 4464P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．（ii ）因为()4413C ,0,1,,444k k k P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．依题意()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，即4131444151441313C C 44441313C C 4444k k k k k k k k k k k k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得1544k ≤≤，又k 为整数，所以1k =，即1k =时()P X k =取最大值.（2）由题知，B,D 选项不能同时选择，故该同学可以选择单选、双选和三选．正确答案是两选项的可能情况为AB,AC,BC,AD,CD ，每种情况出现的概率均为1112510⨯=．正确答案是三选项的可能情况为ABC,ACD ，每种情况出现的概率为111224⨯=．若该同学做出的决策是单选，则得分的期望如下：()()1112A C 33231045E E ==⨯⨯+⨯⨯=（分），()()1127B D 321310420E E ==⨯⨯+⨯⨯=（分），若该同学做出的决策是双选，则得分的期望如下：()()()()1127AB AD BC CD 6310420E E E E ====⨯+⨯=（分），()1121AC 62310410E =⨯+⨯⨯=（分）．若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下：()()13ABC ACD 642E E ==⨯=（分）．经比较，该同学选择单选A 或单选C 的得分期望最大，最大值为125分.【点睛】方法点睛：根据正确答案的所有可能结果，对答题情况进行分类讨论，计算每种答题情况的得分期望值，选择最优方案.。
2023-2024学年重庆市高二下学期3月月考数学质量检测试题(含答案)
2023-2024学年重庆市高二下册3月月考数学质量检测试题一、单选题1．已知集合(){}{}21,60A x y ln x B x x x ==+=--≤，则A B = （）A ．(]2,3-B ．(]1,3-C ．(]3,2-D ．()1,3-【正确答案】B【分析】首先求出集合A 、B ，再利用集合的交运算即可求解.【详解】(){}{}{}1101A x y ln x x x x x ==+=+>=>-，{}()(){}{}26032023B x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以A B ⋂{}(]131,3x x =-<≤=-，故选：B2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是（）A ．0.97B ．0.86C ．0.65D ．0.55【正确答案】A【分析】在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好，即可求解．【详解】由题意，四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，根据在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好，可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是0.97．故选：A ．本题考查了用相关指数拟合模型效果的应用问题，其中解答中熟记回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好是解答的关键，属于基础题．3．已知26=22464+--，53=25434+--，71=27414+--，102=210424-+---，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为（）A ．8=24(8)4n n n n -+---B ．1(1)5=2(1)4(1)4n n n n +++++-+-C ．4=24(1)4n n n n ++-+-D ．15=2(1)4(5)4n n n n ++++-+-【正确答案】A【分析】由已知结合归纳推理即可求解【详解】解：从各个等式可以看出，等式右端均为2，左端为两个分式的和，且两个式子的分子之和恒等于8，分母则为相应分子减去4，设其中一个分子为n ，另一个分子必为8－n ，故8=24(8)4n n n n -+---满足；故选：A4．已知命题p ：220x x +->，命题q ：()(){|lg 23}x f x x =-，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B分别化简命题p 和命题q ，利用必要不充分条件的定义进行判断即可．【详解】命题p ：220x x +->等价于1x >或<2x -；命题q ：()(){}3{|lg 23}|230|2x f x x x x x x ⎧⎫=-=->=>⎨⎬⎩⎭则p 是q 的必要不充分条件故选：B5．函数22o )l g (1f x x x =-+的零点所在区间是（）A ．1184⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．112⎛⎫⎪⎝⎭D ．()12，【正确答案】C【分析】利用零点存在性定理即可求解．【详解】2111151log 08484f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭211151log 04242f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭21111log 1022f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭()12110f =-=>()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，221log ()f x x x ∴=-+的零点所在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C6．某产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间的关系如下表，由此得到y 与x 的线性回归方程为6y x a =+$$，由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为x24568y3040605070A ．-10B ．0C ．10D ．20【正确答案】C【分析】由已知求得,x y 的值，得到ˆa，求得线性回归方程，令5x =求得y 的值，由此可求解结论.【详解】由题意，根据表格中的数据，可得2456830406050705,5055x y ++++++++====，所以ˆ6506520ay x =-⨯=-⨯=，所以ˆ620y x =+，取5x =，得ˆ652050y=⨯+=，所以随机误差的效应（残差）为605010-=，故选C.本题主要考查了回归直线方程的求解，以及残差的求法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．设曲线f (x )＝ax 2在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，则a ＝（）A ．2B ．－116C ．12D ．－1【正确答案】B【分析】由已知结合导数的几何意义即可求解．【详解】f (x )＝ax 2，则()2f x ax'=因为在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，所以()1244f a =-'=所以116a =-故选：B8．函数3222xxx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x xx x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．9．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.10．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【正确答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11．已知函数()()221x g x x e ax a =--+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(,-∞B ．(C ．(,-∞D ．(0,【正确答案】A先求导数，利用单调性转化为()()2120xg x x e ax '=+-≥，构造新函数()()21x xf x x e +=求解()f x 的最小值即可.【详解】()()212x g x x e ax '=+-，由题意可知()()2120xg x x e ax '=+-≥在()0,∞+恒成立，即()212x x e a x+≥恒成立，设()()21x xf x x e +=，()()()()22221211x x x x e x x e x x f x +--+='=10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数；1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；()f x 的最小值为12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ≤故选：A.利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1）()f x 在区间D 上单调递增等价于()0f x '≥在区间D 上恒成立；（2）()f x 在区间D 上单调递减等价于()0f x '≤在区间D 上恒成立.12．若正实数a ，b 满足22ln ln 222+≥+-b a b a ，则（）A ．124+=+a bB ．122-=-a b C ．2a b >D ．240b a -<【正确答案】B【分析】利用基本不等式可得)222212b a +-≥（当且仅当222b a =时取等号），利用熟知的结论1ln x x -≥（当且仅当1x =时取等号）进行放缩可得到2222ln ln 2b a a b +-≥+，结合已知条件，得到22ln ln 222b a b a +=+-，考虑到各不等式取等号的条件，解得,a b 的值，然后逐一检验即可做出正确判断.【详解】先证明熟知的结论：1ln x x -≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号.设()1ln f x x x =--,则()11f x x'=-,在(0,1)上，()0f x '<,()f x 单调递减;在(1,+∞)上，()0f x '>,()f x 单调递增.故()()11100min f x f ==--=,∴()1ln f x x x =-≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号.由)22222212lnln ln 2b a a b +-≥=≥+,由已知22ln ln 222b a b a +≤+-，∴22ln ln 222b a b a +=+-，且2221b a ⎧=⎪=，解得12a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,经检验只有B 正确，故选：B.本题关键点在于利用基本不等式和熟知的结论1ln x x -≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号进行研究，得到2222ln ln 2b a a b +-≥+，结合已知得到等式，一定要注意基本不等式和1ln x x -≥取等号的条件，才能列出方程组求得,a b 的值.二、填空题13．函数()f x =__________．【正确答案】(0,1)(1,]e ⋃【分析】利用对数、分式、根式的性质列不等式，求x 的范围，即得定义域.【详解】由函数解析式，知：01ln 0220x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得0x e <≤且1x ≠.故答案为.(0,1)(1,]e ⋃14．i 是复数单位，若()1243i z i +=+，z 的虚部为__________.【正确答案】1【分析】由复数除法求得z 后可得z ，从而得其虚部．【详解】由已知243(43)(12)4836212(12)(12)5i i i i i i z i i i i ++--+-====-++-，2z i =+，虚部为1．故1．15．已知函数()f x 定义域为R ，满足 ()(2)f x f x =-，且对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-，则不等式(21)(3)0f x f x ---≥解集为______．【正确答案】4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求出函数()f x 关于直线1x =对称，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．在(],1-∞上单调递减，再解不等式|211||31|x x --≥--即得解.【详解】因为函数()f x 满足()(2)f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-成立，所以函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．由对称性可知()f x 在(],1-∞上单调递减．因为()()2130f x f x ---≥，即()()213f x f x -≥-，所以|211||31|x x --≥--，即|22||2|x x -≥-，解得0x ≤或43x ≥．故4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭方法点睛：对于函数问题的求解，通常要先研究函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性等，再利用这些性质求解函数的问题.16．已知函数()()()202ln f x a x x x a =+>-有两个极值点1x 、()212x x x <，则()()12f x f x +的取值范围为_________.【正确答案】(),16ln 224-∞-【分析】确定函数()y f x =的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求()()12f x f x +的取值范围．【详解】函数()()22ln f x a x x x =-+的定义域为()0,∞+，()21222212x ax a f x a x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，依题意，方程22220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x （其中12x x <），则241604a a a ∆=->⇒>，由韦达定理得120x x a +=>，120x x a =>，所以()()()()()22121212122ln 2f x f x a x x x x a x x +=++-+()()()2222121212122ln 222ln 222ln 2a x x x x x x a x x a a a a a a a a a ⎡⎤=++--+=+--=--⎣⎦，令()()22ln 24h a a a a a a =-->，则()2ln 2h a a a '=-，()()2122a h a a a-''=-=，当4a >时，()0h a ''<，则函数()y h a '=在()4,+∞上单调递减，则()()44ln 280h a h '<=-<，所以，函数()y h a =在()4,+∞上单调递减，所以，()()416ln 224h a h <=-.因此，()()12f x f x +的取值范围是(),16ln 224-∞-.故答案为.(),16ln 224-∞-本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将()()12f x f x +的取值范围转化为以a 为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知命题:,p x R ∀∈240++≤mx x m .（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题[]:2,8q x ∃∈，使得2log 1m x ≥，当p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题时，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）14m ≤-；（2）14m ≤-.（1）由题得0m <且21160∆=-≤m ，解不等式即得m 的取值范围；（2）先转化为[]2,8x ∃∈，21log m x ≥，再求21log x的最小值得m 的范围，因为p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题，所以p 真q 假，从而得到关于m 的不等式组，解不等式组即得解.【详解】（1）∵2,40x R mx x m ∀∈++≤，0m ∴<且21160∆=-≤m ，解得14m ≤-p ∴为真命题时，14m ≤-.（2）[2,8]∃∈x ，21log m x ≥，又[2,8]x ∈时，211[,1]log 3x ∈，13m ∴≥∵p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题∴当p真q假，有1413mm⎧≤-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩解得14m≤-【点晴】方法点晴：复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.18．2020年12月29日至30日，全国扶贫开发工作会议在北京召开，会议指出经过各方面的共同努力，中国现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部退出，脱贫攻坚目标任务如期全面完成.2021年是“十四五”规划开局之年，是巩固拓展脱贫攻坚成果、实现同乡村振兴有效衔接的起步之年．要按照中共中央国务院新决策新部署，把巩固拓展脱贫攻坚成果摆在头等重要位置来抓，推动脱贫攻坚政策举措和工作体系逐步向乡村振兴平稳过渡，用乡村振兴巩固拓展脱贫攻坚成果，坚决守住脱贫攻坚胜利果实，确保不出现规模性返贫，确保实现同乡村振兴有效衔接，确保乡村振兴有序推进．北方某刚脱贫的贫困地区积极响应，根据本地区土地贫瘠，沙地较多的特点，准备大面积种植一种叫做欧李的奇特的沙漠果树，进行了广泛的宣传．经过一段时间的宣传以后，为了解本地区广大农民对引进这种沙漠水果的理解程度、种植态度及思想观念的转变情况，某机构进行了调查研究，该机构随机在该地区相关人群中抽取了600人做调查，其中45岁及以下的350人中有200人认为这种水果适合本地区，赞成种植，45岁以上的人中赞成种植的占2 5．（1）完成如下的2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“赞成种植与年龄有关”？赞成种植不赞成种植合计45岁及以下45岁以上合计（2）为了解45岁以上的人的想法态度，需要在已抽取45岁以上的人中按种植态度（是否赞成种植）采用分层抽样的方法选取5位45岁以上的人做调查，再从选取的5人中随机抽取2人做深度调查，求2人中恰有1人“不赞成种植”的概率．附表：()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.072 2.706 3.841 5.0246.6357.87910.828参考公式为：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【正确答案】（1）填表见解析；有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”；（2）35．【分析】（1）根据题中数据，直接完善列联表，再由公式计算2K ，结合临界值表，即可得出结论；（2）先由题中条件，确定被抽取的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a ，b ，“不赞成种植的”有3人，记为C ，D ，E ；用列举法写出总的基本事件，以及满足“恰有1人不赞成种植”的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.【详解】（1）由题意可得2×2列联表：赞成种植不赞成种植合计45岁及以下20015035045岁以上100150250合计30030060022600(200150150100)300300350250K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12017.1437.8797=≈>经查表，得()27.8790.005P K >≈，所以有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”．（2）在45岁以上的人中，赞成种植和不赞成种植的人数比为2:3，所以被抽取到的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a ，b ，“不赞成种植的”有3人，记为C ，D ，E ，从被选取到的5人中再从中抽取2人，共有如下抽取方法：(,)a b ，(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b C ，(,)b D ，(,)b E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E ，共有10种不同的结果，两人中恰好有1人为“不赞成种植的”包含了(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b C ，(,)b D ，(,)b E ，共有6种结果．所以所求概率63105P ==．方法点睛：求古典概型的概率的常用方法：（1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；（2）古典概型所包含的基本事件个数较多时，可根据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，进而求出所求概率.19．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数).（1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（2）若a<0，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.【正确答案】（1）20190x y --=；（2）答案见解析.【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义可得直线的斜率，再由直线的点斜式方程即可得解；（2）对函数求导，结合二次函数的性质，按照0a -≤<、a <-()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解.【详解】（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++，2()324f x x x '=++Q ，(2)20f '∴=即切线的斜率20k =，(2)21f =Q ，∴切线方程为2120(2)y x -=-即20190x y --=；（2）导函数2()324f x x ax '=++的对称轴为03a x =->，①当24480a ∆=-≤即0a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当24480a ∆=->即a <-(0)40f '=>，令2()3240f x x ax '=++=，则13a x -=，23a x -=，因为120x x <<，所以当0x <<或x >时，()0f x '>；x <<时，()0f x '<；所以()f x在0,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；()f x 在33a a a a ⎛---+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.本题考查了导数几何意义的应用及利用导数研究函数的单调性，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.20．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.(1)求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】(1)210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩；(2)2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【详解】（1）依题意，销售收入700x 万元，固定成本250万元，另投入成本210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩万元，因此210600250,040()700()25010000()9200,40x x x W x x R x x x x ⎧-+-<<⎪=--=⎨-++≥⎪⎩，所以2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式是210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩.（2）由（1）知，当040x <<时，2()10(30)87508750W x x =--+≤，当且仅当30x =时取等号，当40x ≥时，10000()()920092009000W x x x =-++≤-+=，当且仅当10000x x =，即100x =时取等号，而87509000<，因此当100x =时，max ()9000W x =，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.21．已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.【正确答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.【详解】(1)当1a =时，()2e x f x x x =+-，()e 21x f x x ='+-，由于()''e 20x f x =+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.(2)[方法一]【最优解】：分离参数由()3112f x x ≥+得，231e 12x ax x x +-+，其中0x ≥，①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，321e 12x x x a x----，记()321e 12x x x g x x ---=-，()()2312e 12x x x x g x x⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-，令()()21e 102x h x x x x =---≥，则()e 1x h x x ='--，()''e 10x h x =-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21e 102x x x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；因此，()()2max 7e 24g x g -⎡⎤==⎣⎦,综上可得，实数a 的取值范围是27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.[方法二]：特值探路当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立27e (2)54-⇒⇒f a ．只需证当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．