课时跟踪检测(五十二) 抛物线(重点高中)

课时跟踪检测（五十二） 抛物线
(二)重点高中适用作业
A 级——保分题目巧做快做
1．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k
x (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )
A.1
2 B ．1 C.32
D ．2
解析：选D ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝k
x (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)．将
点P (1,2)的坐标代入y ＝k
x
(k ＞0)，得k ＝2.
2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP ―→＝4FQ ―→
，则|QF |＝( )
A ．3 B.52
C.72
D.32
解析：选A 已知F (2,0)，设P (－2，t )，Q (x 0，y 0)，则FP ―→＝(－4，t )，FQ ―→
＝(x 0－2，y 0)．由题设可得4(x 0－2)＝－4，即x 0＝1，所以|QF |＝x 0＋2＝3.
3．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )
A.34
B.32
C ．1
D ．2
解析：选D 设AB 的中点为M ，焦点为F (0,1)，过点M 作准线l ：y ＝－1的垂线MN ，
垂足为N ，过点A 作AC ⊥l 于点C ，过点B 作BD ⊥l 于点D ，则|MN |＝
|AC |＋|BD |2＝|AF |＋|BF |
2
≥|AB |
2＝3，当且仅当直线AB 过焦点F 时等号成立，所以AB 的中点到x 轴的最短距离d min
＝3－1＝2.故选D.
4．已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点，O 为坐标原点．若A ，B 是以点M (0,10)为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且△ABO 为等边三角形，则p 的
值是( )
A.52
B.53
C.56
D.59
解析：选C 如图，因为|MA |＝|OA |，所以点A 在线段OM 的垂直平分线上．又因为M (0,10)，所以可设A (x,5)．由tan 30°＝x 5，得x ＝5
3.将
A
⎝⎛⎭
⎫53，5代入方程x 2＝2py ，得p ＝56.
5．(2018·太原模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交该抛物线于A ，
B 两点，O 为坐标原点，若|AB |＝6，则△AOB 的面积为( )
A. 6 B ．2 2 C ．2 3
D ．4
解析：选A 因为抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，当直线AB 垂直于x 轴时，|AB |＝4，不满足题意，所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4
k ，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝
16
k 2
＋16，因为|AB |＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|＝6，所以4⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝6，解得k ＝±2，所以|y 1－y 2|＝16
k 2
＋16＝26，所以△AOB 的面积为1
2
×1×26＝6，故选A.
6．过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝1
2|AB |，则点A
到抛物线C 的焦点的距离为________．
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E ，∵|PA |＝1
2
|AB |，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
1＝4x 1，y 2
2＝4x 2，
得x 1＝23，
则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.
答案：5
3
7．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右支与焦
点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p
2
，
由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p
2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
a 2－y 2
b 2＝1，
x 2＝2py 消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，
所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb 2
a 2＝p ，
即b 2a 2＝12
，故b a ＝2
2，
所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2
2x .
答案：y ＝±2
2
x
8．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则实数a 的取值范围为________．
解析：如图，设C (x
0，x 20)(x 2
0≠a )，A (－a ，a )，B (a ，a )，
则CA ―→＝(－a －x 0，a －x 20)，CB ―→＝(a －x 0，a －x 20)． ∵CA ⊥CB ，∴CA ―→·CB ―→＝0，
即－(a －x 20)＋(a －x 20)2＝0，(a －x 20)(－1＋a －x 20)＝0.
∴x 20＝a －1≥0，∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)
9.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与
抛物线C 相交于A ，B 两点．
(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程． 解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F (1,0)． 因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，
所以直线l 的斜率存在，
设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
AB 的中点M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧
y 21＝4x 1，
y 22＝4x 2，
得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)， 所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1， 故直线l 的方程是y ＝x －1.
(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋1，
y 2＝4x ，
消去x ，得y 2－4my －4＝0， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)>0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|
＝m 2＋1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝
m 2＋1·(4m )2－4×(－4)
＝4(m 2＋1)．
所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2，
所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0.
10.(2018·合肥模拟)如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：
y 2＝4x 的焦点F .设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．以点F 为圆心，|FA |为半径的圆与x 轴负半轴的交点为点B .
(1)若点O 到直线l 的距离为
3
2
，求直线l 的方程； (2)试判断直线AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明． 解：(1)由题易知，抛物线C 的焦点为F (1,0)， 当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1时，不符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，
即kx －y －k ＝0. 所以
|－k |
1＋k 2
＝
3
2
，解得k ＝±3. 即直线l 的方程为y ＝±3(x －1)． (2)直线AB 与抛物线C 相切，证明如下：
设A (x 0，y 0)，则y 2
0＝4x 0.