当274e a -≥时，227e ()e e 4-=+-≥+x x f x ax x 2⋅-x x ．只需证明2237e 1e 1(0)42-+-≥+≥xx x x x ⑤式成立．⑤式()223e 74244e -+++⇔xx x x ，令()223e 7424()(0)e -+++=≥x x x x h x x ，则()()222313e 2e 92()e -+--=='x x x x h x ()()222213e 2e 9e ⎡⎤-----⎣⎦=x x x x ()2(2)2e 9e ⎡⎤--+-⎣⎦x x x x ，所以当29e 0,2⎡⎤-∈⎢⎣⎦x 时，()0,()h x h x <'单调递减；当29e ,2,()0,()2⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭'x h x h x 单调递增；当(2,),()0,()∈+∞<'x h x h x 单调递减．从而max [()]max{(0),(2)}4==h x h h ，即()4h x ≤，⑤式成立．所以当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．综上274e a -≥．[方法三]：指数集中当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立323211e 1(1)e 122x x x ax x x ax x -⇒+-+⇒-++≤，记()32(1(1)e 0)2x g x x ax x x -=-++≥，()2231(1)e 22123xg x x ax x x ax -'=--+++--()()()2112342e 212e 22x x x x a x a x x a x --⎡⎤=--+++=----⎣⎦，①.当210a +≤即12a ≤-时，()02g x x '=⇒=，则当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意；②.若0212a <+<即1122a -<<时，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(21,2)x a ∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以若满足()1g x ≤，只需()21g ≤，即()22(7e 14)g a --≤=27e 4a -⇒，所以当27e 142a -⇒≤<时，()1g x ≤成立；③当212a +≥即12a ≥时，()32311(1)e (1)e 22x x g x x ax x x x --=++≤-++，又由②可知27e 142a -≤<时，()1g x ≤成立，所以0a =时，31()(1)e 21x g x x x -=+≤+恒成立，所以12a ≥时，满足题意.综上，27e 4a -.【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！22．如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧 CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.【正确答案】(1)2cos ([0,])4πρθθ=∈,32sin ([])44ππρθθ=∈,32cos ([,])4πρθθπ=-∈,(2))6π,)3π,2)3π,5)6π.【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中θ的取值范围.(2)根据条件ρ=P 点的极坐标.【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.1:2cos ([0,4M πρθθ=∈，23:2cos()2sin ([,])244M πππρθθθ=-=∈,33:2cos()2cos ([,])4M πρθπθθπ=-=-∈.(2)解方程2cos [0,])4πθθ=∈得6πθ=，此时P 的极坐标为)6π解方程32sin [,])44ππθθ=∈得3πθ=或23πθ=，此时P 的极坐标为3π或2)3π解方程32cos [,])4πθθπ-=∈得56πθ=，此时P 的极坐标为5)6π故P 的极坐标为)6π,)3π,2)3π,5)6π.此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.23．设函数()|21||4|f x x x =+--．（1）求不等式()2f x >的解集；（2）求函数()f x 的最小值.【正确答案】（1）{7x x ∈<-R 或53x ⎫>⎬⎭；（2）92-．【分析】(1)将绝对值函数化为分段函数，用不同的区间对应的解析式大于2，分别解出不等式求其并集即可.(2)由分段函数求其值域即可得到最小值.【详解】1521()33425(4)x x f x x x x x ⎧⎛⎫--<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+>⎪⎩⑴①由5212x x -->⎧⎪⎨<-⎪⎩解得7<-x ；②332142x x ->⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩解得543x <≤；③524x x +>⎧⎨>⎩解得>4x ；综上可知不等式的解集为{|7x x ∈<-R 或53x ⎫>⎬⎭.⑵由(1)知，当12x <-时，()195522f x x =-->-=-；当142x -≤≤时，()33f x x =-，()992f x -≤≤；当>4x 时，()59f x x =+>；综上x ∈R 时，()92f x ≥-，所以min 9()2f x =-故函数()f x 的最小值为92-.。
2020-2021学年浙江省高二下学期3月月考英语试题汇编-应用文写作专题Word版含答案
浙浙浙2020-2021浙浙浙浙浙浙浙浙3浙浙浙浙浙浙浙-浙浙浙浙浙浙浙浙江省湖州市德清县第三中学2020-2021学年高二3月月考英语试题七、应用文写作（共1小题，满分15 分）76. 假如你是李华，正在英国留学。
下周你所在的社区将举行以中医为主题的社区活动，目前正在招募志愿者。
请你用英文向主办方提出申请，内容包括：1. 提出申请；2. 介绍自己的优势；3. 期待加入。
注意：1.词数80 左右；2.可以适当增加细节，以使行文连贯。
参考词汇：中医traditional Chinese medicine (TCM)【答案】Dear Sir/Madam,I’m Li Hua, an international student from China. Hearing that you are recruiting volunteers for the activity about TCM, I cannot wait to apply to be one.I am competent for the job in that my parents happen to be TCM doctors. Brought up in the dense atmosphere of medicine, I’m equipped with abundant knowledge of how todistinguish various Chinese herbal medicines. Besides, I have the experience of being a volunteer guide for Americans. As a consequence, I’m convinced that I’ll live up to your expectations.I’d appreciate it if you could take my application into account. Looking forward to working with you.Y ours,Li Hua浙江省乐清市知临中学2020-2021学年高二下学期第一次月考英语试题第一节：应用文写作（满分15分）假如你是红星中学高三学生李华，你的英国笔友Jim获悉近年来中国的快递业发展迅速，想了解你身边的快递服务情况(delivery service)。
湖北省天门市2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题含答案
湖北省天门2023-2024学年度高二下学期三月月考数学试题（答案在最后）考试内容：选修一第一章——选修三第六章6.1考试时间：2024年3月31日出题人：审题人：一、单选题（共40分）1.某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（）A.2B.4C. D.【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，由题意得到2ππr l =求解.【详解】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，即侧面展开图的半径为l ，侧面展开图的弧长为πl .又圆锥的底面周长为2πr ，所以2ππr l =，即圆锥的母线长2l r =.所以圆锥的侧面积为2π2π16πrl r ==，解得r =故选：C.2.若直线1l ：2(1)40x m y +++=与直线2l ：320mx y +-=平行，则m 的值为（）A.2B.3- C.2或3- D.2-或3-【答案】C 【解析】【分析】依题意可得23(1)0m m ⨯-+=，求出m 的值，再检验即可.【详解】直线1l ：2(1)40x m y +++=与直线2l ：320mx y +-=平行，则23(1)0m m ⨯-+=，解得3m =-或2m =，当3m =-时，此时直线1l ：2240x y -+=与直线2l ：3320x y -+-=平行，当2m =时，此时直线1l ：2340x y ++=与直线2l ：2320x y +-=平行，故3m =-或 2.m =故选：C3.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=（）A.12B.10C.5D.32log 5【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.【详解】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，564718a a a a +=，所以564756218a a a a a a +==，即569a a =，则11029569a a a a a a ==== 记3132310log log log S a a a =++⋅⋅⋅+，则3103931log log log S a a a =+⋅+⋅⋅+，两式相加得()()()3110329310132log log log 10log 920S a a a a a a =++⋅⋅⋅+=⨯=，所以10S =，即3132310log log log 10a a a ++⋅⋅⋅+=.故选：B.4.已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.(),3-∞ D.()3,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间．【详解】由2040x x ->⎧⎨->⎩得：24x <<，即()f x 的定义域为()2,4；()()()()23112424x f x x x x x -'=-=---- ，∴当()2,3x ∈时，()0f x ¢>；当()3,4x ∈时，()0f x '<；()f x \的单调递增区间为()2,3．故选：A ．5.已知函数()2xf x =，则函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为（）A.10x y --=B.10x y -+=C.ln 210x y ⋅--=D.ln 210x y ⋅-+=【答案】D【分析】求出函数()f x 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】函数()2xf x =，求导得()2ln 2x fx '=，则(0)ln 2f '=，而(0)1f =，所以所求切线方程为1ln 2(0)y x -=⋅-，即ln 210x y ⋅-+=.故选：D6.在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B -，向量OC mOA nOB =+，且40m n --=.若P 为椭圆2217y x +=上一点，则PC 的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出点C 的轨迹，再借助三角代换及点到直线距离公式求出最小值.【详解】设点(,)C x y ，由()()1,0,2,3A B -及OC mOA nOB =+，得(,)(2,3)x y m n n =-+，即23x m ny n=-+⎧⎨=⎩，而40m n --=，消去,m n 得：3120x y -+=，设椭圆2217y x +=上的点(cos ),R P θθθ∈，则点P 到直线3120x y -+=的距离d =，其中锐角ϕ由tanϕ=确定，当sin()1θϕ+=时，min d =PC d ≥ ，所以PC 的故选：A【点睛】思路点睛：求出椭圆上的点与其相离的直线上点的距离最小值，可转化为求椭圆上的点到直线距离有最小值解决.7.5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为（）A.120B.324C.720D.1280【分析】利用分步乘法计数原理计算即可.【详解】第一天可以排5个人中的任意一个，有5种排法；第二天可以排另外4个人中任意一个，有4种排法；第三天同上，有4种排法；第四天同上，有4种排法；第五天同上，有4种排法．根据分步乘法计数原理得所有的排法总数为544441280⨯⨯⨯⨯=．故选:D ．8.函数32()(1)f x x a x x b =+--+为R 上的奇函数，过点1,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作曲线()y f x =的切线，可作切线条数为（）A.1B.2C.3D.不确定【答案】A 【解析】【分析】根据奇函数确定3()f x x x =-，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算01x =-，计算切线得到答案.【详解】()3232()(1)(1)f x x a x x b f x x a x x b -=-+-+=-=--++--，故1a =，0b =，3()f x x x =-，2()31x f x '=-，设切点为()00,Mxy ，则2000012()311y f x x x '-=+=-，且30000()f x x x y -==，整理得到()()20001410x x x +-+=，解得01x =-，(1)2f '-=，故切线方程为22y x =+，故选：A二、多选题（共18分）9.公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（）A.0d < B.70a > C.{}n S 中5S 最大D.49a a <【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得60a >，670a a +<，再逐项分析判断作答.【详解】由()111116111102a a S a +==>，得60a >，又()()112126712602a a S a a +==+<，得，670a a +<，所以60a >，70a <，数列{}n a 是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数，等差数列{}n a ，公差0d <，A 选项正确；70a <，B 选项错误；前6项和最大，C 选项错误；由40a >，90a <，有4949670a a a a a a -=+=+<，则49a a <，D 选项正确.故选：AD.10.已知函数()()322R x x a a f x x =-++∈的图像为曲线C ，下列说法正确的有（）A.R a ∀∈，()f x 都有两个极值点B.R a ∀∈，()f x 都有零点C.R a ∀∈，曲线C 都有对称中心D.R a ∃∈，使得曲线C 有对称轴【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数极值的定义、零点的定义，结合函数的对称性的性质逐一判断即可.【详解】A ：()()()()3222341311x x x a f x x x x x f x '=-++⇒=-+=--，当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，当113x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，当13x <时，()()0,f x f x '>单调递增，因此13x =是函数的极大值点，1x =是函数的极小值点，因此本选项正确；B ：当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，而函数()f x 是连续不断的曲线，所以一定存在0R x ∈，使得()0f x =，因此本选项正确；C ：假设曲线C 的对称中心为(),b c ，则有()()()()()()32322222,f b x f b x c b x b x b x a b x b x b x a c ++-=⇒+-+++++---+-+=化简，得()232322b x c a b b b -=---+，因为x ∈R ，所以有322320320227b b c a b b b c a ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨---+=⎩⎪-=⎪⎩，因此给定a 一个实数，一定存在唯一的一个实数c 与之对应，因此假设成立，所以本选项说法正确；D ：由上可知当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞，所以该函数不可能是关于直线对称，因此本选项说法不正确，故选：ABC11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）A.直线1B C 与直线1AD 所成的角为90B.直线1B C 与平面1ACD 所成角的余弦值为33C.1B D ⊥平面1ACD D.点1B 到平面1ACD 的距离为32【答案】ABC 【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，求出1B C 和1AD uuu r的坐标，由110AD B C ⋅= 可判断A ；证明10AC B D ⋅= ，110AD B D ⋅=，再由线面垂直的判定定理可判断C ；计算11cos ,B D B C 的值可得线面角的正弦值，再求出夹角的余弦值可判断B ；利用向量求出点A 到平面11D B C 的距离可判断D.【详解】如图以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，对于A ：()11,0,1B C =-- ，()11,0,1AD =-，因为()()()111100110B C AD ⋅=-⨯-+⨯+-⨯= ，所以11AD B C ⊥ ，即11B C AD ⊥，直线1B C 与直线1AD 所成的角为90 ，故选项A 正确；对于C ：因为()1,1,0AC =- ，()11,0,1AD =- ，()11,1,1B D =---，所以11100AC B D ⋅=-+= ，111010AD B D ⋅=+-= ，所以1AC B D ⊥ ，11AD B D ⊥uuur uuu r ，因为1AC AD A =I ，1,AC AD ⊂平面A 1，所以1B D ⊥平面1ACD ，故选项C 正确；对于B ：由选项C 知：1B D ⊥平面1ACD ，所以平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，因为()11,0,1B C =-- ，所以111111cos ,B D B C B D B C B D B C⋅=== 即直线1B C 与平面1ACD 所成，所以直线1B C 与平面1ACD33=，故选项B 正确；对于D ：因为()11,0,1B C =-- ，平面1ACD 的一个法向量()11,1,1B D =---，所以点1B 到平面1ACD的距离为1113B D B C d B D⋅=== ，故选项D 不正确.故选：ABC.三、填空题（共15分）12.若抛物线22y px =-过点()1,2-，则该抛物线的焦点为________．【答案】()1,0-【解析】【分析】根据题意，代入求得2p =，结合抛物线的几何性质，即可求解.【详解】解：将()1,2-代入抛物线方程22y px =-，可得2p =，即24y x =-，所以抛物线24y x =-的焦点为()1,0-．故答案为：()1,0-.13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则实数λ的值是_____．【答案】-2【解析】【分析】由已知推得1q ≠，继而结合等比数列的前n 项和的特点及已知即可求解.【详解】等比数列{}n a 中，由122n n S λ+=+可得122n n S λ=+，则11122a S λ==+，若公比1q =，则2211224,02S a λλλ=+==+∴=，则13323S a =≠，故1q ≠，则等比数列的前n 项和()1111111n nn a q a S qa q a a--=⋅--=-，（1q ≠），故令112λ=-，即2λ=-，故答案为：2-14.若e e e e ()cos 22x x x xf x x x ---+=+，则不等式(sin )(cos )0f x f x +>的解集是________．【答案】π3π|2π2π,44x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 【解析】【分析】根据奇偶性的定义和导数分析可知()f x 在[]1,1-内单调递增，且为奇函数，进而可得sin cos x x >-，利用辅助角公式结合正弦函数运算求解.【详解】取()f x 的定义域为[]1,1-，关于原点对称，且()()()e e e e e e e e ()cos cos sin 2222x x x x x x x xf x x x x x f x -----+-+-=-+-=--=-，所以()f x 为定义在[]1,1-上的奇函数，因为()e e e e e e e e ()cos sin sin cos e e cos 2222x x x x x x x xx x f x x x x x x ------+-+'=-++=+，若[]1,1x ∈-，则e 0,e cos 00,x x x ->>>，可得()()e e cos 0x xf x x -'=+>，可知()f x 在[]1,1-内单调递增，对于不等式(sin )(cos )0f x f x +>，则(sin )(cos )(cos )f x f x f x >-=-，且[][]sin 1,1,cos 1,1x x ∈--∈-，可得sin cos x x >-，整理得πsin cos 04x x x ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭，令π2π2ππ,4k x k k <+<+∈Z ，解得π3π2π2π,44k x k k -<<+∈Z ，所以不等式(sin )(cos )0f x f x +>的解集是π3π|2π2π,44x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .故答案为：π3π|2π2π,44x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .四、解答题（共77分）15.已知函数()ln 1f x x ax =++.（1）当1a =-时，求()f x 的最大值.（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】（1）0（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数求解函数最值即可.（2）含参讨论函数单调性即可.【小问1详解】当1a =-时，()ln 1f x x x =-+，由0x >，所以()111x f x x x-=-='，当01x <<时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,1上单调递增；当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,∞+上单调递减；故()()max 1ln1110f x f ==-+=；【小问2详解】定义域为(0,)+∞，()1f x a x'=+，当0a ≥时，()10f x a x+'=>，()f x 在(0,)+∞上递增；当a<0时，令()10f x a x +'=>，解得10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()10f x a x +'=<，解得1,x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭.于是()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增；在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.16.如图，在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12π,23BAD AA AB ∠===，,,E F G 分别是111,,BB CC DD 的中点．（1）求证：1A E GC ∥；（2）求平面1A EF 与平面ABCD 所成夹角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π6【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解，（2）根据法向量的夹角即可求解.【小问1详解】取BC 中点H ，连接AH因为底面ABCD 为菱形，2π3BAD ∠=，所以AH AD ⊥以A 为原点，1,,AH AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()10,0,2,3,1,1,0,2,1A E G -，()()3,1,0,3,1,1C F ))13,1,1,3,1,1A E GC =--=-- 1A E GC∴ ∥1A E GC∴∥【小问2详解】设平面1A EF 的法向量为(),,n x y z =又()0,2,0EF = 所以100n A E n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即3020y z y --==⎪⎩取1x =，则0,3y z ==(3n = ()10,0,2AA = 为平面ABCD 的法向量，设平面1A EF 与平面ABCD 的夹角为θ，则11233cos 222AA n AA nθ⋅===⨯ π6θ∴=∴平面1A EF 与平面ABCD 的夹角为π617.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()1122n n S n +=-+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列12·1n n a n ++⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn a n =⨯（2）()2124n n T n +=+⨯-【解析】【分析】（1）由已知结合数列的和与项的递推关系即可求解；（2）先求数列121n n a n ++⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式，然后利用错位相减求和即可求解．【小问1详解】当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，由()1122n n S n +=-+，得()1222n n S n -=-+，则()()1112222n n n n n n a S S n n n +-=-=---=⨯，因为11212a ==⨯，所以2n n a n =⨯；【小问2详解】由（1）可知，()112·221n n n a n n +++=+⨯+，则()234132425222n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，则()3452232425222n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯++⨯，则()234123222222n n n T n ++-=⨯+++⋯+-+⨯()()12812122212n n n -+-=+-+⨯-()22122822n n n ++=+--+⨯()2412n n +=-+⨯，所以()2124n n T n +=+⨯-．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>过点(2,1)P，且离心率2e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求PAB 的面积的最大值．【答案】（1）22182x y +=（2）2【解析】【分析】（1）利用222c e a =，可得22234a b a -=，再将点P 坐标代入方程，解方程组求得,a b 从而可得椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为1,2y x m =+，代入椭圆方程中整理得222240x mx m ++-=，借助根的判别式可得||2m <，结合根与系数的关系可得AB ==直线的距离公式可求出点P 到直线的距离d ，再利用三角形面积公式1||2PAB S d AB =⋅ 和基本不等式进行求解，即可解决问题.【小问1详解】因为22222234c a b e a a -===，所以224a b =，①因为椭圆C 过点(2,1)P ，所以22411a b +=，②由①②解得228,2a b ==，所以椭圆的方程为22182x y +=．【小问2详解】设直线l 的方程为()()11221,,,,2y x m A x y B x y =+，联立2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x mx m ++-=，所以212122,24x x m x x m +=-=-，又直线l 与椭圆相交，所以2248160m m =-+> ，解得||2m <，则AB ==P 到直线l的距离d ==，所以221142222PAB m m S d AB +-=⋅==≤= ，当且仅当22m =，即m =时，PAB 的面积取得最大值为2．19.已知函数()2e e x x f x a x =-+，其中0a >.（1）当1a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的极值点的个数；（3）若对任意的0a >，关于x 的方程()f x m =仅有一个实数根，求实数m 的取值范围.【答案】（1）20x y -=（2）见解析（3）3ln 2,2⎡⎫-++∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线方程；（2）求导，讨论判别式与0的关系得单调性即可求解极值点个数；（3）构造新函数()2ee x x g x a x m =-+-，判单调性，得到()()120,ln 2,ln 2,x x ∞∈∈+，结合()10g x <或()20g x >即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()22e e ,2e e 1x x x x f x x f x '=-+=-+，()02f '=，()00f =，所以函数()f x 在0x =处的切线方程为()020y x -=-，即20x y -=.【小问2详解】()22e e 1x x f x a '=-+，令()0,e x f x t ='=，得2210at t -+=，则18a ∆=-.当18a ≥时，0∆≤，此时()0f x '≥，故函数()f x 在(),∞∞-+上单调递增，没有极值点；当108a <<时，0∆>，令()0f x '=，则1e 4x a =，则1211ln ln 44x x a a-+==，则当()1,x x ∞∈-时，()0f x '>，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∞∈+时，()0f x '>，则()f x 在()()12,,,x x ∞∞-+单调递增，在()12,x x 单调递减，此时函数()f x 有两个极值点.综上所述，当18a ≥时，函数()f x 没有极值点；当108a <<时，函数()f x 有两个极值点.【小问3详解】依题意，2e e x x a x m -+=，记()2e e x x g x a x m =-+-，()()g x f x '='.（i ）由（2）知当18a ≥时，()0g x '≥，则函数()g x 在(),∞∞-+上单调递增；可知当x →-∞时，()g x ∞→-，当x →+∞时，()g x ∞→+，故当18a ≥时，函数()g x 恰有一个零点，方程()f x m =仅有一个实数根，此时R m ∈.（ii ）当108a <<时，()g x 在()1,x ∞-上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x ∞+单调递增，()()112222122e e 12e e 10x x x x g x a g x a ''=-+==-+=，则121222e 1e 12e 2ex x x x a --==，所以()()1112111e 1ee 22x x x g x g x a x m x m ==-+-=-+--极大值，()()2222222e 1e e 22x x x g x g x a x m x m ==-+-=-+--极小值，因为当(),x g x ∞∞→-→-，当(),x g x ∞∞→+→+，故只需()10g x <或()20g x >，令()e 122x h x x =-+-，则()e 12xh x '=-+，故当(),ln 2x ∞∈-时，()0h x '>，当()ln 2,x ∞∈+时，()0h x '<，则()h x 在(),ln 2∞-单调递增，在()ln 2,∞+单调递减；又121ln ln ln4x x a -===又108a <<，故()0,1，则()()120,ln 2,ln 2,x x ∞∈∈+，所以()()12331,ln 2,,ln 222h x h x ∞⎛⎫⎛⎫∈--+∈--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3ln 22m ≥-+.综上所述，实数m 的取值范围为3ln 2,2∞⎡⎫-++⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查函数极值点及零点个数问题，解决问题关键是利用第二问单调性解决第三问零点问题，并利用构造函数法求函数值域。
江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题参考答案
第一次月考一、单选题1. 等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，4516a a +=，则6a =（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C【解析】因为1231339a a a a d ++=+=，4512716+=+=a a a d ， 所以可解得1a 1,d 2，所以61511011a a d =+=+=，故选：C2．在正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若1010S =，2030S =，则30S 的值为（ ） A ．50 B ．70 C ．90 D ．110【答案】B【解析】由等比数列的片段和性质得10S ，1200S S −，3020S S −成等比数列 所以()()22010103020S S S S S −=− 所以()()23030101030S −=−， 解得3070S =. 故选：B.3．用数学归纳法证明“1111112331n n n n ++++>++++”时，假设n k =时命题成立，则当1n k =+时，左端增加的项为（ ） A ．134k + B ．11341k k −++ C ．111323334k k k +++++ D ．11232343(1)k k k +−+++ 131k +++111+31323k k k ++++111+31331111233123k k k k k k k ⎫++−⎪+++⎭⎫+++⎪++++⎭故选：D4．已知数列{}n a 为等差数列，首项10a >，若101210131a a <−，则使得0n S >的n 的最大值为（ ） A ．2022 B ．2023C ．2024D ．20255. 已知数列{}n a 为正项递增等比数列，123212a a a ++=，12311176a a a ++=，则该等比数列的公比q =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】由题意10,1a q >>， 由123212a a a ++=，1312321231322111716a a a a a a a a a a a a +++++==+=， 得2221726a =，所以23a =（23a =−舍去），所以132********q a a q =−=++=， 整理得22520q q −+=，解得2q （12q =舍去）， 所以2q.故选：A.6．近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装､人工等费用24万元，从第二年起，包括人工､维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（ ） A ．204万元 B ．220万元C ．304万元D ．320万元7. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12cos 3n n n a a a ++++=，11a =，则2023S =（ ） A. 0 B.12C. lD. 32【答案】C【解析】解：()()()20231234567202120222023S a a a a a a a a a a =++++++++++2π5π1coscos 33=++++2018π2021πcoscos33+ 2π5π1337cos cos 133⎛⎫=+⨯+= ⎪⎝⎭．故选:C ．8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且111,1,1n n n n a S n a b a +=+==+，则使得n T M <恒成立的实数M 的最小值为（ ）A ．1B ．32C ．76D ．2【答案】C【解析】数列{}n a 中，11a =，1n n a S n +=+，当2n ≥时，11n n a S n −=+−，两式相减得11n n n a a a +−=+，二、多选题9．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则（ ） A ．{}1n n a a +的公比为9 B ．{}31log n a +的前20项和为210C ．{}n a 的前20项积为2003D ．()111()231nn k k k a a −+=+=−∑2020++=，n a 的前201919033⨯⨯=，因为()1313n n a −++}1n n a a ++的前)13213n −=−10．下列命题中正确的是（ ）A ．已知随机变量16,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则()3212D X += B ．若随机事件A ，B 满足：()12P A =，()23P B =，()56P A B ⋃=，则事件A 与B 相互独立C ．若事件A 与B 相互独立，且()()01P A P B <<，则()()P A B P A =D ．若残差平方和越大，则回归模型对一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 的拟合效果越好11. 已知数列1C ：0，2，0，2，0，现在对该数列进行一种变换，规则f ：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变为“0，2，0”，得到一个新数列，记数列()1k k C f C +=，1,2,3,k =，且n C 的所有项的和为n S ，则以下判断正确的是（ ）A. n C 的项数为153n −⋅B. 4136S =C. 5C 中0的个数为203D. 1531n n S −=⋅−【答案】ABC【解析】设数列{}n C 的项数为一个数列{}n a ，因为1C 中有5项，即15a =， 根据题意：在f 作用下，每个0都变为“2,0,2”，每个2都变为“0,2,0”， 所以有()13Nn n a a n *+=∈，由此可知数列{}n a 为首相15a =，公比3q =的等比数列， 所以n C 的项数为153n n a −=⋅，故A 正确；根据变换规则，若数列的各项中，2与0的个数相同， 则与之相邻的下一个数列中2与0的个数也相同；若2比0多n 个，则与之相邻的下一个数列中2比0的个数少n 个， 若2比0少n 个，则与之相邻的下一个数列中2比0的个数多n 个，因为1C 中有5项，其中2个2，3个0，2比0少1个， 所以2C 的15项中，2比0的个数多1个，以此类推，若n 为奇数，则数列的各项中2比0少1个， 若n 为偶数，则数列的各项中2比0多1个，4C 中4n =，项数为353135⋅=个，n 为偶数，所以2的个数为1351682+=， 所以4682136S =⨯=，所以B 正确；5C 中共有453405⋅=项，其中5n =为奇数，所以数列中有40512032+=个0，所以C 正确； D 选项，n S 的值与n 的奇偶有关()()11531531n n n n S n −−⎧⋅−⎪=⎨⋅+⎪⎩为奇数为偶数，所以D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则 (公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列求通项或求和. 三、填空题12．已知等差数列{}n a 中，24a =，616a =，若在数列{}n a 每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为___． 【答案】31【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则62123624a a d −===−， 在数列{}n a 每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列{}n b 的公差为344d =， 故新数列的首项为431−=，故通项公式为()33111444n b n n =+−=+， 故4131413144b =⨯+=. 故答案为：3113．箱子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球、2个白球.从中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，则2个球都是红球的概率为 ．14．已知n S 是各项均为正实数的数列{}n a 的前n 项和，221111,60n n n n a a a a a ++=−−=，若*,2270n n n n S a ma ∀∈−+≥N ，则实数m 的取值范围是 ．(2)记n n n b a c ⋅=，n T 为n c 的前n 项和，求n T .【解】（1）解：由已知可得32112127a b a b d q d q =++=++=+①， ()()22231122212a b a d b q d q −=+−=+−=②，联立①②，得()()26320q q q q +−=+−=，解得3q =−或2q，2q，代入①式可得在曲线()y f x =上(1)3f '⇒−=，21a a ++−(1n ⋅++=，)1+；()(1nn −−⋅，)()(1212233445212222k k k k k ⎡+++⋅⋅−⋅+⋅−⋅++−⋅−⋅+⎣[]12224222k +⋅−⋅−⋅−−⋅()()222224221k k k k k k k k =+−+++=+−+=，即T 2n =n 2.18．已知数列{}n a 的前 n 项和为n S ，()*∈−=N n S a n n 2.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）是否存在实数λ ,使数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n S 2λλ为等差数列？若存在， 求出λ的值； 若不存在，请说明理由； （3）已知数列{}n b ，()()1121++=+−n n nn a a b ，其前 n 项和为n T ，求使得442m T m n<<−对所有*N n ∈都成立的自然数m 的值.的一动点，PAB 面积的最大值为C 交于,D 两点，记ODE 的面积为,DN EN 的斜率分别为12,k k .联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 可得()234m y +所以()()222Δ3636341441m m m =++=+且12122269,3434m y y y y m m +=−=−++， ODES=1,t t =≥2631t t =+试卷第11页，共11页。
2022-2023学年四川省泸县高二年级下册学期3月月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省泸县高二下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1．现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（ ）A ．①抽签法，②分层随机抽样B ．①随机数法，②分层随机抽样C ．①随机数法，②抽签法D ．①抽签法，②随机数法【答案】A【分析】根据抽签法以及分层抽样的使用条件，可得答案.【详解】对于①，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法；对于②，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样.故选：A.2．若，则（ ）()3ln f x x x=+0(12)(1)limx f x f x ∆→+∆-=∆A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【解析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.()14f '=【详解】由题意，所以，21()3f x x x '=+(1)134f '=+=所以.()00(12)(1)(12)(1)lim 2lim 2182x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆故选：D.3．甲，乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（ ）A ．在这5天中，甲，乙两人加工零件数的极差相同B ．在这5天中，甲，乙两人加工零件数的中位数相同C ．在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数D ．在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差【答案】C【分析】由茎叶图的数据，分别计算甲、乙加工零角个数的极差，中位数，平均数，方差，进而得解.【详解】甲在5天中每天加工零件的个数为：18,19,23,27,28；乙在5天中每天加工零件的个数为：17,19,21,23,25对于A ，甲加工零件数的极差为，乙加工零件数的极差为，故A 错误；281810-=25178-=对于B ，甲加工零件数的中位数为，乙加工零件数的中位数为，故B 错误；2321对于C ，甲加工零件数的平均数为，乙加工零件数的平均数为1819232728235++++=，故C 正确；1719212325215++++=对于D ，甲加工零件数的方差为，乙加工零件数的方差为222225404516.45++++=，故D 错误；222224202485++++=故选：C4．若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为2()ln f x x x =+()(),a f a 2650x y +-=a （ ）A ．1B ．2或C ．2D ．1或1412【答案】D【分析】由两线垂直可知处切线的斜率为3，利用导数的几何意义有，即可求()(),a f a ()3f a '=的值.a 【详解】由题意知：直线的斜率为，则在处切线的斜率为3，2650x y +-=13-()(),a f a 又∵，即，1()2f x x x '=+()123f a a a '=+=∴或，1a=12故选：D ．5．函数的图象大致为（ ）sin x x x xy e e --=+A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项.【详解】因为()sin x xx xy f x e e --==+所以()()sin sin x x x xx x x xf x e e e e ------+-==++得，()()f x f x =--所以为奇函数，sin x x x xy e e --=+排除C ；在，设，，单调递增，因此，[0,)+∞()sin g x x x =-()1cos 0g x x ='-≥()g x ()(0)0g x g ≥=故在上恒成立，sin 0x x x xy e e --=≥+[0,)+∞排除A 、D ，故选：B.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．正方形的边长为2，以为起点作射线交边于点，则的概率是（ ）ABCD A BC E BEAB ．C ．D．23131【答案】B【解析】求出以为起点作射线交边于点时所有射线形成的角的大小，再考虑对A BC E BE <应的射线所形成的角的大小，从而可求概率.【详解】如图，在边上取一点，使得，则.BC M BM =6BAM π∠=以为起点作射线交边于点时所有射线形成的角为，A BC E 4CAB π∠=以为起点作射线交边于点且时所有的射线形成的角为，A BC EBE <BAM ∠故时对应的概率为.BE <2634ππ=故选：B.7．已知为实数，则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的a 1a >22113x y a +=-A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】取曲线不是椭圆，充分性不成立；反之成立.4a =【详解】当时，取 曲线是圆而不是椭圆，故充分性不成立；1a >4a =22133x y +=当方程表示的曲线为椭圆时，成立，所以“”是“方程表示的曲线22113x y a +=-1a >1a >22113x y a +=-为椭圆”的必要不充分条件.故选：B【点睛】方法点晴：曲线表示椭圆的充要条件是：，且.221x y m n +=0m >0n >m n ≠8．某市2016年至2020年新能源汽车年销量y （单位：百台）与年份代号x 的数据如下表，若根据表中的数据用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为，则表中的值为（ ）ˆ 6.59yx =+m 年份20162017201820192020年份代号x 01234年销量y1015m 3035A ．22B ．20C ．30D ．32.5【答案】B【分析】先求出、，再利用回归直线过进行求解.x y (,)x y 【详解】由题意，得，0123425x ++++==，101530359055m m y +++++==因为y 关于x 的回归直线方程为，ˆ 6.59yx =+所以，解得.90=6.52+95m +⨯20m =故选：B.9．圆关于直线对称，则的最小值是（ ）224610x y x y ++-+=()800,0ax by a b -+=>>32a b +A ．B ．C ．D 3154【答案】B【分析】根据圆的标准方程得出圆的圆心，由圆的对称性可得直线过圆心，得到关于、的关系a b 式，运用基本不等式可求得的最小值.32a b +【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，224610x y x y ++-+=()()222312x y ++-=()2,3-而直线经过圆心，所以，得，()800,0ax by a b -+=>>2380a b --+=238a b +=因为，，0a >0b >()3213219431231238828b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当时，等号成立，23a b =因此，的最小值为.32a b +3故选：B.【点睛】本题考查圆的对称性，基本不等式的应用，关键在于巧妙地运用“”，构造基本不等式，1属于中档题.10．正方体，棱长为2，M 是CD 的中点，则三棱锥的体积为（ ）1111ABCD A B C D -11B AMD -A B ．2C ．D ．4【答案】B【分析】取中点，连接,通过计算证明平面，再根据求解1AD 1,MN B N MN ⊥11AB D 1111B AD M M AB D V V --=即可.【详解】解：如图所示：取中点，连接,1AD 1,MN B N由题意可得,1111AB AD B D ===1MA MD ===13MB ==所以,,11B N AD ⊥1MN AD ⊥所以可得MN ==1B N =所以,222119MN B N MB +==所以,,1MN B N ⊥又因为,11B N AD N ⋂=所以,平面,MN ⊥11AB D所以=.1111B AD MM AB D V V --=111112332AB D S MN =⨯⨯= 故选:B.11．已知圆，过直线上一点向圆作切线，切点为，则()221:443C x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭:430l x y -=P C Q 的面积最小值为（ ）PCQ △A ．3BC ．D【答案】B【分析】结合图形，利用勾股定理可知取得最小值时也最小，从而求得CPPQmin PQ =而可得的面积最小值.PCQ △【详解】由圆，得圆心，半径，()221:443C x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭14,3C ⎛⎫⎪⎝⎭2r =所以圆心到直线的距离为，14,3C ⎛⎫ ⎪⎝⎭:430l x y -=3d因为PQ =所以当直线与垂直时，取得最小值，此时也最小，lCP CPdPQ故min PQ ==所以11222CPQ S PQ CQ PQ PQ =⨯⨯=⨯⨯=≥即PCQ △故选：B.12．若实数，满足，则（ ）x y 24ln 2ln 44x y x y +≥+-A ．B ．C ．D．xy=x y +=1x y +=31x y =【分析】对不等式变形得到，换元后得到，2211ln 22222x y x y ⎛⎫⋅≥+- ⎪⎝⎭()ln 1ln 10a a b b -++-+≥构造，求导研究其单调性，极值最值情况，得到，从而只有()ln 1g x x x =-+()()max 10g x g ==时，即时，满足要求，从而解出，依次判断四个选项.1a b ==()()0g a g b ==12x y ==【详解】因为，24ln 2ln 44x y x y +≥+-所以，即，212ln ln 222x y x y +≥+-()221ln 222x y x y ≥+-所以，2211ln 22222x y x y ⎛⎫⋅≥+- ⎪⎝⎭令，21,22x a y b ==则，即，()ln 2ab a b ≥+-ln ln 2a b a b +≥+-所以，()ln 1ln 10a ab b -++-+≥令，则，()ln 1g x x x =-+()111xg x x x -'=-=当时，，单调递增，()0,1x ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减，()1,x ∈+∞()0g x '<()g x 所以在处取得极大值，也是最大值，()ln 1g x x x =-+1x =，()()max 1ln1110g x g ==-+=要想使得成立，只有时，即时，满足要求，()()0g a g b +=1a b ==()()0g a g b ==所以，211,212x y ==由定义域可知：，0,0x y >>解得：，12x y ==A 选项正确；xy =，BC 错误.12x y +=D 错误；312x y ==【点睛】对不等式或方程变形后，利用同构来构造函数解决问题，常见的同构型：（1）；()()e ln ln e ln x x f x x f x x x x=⇒==+（2）；()()ln ln e e e ln ln ln x x x xx f x f x x x x -==⇒==（3）；()()ln ln e e e x x xf x x x x f x =+=⇒=+（4），()()e ln ln e e xx x f x x x f xx =-=⇒=-本题难点在于变形为，换元后得到24ln 2ln 44x y x y +≥+-2211ln 22222x y x y ⎛⎫⋅≥+- ⎪⎝⎭，从而构造解决问题.