因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)． 所以直线AB 的方程为y ＝y 0
2x 0(x ＋x 0)，
整理得，x ＝
2x 0y
y 0
－x 0， 把上式代入y 2＝4x 得y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0，
Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 2
0＝0，
所以直线AB 与抛物线C 相切． B 级——拔高题目稳做准做
1．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p 2
，∴不妨设A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5.∵点A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2
，5在圆x 2
＋y 2
＝r 2
上，∴⎩⎨⎧
16
p
2
＋8＝r 2
，p
2
4＋5＝r 2
，
∴16
p 2＋8＝p 24
＋5，解得p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.
2．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( )
A ．y 2＝4x 或y 2＝8x
B ．y 2＝2x 或y 2＝8x
C ．y 2＝4x 或y 2＝16x
D ．y 2＝2x 或y 2＝16x
解析：选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点A (0,2)，M (x 0，y 0)，则AF ―→＝⎝⎛⎭
⎫p 2，－2，AM ―→＝⎝⎛⎭⎫y 2
02p ，y 0－2.由已知得，AF ―→·AM ―→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭
⎫8p ，4.由|MF |＝5得，8p ＋p
2
＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .
3．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→
的最大值为( )
A ．－4
B ．－16
C ．4
D ．－8
解析：选B 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→
|)． 又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→
|＝y B ＋1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立x 2＝4y ，可得y 2－(2＋4k 2)y ＋1＝0， 所以y A ＋y B ＝4k 2＋2，y A y B ＝1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)． 同理：FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4.
所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→
＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4k 2＋8≤－16. 当且仅当k ＝±1时等号成立．
4．(2018·长春模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作倾斜角为45°的直线l 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．
解析：由题意知，抛物线焦点为(1,0)，直线l 的方程为y ＝x －1，与抛物线方程联立，
得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x －1，
y 2＝4x ，
消去x ，得y 2－4y －4＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1
＋y 2＝4，y 1y 2＝－4，|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝42，从而△OAB 的面积为12×p
2
×|y 1－y 2|
＝2 2.
答案：2 2
5.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．
(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；
(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．
解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ， 代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2p
y 1＋y 3
， 直线MN 的斜率k MN ＝
y 4－y 2x 4－x 2＝2p
y 2＋y 4
， ∴k AB k MN ＝y 2＋y 4
y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2
y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2.
故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．
6．(2018·武汉调研)已知直线y ＝k (x －2)与抛物线Γ：y 2＝1
2x 相交于A ，B 两点，M 是
线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交Γ于点N .
(1)证明：抛物线Γ在点N 处的切线与直线AB 平行；
(2)是否存在实数k 使NA ―→·NB ―→
＝0？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －2)，y 2
＝12x
消去y 并整理， 得2k 2x 2－(8k 2＋1)x ＋8k 2＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2＋1
2k 2，x 1x 2＝4，
∴x M ＝x 1＋x 22＝8k 2＋14k 2
，
y M ＝k (x M －2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋14k 2－2＝1
4k
.
由题设条件可知，y N ＝y M ＝14k ，x N ＝2y 2N ＝18k 2
， ∴N ⎝⎛⎭⎫18k 2，14k .
设抛物线Γ在点N 处的切线l 的方程为 y －1
4k
＝m ⎝⎛⎭⎫x －18k 2， 将x ＝2y 2代入上式，得2my 2－y ＋1
4k －m 8k
2＝0. ∵直线l 与抛物线Γ相切，
∴Δ＝1－4×2m ×⎝⎛⎭⎫1
4k －m 8k 2＝(m －k )2
k 2＝0， ∴m ＝k ，即l ∥AB .
(2)假设存在实数k ，使NA ―→·NB ―→
＝0，则NA ⊥NB . ∵M 是AB 的中点， ∴|MN |＝1
2|AB |.
由(1)，得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|
＝
1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝
1＋k 2·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫8k 2＋12k 22－4×4＝1＋k 2
·16k 2＋12k 2. ∵MN ⊥y 轴，
∴|MN |＝|x M －x N |＝8k 2＋14k 2－18k 2＝16k 2＋1
8k 2.
∴16k 2＋18k 2＝
1
2
1＋k 2
·16k 2＋12k 2
，解得k ＝±1
2
. 故存在k ＝±12
，使NA ―→·NB ―→
＝0.。