()ln 1ln 10a ab b -++-+≥()ln 1g x x x =-+二、填空题13．某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选________户．【答案】56【分析】由分层抽样的计算方法有，中等收入家庭的户数占总户数的比例再乘以要抽取的户数，即可得到答案.【详解】该社区共有户.14028080500++=利用分层抽样的方法, 中等收入家庭应选户28010056500⨯=故答案为：56【点睛】本题考查分层抽样，注意抽取比例是解决问题的关键，属于基础题.14．已知实数满足，则的最大值为___________．,x y 10301x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩2z y x =-【答案】0【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影（含边界），其中10301x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩ABC ，(1,2),(1,0),(2,1)A B C目标函数，即表示斜率为2，纵截距为z 的平行直线系，2z y x =-2y x z =+画出直线，显然直线经过点A ，其纵截距是经过阴影且斜率为2，纵截距为z 的平0:2l y x =0lABC 行直线系中最大的，所以的最大值为0.2z y x =-故答案为：015．若对任意的，均有成立，则称函数为和在上的[,]x a b ∈()()()≤≤g x h x f x ()h x ()g x ()f x [,]a b “中间函数”．已知函数，且是和在区间()(1)1,()3,()(1)ln =--=-=+h x m x g x f x x x ()h x ()g x ()f x 上的“中间函数”，则实数m 的取值范围是__________．[1,2]【答案】[]0,2【分析】根据“中间函数”的定义列出不等式，将问题转化成不等式恒成立问题，利用参变分离以及构造函数的方法来解决函数最值，从而求出的取值范围.m 【详解】依题意得：已知条件等价为：在区间上恒成立3(1)1(1)ln m x x x -≤--≤+[1,2]对于在区间上恒成立，变形为：3(1)1m x -≤--[1,2]21m x ≥-+令，易知单调递增， ()21F x x =-+()F x ()()max 20F x F ∴==()max 0m F x ∴≥=对于在区间上恒成立，变形为：(1)1(1)ln m x x x --≤+[1,2]()1ln 11x x m x++≤+令()()1ln 1ln 11ln 1x x x G x x x x x ++=+=+++则()2ln x xG x x -'=[1,2]x ∈ ()1ln 10x x x '∴-=-≥为增函数，ln x x ∴-ln 1ln10x x ∴-≥->在单调递增，()G x ∴[1,2]x ∈()()min 12G x G ∴==()min 2m G x ∴≤=综上所述： 即02m ≤≤[]0,2m ∈故答案为：.[]0,2【点睛】本题考查了用参变分离的方法解决恒成立的问题，考查了用导数求函数单调性、极值、最值以及恒成立的等价形式，对学生分析问题和解决问题的能力有一定的要求，属于难题.16．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过作垂直轴的直线交椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>1F 2F 1F x 于两点，点在轴上方.若，的内切圆的面积为，则直线的方程是E ,A B A x ||3AB =2ABF △916π2AF _____________________ .【答案】3430x y +-=【分析】利用，的内切圆的面积为求出a 、b 、c ，得到的坐标，即可求出||3AB =2ABF △916π2,A F 直线的方程.2AF 【详解】椭圆中,令,得，2222:1x y E a b +=x c =2422221c b y b a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以.2223b AB y a ===又△ABF 2的内切圆面积为,即所以内切圆半径.916π2916r ππ=34r =由椭圆的定义可得△ABF 2的周长为4a ,而△ABF 2的面积为，即.113234224S c a=⋅⋅=⋅⋅2a c =又，解得：222223,b a b c a ==+2224,3,1a b c ===则，所以直线AF 2的方程是，即为3x +4y -3=0.()231,1,02A F ⎛⎫- ⎪⎝⎭()3014y x -=--故答案为：3x +4y -3=0三、解答题17．已知的极坐标方程为，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直C 4cos ρθ=角坐标系，(1)求的直角坐标方程，C (2)过作直线l 交圆于P ，Q 两点，且，求直线l 的斜率．()1,1M C 2PM QM=【答案】(1)()2224x y -+=【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式即可求解；（2）设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（t 为参数），代入圆方程中化α()()1cos :1sin x tl y t αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩简，利用根与系数的关系，结合已知和参数的几何意义即可求解.【详解】（1）解：因为的极坐标方程为：，且，C 4cos ρθ=cos ,sin x y ρθρθ==所以，，24cos ρρθ=224x y x +=故的直角坐标方程为.C ()2224x y -+=（2）解：设直线的倾斜角为，α则直线的参数方程为（t 为参数），()()1cos :1sin x t l y t αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩与联立，得．()2224x y -+=()22sin cos 20t t αα+--=点P 对应的参数为，点Q 对应的参数为，1t 2t 则，()12122sin cos 2t t t t αα⎧+=--⎨⋅=-⎩因为，所以，122t t =122t t =-联立可得，解得：23sin 8sin cos 3cos 0αααα-+=tan α=18．已知是函数的极值点，则：1x =()()()3221133x a x f a x a x =++-+-(1)求实数的值．a (2)求函数在区间上的最值．()f x []0,3【答案】(1)；3a =(2)在上的最小值为，最大值为.()f x []0,3143-18【分析】（1）由求得的值；()10f '=a （2）结合函数的单调性来求得函数在区间上的最值.()f x ()f x []0,3【详解】（1），()()()22213f x x a x a a '=++-+-由题意知，()()()2112130f a a a '=++-+-=或，3a =2a =-时，，3a =()()()28991f x x x x x '=+-=+-当时，，函数在上单调递增，9x <-()0f x ¢>()f x (),9-∞-当时，，函数在上单调递减，91x -<<()0f x '<()f x ()9,1-当时，，函数在上单调递增，1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以为函数的极值点，满足要求；1x =时，，2a =-()()22211f x x x x '=-+=-因为，当且仅当时，，()0f x '≥1x =()0f x '=所以函数在上单调递增，()f x (),-∞+∞不是函数的极值点，不符合题意.1x =()f x 则.3a =（2）由（1）知，且在单调递减，在单调递增，()321493x f x x x =+-()f x []0,1[]1,3又，，，()00f =()1413f =-()318f =则，.()min 143f x =-()max 18f x =19．如图，已知多面体ABCDEF 中，平面ABCD ，平面ABCD ，且B ，D ，E ，F 四点共ED ⊥//EF 面，ABCD 是边长为2的菱形，，.60BAD ∠=︒1DE EF ==(1)求证：平面ACF ；EF ⊥(2)求平面AEF 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；.【分析】（1）连BD 交AC 于点O ，连接OF ，证明四边形EFOD 为矩形，再利用线面垂直的判定推理作答.（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角作答.【详解】（1）如图，连接BD 交AC 于点O ，连接OF ，因B ，D ，E ，F 四点共面，平面ABCD ，平面平面，则，//EF BDEF ⋂ABCD BD =//EF BD 而底面ABCD 是边长为2的菱形，，则，因此四边形EFOD 为平行四边形，60BAD ∠=︒1OD EF ==又平面ABCD ，且平面ABCD ，即，则为矩形，即，ED ⊥OD ⊂ED OD ⊥EFOD EF OF ⊥又，，则，而，平面ACF ，//EF BD AC BD ⊥EF AC ⊥OF AC O ⋂=,OF AC ⊂所以平面ACF .EF ⊥（2）由（1）知，，而平面ABCD ，则平面ABCD ，即有OA ，OB ，OF 两两//FO ED ED ⊥FO ⊥垂直，以O 为原点，以向量，，的方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，OA OB OFO xyz -如图，则，((0,1,0),(0,1,1),0),(0,0,),1A C F B E -，((0,1,0),(0,1,1),AF EF BF CB ===-=设为平面AEF 的法向量，则，令，得，111(,,)n x y z =11100n AF z n EF y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩11x=n = 设为平面BCF 的法向量，则，令，得，222(,,)m x y z =222200m BF y z m CB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 21x =-(m =- 于是得，cos ,||n m n m n m ⋅〈〉===∣所以平面AEF 与平面BCF20．某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完.（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个，）的函数解析式；n N ∈（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表：日需求量n 282930313233频数346674假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差；（3）蛋糕店规定：若连续10天的日需求量都不超过10个，则立即停止这种面包的生产，现给出连续10天日需求量的统计数据为“平均数为6，方差为2”，试根据该统计数据决策是否一定要停止这种面包的生产？并给出理由.【答案】（1），；（2）平均数为（元），方差为；（3）一定要停止，330,306,30n n y n -<⎧=⎨-≥⎩n N ∈59 3.8理由见解析【分析】（1）当天需求量时，当天的利润，当天需求量时，当天的利润30n <330y n =-30n ≥，由此能求出当天的利润y 关于当天需求量n 的函数解析式.60y =（2）由题意，利用平均数和方差的公式，即可求出这30天的日利润的平均数和方差.（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.推导出连续10天的日需求量都不超过10个，由此说明一定要停止这种面包的生产.【详解】（1）由题意可知，当天需求量时，当天的利润，30n <()853*******y n n n =+--⨯=-当天需求量时，当天的利润.30n ≥83063060y =⨯-⨯=故当天的利润y 关于当天需求量n 的函数解析式为:，.330,3060,30n n y n -<⎧=⎨≥⎩n ∈N （2）由题意可得：日需求量n 282930313233日利润545760606060频数346674所以这30天的日利润的平均数为（元），54357460235930⨯+⨯+⨯=方差为.()()()22254593575946059233.830-⨯+-⨯+-⨯=（3）根据该统计数据，一定要停止这种面包的生产.理由如下：由，()()()()()()22222212101210266621010x x xx x x x xx s -+-++--+-++-=== 可得，()()()222121066620x x x -+-++-= 所以（，，），所以，()2620kx -≤110k ≤≤N k ∈k x N ∈10k x ≤由此可以说明连续10天的日需求量都不超过10个，即说明一定要停止这种面包的生产.【点睛】本题主要考查了函数解析式、平均数、方差的求法，考查函数性质、平均数、方差公式等基础知识综合应用，考查运算求解能力.21．已知，分别是双曲线C ：(，)的左、右焦点，，P 是C 上1F 2F 22221x y a b -=0a >0b >126F F =一点，，且112PF F F ⊥12PF PF +=(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，过点A 作直线的垂线，垂足为D ，过点O2F 2x =作(O 为坐标原点)，垂足为M .则在x 轴上是否存在定点N ，使得为定值？若存在，OM BD ⊥MN求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)22163x y -=(2)存在，.5,04N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】(1)根据双曲线的定义取出a 、b 、c 即可；(2)设BD 交x 轴于E 点，∵OM ⊥BD ，∴若在x 轴上存在定点N ，使得为定值，则E 为定点，NMN为OE 中点，，即直线BD 过x 轴上的定点E .12MN OE =【详解】（1）由题意得，212PF PF a-=∵，，112PF F F ⊥1226F F c ==∴，222136PF PF -=又，∴，解得，12PF PF +=236a ⋅=a =∴，，26a =2293b a =-=∴双曲线C 的标准方程为.22163x y -=（2）由(1)得，设，，则，()23,0F ()11,A x y ()22,B x y ()12,D y易知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为，3x ty =+t ≠联立直线l 与双曲线C 的方程，消去x 得，()222630ty ty -++=∵，∴，.()22410t∆=+>12262ty y t +=--12232y y t =-∵直线BD 的斜率，21212221y y y y k x ty --==-+∴直线BD 的方程为，()211221y y y y x ty --=-+设BD 交x 轴于E 点，如图，∵OM ⊥BD ，∴若在x 轴上存在定点N ，使得为定值，则E 为定点，MNN 为OE 中点，，即直线BD 过x 轴上的定点E .12MN OE =在直线BD 的方程中，令，得()211221y y y y x ty --=-+0y =()12112121121222ty y y ty y y x y y y y y ++=-=--+-，1122121233152222263222222t ty y t t t t y y t t ++--=-=-=+=⎛⎫---+ ⎪--⎝⎭∴直线BD 过定点.5,02E ⎛⎫⎪⎝⎭∴，则.5,04N ⎛⎫ ⎪⎝⎭1524MN OE ==综上，在x 轴上存在定点，使得为定值.5,04N ⎛⎫ ⎪⎝⎭MN5422．已知函数，，其中．()11ln f x a x x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭()()12e 1x g x x -=--a R ∈(1)当时，判断的单调性；10a -<<()f x (2)当时，是否存在，，且，使得？证明你的结论．18a <<1x 2x 12x x ≠()()()1,2i i f x g x i ==【答案】(1)在单调递增，在单调递减()f x 10,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭(2)不存在，证明见解析【分析】（1）由，求导得到，再根据()()11ln R f x a x a x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭()2211a a ax a f x x x x +++'=+=，由，求解；10a -<<()0f x ¢>()0f x '<（2）设，求导，分，()()()h x f x g x =-()()()121133e e x x ax a x h x f x x x --++-''=+-=+3x ≥，判断函数的单调性求解.03x <<【详解】（1）解：依题意，的定义域为，()f x ()0,∞+由，得，()()11ln R f x a x a x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭()2211a a ax a f x x x x +++'=+=当时，令，得，10a -<<()0f x '=1a x a +=-当时，，所以在单调递增；10,a x a +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，所以在单调递减；1,a x a +⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a +⎛⎫-+∞⎪⎝⎭综上，当时，在单调递增，在单调递减．10a -<<()f x 10,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭1,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）法一：设，则，()()()h x f x g x =-()()()121133e e x x ax a x h x f x x x --++-''=+-=+①当时，恒成立，所以在单调递增，3x ≥()0h x '>()h x [)3,+∞又因为，所以，18a <<()221111113ln 31ln 31033e 33e h a ⎛⎫=---+>-+--> ⎪⎝⎭所以，在不存在零点；()0h x >()h x [)3,+∞②当时，设，则，03x <<()1ex x xϕ-=-()1e 1x x ϕ-'=-当时，，所以在单调递减；01x <<()0x ϕ'<()x ϕ()0,1当时，，所以在单调递增；13x <<()0x ϕ'>()x ϕ()1,3所以，即，因为，所以，()()10x ϕϕ≥=1e x x -≥0x >111e x x -≤又因为且，所以，18a <<03x <<133ex x x x ---≥所以，()()2223113x a x a ax a x h x x x x +-++++-'≥+=当时，函数18a <<()()231x x a x a δ=+-++，()()223411050a a a a ∆=--+=-+<所以，所以，所以在单调递增；()0x δ>()0h x '>()h x ()0,3综上可知，当时，均有在单调递增，18a <<()h x ()0,+∞因此不存在，，且，使得．1x 2x 12x x ≠()()()1,2i i f x g x i ==法二：设，则．()()()h x f x g x =-()()()121133e e x x ax a x h x f x x x --++-=+'-=+'则，又，()21221131113e e x x ax a x x h x a x x x x --++--⎛⎫'=+=+++ ⎪⎝⎭18a <<所以，()221211113123e e x x x x h x a x x x x x ----⎛⎫'=+++>++ ⎪⎝⎭当时，恒成立，所以在单调递增，3x ≥()0h x '>()h x [)3,+∞当时，设，则，03x <<()1ex x xϕ-'=-()1e 1x x ϕ-'=-当时，，所以在单调递减；01x <<()0x ϕ'<()x ϕ()0,1当时，，所以在单调递增；13x <<()0x ϕ'>()x ϕ()1,3所以，即，因为，所以．()()10x ϕϕ≥=1e x x -≥0x >111ex x -≤所以()222121221113123123220e e x x x x x x x h x a x x x x x x x x x ------+⎛⎫=+++>++≥++=> ⎪⎝⎭'所以，所以在单调递增；()0h x '>()h x ()0,3综上可知，当时，均有在单调递增，18a <<()h x ()0,+∞因此不存在，，且，使得．1x 2x 12x x ≠()()()1,2i i f x g x i ==。
高二数学下学期第二次月考试题 理含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校二中二零二零—二零二壹高二下学期第二次月考数学试卷(理科)一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.，且，那么实数的值是〔〕A.0B.1C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.【详解】∵，∴∴＝3,得，那么，∴a=，应选：C．【点睛】此题主要考察复数模的运算、虚数i的周期，属于根底题．2.①是三角形一边的边长，是该边上的高，那么三角形的面积是，假设把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，那么①、②两个推理依次是A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．应选：A．点睛：此题考察的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，纯熟掌握三种推理方式的定义及特征是解答此题的关键．满足,那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由求得，利用复数的除法运算法那么化简即可.【详解】由得，所以=，应选A．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.=(i是虚数单位),那么复数的虚部为〔〕A.iB.-iC.1D.-1【答案】C【解析】故答案为C的导数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将f〔x〕＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．【详解】将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x应选：D．【点睛】此题考察复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键,是根底题=的极值点为()A. B.C.或者D.【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】==，函数在上是增函数，在上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，应选B.【点睛】该题考察的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.()A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】时，时，应选D．与直线及所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如下列图，图形的面积为，选.考点：定积分的简单应用.9.某校高二(2)班每周都会选出两位“进步之星〞,期中考试之后一周“进步之星〞人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋〞,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞,小谭说:“小赵说的对〞.这四人中有且只有两人的说法是正确的,那么“进步之星〞是()A.小马、小谭B.小马、小宋C.小赵、小谭D.小赵、小宋【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，“进步之星〞是小赵和小谭．【详解】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞，假设小马说假话，那么小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋〞是假话，否那么，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞，是真话；小谭说：“小赵说的对〞，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“进步之星〞是小赵和小谭．应选：C．【点睛】此题考察了逻辑推理的应用问题，分情况讨论是关键,是根底题目．,直线过点且与曲线相切,那么切点的横坐标为()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点〔0，﹣e〕代入，利用函数零点的断定求得切点横坐标．【详解】由f〔x〕＝e2x﹣1，得f′〔x〕＝2e2x﹣1，设切点为〔〕，那么f′〔x0〕，∴曲线y＝f〔x〕在切点处的切线方程为y〔x﹣〕．把点〔0，﹣e〕代入，得﹣e，即，两边取对数，得〔〕+ln〔〕﹣1＝0．令g〔x〕＝〔2x﹣1〕+ln〔2x﹣1〕﹣1，显然函数g〔x〕为〔，+∞〕上的增函数，又g〔1〕＝0，∴x＝1，即＝1．应选：B．【点睛】此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察函数零点的断定及应用，是中档题．f(x)的导函数f'(x)的图象如下列图,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),那么不等式g(x)≥3x-3的解集是() A.[-1,1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,2]C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-1,2]【答案】A【解析】【分析】根据图象得到函数f〔x〕的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．【详解】由题意得：f〔x〕在〔﹣∞，1〕递减，在〔1，+∞〕递增，解不等式g〔x〕≥3x﹣3，即解不等式〔x﹣1〕f〔x〕≥3〔x﹣1〕，①x﹣1≥0时，上式可化为：f〔x〕≥3＝f〔2〕，解得：x≥2，②x﹣1≤0时，不等式可化为：f〔x〕≤3＝f〔﹣1〕，解得：﹣1≤x≤1，综上：不等式的解集是[﹣1，1]∪[2，+∞〕，应选：A．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，分类讨论思想,准确判断f(x)的单调性是关键，是一道中档题．在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.假设，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，设，那么，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，∴，解得．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，那么，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕为纯虚数，那么实数的值等于__________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得，复数为纯虚数，那么，解得或者，当时，〔舍去〕，所以.考点：复数的概念.，，那么__________〔填入“〞或者“〞〕．【答案】.【解析】分析：利用分析法，逐步分析，即可得到与的大小关系.详解：由题意可知，那么比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，所以，即，即.点睛：此题主要考察了利用分析法比较大小，其中解答中合理利用分析法，逐步分析，得出大小关系是解答的关键，着重考察了推理与论证才能.15.．【答案】．【解析】试题分析：根据定积分性质：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以．考点：定积分．，假设对任意实数都有，那么实数的取值范围是____________.【答案】【解析】构造函数，函数为奇函数且在上递减，即，即，即，所以即恒成立，所以，所以，故实数的取值范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔i为虚数单位〕．〔1〕当时，求复数的值；〔2〕假设复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕将代入，利用复数运算公式计算即可。
高二数学(理)下学期第二次月考试题(含答案)
上学期第二次月考高二数学卷（理）考试时间：120分钟 满分：150一、选择题（每小题5分，共12题）1、已知全集{,,,,}U a b c d e =，{,,}M a c d =，{,,}N b d e =，则N M C U ⋂)( = （ ）A ．{}bB ．{}dC ．{,}b eD ．{,,}b d e2、 5()a x x +（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ）A ．-1B ．12 C ．1 D ．23、某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（ ）A. 24种B. 36种C. 38种D. 108种4、计算888281808242C C C C ++++ ＝（ ）A 、62B 、82C 、83 D 、63 5、一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为( ) A.23 B.512 C.59 D.796、已知△ABC 的重心为P ，若实数λ满足：AB AC AP λ+=，则λ的值为A ．2B ．23C ．3D ．67、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 （ ）A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种8、35(1(1+的展开式中x 的系数是（A ）4- （B ）2- （C ）2 （D ）49、某体育彩票规定: 从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元 某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B. 1052元C. 2100元D. 2102元10、9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）A.2524C C ⋅ B.443424C C C ++ C.2524C C + D.054415342524C C C C C C ⋅+⋅+⋅11、已知,)(为偶函数x f x x f x x f x f 2)(,02),2()2(=≤≤--=+时当，若*,(),n n N a f n ∈=则2011a = ( )A ．1B ．21C ． 14D ．1812、如图，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 （ ）A ．10B ．13C ．12D ．15二、填空题（每小题5分，共4小题）13、已知(1-2x)n的展开式中，二项式系数的和为64，则它的二项展开式中，系数最大的是第_____________项.14、乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_.15、同时投掷三颗骰子，至少有一颗骰子掷出6点的概率是_____________ (结果要求写成既约分数）.16、用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有_______种不同的涂色方案。
【中小学资料】四川省广安第二中学校2017-2018学年高二数学下学期第二次月考试题 文
四川省广安第二中学校2017-2018学年高二数学下学期第二次月考试题 文一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1.i 是虚数单位，复数1ii+＝（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1i -+D ．i2．设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）．3. 在建立两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下， 其中拟合得最好的模型为（ ） A. 模型1的相关指数R 2为0.75 B. 模型2的相关指数R 2为0.90 C. 模型3的相关指数R 2为0.28 D. 模型4的相关指数R 2为0.554.函数32)(ax x x f +-=，若1)2(='f ，则=a ( )A ．4B ．41C ．-4D ．41-5.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如表：根据表中数据得到5.059，因为p （K 2≥5.024）=0.025，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（ ） A. 97.5% B. 95% C. 90% D. 无充分根据6.在数列{}n a 中，()2121,1111≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==--n a a a a n n n ，试猜想这个数列的通项公式为（ ） '()f xA ．n a n = B.1=n a C.n a n 1=D.21=n a7．已知,x y 是实数,且()01222=-+-+yi x i x （其中i 是虚数单位),则x yi +=( )A ．i 21+B ．5C ．D ．i +28. 参数方程（t 为参数）所表示的曲线是（ ）A. B. C. D.9．函数a ax x y +-=23在()1,0内有极小值,则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,0B ．()3,∞-C ．()+∞,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,010 . 运行下图所示的程序框图，若输出结果为，则判断框中应该填的条件是( )A ．k >5B ．k >6C ．k >7D ．k >811.已知)(x f 满足1)2()4(=-=f f ，)(x f '为导函数，且导函数)(x f y '=的图象如右上图所示．则1)(<x f 的解集是（ ）A.)0,2(- B ．)4,2(- C.（0，4） D.),4()2,(+∞⋃--∞ 12．已知函数()y f x =对于任意的(,)22x ππ∈-满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（ ） A ．()()34f ππ< B ．()()34f ππ-<- C ．(0)()4f π<D ．(0)2()3f f π<二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.化成极坐标方程为将直角坐标方程4=x .14.设曲线2xy xe x =+在原点处切线与直线10x ay ++=垂直，则a =15. 观察以下式子：按此规律归纳猜想第5个的等式为 ．（不需要证明） 16.已知函数()e e x ea x x f ,1(2≤≤+-=是自然对数的底数）与()x x g ln 2=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分)()()()().21:1210.17对应的复数向量所在的象限；点求，的对称点为关于原点点，对应点为的共轭复数为虚数单位在复平面内，复数分A B O A A Z i iiZ +=18.（12分）某人摆一个摊位卖小商品，一周内出摊天数x 与盈利y （百元），之间的一组数据关系见表：已知=90，=112.3，（1）计算，，并求出线性回归方程；（2）在第（Ⅰ）问条件下，估计该摊主每周7天要是天天出摊，盈利为多少？ （参考公式：b ==，a =-b ．）19．（12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值. （1）求,a b 的值；（2）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围.20 .（12分）已知z y x ,,均为实数，且62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a .求证：c b a ,,中至少有一个大于0.()()()()().,0,121.cos 62321112.21的值求两点，交于与直线，曲线的直角坐标为若点的直角坐标方程；的普通方程和曲线写出直线为的极坐标方程极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴建立以为极点，以原点，为参数的参数方程为中，已知直线在平面直角坐标系分PB PA B A l C P C l C x O t t y t x l xoy +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=θρ22．（12分）已知函数.ln )2()(2x x a ax x f ++-=（1）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1f （处的切线方程；（2）当0>a 时，若)(x f 在区间],1[e 上的最小值为-2，其中e 是自然对数的底数， 求实数a 的取值范围.答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) A C B B A B C D D B B A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 二 14. 1 15.16. []212-e ，四、解答题(本大题共6小题，共70分)解：（Ⅰ）z ===1+i ，所以=1-i ，所以点A （1，-1）位于第四象限．…（5分）（Ⅱ）又点A ，B 关于原点O 对称． ∴点B 的坐标为B （-1，1）．因此向量对应的复数为-1+i ．…（10分）18.解：（Ⅰ）=4，=5．b ===1.23所以…故所求回归直线方程为．…（8分）（Ⅱ）当x =7时，y =1.23×7+0.08=8.69．所以，该摊主每周7天要是天天出摊，估计盈利为8.69（百元）．…（12分）19．解：（1）因为32()f x x ax bx c =+++，所以'2()32f x x ax b =++由'2124()0393f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得12a =-，2b =-当1a =-，2b =-时，所以'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，列表如下符合函数32()f x x ax bx c =+++在3x =-与1x =时都取得极值的要求，所以2a =-，2b =-（2）321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-由（1）可知max 2[()]max (),(2)3f x f f ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭当23x =-时，222()327f c -=+为极大值，而(2)2f c =+ 所以(2)2f c =+为最大值，要使2(),[1,2]f x c x <∈-恒成立，则只需2max [()]f x c <即2(2)2c f c >=+，解得1c <-或2c >.20 .证明：假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0,0≤++≤≤≤c b a c b a 则 ① 而=++c b a 623222222πππ+-++-++-x z z y y x ，()()()3111222-+-+-+-=πz y x()()()0,,,00111,03222中至少有一个大于所以与①式矛盾c b a c b a z y x >++∴≥-+-+->-π 。
山东省青岛市西海岸新区胶南第一高级中学2017-2018学年高二下学期3月月考数学(理)试题
高二理科数学月考2一、选择题（每小题5分，共60分）1．若曲线ln y kx x =+在点1（，k ）处的切线平行于x 轴，则k= ( )A ．－1B ．1C ．－2D ．22．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，其导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若()f x 在R 上可导,,则2()2'(2)3f x x f x =++，则3()f x dx =⎰（ ）4．A. 16 B. 18 C. 24 D. 544．若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ） A. (],2-∞- B. (],1-∞- C. [)2,+∞ D. [)1,+∞5．若方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．[0,2] C ．[2,0]- D ．(,2)-∞-∪(2,)+∞ 6．函数)(x f y =的图象如下图所示，则导函数)('x f y =的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．7．()f x 是定义在非零实数集上的函数，'()f x 为其导函数，且0.2220.222(2)(0.2)(log 5)0'()()0,,,20.2log 5f f f x xf x f x b c >-<==时，记a=则 （ ）A.a<b<cB.b<a<cC. c<a<bD.c<b<a8.过点（1,-1）且与曲线32y x x =-相切的直线方程为（ ）A. 或B.20x y --=C. 或4510x y ++=D. +20x y -=9．已知函数32()f x x bx cx =++的图象如图所示，则212-x （x ）等于（ ）A ．32 B ．34 C ．38 D ．31610．已知f(x)＝2x 3－6x 2＋m(m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A.－37B.－29C.－5D.以上都不对11．函数()22, 0,4,02,x x f x x x -≤⎧⎪=-<≤，则()22f x dx -⎰的值为 （ ） A. 6π+ B.2π- C.2π D. 8 12．已知函数()()32,5a fx g x x x x ==--,若对任意的121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()()122f x g x -≥成立,则实数a 的取值范围是A. [)2,∞+B. ()2,∞+C. (),0∞-D. (],1∞-- 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数11()(,)212ax f x x +=-∞-+在内单调递增，则实数a 的取值范围是 __ ．14．函数()y f x =的图象在点()()2,2M f 处的切线方程是28y x =-，则()()'22f f =__________．15．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．16．如图是函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象，给出下列命题：O 2x1x yx12①()y f x =在0x =处切线的斜率小于零； ②2-是函数()y f x =的极值点；③()y f x =在区间()2,2-上单调递减. ； ④1不是函数()y f x =的极值点．则正确命题的序号是____．（写出所有正确命题的序号） 三、解答题（共70分）17.（本小题10分）若函数f(x)= xe x在x=c 处的导数值与函数值互为相反数,求c 的值.18．（本小题12分）求曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t ，t ∈(0,1)所围成的图形的面积的最小值．19．（本小题12分）某超市销售某种小商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中，a为常数，已知销售价格为元/件时，每日可售出该商品件．若该商品的进价为元/件，当销售价格为何值时，超市每日销售该商品所获得的利润最大．20.（本小题12分）设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若存在0x ∈[0,3]，有f (0x )<c 2成立，求c 的取值范围．21．（本小题12分）已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈． （1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数；（2）若函数()f x =0在区间1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，e 上有两个解，求a 的取值范围。
四川省广安第二中学校2017-2018学年高二数学下学期第二次月考试题 理
四川省广安第二中学校2017-2018学年高二数学下学期第二次月考试题 理一、选择题(共12小题, 每小题5分, 共60分。
每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知函数()cos f x x x =+ ）A.12 B. 32C. 12．已知复数21a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．23．把一枚骰子连续掷两次，在第一次抛出的是偶数点的条件下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )A ．1 B. 12 C. 13 D. 144．已知随机变量ζ服从正态分布2(3)N σ，，且(2)0.3P ζ<=，则(24)P ζ<<的值等于（ ）A ．0.5B ．0.2C ．0.3D ．0.4 5．设随机变量X 服从二项分布1X (5,)2B ，则函数2()4X f x x x =++存在零点的概率是( )A. 56B. 45C. 3132D. 126．经过对K 2的统计量的研究，得到了若干个观测值，当K 2≈6.706时，我们认为两分类变量A 、B ( )A ．有67.06%的把握认为A 与B 有关系 B ．有99%的把握认为A 与B 有关系C ．有0.010的把握认为A 与B 有关系D ．没有充分理由说明A 与B 有关系附参考数据：7．如果命题()P n 对于1n =成立，同时，如果n k =成立，那么对于2n k =+也成立。
这样，下述结论中正确的是 （ ）A ．()P n 对于所有的自然数n 成立B ．()P n 对于所有的正奇数n 成立C ．()P n 对于所有的正偶数n 成立D ．()P n 对于所有大于3的自然数n 成立8．()22sin |sin |x x dx ππ-+=⎰（ ）A. 0B. 1C. 2D. 39．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣。
2022-2023学年四川省甘孜州康定中学高二年级下册学期3月月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省甘孜州康定中学高二下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）条件xOy 0m <221x my +=A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【分析】由双曲线方程的特征计算得m 的范围，再由集合的包含关系可得结果.【详解】∵表示双曲线，221x my +=∴.0m <∴是表示双曲线的充要条件.0m <221x my +=故选：C.2．某地区7月1日至7月10日白天的平均气温的折线图如图所示，则下列判断错误的是（ ）A ．从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势B ．这10天白天的平均气温的极差大于6℃C ．这10天中白天的平均气温为26℃的频率最大D ．这10天中白天的平均气温大于26℃的有5天【答案】D【解析】观察折线图可得选项A 和选项B 正确；选项C ，这10天中白天的平均气温为26℃的频率比其他平均气温的频率都要大，所以该选项正确；选项D ，白天的平均气温大于26℃的只有4天，所以该选项错误.【详解】选项A ，从7月2日到7月5日白天的平均气温呈下降趋势，所以该选项正确；.选项B ，这10天白天的平均气温的极差大于6℃，所以该选项正确；选项C ，这10天中白天的平均气温为26℃的频率为0.3，比其他平均气温的频率都要大，所以该选项正确；选项D ，这10天中白天的平均气温大于26℃的只有4天，所以该选项错误.故选：D.3．盒子内装有黑球、白球、红球三种，其数量分别为1，2，3，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为（ ）A ．至少有一个白球；没有白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红黑球各一个【答案】D【分析】根据互斥事件与对立事件的定义，对4个选项逐个验证即可．【详解】选项A ，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，故和“没有白球”互斥事件且为对立事件，故A 错误；选项B ，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“至少一个红球”是指恰有1个红球或都是红球，都包含1个白球1个红球这种结果，故不是互斥事件，故B 错误；选项C ，“恰有一个白球”是指有1个白球1个红球或有1个白球1个黑球，和“一个白球一个黑球”不是互斥事件，故C 错误；选项D ，“至少一个白球”是指有1个白球或都是白球，“红球、黑球各一个”则没有白球，故互斥，而没有白球也不一定是红球、黑球各一个，故不对立，故D 正确．故选：D ．4．到平面内两个定点，距离和等于10的动点M 的轨迹图形为（ ）()15,0F -()25,0F A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．以上均不正确【答案】C【分析】设，根据两点坐标求距离公式表示出，化简计算，整理得，即(,)M x y 12MF MF 、0y =，结合绝对值的几何意义即可求解.5510x x ++-=【详解】由题意知，设，(,)M x y，，10=，等式两边同时平方，10=，等式两边同时平方，5x=-整理得，解得，20y =0y =，510=-=当时，，解得，不符合题意，5x >210x =5x =当时，，解得，不符合题意，5x <-210x -=5x =-当时，，等式成立，55x -≤≤5510x x +-+=所以点M 的轨迹为线段.12F F 故选：C.5．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）0m >0n >11e y x m =++ln 2y x n =-+11m n +A ．16B ．12C ．8D ．4【答案】D【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可,m n 得出答案.【详解】对求导得，ln 2y x n =-+1y x '=由得，则，即，11e y x '==e x =1e 1ln e 2e m n ⋅++=-+1m n +=所以，()11112224n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当时取等号．12m n ==故选：D ．6．在正四面体中，直线与直线所成的角的大小为（ ）A BCD -AB CD A ．B ．C ．D ．30︒45︒60︒90︒【答案】D【分析】取的中点，可证得，进而可得结果.CD E CD AB ⊥【详解】取的中点，连接，，则，，且，所以CD E AE BE AE CD ⊥BE CD ⊥AE BE E = 平面，因此，即直线与直线所成角的大小为.CD ⊥ABE CD AB ⊥AB CD 90 故选：D.7．已知幂函数过点，则过点的直线与曲线相切的切点横坐标为()f x x α=()2,4()2,12P --()y f x =（ ）A ．2或4B ．3或65C ．3或2D ．2或6-【答案】D【分析】根据已知求出幂函数解析式，设所求的切线的切点为，则斜率为，得到切线()00,x y 0()f x '的点斜式方程，将点坐标代入，建立关于的方程，求解即可.P 0x 【详解】代入幂函数方程得，()2,4()22,f x x α=∴=设曲线过点的切线切点坐标为，()y f x =()2,12P --()00,x y 切点的斜率为，00()2k f x x =='故该切线方程为，()20002y x x x x =-+由于切线过点，()2,12P --故，，()20001222x x x -=--+2004120x x +-=解得或.02x =06x =-故选：D .【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意已知点“过”与“切”的区别，属于基础题.8．已知点P 为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左、右焦点，点()222210,0x y a b a b -=>>12,F FI 是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则离心率的取12PF F △1212IPF IPF IF F S S-≥△△△值范围是（ ）A ．B．((1,C ．D．(1,(【答案】D【分析】根据条件和面积公式得出，的关系，从而得出离心率的范围.a c 【详解】设的内切圆的半径为r ，12PF F △则，12121212111,,222IPF IPF IF F S PF r S PF r S F F r =⋅=⋅=⋅△△△因为，1212IPF IPF IF F S S-≥△△△由双曲线的定义可知，12122,2PF PF a FF c-==所以，即，又由，22a c ≥a≥e 1c a =>所以双曲线的离心率的取值范围是.(故选：D 9．已知函数在处有极值，且极值为8，则的零点个数为()()3220f x x bx cx b b =+++<=1x -()f x （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意求导后结合已知极值，得出，即可根据导数得出其单调性，再结合特值27b c =-⎧⎨=-⎩得出其零点个数.【详解】由题意得，()232f x x bx c¢=++因为函数在处有极值，且极值为8，()()3220f x x bx cx b b =+++<=1x -则，，()2118f b c b -=-+-+=()1320f b c '-=-+=解得(经检验适合题意)，或（经检验不合题意舍去）27b c =-⎧⎨=-⎩33b c =⎧⎨=⎩故，，()32274f x x x x =--+()()()2347137f x x x x x '=--=+-当或时，，即函数单调递增，(),1x ∈-∞-7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 当时，，即函数单调递减，71,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 又因为，，，，()30f -<()10f ->()10f <()40f >则有3个零点，()f x 故选：C.10．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙35组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）53A ．B ．C ．D ．3.544.55【答案】D【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差.【详解】设甲组数据分别为、、、，乙组数据分别为、、、，1x 2x 6x 7x 8x 12x 甲组数据的平均数为，可得，方差为，可得，61136i i x ==∑6118i i x ==∑()6211356i i x =-=∑()621330i i x =-=∑乙组数据的平均数为，可得，方差为，可得，127156i i x ==∑12730ii x ==∑()12271536i i x =-=∑()1227518i i x =-=∑混合后，新数据的平均数为，1211183041212i i x =+==∑方差为()()()()61261222221717114431511212i i i i i i i i x x x x ====⎡⎤⎡⎤-+-=--+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()()()61261222171713523251212i i i i i i i i x x x x ====⎡⎤=-+---+-+⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑.()()130182336255612512⎡⎤=⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯+=⎣⎦故选：D.11．已知函数对任意的满足（其中是函数()y f x =ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()cos sin 0f x x f x x'->()f x '的导函数），则下列不等式成立的是（ ）()f x A ．B ．ππ34f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ34f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．D()π203f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()π04f ⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据条件构造函数，，求函数的导数，确定函数的单调性，()()cos g x f x x =ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭利用单调性比较函数值大小即可逐项判断，即可得到结论．【详解】构造函数，，则，所以()()cos g x f x x =ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()cos sin 0g x f x x f x x -''=>在上单调递增，()g x ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则，所以，即，故A 不4ππ3g g ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos 3344f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ34f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正确；则，所以，即，故B 不正确；ππ34g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos3344f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ34f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，所以，即，故C 正确；()π03g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭()ππ0cos 0cos33f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()π203f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭则，所以，故D 不正确.()π04g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭()ππ0cos 0cos44f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()π04f ⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：C.12．设，，，则（ ）1sin5a =11cos 55b =11ln9c =A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>b c a >>c a b>>【答案】D【分析】根据已知数，构造函数比较a ，b 大小；构造函数()sin cos =-f x x x x 比较a ，c 大小作答.2(1)()ln 1x g x x x -=-+【详解】令，当时，，()sin cos =-f x x x x π(0,)2x ∈()cos (cos sin )sin 0f x x x x x x x '=--=>即函数在上单调递增，则有，因此，即，()f x π(0,)21()(0)05f f >=111sin cos555>a b >令，，有，则在上单调递增，2(1)()ln 1x g x x x -=-+0x >22214(1)()0(1)(1)x g x x x x x -'=-=≥++()g x (0,)+∞因此，即，则有，11()(1)09g g >=112(1)119ln 011919-->+111ln 95>令，，因此在上单调递增，()sin h x x x =-()1cos 0h x x '=-≥()h x R 即有，则，于是，即，1((0)05h h >=11sin55>111ln sin 95>c a >所以．c a b >>故选：D【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.二、填空题13．当命题“对任意实数，不等式恒成立”是假命题时，则的取值范围是x 210x kx ++>k __________.【答案】(][),22,-∞-+∞ 【分析】由“对任意实数，不等式恒成立”求得的取值范围，再根据其为假命题求x 210x kx ++>k 得的取值范围的补集，即为最终所求的的取值范围.k k 【详解】因为“对任意实数，不等式恒成立”，x 210x kx ++>则，即，240k ∆=-<2<<2k -又因为命题“对任意实数，不等式恒成立”是假命题，x 210x kx ++>所以或.2k ≤-2k ≥故答案为：(][),22,-∞-+∞ 14．某三棱锥的三视图，如图所示，该三棱锥的体积为___________.【答案】9【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可.【详解】由题意可知该几何体是将边长为3的正方体的6个面上的对角线构成的正四面体，如图，可以由正方体的体积截去4个小棱锥的体积计算，即该三棱锥的体积为.113334333932V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=故答案为：.915．已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于、两点（点π3l ()2:20C y px p =>F C P Q 在第一象限），若，则__________.P 4PF =QF =【答案】##43113【分析】设点、，则，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出、()11,P x y ()22,Q x y 12x x >l 1x ，利用抛物线的定义可求得的值，再利用抛物线的定义可求得的值.2x p QF 【详解】易知点，设点、，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()11,P x y ()22,Q x y 因为直线的倾斜角为，且点在第一象限，则，l π3P 12x x >联立可得，解得，，222p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩22122030x px p -+=132p x =26px =由抛物线的定义可得，可得，32422p pPF p =+==2p =因此，.246233p p p QF =+==故答案为：.4316．若正实数a ，b 满足，则的最小值为______.()1ln ln a a b a a be--+≥1ab【答案】e4【分析】由不等式变形为，通过换元，根据1(ln ln )ea ab a a b --+≥11ln e e 10a a b b a a ---+≥（）1e a b t a -=不等式恒成立得出a 与b 的关系，从而把表示为关于a 的表达式，再通过构造函数求最值即1ab 可．【详解】因为，所以，1(ln ln )e a a b a a b --+≥1ln ln e a b b a a a --+≥所以，即11ln ln e 1e a a b b a a --++≥11ln e e 10a ab b a a ---+≥（）令，则有()，1e a b t a -=ln 10t t -+≥0t >设，则，由得()ln 1f t t t =-+1()1f t t '=-()0f t '=1t =当时，，单调递增，当时，，单调递减，01t <<()0f t '>()f t 1t >()0f t '<()f t 所以，即，又因为，max ()(1)0f t f ==ln 10t t -+≤ln 10t t -+≥所以，当且仅当时等号成立ln 10t t -+=1t =所以，从而，所以()1e 1a b t a -==111e a b a -=121e a ab a -=0a >设()，则，由得12e ()x g x x -=0x >13(2)e ()x x g x x --'=()0g x '=2x =当时，，单调递减，当时，，单调递增，02x <<()0g x '<()g x 2x >()0g x '>()g x 所以，所以的最小值为．21min2e e ()(2)24g x g -===1ab e 4故答案为：．e4三、解答题17．如图,在四棱锥P －ABCD 中,四边形ABCD 是菱形,PA =PC ,E 为PB 的中点．求证:(1)平面AEC ;PD(2)平面AEC ⊥平面PBD ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可AC BD O = EO PD EO ∥证明;(2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定PA PC =AC PO ⊥ABCD AC BD ⊥理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.AC ⊥PBD 【详解】（1）设,连接,如图所示:AC BD O = EO因为O ,E 分别为,的中点,所以,BD PB PD EO ∥又因为平面,平面,PD AEC EO ⊂AEC 所以平面．PD AEC （2）连接,如图所示:PO因为,为的中点,所以,PA PC =O AC AC PO ⊥又因为四边形为菱形,所以,ABCD AC BD ⊥因为平面,平面,且,PO ⊂PBD BD ⊂PBD PO BD O = 所以平面,又因为平面,AC ⊥PBD AC ⊂AEC 所以平面平面．AEC ⊥PBD 18．若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦2222:1,(0)x y E a b a b +=>>24x y =221x y -=点．(1)求椭圆E 的方程；(2)不过原点O 的直线与椭圆E 交于A 、B 两点，求面积的最大值以及此时直线l :l y x m =+ABO 的方程．【答案】(1)2213x y +=(2)的方程为ABOl y x =【分析】(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的的关系求解；,,a b c (2)利用韦达定理求出弦长，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解.AB【详解】（1）抛物线的焦点为，所以，24x y =(0,1)1b =因为双曲线的焦点坐标为，221x y -=(),所以则，222a b -=23a =所以椭圆E 的方程为.2213x y +=（2）设，1122(,),(,)A x y B x y 联立可得，2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2246330x mx m ++-=因为直线与椭圆E 交于A 、B 两点，:l y x m =+所以解得，223616(33)0m m ∆=-->24m <由韦达定理可得，21212333,24m m x x x x -+=-=由弦长公式可得AB ==点到直线的距离为O ld所以11||||22OAB S d AB m =⋅⋅=△14=≤当且仅当即时取得等号，22m =m =所以的方程为ABC l y x =±19．已知四棱锥的底面ABCD 为矩形，底面ABCD ，且，设P ABCD -PA ⊥22PA AD AB ===E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图．(1)求证：平面PBD ；//FH (2)求直线FH 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用中位线得到的线线平行，证明线面平行，再证面面平行，由面面平行得证线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.【详解】（1）证明：∵E 、F 、G 分别为PC 、BC 、CD 的中点，∴，，//EF PB //FG BD ∵平面PBD ，平面PBD ，∴平面PBD ，同理可证平面PBD ，EF ⊄PB ⊂//EF //FG ∵，EF 、平面EFG ，∴平面平面PBD ，EF FG F ⋂=FG ⊂//EFG ∵平面EFG ，∴平面PBD ．FH ⊂//FH （2）∵平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA ⊥以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，()1,0,0B ()1,2,0C ()002P ,,()1,1,0F 1,1,12E ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭131,,222H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，()0,2,0BC =()1,0,2BP =-111,,222FH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设平面PBC 的法向量为，则，(),,n x y z = 2020n BC y n BP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取，可得，∴，2x =()2,0,1n =cos ,FH n = 所以，直线FH 与平面PBC20．某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，按分组，，，，，，整理后得到如[)80,90[)90,100[)100,110[)110,120[)120130,[)130140,[]140,150下频率分布直方图.(1)求图中的值；x (2)请用样本数据估计本次联考该校语文平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；(3)用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在，的两组学生中抽取5名学生，[)130140,[]140,150再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在的概率.[)130140,【答案】(1)0.01x =(2)107.4分(3)25【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积和为1，求得x ；（2）用每一组区间的中点值代替该组数据，计算平均数；（3）计算分层抽样每层抽取人数，列出所有选出2人的基本事件，求出概率.【详解】（1）由频率分布直方可知，，()0.0120.0220.0280.0180.0080.002101x ++++++⨯=解得；0.01x =（2）由图可知，语文成绩在，，，，，，[)80,90[)90,100[)100,110[)110,120[)120130,[)130140,的频率[]140,150分别为0.12，0.22，0.28，0.18，0.10，0.08，0.02，设样本数据中语文平均成绩为，x 则850.12950.221050.281150.181250.101350.081450.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯85100.22200.28300.18400.10500.08600.02=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯85 2.2 5.6 5.444 1.2107.4=++++++=故估计本次联考该校语文平均成绩为107.4分；（3）由题知，样本内语文成绩在，的学生分别有8名和2名，[)130140,[]140,150按分层随机抽样抽取的5名学生中，分数在的学生有4名，记为A ，B ，C ，D ，[)130140,在的学生有1名，记为e ，[]140,150从这5名学生中随机选出2人，所有的情况有10种：AB ，AC ，AD ，Ae ，BC ，BD ，Be ，CD ，Ce ，De ，其中恰有一人语文成绩在的有4种：Ae ，Be ，Ce ，De ，[)130140,则这5名学生中随机选出2人，恰有一人语文成绩在的概率为.[)130140,42105P ==21．已知函数，其中．()3236g x ax x =-+0a >(1)若函数在处取得极值，求的值；()g x 2x =a(2)若在区间上，恒成立，求的取值范围．[]1,1-()0g x >a 【答案】(1)1a =(2)()0,3【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间，根据极值点的概念即()g x '()0g x '>()0g x '<可求解；（2）结合函数的单调性，分类讨论求的最小值，由最小值大于0可得参数范围.()g x 【详解】（1）因为，所以，32()36g x ax x =-+2g ()36x ax x '=-令，得；令，得或，()0g x '<20x a <<()0g x '>0x <2x a >所以的单调递减区间是，单调递增区间是，()g x 20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2(,0),,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭所以，若函数在处取得极值，()2()0,()g x g g x g a ⎛⎫== ⎪⎝⎭极大值极小值()g x 2x =则，解得．22a =1a =（2）①若，即时，在上单调递增，在上单调递减，21a ≥02a <≤()g x (1,0)-(0,1)因为在区间上，恒成立，[1,1]-()0g x >所以，解得，(1)30(1)30g a g a =+>⎧⎨-=-+>⎩33a -<<又，所以.02a <≤02a <≤②若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.21a <2a >()g x (1,0)-20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为在区间上，恒成立，[1,1]-()0g x >所以.()21302460g a g a a ⎧-=-+>⎪⎨⎛⎫=-+> ⎪⎪⎝⎭⎩3a <<又，所以.2a >23a <<综上，可得，即a 的取值范围是.0<<3a ()0,322．已知函数．()212x f x axe x x=--(1)讨论在上的单调性；()f x ()0,∞+(2)若时，方程有两个不等实根，，求证：．0a >()21ln 2f x x x =-1x 2x 21212x x x x e -->【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用导数，分类讨论函数在区间内的单调性；（2）令，原不等式即证，通过构造函数法，利用导数通过单调性证明.()e 0x t x x =>12ln ln 2t t +>【详解】（1）由题意得．()()()()1e 11e 1x x f x a x x x a '=+--=+⋅-因为，所以．0x >10x +>当时，，，所以在上单调递减．0a ≤e 10x a -<()0f x '<()f x ()0,∞+当时，令，则．0a >e 10xa -=ln x a =-①若，则，当时，，所以在上单调递增；1a ≥ln 0x a =-≤0x >()0f x ¢>()f x ()0,∞+②若，则，当时，，所以在上单调递减；01a <<ln 0x a =->()0,ln x a ∈-()0f x '<()f x ()0,ln a -当时，，所以在上单调递增．(ln ,)x a ∈-+∞()0f x ¢>()f x ()ln ,a -+∞综上，当时，在上单调递减；0a ≤()f x ()0,∞+当时，在上单调递增；1a ≥()f x ()0,∞+当时，在上单调递减，在上单调递增．01a <<()f x ()0,ln a -()ln ,a -+∞（2）证明：方程，即，()21ln 2f x x x =-e ln 0x ax x x --=因为，则，()e ln 0x ax x x -+=()e ln e 0x x ax x -=令，，所以函数在上单调递增，()e 0x t x x =>()1e 0x t x '=+>e xt x =()0,∞+因为方程有两个实根，，令，，则关于t 的方程()e ln 0x ax x x -+=1x 2x 111e x t x =222e xt x =也有两个实根，，且，ln 0at t -=1t 2t 12t t ≠要证，即证，即证，即证，21212e x x x x -->12212e e e x x x x ⋅>212e t t >12ln ln 2t t +>由已知，1122ln ln at t at t =⎧⎨=⎩所以，()()12121212ln ln ln ln a t t t t a t t t t ⎧-=-⎪⎨+=+⎪⎩整理可得，12121212ln ln ln ln t t t t t t t t ++=--不妨设，120t t >>即证，12112122ln ln ln 2t t t t t t t t ++=>-即证，()1122112122212ln 1t t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++令，即证，其中，12t s t =()21ln 1s s s ->+1s >构造函数，，()()()21ln 11s g s s s s -=->+()()()()222114011s g s s s s s -'=-=>++所以函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立．()g s ()1,+∞1s >()()10g s g >=【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
2022-2023学年四川省成都市天府新区太平中学高二年级下册学期3月月考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省成都市天府新区太平中学高二下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1．设命题，则为2:,2nP n N n ∃∈>P ⌝A ．B ．2,2nn N n ∀∈>2,2nn N n ∃∈≤C ．D ．2,2n n N n ∀∈≤2,2n n N n ∃∈=【答案】C【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确2,2nn N n ∀∈≤选项为C.2．已知集合，，则集合等于（ ）{}0,1,2A ={}2,N x x a a A ==∈A N A ．；B ．；C ．；D ．．{}0{}0,1{}1,2{}0,2【答案】D【分析】求出集合，根据交集含义即可得到答案.N 【详解】当时，；当时，；0a =20x a ==1a =22x a ==当时，，故，故，2a =24x a =={}0,2,4N ={0,2}A N ⋂=故选：D.3．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）2i13i --A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.2i13i --【详解】，所以该复数对应的点为，()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭该点在第一象限，故选：A.4．若x ，y 满足约束条件则的最大值是（ ）2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2z x y =-A ．B ．4C ．8D ．122-【答案】C【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数为，2z x y =-2y x z =-上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z 最大，2y x z =-()4,0所以.max 2408z =⨯-=故选：C.5．设，且，则下列结论正确的是（ ）,,,a b c d R ∈,a b c d >>A ．B ．C ．D ．a cb d +>+ac b d->-ac bd>a c d b >【答案】A【解析】A. 利用不等式的加法性质判断；B. 利用特殊值法判断；C. 利用特殊值法判断；D. 利用特殊值法判断；【详解】A. 因为，由不等式的加法性质有，故正确；,a b c d >>a c b d +>+B. 当时，，故错误；3,2,2,1====a b c d a c b d -=-C. 当时，，故错误；0,1,2,3==-=-=-a b c d ac bd <D. 当时，，故错误；0,1,2,3==-=-=-a b c d <a c db 故选：A【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.6．已知函数f (x )=(a ∈R )，若，则a =（ ）2,0,2,0x xa x x -⎧⋅≥⎨<⎩((1))1f f -=A ．B ．C ．1D ．21412【答案】A【分析】先求出的值，再求的值，然后列方程可求得答案(1)f -((1))f f -【详解】解：由题意得，(1)(1)22f ---==所以，解得a =.2((1))(2)241ff f a a -==⋅==14故选：A【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题7．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．B ．C ．D ．148π124π【答案】B【详解】设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由a 2a 2a 2π4a 图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.221ππ248a a⋅=点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算.()P A8．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>b a =221123x y +=的方程为（ ）C A ．B ．22145x y -=221810x y -=C ．D ．22154x y -=22143x y -=【答案】A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.,a b 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，221123x y +=21239c =-=3c =因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，C 221123x y +=C 3c =又因为双曲线满足，即，2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>b a=b =又由，即，解得，可得，222+=a b c 229a ⎫⎪⎪⎭+=24a =25b =所以双曲线的方程为.C 22145x y -=故选：A ．9．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）()321f x x x ax =+-+R a A ．B ．C ．D ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】由题设可得在上恒成立，结合判别式的符号可求实数的取值范围.()0f x ¢³R a 【详解】，()232f x x x a'=+-因为在上为单调递增函数，故在上恒成立，()f x R ()0f x ¢³R 所以即，4120a ∆=+≤13a ≤-故选：A.10．某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若101x 2x 10x x 2s 从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为10010A ．，B ．，x 22s 100+100x +22s 100+C ．，D ．，x 2s100x +2s【答案】D【详解】试题分析：均值为;方差为,故选D.【解析】数据样本的均值与方差.11．如图，在正方体中，M ，N 分别为AC ，的中点，则下列说法中不正确的1111ABCD A B C D -1A B 是（ ）A ．平面//MN 11ADD A B ．MN AB⊥C ．直线MN 与平面ABCD 所成的角为60°D ．异面直线MN 与所成的角为45°1DD 【答案】C 【分析】取棱中点，利用线面平行的判定推理判断A ；利用线面垂直的性质推理判断1,AD AA ,E F B ；求出线面角、线线角判断CD 作答.【详解】在正方体中，取棱中点，连接，1111ABCD A B C D -1,AD AA ,E F ,,ME EF FN因为M ，N 分别为AC ，的中点，则，1A B 11//////,22ME CD AB NF ME CD AB NF===因此四边形为平行四边形，则平面，MEFN //,EF MN EF ⊂11ADD A 平面，所以平面，A 正确；MN ⊄11ADD A //MN 11ADD A 因为平面，则，所以，B 正确；AB ⊥11ADD A AB EF ⊥MN AB ⊥显然平面，则是与平面所成的角，又，AF ⊥ABCD FEA ∠EF ABCD ,90AE AF EAF =∠=有，由于，所以直线MN 与平面ABCD 所成的角为，C 错误；45FEA ∠= //EF MN 45因为，，则是异面直线MN 与所成的角，显然，D 正11//AA DD //EF MN AFE ∠1DD 45AFE ∠= 确.故选：C 12．函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）()()cos 1sin 1f x x x x =+++[]0,2πA ．B ．C ．D ．ππ22-，3ππ22-，ππ222-+，3ππ222-+，【答案】D【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.()f x ()f x []0,2π【详解】，()()()sin sin 1cos 1cos f x x x x x x x'=-+++=+所以在区间和上，即单调递增；()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 在区间上，即单调递减，π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭()0f x '<()f x 又，，，()()02π2f f ==ππ222f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π3π3π11222f ⎛⎫⎛⎫=-++=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在区间上的最小值为，最大值为.()f x []0,2π3π2-π22+故选：D二、填空题13．已知向量．若，则______________．(,3),(1,1)a m b m ==+ a b ⊥m =【答案】##34-0.75-【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：，解得.3(1)0a b m m ⋅=++=34m =-故答案为：.34-14．已知函数.则_____.()()21e xf x f x '=-()1f =【答案】0【分析】根据导数的运算法则即可计算.【详解】∵，∴，()()21e xf x f x ''=-()()()121e 1ef f f '''=-⇒=∴，∴.()2e e x f x x =-()10f =故答案为：0.15．如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且-P ABC ,M N ,PA BC D MN ，若，则的值为_______．2ND DM =PD xPA yPB zPC =++ x y z ++【答案】23【分析】利用基向量表示,结合空间向量基本定理可得.PD 【详解】1111111()2323366PD PM MD PA MN PA PN PM PA PB PC=+=+=+-=++所以，所以.11,36x y z ===23x y z ++=【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.16．已知椭圆：，为椭圆上一点，，则_________．C 2214x y +=00(,)P x y 1260F PF ∠=︒0x =【分析】由题意可得：，中由余弦定理可得=12|||4|PF PF +=12||F F =12F PF △12||||F P P F ⋅，再由两点间的距离公式化简得，解出的值，根据进行取舍即可.43220316(4)49x -=0x 0(2,2)x ∈-【详解】解：由题意可得：，12||||24PF PF a +==12||2F F c ==在中由余弦定理可得：12F PF △，2222121212121212||||||2||||cos (||||)3||||F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅⋅∠=+-⋅所以有=，12||||F P P F ⋅43，43=，43=，2200003316(4)(4)449x x ++⋅-+=所以，22200316(4))49x +-=整理得：，220316(4)49x -=所以或，2034443x -=2034443x -=-解得或，083x =±0x =又因为，0(2,2)x ∈-所以或.0x =0x =.三、解答题17．已知函数在处取得极值．3()2f x ax bx =++2x =14-(1)求，的值；a b (2)求曲线在点处的切线方程．()y f x =(1,(1))f 【答案】(1)1,12a b ==-(2)90x y +=【分析】（1）求得，根据题意得到，求得，验证符合题意，2()3f x ax b '=+()()20214f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩1,12a b ==-即可求解；（2）由（1）求得且，结合导数的几何意义，即可求解.()19f '=-()19f =-【详解】（1）解：由函数，可得，3()2f x ax bx =++2()3f x ax b '=+因为在处取得极值，可得，即，()f x 2x =14-()()20214f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩12082214a b a b +=⎧⎨++=-⎩整理得，解得，12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩1,12a b ==-经检验，当时，，1,12a b ==-2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-令，解得或；令解得，()0f x '><2x -2x >()0f x '<，22x -<<所以在单调递增，单调递减，单调递增，()f x (,2)-∞-()2,2-(2,)+∞所以在处取得极值，且()f x 2x =()214f =-符合题意，所以.1,12a b ==-（2）解：由（1）得，函数且，3()122f x x x =-+2()312f x x '=-则，即切线的斜率为且，()19f '=-9k =-()19f =-所以曲线在点处的切线方程为，即．()y f x =(1,(1))f (9)9(1)y x --=--90x y +=18．2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，统计结果如图所示：[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,90,100(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；(2)现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这[)80,90[]90,100次竞赛的交流会，求两人都在的概率．[]90,100【答案】(1)70.5(2)110【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的求法直接解决即可；（2）根据分层抽样得在分组中抽取的人数为人，在分组中抽取的人数为2人，[)80,903[]90,100利用列举法求得基本事件的总数，结合古典概型概率求法，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：分.(450.01550.015650.02750.03850.015950.01)1070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（2）解：在和两组中的人数分别为：[)80,90[]90,100人和人，1000.0151015⨯⨯=（）1000.011010⨯⨯=（）所以在分组中抽取的人数为人，记为，[)80,9015531015⨯=+,,a b c 在分组中抽取的人数为2人，记为，[]90,1001,2所以这5人中随机抽取2人的情况有：，共()()()()()()()()()(){},,,1,2,1,2,1,2,12ab ac bc a a b b c c Ω=10种取法，其中两人得分都在的情况只有，共有1种，[]90,100(){}12所以两人得分都在的概率为.[]90,100110P =19．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为111ABC A B C -1A BC(1)求A 到平面的距离；1A BC (2)设D 为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．1A C 1AA AB =1A BC ⊥11ABB A A BD C --【答案】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即BC ⊥11ABB A 可得解.【详解】（1）在直三棱柱中，设点A 到平面的距离为h ，111ABC A B C -1A BC则，111111111143333A A BC A A ABC A ABC A B BC C C B V S h V S A A V ---=⋅===⋅==解得h =所以点A 到平面1A BC （2）取的中点E ,连接AE ,如图，因为，所以,1A B 1AA AB =1AE A B ⊥又平面平面，平面平面，1A BC ⊥11ABB A 1A BC ⋂111ABB A A B =且平面，所以平面，AE ⊂11ABB A ⊥AE 1A BC 在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1BB ⊥ABC 由平面，平面可得，，BC ⊂1A BC BC ⊂ABC AE BC ⊥1BB BC ⊥又平面且相交，所以平面，1,AE BB ⊂11ABB A BC ⊥11ABB A 所以两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，1,,BC BABB 由（1）得，，AE =12AA AB ==1A B =2BC =则,所以的中点，()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C 1A C ()1,1,1D 则，,()1,1,1BD = ()()0,2,0,2,0,0BA BC == 设平面的一个法向量，则，ABD (),,m x y z = 020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩ 可取，()1,0,1m =- 设平面的一个法向量，则，BDC (),,n a b c = 020n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩ 可取，()0,1,1n =-则，1cos ,2m n =所以二面角A BD C --=20．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为2222:1(0)x y E a b a b +=>>(0,1)A (1)求椭圆E 的方程；(2)过点作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点(2,1)P -M ，N ，当时，求k 的值．||2MN =【答案】(1)2214x y +=(2)4k =-【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程；22212b c c a b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩a （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由()11,B x y ()22,C x y 直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可；AB AC M x N x N M MN x x =-【详解】（1）解：依题意可得，，1b =2c =222c a b =-所以，所以椭圆方程为；2a =2214x y +=（2）解：依题意过点的直线为，设、，不妨令()2,1P -()12y k x -=+()11,B x y ()22,C x y ，1222x x -≤<≤由，消去整理得，()221214y k x x y ⎧-=+⎪⎨+=⎪⎩y ()()22221416816160k x k k x k k +++++=所以，解得，()()()222216841416160k k k k k ∆=+-++>0k <所以，，212216814k k x x k ++=-+2122161614k k x x k +⋅=+直线的方程为，令，解得，AB 1111y y x x --=0y =111M x x y =-直线的方程为，令，解得，AC 2211y y x x --=0y =221N x x y =-所以212111N M x x MN x x y y =-=---()()2121121121x x k x k x =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()212122x x k x k x =+-++()()()()2121212222x x x x k x x +-+=++，()()12212222x x k x x -==++所以，()()122122x x k x x -=++()212124x x x +++⎤⎦221682414k k k ⎤⎛⎫+-+⎥ ⎪+⎝⎭⎦()()22221616216841414k k k k k k k ⎡⎤=+-+++⎣⎦+整理得，解得4k =4k =-21．已知函数．1()(1)ln f x ax a x x =--+(1)当时，求的最大值；0a =()f x (2)若恰有一个零点，求a 的取值范围．()f x 【答案】(1)1-(2)()0,+∞【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得()()()211ax x f x x --'=0a ≤01a <<1a >函数的极值，即可得解.【详解】（1）当时，，则，0a =()1ln ,0f x x x x =-->()22111x f x x x x -'=-=当时，，单调递增；()0,1x ∈()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减；()1,x ∈+∞()0f x '<()f x 所以；()()max 11f x f ==-（2），则，()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>()()()221111ax x a f x a x x x --+'=+-=当时，，所以当时，，单调递增；0a ≤10ax -<()0,1x ∈()0f x ¢>()f x当时，，单调递减；()1,x ∈+∞()0f x '<()f x 所以，此时函数无零点，不合题意；()()max 110f x f a ==-<当时，，在上，，单调递增；01a <<11a >()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 在上，，单调递减；11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 又，()110f a =-<由（1）得，即，所以1ln 1x x +≥1ln 1x x ≥-ln x x x <<<当时，，1x >11()(1)ln 2((2f x ax a x ax a ax a x x =--+>--+>-+则存在，使得，2312m a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()0f m >所以仅在有唯一零点，符合题意；()f x 1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，，所以单调递增，又，1a =()()2210x f x x -'=≥()f x ()110f a =-=所以有唯一零点，符合题意；()f x 当时，，在上，，单调递增；1a >11a <()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 在上，，单调递减；此时，1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x ()110f a =->由（1）得当时，，，01x <<1ln 1x x >-1>ln 21x ⎛> ⎝此时11()(1)ln 2(11)1f x ax a x ax a x x x ⎛=--+<--+-< ⎝存在，使得，2114(1)n a a =<+()0f n <所以在有一个零点，在无零点，()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以有唯一零点，符合题意；()f x 综上，a 的取值范围为.()0,∞+【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.22．已知向量．()([]30a cosx sinx b x π==∈ ，，，，，（1）若，求x 的值；a b （2）记，求函数y ＝f （x ）的最大值和最小值及对应的x 的值．()f x a b =⋅ 【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.5π6x =0x =()f x 5π6x =()f x -【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x 的值．a b （2）根据求解求函数y ＝f （x ）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和()f x a b =⋅最小值及对应的x 的值．【详解】解：（1）∵向量．()([]30a cosx sinx b x π==∈ ，，，，，由，a b 可得：，3sinx =即tanx =∵x ∈[0，π]∴．56x π=（2）由()233f x a b cosx x π⎛⎫=⋅==+ ⎪⎝⎭ ∵x ∈[0，π]，∴225333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴当时，即x ＝0时f （x ）max ＝3；2233x ππ+=当，即时2332x ππ+=56x π=()min f x =-【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．。
高中数学专题02频率分布直方图及其应用分项汇编含解析新人教A版必修3
专题 02频次散布直方图及其应用一、选择题1．【 2017-2018 年北京市国都师大附中高二期末】对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样检查, 画出以下频次散布直方图. 依据直方图预计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超出80km/ h的概率A. 75，0.25B. 80，0.35C. 77.5，0.25D. 77.5，0.35【答案】 D应选D.2．【人教 B 版高中数学必修三同步测试】依据某水文观察点的历史统计数据, 获得某条河流水位的频次散布直方图(如图), 从图中能够看出, 该水文观察点均匀起码100 年才碰到一次的洪水的最低水位是()A. 48mB. 49mC. 50mD. 51m【答案】 C频次【分析】由频次散布直方图知水位为50 m的为0.005 2 0.01 ,即水文观察点均匀起码一百年才遇组距到一次的洪水的最低水位是50 m.本题选择 C选项.3．【福建省三明市 A 片区高中结盟校2017-2018 学年高二上学期阶段性考试】为认识某地域名高三男生的身体发育状况，抽查了该地域名年纪为~岁的高三男生体重() ，获得频次散布直方图如图. 依据图示，预计该地域高三男生中体重在kg 的学生人数是()A.B.C.D.【答案】 C点睛：本题主要考察了频次散布直方图在实质问题中的应用，属于中低档题型，也是常考考点. 在解决此类问题中，充足利用频次散布直方图的纵坐标的实质意义，其纵坐标值为：频次/ 组距，由此各组数据的频次=其纵坐标组距，各组频数=频次×整体，进而可预计出所求数据段的频数（即人数）.4．【广东省中山一中、仲元中学等七校2017-2018 学年高二 3 月联考】某商场在国庆黄金周的促销活动中，对 10 月 1 日 9 时至 14 时的销售额进行统计，其频次散布直方图以下图．已知9 时至 10 时的销售额为 3 万元，则9 时至 14 时的销售总数为A. 10 万元B. 12 万元C. 15 万元D. 30 万元【答案】 D【分析】 9 时至 10 时的销售额频次为0.1 ，所以所有销售总数为万元，应选 D．5．【四川省成都外国语学校2017-2018 学年高二上学期期末考试】容量为100的样本，其数据散布在2,18 ，将样本数据分为 4 组：2,6 ，6,10 ，10,14 ，14,18 ，获得频次散布直方图以下图. 则以下说法不正确的选项是A. 样本数据散布在6,10 的频次为0.32B. 样本数据散布在10,14 的频数为40.样本数据散布在2,10的频数为40 . 10%散布在10,14C D 预计整体数据大概有【答案】 DD不正确.应选 .D6．【四川省雅安市 2017-2018 学年高二上学期期末考试】某高校进行自主招生，先从报名者中挑选出400 人参加笔试，再按笔试成绩择精选出100 人参加面试，现随机检查了24 名笔试者的成绩，以下表所示：据此预计同意参加面试的分数线大概是（）A. 75B. 80C. 85D. 90【答案】 B应选 B7．【四川省成都市2017-2018 学年高二上学期期末调研考试】容量为100 的样本，其数据散布在2,18 ，将样本数据分为 4 组：2,6 , 6,10 , 10,14 , 14,18 ，获得频次散布直方图以下图，则以下说法不正确的是（）A. 样本数据散布在6,10 的频次为 0.32B. 样本数据散布在10,14 的频数为 40.样本数据散布在2,10的频数为40.预计整体数据大概有10% 10,14C D 散布在【答案】 D【分析】整体数据散布在10,14 的概率为0.1 40%0.02 0.08 0.1 0.05应选 D8．【广西南宁市第二中学（曲靖一中、柳州高中）2017-2018 学年高二上学期末期考试】2014 年 5 月，国家统计局宣布了《 2013 年农民工监测检查报告》，报告显示：我国农民工收入连续迅速增添．某地域农民工人均月收入增添率如图1，并将人均月收入绘制成如图 2 的不完好的条形统计图．依据以上统计图来判断以下说法错误的选项是（）A. 2013年农民工人均月收入的增添率是．B. 2011年农民工人均月收入是元．C. 小明看了统计图后说：“农民工2012 年的人均月收入比2011 年的少了”．D. 2009年到2013年这五年中2013 年农民工人均月收入最高．【答案】 C9．【四川省遂宁市2017-2018 学年高二上学期期末考试】供电部门对某社区位居民2017年12月份人均用电状况进行统计后，按人均用电量分为，，，，，，，，，五组，整理获得以下的频次散布直方图，则以下说法错误的选项是A. 月份人均用电量人数最多的一组有人B. 月份人均用电量不低于度的有人C. 月份人均用电量为度D. 在这位居民中任选位辅助收费，选到的居民用电量在，一组的概率为【答案】 C点睛：统计中利用频次散布直方图计算样本均值时，可利用组中值进行计算.10．【内蒙古赤峰市宁城县2017-2018 学年高二上学期期末考试】有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机是随机抽取了16 台，记录上午8： 00~11： 00 间各自的销售状况（单位：元），用茎叶图表示：设甲、乙的均匀数分别为x1 , x2，标准差分别为s1 , s2，则（）A.x1 x2 ，s1Bx1 x2，s1 s2s2.C. x x ， D x x ，s1 s2. 2 s1 s21 2 1【答案】 D【分析】依据公式获得1 8 6 5 20 14 36 22 25 27 60 41 43 307x1 =16 16x2 1 10 12 18 20 22 46 27 31 32 68 38 42 43 48 47716 16故 x1 x2，再将以上均值代入方差的公式获得s1s2 . 或许察看茎叶图，获得乙的数据更集中一些，故得到s1s2 .故答案为： D.11．【陕西省黄陵中学2017-2018 学年高二（要点班）上学期期末考试】某篮球运动员在一个赛季的40 场比赛中的得分的茎叶图如右以下图所示：则中位数与众数分别为（）A.3与3B.23与23C.3与23D.23与3【答案】 B点睛：茎叶图的问题需注意：(1) “叶”的地点只有一个数字，而“茎”的地点的数字位数一般不需要一致；(2)重复出现的数据要重复记录，不可以遗漏，特别是“叶”的地点的数据．12．【内蒙古鄂尔多斯市第一中学2017-2018 学年高二上学期第三次月考】如图是某次拉丁舞比赛七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图( 此中m为数字 0～9 中的一个 ) ，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的均匀数分别为a1、a2，则 a1、a2的大小关系是（）A.a1＝ a2B. a1>a2C.a2>a1D.没法确立【答案】 C85 84 85 85 81 a15 84【分析】由茎叶图，得甲、乙两名选手得分的均匀数分别为，84 84 86 84 87 a25 85a1；应选 C.，即a2填空题13．【吉林省辽源市田家炳高级中学2017-2018 学年高二放学期 3 月月考】上方右图是一个容量为200 的样本的频次散布直方图，请依据图形中的数据填空：(1) 样本数据落在范围[5 ， 9 )的可能性为 __________；(2)样本数据落在范围 [9 ， 13 )的频数为 __________ ．【答案】 0.32 72点睛：本题主要考察的知识点是频次散布直方图的意义以及应用图形解题的能力，属于基础题. 对于 1 根频次组距2组距频次样本容量即可求出结果 .据频次即可求出结果，对于依据频数14．【山西省临汾第一中学等五校2017-2018 学年高二上学期期末联考】当前北方空气污染愈来愈严重，某大学组织学生参加环保知识比赛，从参加学生中抽取40 名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频次散布直方图如图，若从成绩是 80 分以上（包含80 分）的学生中选两人，则他们在同一分数段的概率为_______. 【答案】∵前三组的积累频次为：0.10+0.15+0.25=0.50，故此次环保知识比赛成绩的中位数为70；成绩在 [80 ， 90）段的人数有10×0.010 ×40=4 人，成绩在 [90 ， 100] 段的人数有10×0.005 ×40=2 人，15 种不一样的基本领件，从成绩是 80 分以上（包含 80 分）的学生中任选两人共有此中他们在同一分数段的基本领件有： 7，故他们在同一分数段的概率为故答案为 :.15．【黑龙江省大庆中学2017-2018 学年高二上学期期末考试】某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，分为 5 组制出频次散布直方图以下图.则 a __________，d__________.【答案】30 0.2点睛：利用频次散布直方图求众数、中位数与均匀数时，易犯错，应注意划分这三者．在频次散布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左侧和右侧的小长方形的面积和是相等的；(3) 均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．16．【辽宁省六校协作体 2017-2018 学年高二上学期期初联考】从某小学随机抽取100 名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频次散布直方图（如图）．若要从身高在 [ 120 , 130）， [130 ， 140) , [140 , 150] 三组内的学生中，用分层抽样的方法选用18 人参加一项活动，则从身高在[140 ， 150] 内的学生中选取的人数应为【答案】 3 人【分析】试题剖析：∵直方图中各个矩形的面积之和为1，∴10×（ 0.005+0.035+ a+0.02+0.01 ）=1，解得 a=0.03．由直方图可知三个地区内的学生总数为100×10×（ 0.03+0.02+0.01 ） =60 人．此中身高在 [140 ， 150] 内的学生人数为10 人，所以身高在 [140 ， 150] 范围内抽取的学生人数为人．考点：频次散布直方图．评论：本题考察频次散布直方图的有关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频次，所以各个矩形面积之和为 1．同时也考察了分层抽样的特色，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的.解答题17．【2017-2018 学年人教A版数学必修三同步测试】我校正高二600 名学生进行了一次知识测试, 并从中抽取了部分学生的成绩( 满分 100 分 ) 作为样本 , 绘制了下边还没有达成的频次散布表和频次散布直方图.分组频数频次[50,60) 2 0. 04[60,70) 8 0. 16[70,80) 10[80,90)[90,100] 14 0. 28共计1. 00(1)填写频次散布表中的空格 , 补全频次散布直方图 , 并标出每个小矩形对应的纵轴数据;(2)请你估量该年级学生成绩的中位数;(3) 假如用分层抽样的方法从样安分数在[60,70)和[80,90)的人中共抽取 6 人 , 再从 6 人中选 2 人 , 求 2 人分数都在 [80,90)的概率.2【答案】 (1) 答案看法析； (2)83.125；(3)5【分析】试题剖析：试题分析：(1)填写频次散布表中的空格 , 以下表 :分组频数频次[50,60)20.04[60,70)80.16[70,80)100.2[80,90)160. 32[90,100]140. 28共计50 1. 00补全频次散布直方图,以以下图 :(2) 设中位数为x,依题意得0. 04+0. 16+0. 2+0. 032×( x- 80) =0. 5,解得 x=83. 125,所以中位数约为83. 125.(3) 由题意知样安分数在[60,70) 有 8 人, 样安分数在[80,90) 有 16人,用分层抽样的方法从样安分数在[60,70) 和 [80,90) 的人中共抽取 6 人 ,则抽取的分数在 [60,70) 和 [80,90) 的人数分别为2人和 4人.记分数在 [60,70) 的为 a , a ,在[80,90) 的为 b , b , b , b .1 2 1 2 3 4从已抽取的 6 人中任选两人的所有可能结果有15 种, 分别为{ a , a },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ a , b },{ b , b },{ b , b },{ b , b },{ b , b },{1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 2 1 3 1 4 2 3b2, b4},{ b3, b4},设“2 人分数都在 [80,90) ”为事件A,则事件 A 包含{ b , b },{ b , b },{ b , b },{ b , b },{ b , b },{ b 6 2, b } 共 6 种 , 所以 P( A)= .1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4155点睛：利用频次散布直方图求众数、中位数和均匀数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左侧和右侧的小长方形的面积和是相等的；③均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18．【内蒙古自治区北方重工业公司有限公司第三中学2017-2018 学年高二 3 月月考】节能减排以来，兰州市 100 户居民的月均匀用电量单位：度，以，，，，，，，，，，，，，分组的频率散布直方图如图．求直方图中x 的值；求月均匀用电量的众数和中位数；预计用电量落在，中的概率是多少？【答案】（1）5；（ 2）众数为，中位数为224；（ 3）.月均匀用电量在，中的概率是．试题分析：的频次之和为，的频次之和为，∴中位数在内，设中位数为y，则解得，故中位数为224．由频次散布直方图可知，月均匀用电量在中的概率是．点睛：利用频次散布直方图预计样本的数字特色(1)中位数：在频次散布直方图中，中位数左侧和右侧的直方图的面积相等，由此能够预计中位数值．(2)均匀数：均匀数的预计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．19．【河南师范大学隶属中学2017-2018 学年高二 4 月月考】某要点中学100 位学生在市统考取的理科综合分数，以160,180 ，180,200 ，200,220 ，220,240 ，240,260 ，260,280 ，280,300分组的频次散布直方图如图．（ 1）求直方图中 x 的值；（ 2）求理科综合分数的众数和中位数；（ 3）在理科综合分数为220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 的四组学生中，用分层抽样的方法抽取 11 名学生，则理科综合分数在220,240 的学生中应抽取多少人？【答案】 (1)0.0075(2)230 ， 224 （ 3） 5 人【分析】试题剖析： （ 1）依据直方图求出 x 的值即可；（ 2）依据直方图求出众数，设中位数为，获得对于 a 的方程，解出即可；a（ 3）分别求出 [220 ， 240）， [240 ，260）， [260 ，280）， [280 ， 300] 的用户数，依据分层抽样求出知足条件的概率即可．220 240（ 2）理科综合分数的众数是230 ，2∵ 0.0020.0095 0.011 20 0.45 0.5，∴理科综合分数的中位数在 220,240 内，设中位数为a ，则 0.0020.0095 0.011 20 0.0125 a 2200.5，解得a 224，即中位数为 224 ．（ 3）理科综合分数在220,240的学生有 0.0125 20 100 25 （位），同理可求理科综合分数为240,260 ，260,280 ，280,300 的用户分别有15位、10位、5位，11 1故抽取比为2515 10 5 5 ，25 1 5∴从理科综合分数在220,240 的学生中应抽取 5 人．点睛：利用频次散布直方图求众数、中位数与均匀数时，易犯错，应注意划分这三者．在频次散布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左侧和右侧的小长方形的面积和是相等的；(3)均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．20．【河北省阜城中学 2017-2018 学年高二上学期期末考试】某校高一年级某次数学比赛随机抽取100 名学生的成绩，分组为 [50 ， 60）， [60 ， 70）， [70 ， 80）， [80 ， 90）， [90 ， 100] ，统计后获得频次散布直方图以下图：（ 1）试预计这组样本数据的众数和中位数（结果精准到0.1 ）；（ 2）年级决定在成绩[70 ， 100] 顶用分层抽样抽取 6 人构成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的状况做一个检查，则在[70 ， 80）， [80 ， 90）， [90 ， 100] 这三组分别抽取了多少人？（ 3）此刻要从（ 2）中抽取的 6 人中选出正副 2 个小组长，求成绩在[80 ， 90）中起码有 1 人入选为正、副小组长的概率．【答案】（1） 65， 73.3 ；（ 2） 3， 2， 1；（ 3）【分析】试题剖析：（ 1）由频次散布直方图中面积最大的矩形中点可得众数、左右边积各为0.5的分界处为中位数．（ 2）先求出成绩为[70 ，80）、[80 ，90）、[90 ，100] 这三组的频次，由此能求出[70 ，80）、[80 ， 90）、[90 ，100] 这三组抽取的人数．（ 3）由（ 2）知成绩在[70 ， 80）有 3 人，分别记为a， b， c；成绩在[80 ， 90）有 2 人，分别记为d，e；成绩在 [90 ， 100] 有1 人，记为 f ．由此利用列举法能求出成绩在[80 ，90）中起码有 1 人入选为正、副小组长的概率．（ 2）成绩为 [70 ， 80）、 [80 ， 90）、 [90 ， 100] 这三组的频次分别为0.3 ，0.2 ， 0.1 ，∴ [70 ， 80）、 [80 ，90）、 [90 ， 100] 这三组抽取的人数分别为 3 人，2 人，1人．（ 3）由（2）知成绩在[70 ， 80）有 3 人，分别记为 a，b， c；成绩在 [80 ， 90）有 2 人，分别记为d， e；成绩在[90，100]有1 人，记为f．∴从（ 2）中抽取的 6 人中选出正副 2 个小组长包含的基本领件有种，分别为：ab， ba， ac， ca， ad，da， ae， ea， af ， fa ， bc， cb， bd， db， be， eb， bf ， fb ， cd， dc， ce， ec，cf ，fc ， de， ed， d f ， fd ，ef ， fe ，记“成绩在 [80 ， 90）中起码有 1 人入选为正、副小组长”为事件Q，则事件 Q包含的基本领件有18 种，∴成绩在[80 ， 90）中起码有 1 人入选为正、副小组长的概率P（Q）= ．点睛：利用频次散布直方图求众数、中位数与均匀数时，易犯错，应注意划分这三者．在频次散布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左侧和右侧的小长方形的面积和是相等的；(3)均匀数是频次散布直方图的“重心”，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．21．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018 学年高二 3 月月考】从某学校高三年级共800 名男生中随机抽取 50 名丈量身高，丈量发现被测学生身高所有介于155cm和 195cm之间，将丈量结果按以下方式分红八组：第一组 [155,160)；第二组[160,165)、、第八组[190,195]，以下图是按上述分组方法获得的频次散布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数同样，第六组、第七组、第八组人数挨次构成等差数列．（ 1）预计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上 ( 含 180cm) 的人数；（2）求第六组、第七组的频次并增补完好频次散布直方图（如需增添刻度请在纵轴上标志出数据，并用直尺作图）；（3）由直方图预计男生身高的中位数．【答案】（1）；（2）详看法析;(3).试题分析： (1) 由直方图，前五组频次为(0.008 ＋ 0.016 ＋ 0.04 ＋ 0.04 ＋0.06) ×5＝ 0.82 ，后三组频次为 1 －0.82 ＝ 0.18.这所学校高三男生身高在180cm以上 ( 含 180cm) 的人数为800×0.18 ＝ 144 人．(2)由频次散布直方图得第八组频次为 0.008 ×5＝ 0.04 ，人数为 0.04 ×50＝ 2 人，设第六组人数为 m，则第七组人数为0.18×50－2－ m＝7－ m，又 m＋2＝2(7－ m)，所以m＝4，即第六组人数为 4 人，第七组人数为 3 人，频次分别为0.08,0.06. 频次除以组距分别等于0.016,0.012，见图．（ 3）设中位数为，由频次为22．【广东省中山一中、仲元中学等七校，所以2017-2018 学年高二，3 月联考】某公司职工，解得=174.5500 人参加“学雷锋”志愿活动，按年纪分组：第 1 组 [25 ，30) ，第[45 ， 50] ，获得的频次散布直方图以下图．2 组[30 ，35) ，第3 组[35 ，40) ，第4 组[40 ， 45) ，第5 组(1) 上表是年纪的频数散布表，求正整数的值；(2) 此刻要从年纪较小的第1,2,3 组顶用分层抽样的方法抽取 6 人，年纪在第1,2,3 组的人数分别是多少？(3) 在 (2) 的前提下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传沟通活动，求起码有 1 人年纪在第 3 组的概率．【答案】(1) ； (2) 第 1， 2， 3 组分别抽取 1 人，1人，4 人；(3) .【分析】试题剖析：（ 1）) 由题设可知，2， 3 组的比率关系为 1:1:4 ，则分别抽取，1 人， 1人， 4 人；（ 3）设第 1 组的 1 位同学为；（ 2）由第1，，第 2组的 1位同学为，第3组的 4 位同学为，由穷举法，求得起码有 1 人年纪在第 3 组的概率为．(3) 设第 1 组的 1 位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从6位同学中抽两位同学有：共种可能．此中 2 人年纪都不在第 3 组的有：共 1 种可能，所以起码有 1 人年纪在第 3 组的概率为．。
高中数学 专题01 流程图与算法语句分项汇编(含解析)新人教A版必修3-新人教A版高一必修3数学试题
专题01 流程图与算法语句一、选择题1．【某某自治区北方重工业集团某某第三中学2017-2018学年高二3月月考】如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A. B. C. D.【答案】B第九次，，满足条件，，第十次，，满足条件，；由条件知不满足条件．故判断框内应填入的条件是．选B．2．【某某八中乌兰察布分校2017-2018学年高二下学期第一次调考】以下是一个算法的程序框图，当输入的x值为3时，输出y的结果恰好是，则处的关系式是( )A . y ＝x 3B . y ＝3－xC . y ＝3xD . y ＝【答案】C3．【某某某某市第三中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】如图所示，程序框图的输出值S =（ ）A . 15B . 22C . 24D . 28【答案】C【解析】由程序框图，数据初始化： 1,020i S ==<； 第一次循环： 3,320i S ==<；第二次循环： 5,820i S ==<； 第三次循环： 7,15i S ==20<； 第四次循环： 9,2420i S ==>； 此时结束循环，输出S 值为24. 本题选择C 选项.4．【某某省某某市2018届高三教学质量检查第二次统考】执行下面的程序框图，如果输入1a =， 1b =，则输出的S =（ ）A . 7B . 20C . 22D . 54【答案】B5．【某某省外国语学校2017-2018学年高二下学期入学考试】阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（ ）A . 2014n ≤B . 2015n ≤C . 2016n ≤D . 2018n ≤【答案】A故选A .6．【人教B 版高中数学必修三同步测试】给出一个算法的程序框图如图所示,该程序框图的功能是( )A . 求出a ,b ,c 三数中的最小数B . 求出a ,b ,c 三数中的最大数C . 将a ,b ,c 从小到大排列D . 将a ,b ,c 从大到小排列【答案】A【解析】由图框可知，第一步判断中的较小数，第二步判断中的较小数与的比较后的较小数。
云南省玉溪市江川一中2017-2018学年高二下学期3月份月
玉溪市江川一中2017-2018学年下学期3月份月考高二化学试卷1、本试卷共8页，分为I卷和II卷，满分100分。
其中第I卷为选择题，共50分；第II卷为非选择题，共50分。
2、考试时间为90分钟。
3、请将答案填在答题卡内。
可能用到的原子量：H - 1 C - 12 N - 14 O - 16 F - 19 S - 32 Cl - 35.5 Ca - 40第I卷（选择题）一、选择题（本题共25个小题，每题2分，共50分，每个小题只有一个唯一的答案，请将答案涂在答题卡上。
）1.一定条件下，可逆反应NO2(g)＋CO(g)NO(g)＋CO2(g)在容积不变的密闭容器中进行，当下列物理量不再随时间变化时，能说明该反应已达到平衡状态，该选项是()A．混合气体的压强B．NO2的消耗速率与NO的生成速率之比C．混合气体的颜色D．混合气体的平均摩尔质量2.KClO3和KHSO3可发生下列反应：＋―→＋Cl－＋H＋(未配平)，已知酸性越强，该反应的反应速率越快。
如图为反应速率v()随时间(t)的变化曲线。
下列有关说法不正确的是()A．KClO3和KHSO3发生反应的氧化剂与还原剂的物质的量之比为1∶3B．反应开始阶段速率逐渐增大可能是c(H＋)逐渐增高导致的C．反应后期速率逐渐减小的主要原因是c()、c()降低D．纵坐标为v()时的v－t曲线与原图曲线完全吻合3.用质量均为100 g的铜棒做电极，电解硝酸银溶液，电解一段时间后，两个电极的质量差为28 g，则阴极的质量为()A．128 g B．114 g C．119 g D．121.6 g4.已知X、Y、Z三种元素组成的化合物是离子晶体，其晶胞如图所示，则下面表示该化合物的化学式正确的（）A．ZXY3B．ZX2Y6C．ZX4Y8D．ZX8Y125.某学生想制作一种家用环保型消毒液发生器，用石墨作电极电解饱和氯化钠溶液。
通电时，为使Cl2被完全吸收，制得有较强杀菌能力的消毒液，设计了如图的装置，则对电源电极名称和消毒液的主要成分判断正确的是()A．a为正极，b为负极；NaClO和NaClB．a为负极，b为正极；NaClO和NaClC．a为阳极，b为阴极；HClO和NaClD．a为阴极，b为阳极；HClO和NaCl6.X与Y两元素的阳离子具有相同的电子层结构，X元素的阳离子半径大于Y元素的阳离子半径，Y与Z两元素的核外电子层数相同，Z元素的第一电离能大于Y元素的第一电离能，则X、Y、Z的原子序数()A．X＞Y＞Z B．Y＞X＞Z C．Z＞X＞Y D．Z＞Y＞X 7.在一定条件下，已达平衡的可逆反应：2A(g)＋B(g)2C(g)，下列说法中正确的是()A．平衡时，此反应的平衡常数K与各物质的浓度有如下关系：K＝B．改变条件后，该反应的平衡常数K一定不变C．如果改变压强并加入催化剂，平衡常数随之变化D．若平衡时增加A和B的浓度，则平衡常数会减小8.在一支25 mL的酸式滴定管中装入0.1 mol·L－1的HCl溶液，其液面恰好在5.00 mL刻度处，若把滴定管中的溶液全部放入烧杯中，然后以0.1 mol·L－1的NaOH溶液进行中和，则所需NaOH溶液的体积()A．大于20 mL B．小于20 mL C．等于20 mL D．等于5 mL 9.2SO 2+O22SO3经a min后，SO3浓度的变化情况如图所示，在时间0~a min内用O2表示的平均反应速率为0.04 mol·，则a等于（）A．5B．2.5C．7.5D．1010.在实验Ⅰ和实验Ⅱ中，用定量、定浓度的盐酸与足量的石灰石反应，并在一定的时间内测量反应所放出的CO2的体积。
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沧州市第一中学2017-2018学年高二3月月考
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、复数53z i =+的共轭复数对应的点所在的象限是
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第三象限
2、关于三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以20a >”，这个推理 A ．大前提错误 B ．小前提错 C ．推理形式错 D ．是正确的
3、计算
1
1
()e
x dx x
-=⎰
A ．2
12e B ．212e + C ．212e - D ．232
e -
4、抛物线22y x =的焦点坐标是
A ．1(0,)8
B ．1(0,)8-
C ．1(0,)2
D ．1(0,)2
-
5、用反证法证明：“若0,0,2x y x y >>+>，求证,x y 中至少有一个大于1”时，反设正确的是
A ．假设,x y 都不大于1
B ．假设,x y 都小于1
C ．假设,x y 至多有一个大于1
D ．假设,x y 至多有两个大于1 6、复数2
2
(23)(43)z m m m m i =--+-+是纯虚数，实数m = A ．1 B ．-1 C ．1或-3 D ．-1或3
7、从0,1,2,3,4五个数中选四个数字，组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为 A ．36 B ．60 C ．72 D ．96
8、复数z 满足310z i -=，则复平面内和复数z 对应的点围成的几何图形是 A ．椭圆 B ．双曲线 C ．圆 D ．抛物线
9、已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点为(2,0)F ，且双曲线的渐近线与圆
22(2)3x y -+=相切，则双曲线的方程为
A ．
22162x y -= B ．22126
x y -= C ．2213x y -= D ．22
13y x -= 10、已知1ln x a x x -≤
+对任意的1
[,2]2
x ∈恒成立，则实数a 的最大值为 A ．2 B ．1 C ．0 D ．-2
11、如图，小明从街道的E 处出发，现到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A ．24
B ．18
C ．12
D ．9
12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，将直线2x
y =
与直线1x =及x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积120()212
x V dx π
π==⎰；据此类比，将曲线
2(0)y x x =≥与直线2y =及y 轴围成的封闭图形绕y 旋转一周得到一个旋转体，此旋转
体的体积是 A ．
2
π B ．π C ．32π
D ．2π
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13、4名同学分别报名参加学校的美术、音乐、体操兴趣小组，每人限报其中的一个兴趣小
组，则不同的报法种数是 （用数字作答）. 14、曲线2x y e x e =-+在0x =处的切线方程为
15、若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为 16、凸边形的性质：如果函数()f x 在区间D 上的是凸变形，则对于区间D 内的任意n 个自变量12,,
,n x x x ，有
121
2()()
(
)()n n
f x f x f x x x x f n
n
++++++≤，当且仅当
12n x x x ===时等号成立，已知函数sin y x =上是凸函数，
则在ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值为
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分10分） （1）计算：2
20171(
)341i i i i
+++--（其中i 为虚数单位）； （2）已知6x >，解方程62
3425x x x C A ---=.
18、（本小题满分12分） 已知数列
1111
1
,,,,,
13355779
(21)(21)
n n ⨯⨯⨯⨯-+的前n 项和n S .
（1）计算1234,,,S S S S ；并由此推测n S 的表达式； （2）证明（1）中推测的结论.
19、（本小题满分12分）
沧州市第二中学辩论队于2018年12月代表河北省参加第二届京津中学生辩论赛，并获得亚军，现在辩论队由3名男队和5名队员组成.
（1）学校为宣传辩论队取得的优异成绩，需要给全体队员排队照相，要求3名队员互不相邻，有多少种不同排法？
（2）将8名队员分成四个小组，每个小组两人，分别取高一1,2,3,4班四个班开座谈会，有多少种不同的分组方式？
（3）为准备下次的比赛，现从从8名队员中选出4名队员做一辨、二辨、三辨、四辨，要
求至少有一名男队员，有多少种不同的选法？
20、（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，090ADC BAD ∠=∠= 且22,AB AD PD CD PD ====⊥平面ABCD ，E 是PA 中点. （1）求证：DE PB ⊥；
（2）求平面PAD 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值.
21、（本小题满分12分）
已知函数()3
1f x ax bx =+-在1x =处有极小值.
（1）试求,a b 的值，并求出()f x 的单调区间；
（2）若关于x 的方程()21f x m =-有3个不同的实根，求实数m 的取值范围.
22、（本小题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>，离心率1
2e =，椭圆上的点到焦点的最小距离为1.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）是否存在直线:()l y kx m k R =+∈，使其与椭圆C 交于,A B 两点，且OA OB ⊥？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.。